精品解析：广东省广州市广东实验中学2024—2025学年下学期八年级数学期中考试卷

2024—2025学年第二学期期中教学质量监测 八年级数学 本试卷共5页，25题，满分120分．考试用时120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 3．回答填空题时，请将每小题的答案用黑色签字笔或钢笔直接填写在答题卡中对应横线上．写在本试卷上无效． 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程用黑色签字笔或钢笔书写在答题卡中对应的位置上．写在本试卷上无效． 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂在答题卡上） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的判断，根据最简二次根式的定义，需满足被开方数不含能开方的因数． 【详解】解：．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ． ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； ．无平方数因子（除外），无法进一步化简，是最简二次根式，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质等，解题的关键是掌握平行四边形的性质． 根据平行四边形的性质可得，结合可求出，则． 【详解】解：根据题意可画出示意图如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：C． 3. 正方形具有而菱形不具有的性质是（　　） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直且平分 D. 对角线互相垂直 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，根据正方形的性质，菱形的性质即可得；掌握正方形的性质，菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：正方形具有而菱形不具有的性质是对角线相等， 故选：B． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的加减乘除混合运算法则判断即可． 【详解】A.，选项错误，不符合题意； B.，选项错误，不符合题意； C.，选项错误，不符合题意； D.，选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的加减乘除混合运算，熟练运算是本题的关键． 5. 下列命题中，假命题是（ ） A. 有一个直角的平行四边形是正方形 B. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 C. 四条边相等的四边形是菱形 D. 三个角是直角的四边形是矩形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正假命题的判定，根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法逐一判断各选项的正确性即可． 【详解】A． 有一个直角的平行四边形是矩形，需同时满足邻边相等才是正方形，条件不充分，故为假命题； B． 两组对边分别平行的四边形是平行四边形，符合定义，正确； C． 四条边相等的四边形是菱形，符合菱形判定条件，正确； D． 三个角是直角的四边形，第四个角必为直角，故为矩形，正确． 故选：A 6. 如图，点O在数轴上表示的数为0，在数轴上取一点A，使，过点A作直线，在直线l上取点B，使，以点O为圆心，长为半径作弧，交数轴正半轴于点C，则点C表示的数是（ ） A. B. C. 7 D. 29 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意利用勾股定理得出的值，即可得点C表示的数． 【详解】解：由在数轴上点A表示的数为5，，，以原点O为圆心，以长为半径作弧， 得， 得点C表示的数为, 故选：B． 7. 如图，已知的周长为，是的中位线，则的周长为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线的定义和性质，根据三角形中位线的性质得点D、E分别是的中点，，再根据的周长得出答案． 【详解】∵是的中位线， ∴点D、E分别是的中点，， ∴的周长． 故选：C. 8. 已知a，b，c为△ABC的三边，下列条件中，不能构成直角三角形的是（ ） A. a＝8，b＝15，c＝17 B. ∠A：∠B：∠C＝2：2：1 C. a＝1.5，b＝2，c＝2.5 D. ∠A＝∠B＝∠C 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理和三角形内角和进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴A选项能构成直角三角形，不符合题意； ∵∠A：∠B：∠C＝2：2：1， ∴∠A＝72°，∠B＝72°，∠C＝36°，B选项不能构成直角三角形，符合题意； ∵， ∴C选项能构成直角三角形，不符合题意； ∵∠A＝∠B＝∠C， ∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，D选项能构成直角三角形，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，解题关键是能熟练运用勾股定理逆定理和三角形内角和进行判断求解． 9. 如图，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F，则的值为 （　　） A. B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．连接，利用勾股定理列式求出，再根据矩形的对角线相等且互相平分求出，然后根据列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴解得， 故选：． 10. 如图，的对角线与相交于点O，平分，分别交，于点E，P，连接，，，，则下列结论：①，②，③，④，⑤平分，正确的结论有（ ）个 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算，利用上述性质，逐项判断即可解答，熟练掌握平行四边形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系． 【详解】解：平分， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 是等边三角形， , ， ， ， ， ， ， ， ， 故①正确； ，， ，， ， 在中，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 在中， ，故②正确； 由②知：， ， 故③正确； ， ，故④错误； ， 为等腰三角形的角平分线， 平分，故⑤正确， 故正确的为：①②③⑤， 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握列不等式、解不等式． 根据二次根式有意义的条件，列出不等式求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为： ． 12. 如图，，，，为中点，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线等于斜边的一半及等腰三角形的性质，掌握相关性质正确推理计算是解题关键．根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半及等腰三角形等边对等角的性质可得，进而即可求解． 【详解】解：，，，为中点， ， ， ， 故答案为：． 13. 对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下： ，如：，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，实数新定义计算，熟练理解定义是解题的关键． 根据定义进行计算，即可作答． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 如图，在中，，、分别是与的角平分线，交点为点O，，则___________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，，，，证明，得出，同理得出，求出，根据平行线的性质得出，求出，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴， ∵、分别是与的角平分线， ∴，， ∴， ∴， 同理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，三角形内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，数形结合． 15. 如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，那么______． 【答案】##度 【解析】 【分析】连接AD，构建等腰直角三角形，利用勾股定理和逆定理得：，，最后根据平角的定义可得结论． 【详解】解：如图，连接AD， 观察图形可知：，是等腰直角三角形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握网格型问题的计算方法是关键． 16. 如图，矩形ABCD中，AD＝6，∠CAB＝30°，点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+QP的最小值是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】首先根据题意作A关于直线CD的对称点E，作EP⊥AC于P，交CD于点Q，再根据三角函数计算即可. 【详解】 解：作点A关于直线CD的对称点E，作EP⊥AC于P，交CD于点Q． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC＝90°， ∴DQ⊥AE， ∵DE＝AD， ∴QE＝QA， ∴QA+QP＝QE+QP＝EP， ∴此时QA+QP最短（垂线段最短）， ∵∠CAB＝30°， ∴∠DAC＝60°， 在RT△APE中，∵∠APE＝90°，AE＝2AD＝12， ∴EP＝AE•sin60°＝12× ＝6 ． 故答案为6． 【点睛】本题主要考查最短线段问题和三角函数的计算，关键在于做辅助线,构造直角三角形. 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，二次根式的加减运算，先化简，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式 ． 18. 如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处，已知木杆原长16米，求木杆断裂处离地面多少米？ 【答案】木杆断裂处离地面6米． 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，设木杆断裂处离地面x米，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设木杆断裂处离地面x米，则断裂处离木杆顶部长度为米， 由题意得：， 解得． 答：木杆断裂处离地面6米． 19. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC， DF⊥AC，求证：AE＝CF． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，ABCD ∴∠BAC=∠DCA ∵BEAC于E，DFAC于F ∴∠AEB=∠DFC=90° 在ABE和CDF中 ， ∴ABECDF（AAS） ∴AE=CF 【解析】 【分析】可证明ABECDF，即可得到结论． 【详解】略 【点睛】此题考查平行四边形的性质和全等三角形的判定及性质，掌握平行四边形的性质和全等三角形的判定是解决问题的关键． 20. 已知：，． （1）求和的值； （2）求式子的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，分式的加减运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键； （1）把，代入求值即可； （2）先根据x、y的值求得，根据分式的加减得出，再整体代入求解即可． 【小问1详解】 解： ， ． 【小问2详解】 解：∵， ∴ ． 21. 劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长（）的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长，． （1）求蔬菜区边的长； （2）求劳动基地（四边形）的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理即可求解； （2）先通过勾股定理的逆定理证明，再根据三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵在中，，，， ∴， 故蔬菜区边的长为． 【小问2详解】 解：∵， ，， 则，， 即， ∴， ∴劳动基地的面积为：， 故劳动基地（四边形）的面积为． 22. 已知：如图，平行四边形中，M、N 分别为和 的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当的边满足时，平行四边形是菱形吗？请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）是菱形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质结合线段中点的定义证明即可； （2）根据直角三角形斜边中线的性质可得，再根据菱形的判定即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵M，N分别为和的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 四边形是菱形， ∵， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形判定和性质、菱形的判定以及直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 23. 观察下面的变形规律： ， ， ， … 解答下面的问题： （1）计算： ； （2）若n为正整数，请你猜想 ； （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）根据平方差公式即二次根式混合运算法则计算即可求解； （2）根据平方差公式即二次根式混合运算法则计算即可求解； （3）根据平方差公式即二次根式混合运算法则计算即可求解； 【小问1详解】 解：； 故答案为： 【小问2详解】 解：； 故答案为： 小问3详解】 解： 24. 定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”． （1）如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”； （2）如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，，连接BD，点E，F，G分别是AD，BD，BC的中点，连接EG，FG，EF．试判定△EFG的形状，并证明你的结论； （3）如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，，，请直接写出边AB长的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）△EFG是等腰直角三角形，理由见解析 （3）AB最小值为2． 【解析】 【分析】（1）延长BE，DG交于点H，先证△ABE≌△ADG，得BE=DG，∠ABE=∠ADG．结合∠ABD+∠ADB=90°，知∠ABE+∠EBD+∠ADB=∠DBE+∠ADB+∠ADG=90°，即可得∠BHD=90°．从而得证； （2）延长BA，CD交于点H，由四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC知AB⊥CD，AB=CD，从而得∠HBC+∠HCB=90°，根据三个中点知EG=AB，GF=CD，EG∥AB，GF∥DC，据此得∠BFG=∠C，∠EGD=∠HBD，EG=GF．由∠EGF=∠EGD+∠FGD=∠ABD+∠DBC+∠GFB=∠ABD+∠DBC+∠C=∠HBC+∠HCB=90°可得答案； （3）延长BA，CD交于点H，分别取AD，BC的中点E，F．连接HE，EF，HF，由EF≥HF-HE=BC-AD=5-3=2．再由（2）的结论直一步计算可得答案． 【小问1详解】 证明：如图①，延长BE，DG交于点H， ∵四边形ABCD与四边形AEFG都为正方形， ∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°． ∴∠BAE=∠DAG． ∴△ABE≌△ADG（SAS）． ∴BE=DG，∠ABE=∠ADG． ∵∠ABD+∠ADB=90°， ∴∠ABE+∠EBD+∠ADB=∠EBD +∠ADB+∠ADG=90°， 即∠EBD+∠BDG=90°， ∴∠BHD=90°． ∴BE⊥DG． 又∵BE=DG， ∴四边形BEGD“等垂四边形”； 【小问2详解】 解：△EFG是等腰直角三角形． 理由如下：如图②，延长BA，CD交于点H， ∵四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC， ∴AB⊥CD，AB=CD， ∴∠HBC+∠HCB=90°， ∵点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点， ∴EG=AB，GF=CD，EG∥AB，GF∥DC， ∴∠BFG=∠C，∠EGD=∠HBD，EG=GF． ∴∠EGF=∠EGD+∠FGD=∠ABD+∠DBC+∠BFG=∠ABD+∠DBC+∠C=∠HBC+∠HCB=90°． ∴△EFG是等腰直角三角形； 【小问3详解】 解：延长BA，CD交于点H，连接BD，分别取AD、BC、BD的中点E、F、G．连接HE，EF，HF，GE，GF， 则EF≥HF-HE=BC-AD=5-3=2， 由（2）可知△EFG是等腰直角三角形， ∴AB=2EG，2EG2=EF2， ∴EG=EF=， ∴AB=2EG≥2． ∴AB最小值为2． 【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理及等腰直角三角形的性质等知识点． 25. 如图，正方形，点、分别在、上． （1）如图1，当时． ①求证：； ②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：； （2）如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①如图1，可证得四边形是平行四边形，进而可证，即可证得结论； ②在上截取，如图2，则是等腰直角三角形，，由，利用全等三角形性质和正方形性质即可得出结论； （2）如图3，过点作交于点，则四边形是平行四边形，作，交延长线于，利用证明，设，则，运用勾股定理建立方程求解即可． 【小问1详解】 证明：①过点作，交的延长线于点， 四边形是正方形， ，， ， 四边形平行四边形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②在上截取，如图2， 则是等腰直角三角形，， 由（1）知，， ， ，， ， ， ， ， 即； 【小问2详解】 解：如图3，过点作交于点， 则四边形是平行四边形， ，， ，，， ， ， 作，交延长线于， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，掌握正方形性质，等腰直角三角形判定和性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形判定和性质，勾股定理等，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期期中教学质量监测 八年级数学 本试卷共5页，25题，满分120分．考试用时120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 3．回答填空题时，请将每小题的答案用黑色签字笔或钢笔直接填写在答题卡中对应横线上．写在本试卷上无效． 4．回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程用黑色签字笔或钢笔书写在答题卡中对应的位置上．写在本试卷上无效． 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂在答题卡上） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 3. 正方形具有而菱形不具有的性质是（　　） A 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直且平分 D. 对角线互相垂直 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中，假命题是（ ） A. 有一个直角的平行四边形是正方形 B. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 C. 四条边相等的四边形是菱形 D. 三个角是直角的四边形是矩形 6. 如图，点O在数轴上表示的数为0，在数轴上取一点A，使，过点A作直线，在直线l上取点B，使，以点O为圆心，长为半径作弧，交数轴正半轴于点C，则点C表示的数是（ ） A. B. C. 7 D. 29 7. 如图，已知的周长为，是的中位线，则的周长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知a，b，c为△ABC的三边，下列条件中，不能构成直角三角形的是（ ） A. a＝8，b＝15，c＝17 B. ∠A：∠B：∠C＝2：2：1 C. a＝1.5，b＝2，c＝2.5 D. ∠A＝∠B＝∠C 9. 如图，在矩形中，，，P是上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作和的垂线，垂足为E，F，则的值为 （　　） A. B. C. 5 D. 10. 如图，对角线与相交于点O，平分，分别交，于点E，P，连接，，，，则下列结论：①，②，③，④，⑤平分，正确的结论有（ ）个 A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 12. 如图，，，，为中点，则______． 13. 对于任意两个不相等数a，b，定义一种新运算“”如下： ，如：，那么______． 14. 如图，在中，，、分别是与的角平分线，交点为点O，，则___________． 15. 如图所示的网格是正方形网格，和的顶点都是网格线交点，那么______． 16. 如图，矩形ABCD中，AD＝6，∠CAB＝30°，点P是线段AC上的动点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+QP的最小值是_____． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 计算：； 18. 如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处，已知木杆原长16米，求木杆断裂处离地面多少米？ 19. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC， DF⊥AC，求证：AE＝CF． 20. 已知：，． （1）求和的值； （2）求式子的值． 21. 劳动教育能够提升学生智力与创造力、强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长（）的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长，． （1）求蔬菜区边的长； （2）求劳动基地（四边形）的面积． 22. 已知：如图，平行四边形中，M、N 分别为和 中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当的边满足时，平行四边形是菱形吗？请说明理由． 23. 观察下面的变形规律： ， ， ， … 解答下面的问题： （1）计算： ； （2）若n为正整数，请你猜想 ； （3）计算：． 24. 定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”． （1）如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”； （2）如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，，连接BD，点E，F，G分别是AD，BD，BC的中点，连接EG，FG，EF．试判定△EFG的形状，并证明你的结论； （3）如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，，，请直接写出边AB长的最小值． 25. 如图，正方形，点、分别在、上． （1）如图1，当时． ①求证：； ②平移图1中线段，使点与重合，点在延长线上，连接，取中点，连接，如图2，求证：； （2）如图3，若点在上，和相交于点．当，边长，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $