精品解析：四川省自贡市蜀光绿盛实验学校2024-2025学年九年级下学期期中考试数学试卷

2025年春季学期期中学情检测 九年级 数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1. 下列各数中，正整数是（ ） A. B. C. D. 2. 自2025年1月11日，全球上线以来，这款中国AI应用以惊人的速度改写了行业格局，1月28日单日下载峰值冲至11040000次，创下全球AI应用单日下载量新纪录．11040000用科学记数法可表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 3. 如图是由7个相同的小正方体组成的几何体，将小正方体①去掉后，关于新几何体的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图保持不变 B. 俯视图保持不变 C. 左视图保持不变 D. 三种视图都变化 4. 下列计算正确的是（ ） A. a2•a3=a6 B. a3÷a=a3 C. a﹣（b﹣a）=2a﹣b D. （﹣a）3=﹣a3 5. 老师在黑板上写出一个计算方差的算式： 根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（ ） A. B. 平均数为8 C. 添加一个数8后方差不变 D. 这组数据的众数是6 6. 如图所示的是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 9. 以二元一次方程的解为坐标的点恰好在直线上，则点P的位置在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：①；②；③对于任意实数，都有；④若点是图象上任意两点，且，则，其中正确的结论是（　　） A. ①② B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 12. 如图，在正方形中，点E、F分别在、上，连接，过点E作交于点G，连接．若，，则一定等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13. 实数8的立方根是_____． 14. 函数中自变量x的取值范围是________． 15. 一元二次方程的两个根分别为．若，则___________． 16. 图1是一个地铁站入口的双翼闸机，图2是它的简化图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为_________．（参考数据：，，） 17. 已知二次函数．若当时，的最大值为5，则的值为______． 18. 如图，点A在y轴上，点B在x轴上，，点C是线段的中点，点D坐标，连接，向外以为边作正方形，当取最大值时，点F的坐标是______． 三、解答题（本大题共8道题，共78分） 19. 计算：． 20. 如图，点在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 第12届世界运动会将于2025年8月在成都举行，为迎接此次盛会，某社区举办了趣味运动比赛，并购买了A，B两种奖品．已知购买3份A种奖品和2份B种奖品需164元，购买5份A种奖品和4份B种奖品需292元． （1）每份A种奖品与每份B种奖品的价格分别为多少元？ （2）该社区计划购进A，B两种奖品共100份，且总费用不超过3120元，那么最多能购进A种奖品多少份？ 22. 如图1，已知内切于四边形，与分别相切于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，与交于点，若，求证：． 23. 我国的教育方针是：教育必须为社会主义现代化建设服务，为人民服务，与生产劳动和社会实践相结合，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人．为培养德智体美劳全面发展的优秀人才，丰都某中学开展了一系列精品课程，其中有一门课程《研学旅行》开展以来引起广泛关注，九年级2班数学兴趣小组对本班同学对《研学旅行》课的喜欢程度进行了调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题： （1）九年级2班共有学生 名； （2）九年级共有学生1200人，根据上述调查结果，估计九年级学生选择D类的大约有多少人？ （3）该校德育处决定从九年级二班调查的A类的4人中，抽2人到八年级开展研学宣讲，若在调查的A类4人中，刚好有2名男生2名女生，用画树状图或列表的方法求抽到的一男一女的概率． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与轴，轴分别交于、两点，点，点为线段的中点，连接、． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）点为线段上一动点（不与点、重合），过点作直线，使得，交于点．若与的面积比为，求点的坐标． 25. 根据以下素材，完成探索任务． 生活中的最大视角问题 素材1 如图1，直线，相交于点，A，B为直线上两点且在同侧，C为直线上一动点，当的外接圆与动点C所在直线相切时，最大． 如图2，在上任取异于点C的一点D，连接，交圆于点E，连接，可证得． 素材2 如图3，山顶有一座古塔，已知塔的高度为，距离山脚的观测点E处（即）看古塔的视角最大． 素材3 如图4，若动点C在半径为r的上，经过点A、点B的（半径为R）与点C所在圆外切时，最大．（参考：两圆外切时一个圆在另一个圆的外面，且有唯一公共点，此时两圆心与切点三点共线） 素材4 如图5，摩天轮的半径为（它的最低点距地面的高度忽略不计），与摩天轮在同一竖直平面内有一长度为的风景带，其中为，点P从最低点A处按逆时针转动到最高点B处． 问题解决 任务一 结合图2，说明． 任务二 结合图3，求山的高度． 任务三 结合图4，写出两个圆外切时，圆心之间的距离_______．（用含R和r的代数式表示） 任务四 结合图5，若从点P处看风景带视角最大，求的度数． 26. 抛物线与轴交于点和点（点在原点的左侧，点在原点的右侧），与轴交于点，． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）如图1，直线交抛物线于，两点，为抛物线顶点，连接，，若面积为，求的值； （3）如图2，，是直线上的两个动点，在点左边且，是直线下方抛物线上的点，，，求满足条件的点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季学期期中学情检测 九年级 数学试题 一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1. 下列各数中，正整数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据有理数的分类即可求解． 【详解】解：是正整数，是小数，不是整数，不是正数，不是正数， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 2. 自2025年1月11日，全球上线以来，这款中国AI应用以惊人的速度改写了行业格局，1月28日单日下载峰值冲至11040000次，创下全球AI应用单日下载量新纪录．11040000用科学记数法可表示为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．根据科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．据此确定a的值以及n的值即可． 【详解】解：11040000用科学记数法可表示为， 故选：D． 3. 如图是由7个相同的小正方体组成的几何体，将小正方体①去掉后，关于新几何体的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图保持不变 B. 俯视图保持不变 C. 左视图保持不变 D. 三种视图都变化 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图． 根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：若小正方体①去掉后，其左视图不变，即左视图依然还是两层，底层有3个正方形，上层有1个正方形． 故选：C． 4. 下列计算正确的是（ ） A. a2•a3=a6 B. a3÷a=a3 C. a﹣（b﹣a）=2a﹣b D. （﹣a）3=﹣a3 【答案】C 【解析】 【详解】【分析】根据同底数幂乘法，同底数幂除法，合并同类项法则，积的乘方法则逐项进行计算即可得. 【详解】A、a2•a3=a5，故A错误； B、a3÷a=a2，故B错误； C、a﹣（b﹣a）=2a﹣b，故C正确； D、（﹣a）3=﹣a3，故D错误， 故选C． 【点睛】本题考查合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键． 5. 老师在黑板上写出一个计算方差的算式： 根据上式还原得到的数据，下列结论不正确的是（ ） A. B. 平均数为8 C. 添加一个数8后方差不变 D. 这组数据的众数是6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了方差，平均数，众数．根据方差的公式可得该组数据为11，9，8，6，6，共5个数，平均数为8，再根据方差，众数的定义，即可求解． 【详解】解：根据题意得：该组数据为11，9，8，6，6，共5个数，平均数为8，故A、B选项正确，不符合题意； 添加一个数8后方差为 即添加一个数8后方差改变，故C选项错误，符合题意； 这组数据，6出现的次数最多， 即这组数据的众数是6，故D选项正确，不符合题意； 故选：C 6. 如图所示的是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等即可求得结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小无处找”的原则是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 由①得，得：， 由②得：， 则不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 故选：D． 8. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数字的变化类，根据图形，可归纳出规律表达式的特点，再解答即可． 【详解】解：由图可得， 第1种如图①有4个氢原子，即 第2种如图②有6个氢原子，即 第3种如图③有8个氢原子，即 ， 第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：； 故选：B． 9. 以二元一次方程的解为坐标的点恰好在直线上，则点P的位置在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与二元一次方程组解的问题，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；由题意可联立得到方程组，然后问题可求解． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， ∴点，故在第一象限； 故选A． 10. 在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是正比例函数与一次函数的图象共存的问题，根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数和的图象经过哪几个象限，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴函数是经过原点的直线，经过第二、四象限， 函数是经过第一、三、四象限的直线， 故选：D． 11. 如图，抛物线的对称轴为直线，且过点．现有以下结论：①；②；③对于任意实数，都有；④若点是图象上任意两点，且，则，其中正确的结论是（　　） A. ①② B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题意和函数图象，利用二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象开口向上可得：， 由于图象与轴交于负半轴，可知：， 根据对称轴公式：可知：， ， ， ，故①正确； 抛物线过点， ， ， ， 即：，故②正确； 当时，取得最小值， ， （为任意实数），故③错误； 抛物线开口向上，对称轴为直线，若点是图象上任意两点，且， 则点到对称轴的距离小于到对称轴的距离， 根据图象可知：，故④正确； 其中正确的结论是：①②④， 故选：C． 12. 如图，在正方形中，点E、F分别在、上，连接，过点E作交于点G，连接．若，，则一定等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 过点D作，交于点H，连接，证明，得到，，再根据得到．证明四边形是平行四边形，得到，证明，得到，，则，，进而得到，根据得到，最后由即可解答． 【详解】解：过点D作，交于点H，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13. 实数8的立方根是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据立方根的概念解答． 【详解】∵， ∴8的立方根是2． 故答案为：2 【点睛】本题考查立方根的概念义，正确掌握立方根的概念是解题的关键． 14. 函数中自变量x的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式中被开方数大于等于0及分母不为0即可求解． 【详解】解：由题意可知：，解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 15. 一元二次方程的两个根分别为．若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．根据根与系数的关系得到，得出即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∴ 所以 ． 故答案为． 16. 图1是一个地铁站入口的双翼闸机，图2是它的简化图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为_________．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点作于点，过点作于点，利用含的直角三角形的性质，求解，，从而可得答案．正确进行计算是解题关键． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， 在中，， ， 同理可得，， 双翼边缘的端点与之间的距离为， 当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为． 故答案为：． 17. 已知二次函数．若当时，的最大值为5，则的值为______． 【答案】1或 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，再分与时两种情况，根据二次函数的性质列式解答即可．本题考查了二次函数的最值问题，根据二次函数的性质，要注意分与两种情况讨论求解，有一定的难度． 【详解】解：依题意，二次函数的对称轴为直线， ∵， ∴当时，抛物线开口向上，在对称轴直线右侧y随x的增大而增大， 当时y有最大值5， ， 解得：， 当时，抛物线开口向下，时y有最大值5， ， 解得， 故答案为：1或． 18. 如图，点A在y轴上，点B在x轴上，，点C是线段的中点，点D坐标，连接，向外以为边作正方形，当取最大值时，点F的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查正方形的性质，勾股定理，关键是根据勾股定理得出解答． 根据勾股定理得出，进而利用正方形的性质得出，，取最大值解答即可． 【详解】解：设，， 则， 即，， ， ， 四边形是正方形， 在轴上，在轴上，， ， ， 当时取等号， ，，取最大值为， ，， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8道题，共78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，负整数指数幂和零指数幂，先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 20. 如图，点在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，，且， ， 在和中， ， ； （2）的长为8． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质， （1）利用等量代换得，从而利用“”证明即可； （2）由（1）知，可得，再利用求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， 的长为8． 21. 第12届世界运动会将于2025年8月在成都举行，为迎接此次盛会，某社区举办了趣味运动比赛，并购买了A，B两种奖品．已知购买3份A种奖品和2份B种奖品需164元，购买5份A种奖品和4份B种奖品需292元． （1）每份A种奖品与每份B种奖品的价格分别为多少元？ （2）该社区计划购进A，B两种奖品共100份，且总费用不超过3120元，那么最多能购进A种奖品多少份？ 【答案】（1）每份A种奖品的价格为36元，每份B种奖品的价格分别为28元 （2）最多购进A种奖品40个 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，熟练掌握总价与单价和数量的关系列二元一次方程组，列一元一次不等式，是解题的关键． （1）设每份A种奖品的价格为x元，每份B种奖品的价格分别为y元，根据购买3份A种奖品和2份B种奖品需164元，购买5份A种奖品和4份B种奖品需292元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进m个A种奖品，则购进个B种奖品，根据总费用不超过3120元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设每份A种奖品的价格为x元，每份B种奖品的价格分别为y元， 由题意得：， 解得：， 答：每份A种奖品的价格为36元，每份B种奖品的价格分别为28元； 【小问2详解】 解：购进m个A种奖品，则购进个B种奖品，由题意得： ， 解得：， 答：最多购进A种奖品40个． 22. 如图1，已知内切于四边形，与分别相切于点． （1）求证：； （2）如图2，连接，与交于点，若，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据切线长定理可得：，，，，问题随之得解； （2）连接，可得出，，利用圆周角定理求得，，进一步计算得出结论． 【小问1详解】 证明：根据切线长定理可得：，，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，连接， ∵四边形的内切圆与边分别相切于点E，F，G，H， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，圆中的弧、弦、圆周角之间的关系等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 23. 我国的教育方针是：教育必须为社会主义现代化建设服务，为人民服务，与生产劳动和社会实践相结合，培养德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人．为培养德智体美劳全面发展的优秀人才，丰都某中学开展了一系列精品课程，其中有一门课程《研学旅行》开展以来引起广泛关注，九年级2班数学兴趣小组对本班同学对《研学旅行》课的喜欢程度进行了调查，根据收集的数据绘制了两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答下列问题： （1）九年级2班共有学生 名； （2）九年级共有学生1200人，根据上述调查结果，估计九年级学生选择D类的大约有多少人？ （3）该校德育处决定从九年级二班调查的A类的4人中，抽2人到八年级开展研学宣讲，若在调查的A类4人中，刚好有2名男生2名女生，用画树状图或列表的方法求抽到的一男一女的概率． 【答案】（1）40 （2）180人 （3） 【解析】 【分析】（1）利用很喜欢的人数除以所占百分比，即可求出总人数； （2）利用九年级总人数乘以类学生的占比，进行求解即可； （3）画出树状图，求出概率即可． 【小问1详解】 解：由图可知，选择A类的学生有4人，占总人数的， 因此九年级2班共有学生（名）； 故答案为：； 【小问2详解】 解：类学生人数为（人）， ∴类学生人数为（人）， （人）； ∴估计九年级学生选择D类的大约有180人． 【小问3详解】 解：画树状图如下： 所有等可能的结果共有12种，其中抽到的一男一女的结果数为8， ∴抽到的一男一女的概率为． 【点睛】本题考查扇形图与条形图的综合应用，以及利用树状图法求概率．从统计图中有效的获取信息，熟练掌握树状图法求概率的方法，是解题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与轴，轴分别交于、两点，点，点为线段的中点，连接、． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）点为线段上一动点（不与点、重合），过点作直线，使得，交于点．若与的面积比为，求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 （2）点M的坐标为． 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点B坐标代入反比例函数解析式，再由点C为线段的中点求出点D坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可． （2）根据题意先求出点A的坐标，再根据三角形相似的判定和性质得出点M为的中点，据此可解决问题． 【小问1详解】 解：将点B坐标代入得，， ∴反比例函数的解析式为； ∵点C为线段的中点，且点C在x轴上，点D在y轴上， ∴，则， ∴点D的坐标为， 将点D和点B坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由得， ∴，， ∴点A的坐标为， ∵， ∴， ∵与的面积比为， ∴， ∴点M为的中点， ∴点M的坐标为． 25. 根据以下素材，完成探索任务． 生活中的最大视角问题 素材1 如图1，直线，相交于点，A，B为直线上两点且在同侧，C为直线上一动点，当的外接圆与动点C所在直线相切时，最大． 如图2，在上任取异于点C的一点D，连接，交圆于点E，连接，可证得． 素材2 如图3，山顶有一座古塔，已知塔的高度为，距离山脚的观测点E处（即）看古塔的视角最大． 素材3 如图4，若动点C在半径为r的上，经过点A、点B的（半径为R）与点C所在圆外切时，最大．（参考：两圆外切时一个圆在另一个圆的外面，且有唯一公共点，此时两圆心与切点三点共线） 素材4 如图5，摩天轮的半径为（它的最低点距地面的高度忽略不计），与摩天轮在同一竖直平面内有一长度为的风景带，其中为，点P从最低点A处按逆时针转动到最高点B处． 问题解决 任务一 结合图2，说明． 任务二 结合图3，求山的高度． 任务三 结合图4，写出两个圆外切时，圆心之间的距离_______．（用含R和r的代数式表示） 任务四 结合图5，若从点P处看风景带视角最大，求的度数． 【答案】 任务一：由圆周角定理得， 是的一个外角， ， ； 任务二：；任务三：；任务四： 【解析】 【分析】任务一，根据圆周角定理，建立圆周角与圆外角之间的联系，即得答案； 任务二，根据最大视角的定义可知，的外接圆与相切于点E，过点O作于点H，连结，，根据垂径定理求得的半径长，即可进一步求得答案； 任务三，根据素材三给出的两圆外切的概念阐述，即得答案； 任务四，由题意得点P位于的外接圆与外切的切点处，过点作于点C， 于点D，连结，，则切点P在上，设的半径为r（m），（m），根据勾股定理列出方程组，解方程组得，可知点O与点D重合，即得答案． 【详解】解：任务一，略 任务二，根据最大视角的定义可知，的外接圆与相切于点E， 过点O作于点H，连结，， 则， ， 四边形是矩形， ，（m）， （m）， 在中，（m）， （m）， （m）， 即山的高度为； 任务三， 与 外切， ，C，三点共线， 两圆心之间的距离； 故答案为：； 任务四， 若从点P处看风景带视角最大， 由素材三可知，点P位于的外接圆与外切的切点处， 过点作于点C， 于点D，连结，， 则切点P在上， ， （m）， 设的半径为r（m），（m）， 则（m）， ，，， 四边形是矩形， （m），（m）， （m）， 在和中，， 解得， ， 即点O与点D重合， ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质定理，圆周角定理，垂径定理，矩形的判定与性质，正确理解最大视角的定义是解题的关键． 26. 抛物线与轴交于点和点（点在原点的左侧，点在原点的右侧），与轴交于点，． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）如图1，直线交抛物线于，两点，为抛物线顶点，连接，，若面积为，求的值； （3）如图2，，是直线上的两个动点，在点左边且，是直线下方抛物线上的点，，，求满足条件的点的横坐标． 【答案】（1） （2）的值为 （3）点横坐标为或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴交于，由顶点坐标为，则坐标为，得出，设，横坐标分别为，，则，联立整理得，根据根与系数的关系得出，即可得出的值； （3）过作直线，垂足为，过作轴交直线于，设，则，求出，得出，，由等面积法得出，求出，得出平移后的解析式为，联立，求出的值即可． 【小问1详解】 解：， 坐标为，坐标为， 将，坐标代入得， 得，， ∴； 【小问2详解】 解：过点作轴交于， ， ∴顶点坐标为， ∴坐标为， ， 设，横坐标分别为，，则， 联立整理得， ∴，， ∴， ， 解得， ， ； 【小问3详解】 解：过作直线，垂足为，过作轴交直线于， 在中，，，， 设，则， 由得， ，， ∵，即 ∴， 轴得，得为等腰直角三角形， ， 将直线向下平移得， 联立得， 点横坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合—面积问题、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $