精品解析：广西北海市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试卷

北海市 2024 年春季学期期末教学质量检测 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：北师大版必修第一册第一章~第五章，选择性必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 又，所以 故选：D. 2. 设某质点的位移xm与时间ts的关系是 ，则质点在第2 s时的瞬时速度等于（ ） A. 2m/s B. 3m/s C. 4m/s D. 5m/s 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式及法则求出导函数，结合导函数值和瞬时速度的定义即可求解. 【详解】由，得， 当时， 所以质点在第2 s时的瞬时速度等于3 m/s. 故选：B. 3. 数列的前n项和为，且 ，则等于（ ） A. 120 B. 122 C. 124 D. 126 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比数列前n项和公式计算即得. 【详解】依题意，数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以. 故选：D 4. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用指数、对数函数的性质比较大小即得. 【详解】依题意，，，而 ， 所以. 故选 ：A 5. 若函数是定义在上的奇函数，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇函数的性质即可求解. 【详解】设，则，即，即 所以， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，解得， 所以， 故选： A. 6. 若正数x，y满足 则的最小值是（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件及基本不等式即可求解. 【详解】由题设及，可得 . 所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时符合题意. 所以的最小值为4. 故选：C. 7. 在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列下标和性质及求出，再根据函数存在极值点条件求解即可． 【详解】因为为等比数列，， 所以，解得或（不合题意，舍去）， 所以， ，令，即， 由题意得，是方程的两个相异正根， 则，，符合题意， 故选：D． 8. 若一段河流的蓄水量为立方米，每天水流量为立方米，每天往这段河流排水立方米的污水，则天后河水的污染指数为初始值，．现有一条被污染的河流，其蓄水量是每天水流量的60倍，以当前的污染指数为初始值，若从现在开始停止排污水，要使河水的污染指数下降到初始值的，需要的天数大约是（参考数据：）（ ） A. 98 B. 105 C. 117 D. 130 【答案】C 【解析】 【分析】由已知化简函数式得，再利用约天后，河水的污染指数下降到初始值的，可得方程，然后两边取对数得，最后利用已知的对数值可计算得到结果. 【详解】由题意可知：，，所以 设约天后，河水的污染指数下降到初始值的，即， 所以， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若，则“”的充要条件是“” D. 若，则“”是“”的充要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】根据已知条件及特殊值法，结合充分条件必要条件的定义即可求解. 【详解】对于A选项，当时， 当时， 所以两者既不充分也不必要，故A 错误; 对于B选项，当时，可取，但，当时，，故 B 正确; 对于C选项，当 时， ，从而，反之，时，若，则 ，所以两者不是充要条件，故 C错误； 对于D 选项，或，故D正确， 故选：BD . 10. 已知等差数列{aₙ}的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有（ ） A. B. 当时， C. 当时，不是数列中的项 D. 若是数列中的项，则k 的值可能为6 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A：根据等差数列通项公式运算即可；对于BC：分析可知公差，结合等差数列通项公式运算求解；对于D：可知公差，结合等差数列通项公式运算求解. 【详解】对于选项A：因为，故A 正确； 对于选项BC：当时，可知公差， 所以，故B正确； 则，令，解得， 所以是数列中的项，故 C错误； 对于选项D，当时，可知公差， 则，即， 所以若是数列中的项，则k 的值可能为6，故D正确. 故选 ：ABD. 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的图像在处的切线斜率为 C. D. 有两个零点，且 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意直接求出的范围即可判断；求出导函数，进而求得即可判断B；求得即可判断C；易知的单调性，结合零点存在定理及C即可判断D． 【详解】由题意，， 对于选项A，易知且，故选项A错误， 对于选项B，因为，则，故选项B正确， 对于选项C，因为，所以，故选项C正确， 对于选项D，由选项可知，易知在和上单调递增， 因为， ， 所以，使得， 又因为，则，结合选项C，得， 即也是的零点，则，，故，故选项D正确， 故选：BCD. 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12. 命题的否定是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据全称命题的否定直接求解即可. 【详解】由题意可知，命题 p的否定是: . 故答案为：. 13. 若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为_________ 【答案】 【解析】 【分析】求导，分析可知，参变分离结合指数函数性质即可解决问题. 【详解】由得：， 因为在区间上单调递增，所以，即， 又因为，则，可得，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知正项等比数列的前项和为，若 ，则 的最小值为_________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件，得到，，从而得到，可知当时，，当时，，即可求出结果. 【详解】设等比数列的公比为，由题意知且， 由，得到，得到，解得， 所以，得到，所以 故， 易知当时，，当时，， 故的最小值为， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数的图象是曲线C，直线与曲线C相切于点. （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）利用切点在直线和曲线上，结合导数的几何意义即可求解； （2）根据（1）的结论，求出，再利用导数法求函数的最值的步骤即可求解. 【小问1详解】 因为切点为， 所以，解得. 由，得， 因为直线与曲线C相切于点， 所以，解得， 所以， 由，得. 所以函数的解析式为：. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以，. 可得， 令，则，解得（舍），. 当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，取的极小值，极小值为， 又因为， 所以当时，的最大值为，最小值为. 16. 在等比数列中，已知，. （1）求公比及数列的通项公式； （2）求的值. 【答案】（1）或，或 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据条件得到方程，解得或，再利用等比数列的通项公式，即可求解； （2）利用（1）中结果及等比数列前项和公式，即可求解. 【小问1详解】 因为，，所以，即，解得或， 当时，， 当时，. 【小问2详解】 由（1）知当时，， 当时，. 17. 已知函数 （1）证明：的定义域与值域相同； （2）若 恒成立，求m的取值范围. 【答案】（1）证明：由 ，得， 所以的定义域为， ， 因为在上单调递增， 所以，所以的值域为， 所以的定义域与值域相同. （2） 【解析】 【分析】（1）由 ，求得的定义域，由在上单调递增，求得的值域，即可证得； （2）先求得当时，再利用二次函数求得的最小值，则由可得m的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 在上单调递增， 所以当时，， 设， 当 ，即时，取得最小值，且最小值为， 因为， 所以，即m的取值范围为. 18. 设数列为等差数列，前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）设的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2）证明： 所以 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质和前n项求和公式求出公差和首项，结合等差数列的通项公式即可求解； （2）由（1）可得，根据裂项相消法计算可得，即可证明. 【小问1详解】 ， 由， 所以， 所以． 【小问2详解】 略 19. 已知，函数. （1）当时，求的最小值； （2）若时，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）0； （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知可得，进而可求的单调区间； （2）求导得，令进而求导，分类讨论可求的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 单调递减；单调递增； 【小问2详解】 ， 设， ①若，由（1）知，不合题意； ②若， 设单调递减， ，令， 单调递增，， 单调递增，，不合题意； ③， 单调递减，单调递减，； 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北海市 2024 年春季学期期末教学质量检测 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 5.本卷主要考查内容：北师大版必修第一册第一章~第五章，选择性必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设某质点的位移xm与时间ts的关系是 ，则质点在第2 s时的瞬时速度等于（ ） A. 2m/s B. 3m/s C. 4m/s D. 5m/s 3. 数列的前n项和为，且 ，则等于（ ） A. 120 B. 122 C. 124 D. 126 4. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 5. 若函数是定义在上的奇函数，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 6. 若正数x，y满足 则的最小值是（ ） A. B. C. 4 D. 6 7. 在等比数列中，是函数的两个极值点，若，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 9 8. 若一段河流的蓄水量为立方米，每天水流量为立方米，每天往这段河流排水立方米的污水，则天后河水的污染指数为初始值，．现有一条被污染的河流，其蓄水量是每天水流量的60倍，以当前的污染指数为初始值，若从现在开始停止排污水，要使河水的污染指数下降到初始值的，需要的天数大约是（参考数据：）（ ） A. 98 B. 105 C. 117 D. 130 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若，则“”的充要条件是“” D. 若，则“”是“”的充要条件 10. 已知等差数列{aₙ}的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有（ ） A. B. 当时， C. 当时，不是数列中的项 D. 若是数列中的项，则k 的值可能为6 11. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的图像在处的切线斜率为 C. D. 有两个零点，且 三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共15分. 12. 命题的否定是________. 13. 若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围为_________ 14. 已知正项等比数列的前项和为，若 ，则 的最小值为_________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知函数的图象是曲线C，直线与曲线C相切于点. （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的最大值和最小值. 16. 在等比数列中，已知，. （1）求公比及数列的通项公式； （2）求的值. 17. 已知函数 （1）证明：的定义域与值域相同； （2）若 恒成立，求m的取值范围. 18. 设数列为等差数列，前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）设的前项和为，证明：． 19. 已知，函数. （1）当时，求的最小值； （2）若时，恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $