专题1.10 绝对值（3大知识点5类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2025-2026学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题1.10 绝对值（3大知识点6类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 一、【学习目标】 1.理解概念：理解绝对值的代数定义与几何定义，能求有理数的绝对值； 2.基本技能培养：掌握绝对值性质：非负性、互为相反数的两数绝对值相等； 3.拓展延伸：（1）借助数轴直观认识绝对值的几何意义（点到原点的距离），建立数形结合思维；（2）通过分类讨论归纳绝对值性质，培养抽象概括能力；（3）在解决绝对值相关问题中，提升符号运算与逻辑推理能力。 二、【知识梳理】 【知识点1】绝对值定义： 一般地，数轴上表示数的a的点与原点距离叫做数a的绝对值，数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”； 【知识点2】绝对值几何意义和代数意义 （1） 几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点越远，绝对值越大，反之越小； （2） 代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 即= 【知识点3】绝对值性质 （1） 互为相反数的两个数绝对值相等，反之，绝对值相等的两个数相等或互为相反数； （2） 当绝对值符号里的数正负不能确定时，要分类讨论，即将分成大于0，小于0，等于0三种情况讨论； （3） 任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意有理数，都有; （4） 两个负数相比较，绝对值大的反而小. 三、【题型目录】 【夯实基础】 【题型一】绝对值概念辨析............................................................2 【题型二】求一个数的绝对值..........................................................2 【题型三】利用绝对值的非负性求值....................................................2 【题型四】用绝对值表示距离+动点.....................................................3 【题型五】绝对值在实际生活中的应用..................................................3 四、【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前带“★”难度系数0.85，“★★”难度系数0.65，“★★★”难度系数0.4. 【夯实基础】 【题型一】绝对值概念辨析 ★★【例题1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法①一定是负数；②只有两个数相等时，它们的绝对值才相等；③若，则a与b互为相反数；④若，则a是非正数．正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 ★【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法中，正确的是（    ） A．绝对值较大的数较大 B．绝对值较大的数较小 C．互为相反数的两个数绝对值相等 D．绝对值相等的两个数一定相等 ★【变式2】（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列说法： ①一个数的绝对值越大，表示它在数轴上的点离原点越远；②若 ，则 ； ③互为相反数的两个数的绝对值相等；④当时， 总是大于0． 其中正确的是 （填序号）． 【题型二】求一个数的绝对值 ★【例题2】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）写出1，的绝对值； （2）如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示有理数a，b，c，d，这四个数中，绝对值最小的是哪个数？ ★【变式1】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）已知，，则的值为 ． ★【变式2】（24-25七年级上·河南周口·期中改编）若a与-4互为相反数，则 ． 【题型三】利用绝对值的非负性求值 ★【例题3】（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习改编）已知． （1）求x，y的值； ★【变式1】（21-22七年级上·湖南长沙·阶段练习）若与互为相反数，则的值为（　　） A．3 B． C．0 D．3或 ★【变式2】（24-25七年级上·四川德阳·期末）当的值最小时， ． 【题型四】绝对值表示距离+动点综合 ★★【例题4】（22-23七年级上·河南郑州·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且．  （1）写出数轴上点B表示的数 ； （2）表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索： ①若，则 ． ②的最小值为 ； （3）动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（）秒．求当t为 时，A，P两点之间的距离为2． ★【变式1】（21-22七年级上·江苏南通·期末）数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则为 ★★【变式2】（22-23七年级上·浙江·阶段练习）式子能取得的最小值是 ，这时 ；式子能取得的最大值是 ，这时 ． 【题型五】绝对值在实际生活中的应用 ★【例题5】（23-24七年级上·广西河池·期中）某仓库原有商品件，现记录了天内该类商品进出仓库的件数如下所示（“”表示进库，“”表示出库）：，，，，，，，，，． （1）请问经过天之后，该仓库内的商品是增加了还是减少了？此时仓库还有多少商品？ （2）如果商品每次进出仓库需要人工搬运费是每件元，请问这天要付多少人工搬运费？ ★【变式1】（24-25七年级上·福建南平·期末）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从质量的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． ★【变式2】（24-25七年级上·山东潍坊·期中）水文站以警戒线为标准测量水库的水位，超过警戒线记为正，低于警戒线记为负，下表是一天五次的测量数据，其中第 次测量时水位离警戒线最近． 次序 1 2 3 4 5 水位（厘米） 16 8 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.10 绝对值（3大知识点5类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 一、【学习目标】 1.理解概念：理解绝对值的代数定义与几何定义，能求有理数的绝对值； 2.基本技能培养：掌握绝对值性质：非负性、互为相反数的两数绝对值相等； 3.拓展延伸：（1）借助数轴直观认识绝对值的几何意义（点到原点的距离），建立数形结合思维；（2）通过分类讨论归纳绝对值性质，培养抽象概括能力；（3）在解决绝对值相关问题中，提升符号运算与逻辑推理能力。 二、【知识梳理】 【知识点1】绝对值定义： 一般地，数轴上表示数的a的点与原点距离叫做数a的绝对值，数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”； 【知识点2】绝对值几何意义和代数意义 （1） 几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点越远，绝对值越大，反之越小； （2） 代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 即= 【知识点3】绝对值性质 （1） 互为相反数的两个数绝对值相等，反之，绝对值相等的两个数相等或互为相反数； （2） 当绝对值符号里的数正负不能确定时，要分类讨论，即将分成大于0，小于0，等于0三种情况讨论； （3） 任何一个有理数的绝对值都是非负数，即a取任意有理数，都有; （4） 两个负数相比较，绝对值大的反而小. 三、【题型目录】 【夯实基础】 【题型一】绝对值概念辨析............................................................2 【题型二】求一个数的绝对值..........................................................3 【题型三】利用绝对值的非负性求值....................................................4 【题型四】用绝对值表示距离+动点.....................................................5 【题型五】绝对值在实际生活中的应用..................................................7 四、【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前带“★”难度系数0.85，“★★”难度系数0.65，“★★★”难度系数0.4. 【夯实基础】 【题型一】绝对值概念辨析 ★★【例题1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法①一定是负数；②只有两个数相等时，它们的绝对值才相等；③若，则a与b互为相反数；④若，则a是非正数．正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握．根据绝对值的意义进行解答即可． 解：①当时，不是负数，故该说法错误； ②互为相反数的两个数的绝对值也相等，故该说法错误； ③a与b也可以相等，故该说法错误； ④a是0或负数，即a是非正数，故该说法正确． 综上分析可知，说法正确的个数是1． 故选：A． ★【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法中，正确的是（    ） A．绝对值较大的数较大 B．绝对值较大的数较小 C．互为相反数的两个数绝对值相等 D．绝对值相等的两个数一定相等 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的定义，根据绝对值的定义，即绝对值相等的两个数互为相反数；两个负数绝对值大的反而小，解答即可． 解：A、错误，两个负数绝对值大的反而小； B、错误，两个正数绝对值大的数较大； C、正确； D、错误，绝对值相等的两个数有可能互为相反数． 故选：C． ★【变式2】（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）下列说法： ①一个数的绝对值越大，表示它在数轴上的点离原点越远；②若 ，则 ； ③互为相反数的两个数的绝对值相等；④当时， 总是大于0． 其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查绝对值的意义和相反数的定义． 根据绝对值的意义及相反数的定义依次判断即可． 解：①一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远，正确； ②若 ，则，正确； ③互为相反数的两个数的绝对值相等，正确； ④当时， 总是大于0，正确； 故答案为：①②③④ 【题型二】求一个数的绝对值 ★【例题2】（2024七年级上·全国·专题练习）（1）写出1，的绝对值； （2）如图，数轴上的点A，B，C，D分别表示有理数a，b，c，d，这四个数中，绝对值最小的是哪个数？ 【答案】（1）1，0.5，；（2）c 【分析】本题考查了数轴，绝对值． （1）根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数求解即可； （2）根据数与原点的距离大小关系，判断绝对值的大小关系． 解：（1）； （2）因为在点A，B，C，D中，点C离原点最近，所以在有理数a，b，c，d中，c的绝对值最小． ★【变式1】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值运算及意义，先由，得到，结合绝对值意义即可得到答案，熟记绝对值运算及意义是解决问题的关键． 解：，， ， ， 故答案为：． ★【变式2】（24-25七年级上·河南周口·期中改编）若a与-4互为相反数，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了相反数、绝对值，掌握相反数、绝对值的定义是解答此题的关键．根据相反数、绝对值的定义解答即可求得答案． 解：∵a与4互为相反数， ∴a-4=0， ∴a=4， 故答案为：1． 【题型三】利用绝对值的非负性求值 ★【例题3】（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习改编）已知． （1）求x，y的值； 【答案】（1），；（2）6或 【分析】本题主要考查了非负数的性质−绝对值和解一元一次方程等知识点， （1）根据非负数的性质求出x、y的值； （2）先根据绝对值的性质得出y+z=0，再结合（1）中的结果即可求出z的值； 熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 解：（1）∵， 又∵，， ∴，， ∴，； 由（1）知， ∴-3与z互为相反数 ★【变式1】（21-22七年级上·湖南长沙·阶段练习）若与互为相反数，则的值为（　　） A．3 B． C．0 D．3或 【答案】A 【分析】本题重点考查了绝对值的非负性，属于基础题，记住“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”是解题关键．根据相反数的定义可得，再通过“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”，计算出a和b的值，即可得出结果． 解：∵与互为相反数， ∴， ∴a-1=0, b-2=0, 解得a=1，b=2 ∴， 故选：A． ★【变式2】（24-25七年级上·四川德阳·期末）当的值最小时， ． 【答案】 【分析】此题主要考查了绝对值的非负性．根据绝对值的非负性可知即可解答． 解：∵，说明等于0时2m+7的绝对值最小， 此时时，的值最小， 即2m+7=0,说明2m与7互为相反数，所以2m=-7, 说明2个m为-7，一个m就是-7的一半， 则； 故答案为：． 【题型四】绝对值表示距离+动点综合 ★★【例题4】（22-23七年级上·河南郑州·期末）如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上位于点A左侧一点，且．  （1）写出数轴上点B表示的数 ； （2）表示5与3之差的绝对值，实际上也可理解为5与3两数在数轴上所对的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离．试探索： ①若，则 ． ②的最小值为 ； （3）动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（）秒．求当t为 时，A，P两点之间的距离为2． 【答案】（1）；（2）①6或；②；（3）3或 【分析】（1）数轴上左边点表示的数比右边小，使用减法运算，用右边的点减去距离即可； （2）依据绝对值的几何意义及两条线段之和最短的情况计算即可； （3）依据距离的非负性，分两种情况计算即可． （1）解：点B表示的数为； 故答案为：； （2）解：①因为，由绝对值的几何意义可以得到表示x的点为6和10时到表示8的点距离为2 则或； ②要求距离最小值，说明表示的点在-12和8之间，所以它们距离为12+8=20 故答案为：①6或10；②20； （3）解：由A，P两点之间的距离为2，由绝对值几何意义说明表示P点表示的数为6和10， 当P点表示数为6时，（秒）； 当P点表示的数为10时，（秒）。 所以当或秒时，A，P两点之间的距离为2． 故答案为：3或． 【点拨】本题考查了绝对值的定义及几何意义的运用，关键掌握绝对值的非负性，根据实际距离分类讨论计算． ★【变式1】（21-22七年级上·江苏南通·期末）数轴上表示数和的点到原点的距离相等，则为 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值的应用、数轴上的点等知识，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．根据数轴上的点到原点的距离公式由绝对值几何意义可得，然后分类讨论，求解即可获得答案． 解：由题意得，由绝对值定义可是∴或， 当解说明a与-（a+4）互为相反数， ∴a+a+4=0， ∴两个a的和与4互为相反数， ∴a与2互为相反数， ∴， 当时，一个数不可能等于这个数再加上4，这时的a不存在， 故答案为：． ★★【变式2】（22-23七年级上·浙江·阶段练习）式子能取得的最小值是 ，这时 ；式子能取得的最大值是 ，这时 ． 【答案】 4 1 3 0.5/ 【分析】根据绝对值都是非负数，由小学加减法可得：加数最小时，和最小，减数最小时，差最大，即可得出答案． 解：， 当时，最小，最小值，此时； ， 当时，最大，最大值，此时． 故答案为：①4，②1，③3，④． 【点睛】本题考查了非负数的性质，利用了绝对值是非负数的性质，小学所学的加数最小时和最小，减数最大时差最大． 【题型五】绝对值在实际生活中的应用 ★【例题5】（23-24七年级上·广西河池·期中）某仓库原有商品件，现记录了天内该类商品进出仓库的件数如下所示（“”表示进库，“”表示出库）：，，，，，，，，，． （1）请问经过天之后，该仓库内的商品是增加了还是减少了？此时仓库还有多少商品？ （2）如果商品每次进出仓库需要人工搬运费是每件元，请问这天要付多少人工搬运费？ 【答案】（1）经过天之后，该仓库内的商品是增加了件，此时仓库还有商品；（2）这天要付元搬运费． 【分析】本题主要考查了有理数的加法、绝对值，解决本题的关键是根据有理数的加法法则进行计算． 把这天进出仓库的商品件数相加，所得结果为，所以经过天之后，该仓库内的商品增加了件，此时仓库的商品还有件； 解：（1）解：（件）， 经过天之后，该仓库内的商品件数为：（件）， 答：经过天之后，该仓库内的商品是增加了件，此时仓库还有商品； （2）解：（件）， 这天要付给工人的搬运费为：（元）， 答：这天要付元搬运费． ★【变式1】（24-25七年级上·福建南平·期末）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从质量的角度看，最接近标准的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正负数以及绝对值的综合应用．解题的关键是熟练掌握求正负数的绝对值，比较有理数的大小． 求出四个选项中足球上面的数的绝对值，比较大小，超过或不足标准质量克数的绝对值越小越接近标准质量，可得答案． 解：A、 B、 C、 D、． ∵， ∴与标准质量偏差最小的是C． 故选：C． ★【变式2】（24-25七年级上·山东潍坊·期中）水文站以警戒线为标准测量水库的水位，超过警戒线记为正，低于警戒线记为负，下表是一天五次的测量数据，其中第 次测量时水位离警戒线最近． 次序 1 2 3 4 5 水位（厘米） 16 8 【答案】3 【分析】本题考查了正数和负数，利用了绝对值的意义，绝对值越小越接近标准．根据绝对值的意义，可得答案． 解：， 绝对值越小越接近警戒水位，即其中第3次测量时水位离警戒线最近． 故答案为：3． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$