精品解析：广西北海市2024-2025学年高二下学期期末教学质量检测数学试题

北海市2025年春季学期期末教学质量检测 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：北师大版必修第一册第1章~第5章，选择性必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，使得”的否定形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题的否定规则来求解. 【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以“，使得”的否定是：． 故选:C． 2. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解对数不等式可得集合，再利用集合的交补运算即可. 【详解】由，解得，即，， 所以. 故选：A． 3. 已知等比数列的公比为2，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式将用和公比表示出来，然后进行化简求值. 【详解】因为等比数列的公比为2，所以． 故选B． 4. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出，代值计算可得的值. 【详解】由题意知，，所以， 故选：D． 5. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列前项和的性质，得到等差数列，求出结果即可. 【详解】因为是等差数列，所以也是等差数列， 所以，即，解得． 故选：C． 6. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由，再利用基本不等求最小值即可. 【详解】由（当且仅当时取等号）， 所以的最小值为4. 故选：C． 7. 已知函数．若的最小值为，则的最大值为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】构造一个函数，通过证明函数为奇函数，说明函数的最大值，进而求出原函数的最大值. 【详解】令函数，所以最小值为， 已知，所以在上为奇函数， 则在上的最大值为，所以的最大值为； 故选：B. 8. 已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，利用导数求出函数在上的最大值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为，则，其中， 令，解得，令，解得. 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，，所以，， 因为在上恒成立，所以，，解得. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列是等差数列，则下列一定是等差数列的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用等差数列的定义可判断AC选项，取，可判断BD选项. 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以是等差数列，故A正确； ， 所以是等差数列，故C正确； 若，则，，，， 所以，，，所以，故不是等差数列，故B错误； 若，，，，所以，故不是等差数列，故D错误. 故选：AC. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的图象恒过定点 B. 当时，函数的图象关于直线对称 C. 当时，函数的减区间为 D. 若函数的值域为，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，代入验证可判断；对B，利用对称性定义求解验证；对C，利用复合函数的单调性判断；对D，根据题意可得的值域为，即运算得解. 【详解】对于A，由，可得函数的图象恒过定点，故A正确； 对于B，当时，， 又，可得的图象关于对称，故B正确； 对于C，当时，，令，解得或， 由是R上的增函数，在上单调递减，在上单调递增， 所以的减区间为，故C错误； 对于D，由的值域为，可得的值域为， 则，解得或，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列选项中正确的是（ ） A. 函数的极小值点为 B. C. 若函数有4个零点，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】求导，利用导数判断的单调性和最值，可得的图象，进而可以判断A；对于B：根据的单调性分析判断；对于C：根据偶函数性质分析可知：原题意等价于当时，与有2个交点，结合的图象分析求解；对于D：构建，结合导数可得，结合极值点偏移分析证明. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，且当趋近于0或时，趋近于， 可得函数的图象，如图所示： 对于选项A：可知函数的极小值点为，故A正确； 对于选项B：因为，且在内单调递增， 所以，故B错误； 对于选项C：令，可得， 可知函数有4个零点，即与有4个交点， 且的定义域为，且， 可知为偶函数，且当时， 原题意等价于当时，与有2个交点， 由题意可知：，故C正确； 对于选项D：设， 则， 可知在内单调递增，则， 即， 若，不妨设， 则， 且，且在内单调递增， 则，所以，故D错误； 故选：AC. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在等比数列中，，，则________． 【答案】16 【解析】 【分析】由，，可求，再利用代入计算即可. 【详解】因为是等比数列，所以，有，所以． 故答案为：16. 13. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据集合之间的包含关系和充分必要条件的对应关系，列出不等式组，求出参数范围. 【详解】不等式的解为； 不等式的解为； 若“”是“”的充分不必要条件，有，可得． 经验证，符合题意， 故答案为：. 14. 已知函数，若存在实数满足，则的最大值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】作出函数图象，由图象得出关系及范围，代入，利用导数求得最大值． 【详解】由函数的图象可知，有． 令，有， 令，有，可得函数的减区间为，增区间， 可得．故的最大值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的图象在处的切线方程； （2）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，在点处切线求法可求； （2）求导，利用导数分析函数单调性，根据单调性确定最值即可. 【小问1详解】 由题意知，，所以，又， 所以的图象在处的切线方程为，即； 【小问2详解】 由题意知，，令，解得或， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又由， 所以． 16. 某公司年初用98万元购进一大型运输车，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，若该车每年运输收益为50万元. （1）问该车辆有几年的盈利期? （2）若年平均获利最大时将车辆出售，问应在第几年出售? 【答案】（1）15年 （2）第7年 【解析】 【分析】（1）由题意利用等差数列的前项和公式即可求解. （2）根据分式函数模型以及基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题设知该车每年的各种费用是以12为首项，4为公差的等差数列， 设纯获利与年数的关系为， 则 （1）令得，解得， ，，4，…17， ∴该车的盈利年限是15年. 【小问2详解】 年平均获利为： . 当且仅当时等号成立. ∴应在第7年售出. 17. 已知函数（且）的图象过点． （1）求a的值； （2）若 （i）求的定义域并判断其奇偶性； （ii）求的单调递减区间． 【答案】（1）2 （2）（i）；偶函数（ii） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入函数式即可求得； （2）（i）求出的表达式，根据真数大于零可求得定义域，根据与之间的关系得到奇偶性；（ii）复合函数根据“同增异减”原则可得到单调递减区间. 【小问1详解】 因为函数（且）的图象过点， 所以，所以； 【小问2详解】 （i）根据（1）可得， 所以，， 则， ，解得， 所以的定义域为，显然定义域关于原点对称， 又， 所以为偶函数； （ii）因，的定义域为， 令，则， 函数在定义域上单调递增，而函数在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可得的单调递减区间为. 18. 已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）若，记数列的前项和为，求证：． 【答案】（1） （2）证明：由（1）知， 所以 ， 又，所以． 【解析】 【分析】（1）根据递推公式，构造等比数列，进而求出数列通项公式. （2）写出数列的通项公式，根据裂项求和法，求出数列前项和，进而得证. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以，所以是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以； 【小问2详解】 略 19. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数存在大于1的极值点，证明：函数的极小值小于. 【答案】（1）递减区间为，递增区间为； （2） 由函数存在大于1的极值点，设此极值点为，由（1）知1是的另一极值点， 由，得，令函数， 求导得，函数在上单调递增，， 则，而，于是，因此， 当时，，函数在上单调递减，， 因此函数的极小值点不是1，应为，函数的极小值为， 且， ，即， 所以函数的极小值小于. 【解析】 【分析】（1）求出的导数，在时，探讨函数的单调性，求出的单调区间. （2）设大于1的极值点，由极值点的意义可得，利用导数可得，进而确定的极小值点，求出极小值，再作差比较大小即得. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 令，求导得，当时，， 则函数在上单调递增，而， 当时，；当时，， 函数的递减区间为，递增区间为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北海市2025年春季学期期末教学质量检测 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：北师大版必修第一册第1章~第5章，选择性必修第二册． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，使得”的否定形式为（ ） A. B. C. D. 2. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列的公比为2，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 4. 已知函数，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 6. 已知正数满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 已知函数．若的最小值为，则的最大值为（ ） A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 8. 已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列是等差数列，则下列一定是等差数列的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数的图象恒过定点 B. 当时，函数的图象关于直线对称 C. 当时，函数的减区间为 D. 若函数的值域为，则实数的取值范围为 11. 已知函数，则下列选项中正确的是（ ） A. 函数的极小值点为 B. C. 若函数有4个零点，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在等比数列中，，，则________． 13. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围为________ 14. 已知函数，若存在实数满足，则的最大值为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的图象在处的切线方程； （2）求在区间上的最大值和最小值． 16. 某公司年初用98万元购进一大型运输车，第一年各种费用为12万元，以后每年都增加4万元，若该车每年运输收益为50万元. （1）问该车辆有几年的盈利期? （2）若年平均获利最大时将车辆出售，问应在第几年出售? 17. 已知函数（且）的图象过点． （1）求a的值； （2）若 （i）求的定义域并判断其奇偶性； （ii）求的单调递减区间． 18. 已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）若，记数列的前项和为，求证：． 19. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数存在大于1的极值点，证明：函数的极小值小于. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $