专题2.4（2） 有理数的混合运算（知识梳理与题型分类讲解）-2025-2026学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题2.15 有理数的混合运算（知识梳理与题型分类讲解） 一、【要点提示】 小学阶段已学习整数、分数的四则运算，有理数混合运算在此基础上引入负数、乘方运算，是算术到代数的第一次系统性扩展。 有理数混合运算不仅是人教版七年级上册的核心知识点，更是整个中学数学运算体系的 “地基”。它通过整合基础运算、渗透数学思想、连接现实应用，实现从“算术思维”到“代数思维”的跨越，为学生构建严谨的数学认知结构奠定不可或缺的基础。 二、【目录导航】 【题型一】基本混合运算（不含括号）.........................................................................................................1 【题型二】 运用运算律简化计算....................................................................................................................3 【题型三】 含多层括号的运算........................................................................................................................5 【题型四】 含绝对值的混合运算....................................................................................................................7 【题型五】 有理数混合运算的应用——算“24”点....................................................................................9 【题型六】 有理数混合运算的应用——程序流程图与有理数的运算......................................................10 三、【题型展示与方法点拨】 【题型一】基本混合运算（不含括号） 【解题步骤】（1）有乘方算乘方；（2）乘除运算（从左到右）；（3）算加减. 【易错点】（1）乘方符号问题：比如误将：，（2）运算顺序出错，比如：规避办法：明确乘方优先级，先算数值平方，再添符号. 【题型1】（24-25七年级上·河北石家庄·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （2）先计算乘方，然后计算乘除，最后计算加减． 解：（1）解：原式 ． （2）原式 ． 【变式1】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题主要考查含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算乘方运算与括号内的运算，再计算乘除运算，最后计算加减运算即可； （2）先计算乘方，再计算乘除运算，最后计算加减运算即可． 解：（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 【变式2】（24-25七年级上·山东临沂·期末）计算 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是遵循先乘方，再乘除，最后加减的运算顺序，正确处理符号． （1）按从左到右顺序计算乘除，再算减法； （2）先算乘方，再算乘除，最后算减法． 解：（1）解： ； （2）解：原式 ． 【题型二】 运用运算律简化计算 【解题策略】用乘法分配律展开 【易错点】错误使用乘法分配律：比如误将：. 【题型3】（2024七年级上·全国·专题练习）简便计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】该题主要考查了有理数的乘法运算，有理数四则混合运算，解题的关键是掌握有理数的乘法运算法则． （1）利用乘法运算法则计算即可； （2）利用乘法分配律简算； 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式1】（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）简便计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先去括号，然后计算减法即可； （2）先变形，然后根据乘法分配律计算即可； （3）根据乘法分配律计算即可； （4）先算乘方，再算乘除法，然后算减法即可； （5）先算乘方，再算乘除法，然后计算加减法即可． 解：（1）解： ； （2） （3） ； （4） ； （5） ． 【变式2】（22-23七年级上·北京朝阳·阶段练习）计算（能用简便方法的用简便方法） （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 解：（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点拨】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化． 【题型三】 含多层括号的运算 【解题步骤】（1）去小括号；（2）再进中括号内的运算的去括号；（3）最后算乘除和加减. 【题型2】（23-24七年级上·河南南阳·期末） 【答案】8 【分析】本题考查有理数的混合运算，涉及乘方运算、、有理数加减乘除等运算，根据有理数混合运算的运算顺序及运算法则，先算括号内运算，再计算乘方，后计算乘除，最后利用有理数加减运算法则计算即可得到答案，熟练掌握有理数混合运算法则及运算顺序是解决问题的关键． 解： ． 【变式1】（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合计算，按照先计算乘方，再计算乘除法，最后计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 解： ． 【变式2】（21-22七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）计算题 （1） （2） （3） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）按照有理数混合运算的顺序，先乘除，后算加减，有括号的先算括号里面的； （2）按照有理数混合运算的顺序，先乘方，后乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的； （3）按照有理数混合运算的顺序，先乘方，后乘除，再算加减，有括号的先算括号里面的； 解： （1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； 【题型四】 含绝对值的混合运算 【解题策略】先算绝对值，有括号去括号，再算乘除，最后算加减；. 【易错点】绝对值符号化简粗心，误将绝对值符号当成了括号，比如. 【题型4】（24-25七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，乘法运算律，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算乘方以及化简绝对值，再运算乘除，最后运算减法，即可作答． （2）先运算乘方以及化简绝对值，再运算乘法，最后运算加减，即可作答． （1）解：． ． （2）解： ． 【变式1】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则乘法运算律，先计算乘方、小括号内和化简绝对值，然后在计算乘法，最后计算减法即可． 解：原式 ． 【变式2】（24-25七年级上·山西运城·期末）计算： （1） （2） 【答案】（1）27；（2） 【分析】本题主要考查了含乘方的有理数混合运算、绝对值等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键． （1）先算乘方和绝对值，然后运用有理混合运算法则计算即可； （2）先算乘方和绝对值，然后运用有理混合运算法则计算即可． 解：（1）解： ． （2）解： ． 【题型五】 有理数混合运算的应用——算“24”点 【题型5】（24-25六年级上·山东烟台·期中）24点是棋牌类益智游戏，要求四个数字运算结果等于二十四，它以自己独具的数学魅力和丰富的内涵正逐渐被越来越多的人们所接受．小凡抽到如下四张扑克牌：凑成24的算式是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了“24点”运算．根据图片列出算式即可． 解：由图可知小凡抽到：2，3，4，5， 则凑成24的算式是，或，或， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式1】（24-25七年级上·四川成都·期中）“24点”游戏规则：从一副扑克牌抽去大小王剩下1~13这52张牌（A代表1），J、Q、K分别代表11、12、13，任意抽取4张牌称为牌组，黑色代表正数，红色代表负数，用加、减、乘、除、乘方把牌面上的数算成24，每张牌必须且只能用一次．如果抽到黑桃Q、红桃Q、梅花3、方块A，请列出一个含有乘方运算的算式，将该牌面上的数字凑成24： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，先根据题干描述写出抽到的四张牌所代表的数分别为：12，，3，，由可以想到通过计算变成12，再根据即可列式． 解：由题意知，抽到的四张牌所代表的数分别为：12，，3，， 可得， 故答案为：． 【变式2】（2024七年级上·江苏·专题练习）你会玩“二十四点”游戏吗？请你在“，，，”这四个数中利用有理数的混合运算，使四个数的运算结果为（每个数只能用一次），写出你的算式 ． 【答案】 【分析】认真读题，完全掌握，，，各数之间的相互计算的结果，培养学生的计算能力． 首先将12与相加得8，然后和2与1的和相乘，结果得24． 解：，， ． 故答案为： 【题型六】 有理数混合运算的应用——程序流程图与有理数的运算 【题型6】（24-25七年级上·四川成都·期末）小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后的数据是253；当原始数据时，加密后的数据是235．如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，那么原始数据的值可以是 ． 【答案】2或7或37 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据题意列式计算求出符合题意的答案即可． 解：如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217， 则； ； ； 故答案为：2或7或37． 【变式1】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）按如图所示的程序计算，当输入有理数m，n，满足时，y的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，绝对值的非负性，根据绝对值的非负性求得，的值，然后列得算式并计算即可．理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 解：， ，， 解得：，， ， ， 故答案为：． 【变式2】（20-21七年级上·浙江金华·期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则： 若n＝449，则第2020次“F运算”的结果是 ． 【答案】1 【分析】根据题意计算前几次结果，找到规律即可求解． 解：第一次：， 第二次： ∵其中k是使为奇数的正整数， ∴ ∴第二次运算：， 第三次： ∵ ∴ 计算结果为 第五次：， 第六次：， ∵ ∴， 计算结果为， …… 依次为与的循环，当计算次数为奇数时，结果为8；当计算次数为偶数时，结果为1， ∴第2020次“F运算”的结果是1． 故答案为：1． 【点拨】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，找到规律是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.15 有理数的混合运算（知识梳理与题型分类讲解） 一、【要点提示】 小学阶段已学习整数、分数的四则运算，有理数混合运算在此基础上引入负数、乘方运算，是算术到代数的第一次系统性扩展。 有理数混合运算不仅是人教版七年级上册的核心知识点，更是整个中学数学运算体系的 “地基”。它通过整合基础运算、渗透数学思想、连接现实应用，实现从“算术思维”到“代数思维”的跨越，为学生构建严谨的数学认知结构奠定不可或缺的基础。 二、【目录导航】 【题型一】基本混合运算（不含括号）.........................................................................................................1 【题型二】 运用运算律简化计算....................................................................................................................1 【题型三】 含多层括号的运算........................................................................................................................2 【题型四】 含绝对值的混合运算....................................................................................................................2 【题型五】 有理数混合运算的应用——算“24”点....................................................................................3 【题型六】 有理数混合运算的应用——程序流程图与有理数的运算........................................................3 三、【题型展示与方法点拨】 【题型一】基本混合运算（不含括号） 【解题步骤】（1）有乘方算乘方；（2）乘除运算（从左到右）；（3）算加减. 【易错点】（1）乘方符号问题：比如误将：，（2）运算顺序出错，比如：规避办法：明确乘方优先级，先算数值平方，再添符号. 【题型1】（24-25七年级上·河北石家庄·期末）计算： （1） （2） 【变式1】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）计算： （1） （2） 【变式2】（24-25七年级上·山东临沂·期末）计算 （1） （2） 【题型二】 运用运算律简化计算 【解题策略】用乘法分配律展开 【易错点】错误使用乘法分配律：比如误将：. 【题型3】（2024七年级上·全国·专题练习）简便计算： （1）； （2）． 【变式1】（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）简便计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）． 【变式2】（22-23七年级上·北京朝阳·阶段练习）计算（能用简便方法的用简便方法） （1） （2） （3） （4） 【题型三】 含多层括号的运算 【解题步骤】（1）去小括号；（2）再进中括号内的运算的去括号；（3）最后算乘除和加减. 【题型2】（23-24七年级上·河南南阳·期末） 【变式1】（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【变式2】（21-22七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）计算题 （1） （2） （3） 【题型四】 含绝对值的混合运算 【解题策略】先算绝对值，再按顺序运算. 【易错点】绝对值符号化简粗心，误将绝对值符号当成了括号，比如. 【题型4】（24-25七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）计算： （1）； （2）． 【变式1】（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）计算：． 【变式2】（24-25七年级上·山西运城·期末）计算： （1） （2） 【题型五】 有理数混合运算的应用——算“24”点 【题型5】（24-25六年级上·山东烟台·期中）24点是棋牌类益智游戏，要求四个数字运算结果等于二十四，它以自己独具的数学魅力和丰富的内涵正逐渐被越来越多的人们所接受．小凡抽到如下四张扑克牌：凑成24的算式是 ． 【变式1】（24-25七年级上·四川成都·期中）“24点”游戏规则：从一副扑克牌抽去大小王剩下1~13这52张牌（A代表1），J、Q、K分别代表11、12、13，任意抽取4张牌称为牌组，黑色代表正数，红色代表负数，用加、减、乘、除、乘方把牌面上的数算成24，每张牌必须且只能用一次．如果抽到黑桃Q、红桃Q、梅花3、方块A，请列出一个含有乘方运算的算式，将该牌面上的数字凑成24： ． 【变式2】（2024七年级上·江苏·专题练习）你会玩“二十四点”游戏吗？请你在“，，，”这四个数中利用有理数的混合运算，使四个数的运算结果为（每个数只能用一次），写出你的算式 ． 【题型六】 有理数混合运算的应用——程序流程图与有理数的运算 【题型6】（24-25七年级上·四川成都·期末）小明同学编写了一个加密数据的代码，如图是这个加密代码的运算程序，按照这个运算程序，当原始数据时，加密后的数据是253；当原始数据时，加密后的数据是235．如果输入的原始数据是正整数，加密后的数据是217，那么原始数据的值可以是 ． 【变式1】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）按如图所示的程序计算，当输入有理数m，n，满足时，y的值为 ． 【变式2】（20-21七年级上·浙江金华·期中）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则： 若n＝449，则第2020次“F运算”的结果是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$