精品解析：河南省平顶山市等3地2024-2025学年高一下学期6月期末数学试题

高一下学期数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题:本题共8道小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的. 1. 已知集合,集合,则=( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合,利用交集的定义求解即可. 【详解】因为或,, 所以或. 故选:C. 2. 现有一组数据1，4，5，6，4，5，4，若删除一个数后，所得数据的中位数不变，则被删除的数为（ ） A. 1 B. 6 C. 5或6 D. 1或6 【答案】C 【解析】 【分析】将数据从小到大排列，由中位数的定义即可求解. 【详解】将数据1，4，5，6，4，5，4按照从小到大的顺序排列为1，4，4，4，5，5，6， 则原数据的中位数为4，若删除一个数后，所得数据的中位数不变，则被删除的数为5或6. 故选：C. 3. 已知向量，，且，则实数（ ） A. -10 B. -6 C. 5 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】写出的坐标，利用两垂直向量的坐标关系列方程求解. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故选：D 4. 已知a，b是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若a∥b，b⊂α，则a∥α B. 若a⊥α，b⊂β，α∥β，则a⊥b C. 若a∥α，a∥β，则α∥β D. 若α∩β=b，a⊂α，a⊥b，则α⊥β 【答案】B 【解析】 【分析】由线面的位置关系可判断A，线面垂直的性质可判断B，两平面的位置关系可判断C，面面垂直的判断可判断D. 【详解】对A，，则或，故A错误； 对B，由，所以，，所以，故B正确； 对C，，则或相交，故C错误； 对D，，垂直交线不能判断两平面互相垂直，故D错误； 故选：B 5. 已知向量和满足，，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】先由向量在向量上的投影向量求出，然后求解即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为， 所以， 所以，所以， 所以，得， 所以， 故选：B 6. 一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签并求标签上的数字之和．记不放回地选取且和为6的概率为，有放回地选取且和为6的概率为，则的值为（ ） A 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式，求出事件概率，计算结果. 【详解】由题意知， 不放回地选取共有20个样本点，标签上的数字之和为6有4个样本点，分别为，所以， 有放回地选取共有25个样本点，标签上的数字之和为6有5个样本点，分别为，所以， 则． 故选：B. 7. 如图，为测量山高MN，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测．已知山高，两座山都垂直地面，则山高MN长度为（ ）. A. 150 B. C. 300 D. 【答案】A 【解析】 【分析】在直角中，，BC＝100，可求出AC，在中由正弦定理求出AM，在直角△MAN中即可求出山高MN. 【详解】在直角中，，BC＝100，可得， 在中，，，则， 由正弦定理有：，即，故， 在直角△中，，可得(). 故选：A. 8. 在正三棱锥中，，如图，首先将一半球水平放置于三棱锥内部，其球心与的中心重合，随后将另一小球放置于该半球正上方，使得该小球与正三棱锥的三个侧面均相切，则半球球面面积（不包括底面积）和小球表面积之和最小时，小球的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设半球的球心为点，连接，连接并延长交于点，判断小球球心在线段上， 设球的半径为，半球的半径为，利用三角形相似求得，依题得，列出题中的面积之和表示式，消元后得到关于的一元二次函数，利用其图象性质即可求得时，所求面积之和最小. 详解】 如图，设半球的球心为点，连接，连接并延长交于点， 因另一小球在该半球正上方，且与正三棱锥的三个侧面均相切，故其球心在线段上， 连接，则球必与相切，设切点为，连接. 设球的半径为，半球的半径为. 因，， ，， 易得与相似，故有，即得， 因，即， 由题意，半球球面面积（不包括底面积）和小球表面积之和为： ， 该二次函数的开口向上，对称轴为直线， 故当时，取得最小值. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（    ） A. 函数的图象关于点对称 B. 最小值为-2 C. 直线是函数的一条对称轴 D. 函数步骤正确 【答案】BCD 【解析】 【分析】将函数化简，再根据三角函数的性质逐一分析选项. 【详解】对于选项D，正确 对于选项B，，B正确； 对于选项A，将代入函数的解析式，得，函数的图象不关于点对称，A错误， 对于选项C，因为，C正确； 故选：BCD. 10. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为（，，）．则以下说法正确的有（ ） A. B. C. D. 盛水筒出水后到达最高点的最小时间为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知可得的值，得到函数解析式，取求得t的值，从而得解． 【详解】解：∵筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，， 则，故B正确； 振幅A为筒车的半径，即，故A正确； 由题意，t=0时，d=0，，即 ， ，∴，故C错误； ， 由d=6，得， 得 ∴当k=0时，t取最小值为，故D正确． 故选：ABD． 11. 下列命题中正确的是（ ） A. 设， B. 已知，则 C. D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据指数和对数的运算性质依次判断选项即可得到答案. 【详解】对选项A，，，故A错误. 对选项B，因为，所以，故B正确. 对选项C， ，故C正确. 对选项D，因为，， 所以，故D错误. 故选：BC. 第II卷（选择题92分） 三. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某圆锥的侧面积为，母线长为4，则该圆锥的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥侧面积公式求出底面半径，再结合母线长，利用勾股定理求出圆锥的高. 【详解】设底面半径为，母线长为， 因为侧面积，母线长， 所以 ，解得 圆锥的高. 故答案为：. 13. 甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局结束比赛的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】分两种情况讨论，（1）甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢；（2）乙第一局赢，第二局输，第三、四局赢，即得解. 【详解】由题得恰好进行了4局结束比赛，有两种情况： （1）甲第一局赢，第二局输，第三、四局赢，此时； （2）乙第一局赢，第二局输，第三、四局赢，此时； 所以恰好进行了4局结束比赛的概率为. 故答案为： 【点睛】本题主要考查独立事件的概率和互斥事件的概率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 14. 已知三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】设的中点为，得，，将化为，根据可得结果. 【详解】设的中点为，因为，，所以，， ， 因为，所以. 故答案为： 四. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，且与的夹角为 （1）求； （2）若与的夹角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由和的夹角为，得到，进而求出； (2) 求，求出夹角. 【小问1详解】 由和的夹角为， 则，； ； 【小问2详解】 ， 故， 所以与的夹角为. 16. 已知为单位向量，且与的夹角为60°. （1）求值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对于求向量的模长，可先对其平方，再利用向量数量积运算求解； （2）对于两向量夹角为锐角的问题，可根据向量数量积大于且两向量不同向共线来确定参数的取值范围. 【小问1详解】 对先平方可得： 展开得： 因为，为单位向量，所以，则，. 又因为与的夹角为，可得： 将，，代入可得： 所以. 【小问2详解】 因为向量与的夹角为锐角，所以且与不同向共线. 可得： 将，，代入上式可得： 整理得：，即，得：，解得. 若两向量同向共线，则存在实数，使得，即. 所以可得，将代入得，解得. 所以当两向量不同向共线时，. 综合以上两个条件，实数的取值范围是. 17. 为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰． （1）求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率； （2）求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对总次数分情况讨论，结合相互独立事件的概率公式及条件概率公式计算可得； （2）分甲赢得比赛与乙赢得比赛两类讨论，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得. 【小问1详解】 若甲、乙投篮总次数为次，则乙不可能获胜； 若甲、乙投篮总次数为次且乙获胜，则第一次甲未投中，乙投中第2、3次， 所以； 若甲、乙投篮总次数为次乙获胜，则第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投中第3、4次， 所以； 若甲、乙投篮总次数为次且甲获胜，则第一次、第二次甲均投中， 所以； 若甲、乙投篮总次数为次，则甲不能获胜， 若甲、乙投篮总次数为次且甲获胜，则第一次甲未投中，第二次乙未投中，第三次、第四次甲均投中， 所以； 记甲、乙投篮总次数不超过4次为事件A，乙获胜为事件， 则，， 所以甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率为； 【小问2详解】 若比赛结束时甲赢得比赛且甲恰好投了2次篮，则甲连续投中次，则概率； 若比赛结束时乙赢得比赛，又甲恰好投了2次篮， ①甲投中第一次，第二次甲未投中，乙投中第3、4次，则； ②甲第一次未投中，第二次乙未投中，第3次甲未投中，第4、5次乙投中， 则； ④甲第一次未投中，第二次乙投中，第3次乙未投中，第4甲未投中，第5、6次乙投中， 则； 综上可得比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率. 【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是分析得甲恰好投了2次篮的所有情况，从而结合独立事件的概率公式即可得解. 18. 在平面直角坐标系中，已知角的终边与单位圆交于点，将角的终边按顺时针方向旋转后得到角的终边，记角的终边与单位圆的交点为． （1）若，求点的坐标； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由三角函数定义，根据题中条件，用表示出，，，，由同角三角函数基本关系，即可求出点的坐标； （2）根据同角三角函数基本关系，求出，，得到，，即可求出正切. 【小问1详解】 因为角的终边与单位圆交于点， 所以，． 因为角的终边按顺时针方向旋转后得到角的终边， 所以， 因为角的终边与单位圆的交点为O，，，且，所以， 所以点的坐标为 【小问2详解】 因为，，， 所以，，即， 所以． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是平行四边形，，，，点满足，点是线段的中点． （1）证明：平面； （2）若二面角的大小为时，求四棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求得，根据勾股定理证得，再根据面面垂直的性质即可证明平面 （2）方法：建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法结合已知条件求得二面角平面角的表达式，得到关于的方程，解出即可确定四棱锥的高进而求得四棱锥体积；方法：建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法结合已知条件求得二面角平面角的表达式，得到关于的方程，解出即可确定四棱锥的高进而求得四棱锥体积；方法：根据已知条件，利用空间中线线、线面的平行垂直关系，求得四棱锥的高，从而求得四棱锥体积. 【小问1详解】 连结，在中，，，， 由余弦定理，即， 此时，， 又平面平面，平面平面， 平面，平面． 【小问2详解】 解法1：如图建系， 以为原点，，方向为轴，垂直于平面向上方向为轴， 设，则， ，由得，即， 由，得，， 设是平面的法向量， ， 取，得， 平面的法向量为，二面角的大小为， 则，解得， ， ． 解法2：过点作，交的延长线于，连接， 平面平面，平面平面， 平面，平面， ，，， 平面，平面，又， 平面，平面，， 如图所示，以方向为轴，垂直于平面方向为轴建系， 设， 则，， ，，得，， 由，得， 设是平面的法向量， ， 取，得， 平面的法向量为，二面角的大小为， 则，解得， ， ． 解法3：过点作，交的延长线于，连接， ，，， 平面，平面，又， 平面，平面，， 由平面平面，平面平面，平面， 平面， 因为，所以为线段上靠近点的三等分点， 设线段上靠近点的三等分点为，连，， 则，平面，平面，所以， 在中，，，， 四边形是矩形，， 在中，，，， 因为，即， 解得：，所以，所以， 平面，平面，， 平面，平面，， 是二面角的平面角的补角，即， 为等腰直角三角形 ，，从而， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一下学期数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题:本题共8道小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的. 1. 已知集合,集合,则=( ) A. B. C. D. 2. 现有一组数据1，4，5，6，4，5，4，若删除一个数后，所得数据中位数不变，则被删除的数为（ ） A. 1 B. 6 C. 5或6 D. 1或6 3. 已知向量，，且，则实数（ ） A. -10 B. -6 C. 5 D. 11 4. 已知a，b是互不重合的直线，α，β是互不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若a∥b，b⊂α，则a∥α B. 若a⊥α，b⊂β，α∥β，则a⊥b C. 若a∥α，a∥β，则α∥β D. 若α∩β=b，a⊂α，a⊥b，则α⊥β 5. 已知向量和满足，，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 12 6. 一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签并求标签上的数字之和．记不放回地选取且和为6的概率为，有放回地选取且和为6的概率为，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 如图，为测量山高MN，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测．已知山高，两座山都垂直地面，则山高MN长度为（ ）. A. 150 B. C. 300 D. 8. 在正三棱锥中，，如图，首先将一半球水平放置于三棱锥内部，其球心与的中心重合，随后将另一小球放置于该半球正上方，使得该小球与正三棱锥的三个侧面均相切，则半球球面面积（不包括底面积）和小球表面积之和最小时，小球的半径为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（    ） A. 函数的图象关于点对称 B. 的最小值为-2 C. 直线是函数的一条对称轴 D. 函数步骤正确 10. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用．如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转1.5圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为（，，）．则以下说法正确的有（ ） A. B. C. D. 盛水筒出水后到达最高点的最小时间为 11. 下列命题中正确的是（ ） A. 设， B. 已知，则 C. D. 若，则 第II卷（选择题92分） 三. 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某圆锥的侧面积为，母线长为4，则该圆锥的高为______． 13. 甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局结束比赛的概率为______． 14. 已知三点在单位圆上运动，且，则的取值范围为_________. 四. 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量，且与的夹角为 （1）求； （2）若与夹角． 16. 已知为单位向量，且与夹角为60°. （1）求的值； （2）若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 17. 为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰． （1）求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜概率； （2）求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率． 18. 在平面直角坐标系中，已知角的终边与单位圆交于点，将角的终边按顺时针方向旋转后得到角的终边，记角的终边与单位圆的交点为． （1）若，求点的坐标； （2）若，求值． 19. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面是平行四边形，，，，点满足，点是线段的中点． （1）证明：平面； （2）若二面角的大小为时，求四棱锥的体积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $