精品解析：江苏省淮安市2024-2025学年高一下学期期末调研测试数学试题

2024-2025学年度第二学期期末高一调研测试 数学试题 2025.06 注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，只要将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 为虚数单位，的值为（ ） A. B. 5 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算结合复数模的计算公式可得结果. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 2. 某校高一年级共有学生1000人，选科组合只有“物化生”、“物化地”和“历政地”三种组合，其中选择“物化生”、“物化地”的学生人数分别为600，250.现采用分层抽样的方法选出40人进行职业生涯规划调查，则从“历政地”组合中选出的学生人数为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据分层抽样的特征结合题意求解即可. 【详解】由题意得，选择“物化生”、“物化地”和“历政地”的学生人数比为， 所以采用分层抽样的方法选出40人进行职业生涯规划调查，从“历政地”组合中选出的学生人数为. 故选：C. 3. 在中，角，，对应的边分别为，，，，，，则为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理即可. 【详解】由余弦定理得，， 即，得. 故选：D 4. ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两角和、差的余弦公式化简求值，结合同角三角函数的基本关系可得结果. 【详解】由题意得，， 所以， 所以. 故选：B. 5. 已知，是两个不同的平面，是一条直线，下列条件中一定能使成立的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项. 【详解】A.若，，则或，故A错误； B.若，，则或，故B错误； C.若，，则，或或相交，故C错误； D.若，，则，故D正确. 故选：D 6. 已知，，若，互斥，则（ ） A. 0.36 B. 0.54 C. 0.6 D. 0.9 【答案】D 【解析】 【分析】根据，互斥，，求解即可. 【详解】因为，互斥，所以，， 故， 故选：D. 7. 已知数据的平均数为7，方差为12，那么数据的平均数和方差分别为（ ） A. 2，3 B. 2，6 C. 4，3 D. 4，6 【答案】A 【解析】 【分析】设的平均数为，方差为，利用平均数和方差的性质得到方程，求出答案. 【详解】设的平均数为，方差为， 则数据的平均数为，方差为， 所以，，解得，. 故选：A 8. 不透明口袋中装有大小相同的五个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，依次不放回从中取得两个球，如果第二次取得号码比第一次大，则记录第二个球号码；如果第二次取得号码比第一次小，则记录袋中剩余球最大的号码，则记录号码为4的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设相应事件，利用列举法可得，结合古典概型运算求解即可. 【详解】因为样本空间， ， 可得， 设“记录号码为4”为事件A， 由题意可知：，可得， 所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，下列结论正确的有（ ） A. B. 与同向的单位向量是 C. 和的夹角为 D. 与垂直的单位向量是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据，，逐项计算验证即可. 【详解】因为，，所以，故A错误； 与同向的单位向量是，故B正确； ,,，故C正确； 与垂直的单位向量有或，故D错误； 故选：BC. 10. 已知，且，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据结合求得，，由计算可判断A；由计算可判断B；由计算可判断C；直接计算可判断D. 【详解】因为，且，， 所以，， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD 11. 如图，在四棱锥中，底面为边长为2的正方形，平面，，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点，下列结论正确的有（ ） A. 存在点，使得共面 B. 存在点使得 C. 三棱锥的体积为定值 D. 到距离的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，当点为中点时，利用中位线的性质可证得，即可得四点共面；对于B，取中点，连接，利用中位线的性质可证得四边形为平行四边形，则，利用反证法假设存在点使得，结合线面垂直的判定和性质定理可证得，显然与题意矛盾；对于C，利用等体积法，结合线面平行的判定定理求得点面距为定值，由此可求得三棱锥体积为定值；对于D，根据定义作出点到距离，当点在点处时，取得距离的最大值为. 【详解】对于A，如图，当点为中点时，连接， 因为，分别为，的中点，所以 所以，，则四点共面， 又为线段上的动点，所以共面，故A正确； 对于B，如图，取中点，连接， 因为，分别为，的中点，所以, 且， 所以，即四边形为平行四边形，则. 若存在点使得，则， 因为平面，平面，所以， 因为底面为正方形，所以， 又平面平面，所以平面， 而平面，所以. 由，，平面，平面，可得平面， 又平面，故，显然与题意矛盾. 所以不存在点使得，故B错误； 对于C，设点到平面的距离为， 由B可知，，因为平面，平面，所以平面，所以为定值. 因为是定值，故C正确； 对于D，如图，取中点，连接，则，过点作于点，则， 过点作于点，连接， 因为平面平面，所以平面, 又平面，，故即为点到距离. 在中，， 当点在点处时，，此时为最大值，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平行四边形中，，，若为线段上靠近的三等分点，交于，则________.（用，表示） 【答案】 【解析】 【分析】由得到，结合图形，由平面向量的线性运算可得结果. 【详解】由为线段上靠近的三等分点，则， 由题意，易得，所以，故有， 所以. 故答案为：. 13. 在中，若，是关于的方程的两个实根，则________. 【答案】0 【解析】 【分析】先根据题意，利用韦达定理及和两角和的正切公式得出；再根据三角形内角和性质求出，进而可求解. 【详解】因为，是关于的方程的两个实根， 所以由韦达定理可得：， 则. 又因为， 所以. 又因为,， 所以， 则. 故答案为：. 14. 如图，有一长方体密封容器用于装水，底面为边长为2的正方形，高为4，因不慎在顶点和棱的中点，处各破损了一个小孔（小孔大小和容器厚度忽略不计）.若该容器可以任意放置，则该容器可装水的最大体积为________. 【答案】12 【解析】 【分析】根据平面确定定理，三点共面，正方体被平面截成两部分，由此求出较大一部分体积；截面过时，设与交于点，与相交于，通过计算三棱台的最小值即可确定该容器可装水的最大体积. 【详解】连接， 在正方体中，分别是棱的中点， ，又， 所以，即共面， 又平面平面， 所以与相交于一点，即多面体为棱台， ， 则另一部分体积， 此时该容器可装水的最大体积为. 截面过时，设与交于点，与相交于，设， 在长方体中，易得为三棱台，则，即， ， 当，即时取等，此时，另一部分的体积， 此时该容器可装水的最大体积为12. 综上，该容器可装水的最大体积为12. 故答案为：12. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数在复平面上对应点在第四象限，且，的虚部为. （1）求复数； （2）设复数、、在复平面上对应点分别为，，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设复数，，根据题目条件建立方程组求解出，即可求解. （2）先根据共轭复数的定义及复数的运算法则求出，；再根据复数的几何意义写出相应点的坐标；最后根据平面向量的坐标表示及数量积的坐标运算即可求解. 【小问1详解】 设复数，. 因为复数在复平面上对应点在第四象限，且，的虚部为. 则，解得：， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以，. 则，，， 所以，. 所以. 16. 从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在千瓦时之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示. （1）求直方图中的值，并求被调查用户月用电量的中位数； （2）从月用电量在150千瓦时以上的用户中抽取1户作为调查对象，求其月用电量在150~200千瓦时之间的概率. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为可求得的值，结合频率分布直方图可计算中位数； （2）分别计算月用电量在150千瓦时以上和月用电量在千瓦时的用户数，根据古典概型概率的计算公式可得结果. 【小问1详解】 由题意得，， 解得. 因为月用电量在千瓦时的频率为， 月用电量在千瓦时的频率为， 所以被调查用户月用电量的中位数在， 设中位数为，则，解得， 所以被调查用户月用电量的中位数为. 【小问2详解】 因为月用电量在150千瓦时以上的用户数为， 月用电量在千瓦时的用户数为， 所以从月用电量在150千瓦时以上的用户中抽取1户作为调查对象， 月用电量在千瓦时之间的概率. 17. 已知，，，，. （1）求，的值； （2）求的值. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示计算可得，结合的范围利用同角三角函数的关系式计算可得，利用切化弦结合两角和差的正、余弦公式计算可得； （2）利用同角三角函数的关系式计算得，再将变形成两角和，利用两角和的正弦公式计算即可得解. 【小问1详解】 ，. ，， 又，. ，则. 由，可得， 即，所以. 又，. . 【小问2详解】 由（1）可知，， ，，则. 所以 . 18. 在中，角，，对应的边分别为，，，. （1）求； （2）若的平分线交于. ①若与的面积之比为，求的值； ②若中点为，且，，求的面积. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理转化后，结合三角形的内角和与三角恒等变换，可求角； （2）①利用三角形的面积公式，结合可得，又由余弦定理可得，于是得到的值. ②设，，利用可得，利用可得，可求出的值，进而求的面积. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得， 因为， 代入得. ，，. ，，. 【小问2详解】 ①， . 因为， ， 则有，解得. 在中，由余弦定理得， 解得. . ②设，. ，. ，代入化简得①. ② 代入①得. . 19. 如图，三棱锥中，平面平面，，，. （1）已知为线段上一点，，求证：； （2）求三棱锥外接球体积； （3）若为线段的中点，与平面所成角为，求的最大值. 【答案】（1）证明：连接，在中，因为，， 由余弦定理知 ， 故，所以. 在中，，由余弦定理知 ， 由勾股定理有，. 又平面平面，平面平面，平面， 平面. 平面， . （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理求出，，，由勾股定理逆定理得到，由面面垂直得到线面垂直，进而证明出结论； （2）推出三棱锥外接球球心一定在平面内，且为的外心，由正弦定理求出的外接圆半径，从而求出外接球半径，得到外接球体积； （3）作出辅助线，得到为与平面所成的角，分在线段上和在线段上，表达出，换元后，结合函数单调性和基本不等式求出最值，得到结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 为直角三角形，平面平面， 三棱锥外接球球心一定在平面内，且为的外心. 在中，由正弦定理得（为外接圆半径）， 所以，即三棱锥外接球半径为4. 外接球体积为. 【小问3详解】 取中点，作，连接，，. ，平面平面， 平面平面，平面， 平面. 为与平面所成的角. ①在线段上，如图.设，则有， ，， ，，则， 在中，由余弦定理得. ， 令，，，， ∵，， 当且仅当，即时取“=”. 的最大值为. ②在线段上，如图2. 同①设，，. ，， ， 令，，， . 其中在上单调递增，理由如下： 任取， 则， 因为，所以，， 故，即， 所以在上单调递增，所以， 综上，的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期末高一调研测试 数学试题 2025.06 注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，只要将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 为虚数单位，的值为（ ） A. B. 5 C. 2 D. 4 2. 某校高一年级共有学生1000人，选科组合只有“物化生”、“物化地”和“历政地”三种组合，其中选择“物化生”、“物化地”的学生人数分别为600，250.现采用分层抽样的方法选出40人进行职业生涯规划调查，则从“历政地”组合中选出的学生人数为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 10 3. 在中，角，，对应的边分别为，，，，，，则为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. ，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是两个不同的平面，是一条直线，下列条件中一定能使成立的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知，，若，互斥，则（ ） A. 0.36 B. 0.54 C. 0.6 D. 0.9 7. 已知数据的平均数为7，方差为12，那么数据的平均数和方差分别为（ ） A. 2，3 B. 2，6 C. 4，3 D. 4，6 8. 不透明口袋中装有大小相同的五个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，依次不放回从中取得两个球，如果第二次取得号码比第一次大，则记录第二个球号码；如果第二次取得号码比第一次小，则记录袋中剩余球最大的号码，则记录号码为4的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，下列结论正确的有（ ） A. B. 与同向的单位向量是 C. 和的夹角为 D. 与垂直的单位向量是 10. 已知，且，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在四棱锥中，底面为边长为2的正方形，平面，，，分别为，的中点，，分别为线段，上的动点，下列结论正确的有（ ） A. 存在点，使得共面 B. 存在点使得 C. 三棱锥的体积为定值 D. 到距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在平行四边形中，，，若为线段上靠近的三等分点，交于，则________.（用，表示） 13. 在中，若，是关于的方程的两个实根，则________. 14. 如图，有一长方体密封容器用于装水，底面为边长为2的正方形，高为4，因不慎在顶点和棱的中点，处各破损了一个小孔（小孔大小和容器厚度忽略不计）.若该容器可以任意放置，则该容器可装水的最大体积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数在复平面上对应点在第四象限，且，的虚部为. （1）求复数； （2）设复数、、在复平面上对应点分别为，，，求的值. 16. 从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在千瓦时之间，进行适当分组后（每组为左闭右开区间），画出频率分布直方图如图所示. （1）求直方图中的值，并求被调查用户月用电量的中位数； （2）从月用电量在150千瓦时以上的用户中抽取1户作为调查对象，求其月用电量在150~200千瓦时之间的概率. 17. 已知，，，，. （1）求，的值； （2）求的值. 18. 在中，角，，对应的边分别为，，，. （1）求； （2）若的平分线交于. ①若与的面积之比为，求的值； ②若中点为，且，，求的面积. 19. 如图，三棱锥中，平面平面，，，. （1）已知为线段上一点，，求证：； （2）求三棱锥外接球体积； （3）若为线段的中点，与平面所成角为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $