精品解析：江西省抚州市2024-2025学年高二下学期学生学业质量监测数学试题卷

江西省抚州市2024-2025学年高二下学期学生学业质量监测数学试题卷 说明：（1）本试题卷共4页，4大题，19个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟； （2）答案须写在答题卡相应的位置上，不得在本试题卷上作答，否则不给分； 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若质点运动的位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的函数关系是，那么该质点在时的瞬时速度和从到这两秒内的平均速度分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出导函数即可求瞬时速度，再由求出平均速度即可得解. 【详解】由题得，所以该质点在时的瞬时速度为， 该质点从到这两秒内的平均速度为. 故选：A 2. 为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到的试验数据如下表： 天数天 3 4 5 6 7 繁殖个数千个 3 4 4.5 6 由此计算得回归直线方程为，但因工作人员的疏忽不慎将表中的试验数据丢失，则的值为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.3 D. 2.5 【答案】D 【解析】 【分析】利用点在直线上解得的值. 【详解】，因为点在直线上，所以， 即，解得， 故选：D. 3. 在等比数列中，是方程的两根，则的值为（ ） A. -4 B. -2或2 C. -2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】设公比为，由韦达定理得，，并判断同为负数，根据等比数列的性质得到，从而得到答案. 【详解】为等比数列，设公比为， 由韦达定理得，， 又，故符号相同，同为负数， ， 因为为等比数列，所以，， 故. 故选：C 4. 近年来，越来越多的游客来参观抚州市的大觉山、流坑古村、麻姑山、黎川古城、竹桥古村、曹山景区等6处景点.现甲、乙两位游客准备从6处景点各随机选一处游玩，记事件“甲和乙至少有一个人前往大觉山”，事件“甲和乙选择不同的景点”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用对立事件的概率公式求出事件发生的概率，再分两种情况求出事件发生的概率，利用条件概率公式求解即可. 【详解】甲、乙从6处景点各选一处的总情况数为种， “甲和乙至少有一个人前往大觉山”的对立事件是“甲和乙都不前往大觉山”， 甲不选大觉山有5种选法，乙不选大觉山也有5种选法， 所以甲和乙都不前往陆羽故园的情况数为种， 则， “甲和乙至少有一个人前往大觉山且甲和乙选择不同的景点”，分两种情况： （1）甲去大觉山，乙不去， 甲去大觉山有1种选法，乙从除大觉山外的5个景点选有5种选法， 共种情况； （2）乙去大觉山，甲不去， 乙去大觉山有1种选法，甲从除大觉山外的5个景点选有5种选法， 共种情况， 所以， 所以. 故选：B. 5. 已知随机变量的分布列如表：若，则（ ） 2 3 5 A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用离散型随机变量的期望计算公式以及分布列中概率之和为1建立方程组，可解得的值，再利用方差公式计算即可. 【详解】因为，则有，解得. 所以. 故选：B. 6. 若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导得.由函数在上存在单调递增区间可知在上有解，分离参数后可得在上有解，故.设，，求导研究其在上的单调性求出函数最大值即可求解. 【详解】∵，∴. ∵函数在上存在单调递增区间，∴在上有解，即在上有解，∴在上有解，即在上有解，∴. 设，.则， 令得；令得， ∴在上单调递减，在上单调递增. 又，，∴，∴， 即实数的取值范围为. 故选：D. 7. 甲、乙两人玩掷六面骰游戏，各个面的点数分别为.两人各轮流投掷一次，当两人向上的点数之差为偶数时，视为平局；当两人向上的点数之差为奇数时，谁的点数大谁胜…重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时游戏的场数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别计算甲胜和乙胜的概率，再对具体每局的情况分类讨论即可. 【详解】甲乙每次掷股子1次，若两人的点数都是偶数或都是奇数，则平局，所以平局的概率， 若甲胜，则结果有，，，，，，，，，9种， 所以甲胜的概率为，同理乙胜的概率也为， 局数为4次后停止游戏，若4次全平局，概率为； 若平局2次，则最后1次不能是平局， 另外2次甲全胜或乙全胜，概率为， 若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中， 概率为， 所以． 故选：A. 8. 已知定义在上的函数满足，且当时，，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求出分段函数在上的解析式，将函数的零点转化为两函数图像的交点， 当时，问题转化为，当时，问题转化为，利用导数研究函数与函数的单调性从而作出图像，综合确定当直线与两函数图像有三个交点时a的取值范围. 【详解】当时，，故， 函数有三个零点，等价于与的图像有三个交点， 当时，，方程为，即， 令，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 因为，， 所以当时，； 当时，，方程为，即， 令，， 所以在上单调递增， 因为， 所以当时，. 若与的图像有三个交点，则. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数的单调递减区间为 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极大值 【答案】BC 【解析】 【分析】利用导函数的图象，根据导函数值的正负判断函数的单调性，从而得出极值点，逐项判断即可. 【详解】由导函数的图象可知， 当时，，单调递增；当时，，单调递减.故A错误B正确； 所以，函数在处取得极大值，不是极大值点，故C正确D错误. 故选：BC. 10. 下列命题中，不正确的命题是（ ） A. 若相关系数的值越大，则两个变量的线性相关性越强 B. 若随机事件A，B满足：，则A，B相互独立 C. 已知随机变量的方差为，则 D. 若，则当事件发生的概率最大时 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，举反例即可判断；对于B，由题意，根据独立乘法公式即可判断；对于C，根据方差的性质即可判断；对于D，由二项分布的概率公式列不等式组即可判断. 【详解】对于A，设，但是对应的两个变量的线性相关性更强，故A不正确； 对于B，由，因为，故得, 则可得，，即A，B相互独立，故B正确； 对于C，随机变量的方差为，则，故C不正确； 对于D，若，则当事件发生的概率为， 设当事件发生的概率最大， 则，即， 即，解得，则当事件发生的概率最大时或，故D不正确. 故选：ACD. 11. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数有两个不相等的实根c，b，其中.在函数图象上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列.记，且，下列说法正确的是（ ） A. （其中） B. 数列是递增数列 C. D. 数列的前项和 【答案】BD 【解析】 【分析】根据可求的表达式，判断的真假；利用导数求二次函数在处切线的斜率，进一步写出在处的切线方程，求出直线与轴的交点横坐标，得，进一步判断数列的结构特征，得到数列是等比数列，可判断选项和的真假；利用公式法可求数列的前项和，判断的真假. 【详解】对于选项A，，得，，故A错误. 对于选项B，二次函数有两个不相等的实根，设，，则，，在横坐标为的点处的切线方程为，令，则，，，即，数列是公比为，首项为的等比数列，，显然数列是递增数列，故B正确. 对于选项C，由以上可知，令，则，故C错误. 对于选项D，，得，故D正确. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 曲线在点处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】先对求导，再求出，，最后利用点斜式写出切线方程,化简即可. 【详解】因为，则， 所以，又， 所以所求切线方程为，即. 故答案为：. 13. 现调查某地区某种野生动物的数量，将该地区分成面积相近的100个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取10个作为样本，调查得到样本数据，其中分别表示第个样本的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，分别表示这10个样本的植物覆盖面积和这种野生动物的数量的平均值，构造向量，并计算得，由选择性必修第一册教材中的知识，我们知道对数据的相关系数，则上述数据的相关系数______. 【答案】0.96## 【解析】 【分析】计算出，故. 【详解】，故， ， . 故答案为：0.96 14. 斐波那契数列（Fibonaccisequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：，，，，，，，，，，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：，，，.若集合为集合的非空子集，则集合中所有元素之和为奇数的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】记中所有偶数组成的集合为，所有奇数组成的集合为，为集合的子集，集合中含有奇数个元素的子集为，则所有元素之和为奇数的集合可看成，结合分步乘法计数原理及古典概型概率公式即可可解. 【详解】由斐波那契数列规律可知，集合中的元素有675个偶数，1350个奇数， 记中所有偶数组成的集合为，所有奇数组成的集合为，为集合的子集， 集合中含有奇数个元素的子集为，则所有元素之和为奇数的集合可看成. 易知，集合共有个，集合共有个， 所以所有元素之和为奇数的集合共有个. 又集合的非空子集共有个，所以中所有元素之和为奇数的概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在某校举行的数学统计建模比赛中，参与比赛的高一学生与高二学生人数之比为2:3，且成绩分布在区间[40，100]，分数在80分以上（含80分）的同学获奖.按高一、高二年级用分层抽样的方法抽取100人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示： 高一学生 高二学生 合计 获奖 4 不获奖 合计 100 （1）求a的值，并填写下面的列联表； （2）试判断是否有的把握认为“获奖与学生的年级有关”？说明你的理由. 附表及公式： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），列联表： 高一学生 高二学生 合计 获奖 4 16 20 不获奖 36 44 80 合计 40 60 100 （2）没有的把握认为“获奖与学生的年级有关”.【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中小矩形面积之和为1可求；根据分层抽样结合题意逐步分析求出列联表各个值即可； （2）将列联表中的数据代入公式计算并判断即可. 【小问1详解】 ，解得， 高一学生人数为：，所以高二学生人数为， 已知高一获奖人数为4人，则高一不获奖人数为36， 由频率分布直方图可知获奖频率为， 所以获奖人数为， 所以高二获奖学生人数为16，不获奖学生人数为44， 补充完整列联表如下： 高一学生 高二学生 合计 获奖 4 16 20 不获奖 36 44 80 合计 40 60 100 【小问2详解】零假设为获奖与学生的年级无关， ， 根据小概率值的独立性检验，推断成立， 所以没有的把握认为“获奖与学生的年级有关”. 16. 设数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）若，且，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到时，，得到数列为等比数列，即可得到数列的通项公式； （2）由（1）求得，得到，得到，令，结合乘公比错位相减法求和，即可求解. 【小问1详解】 由数列满足， 可得，又 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知：，可得， 所以， 则， 令， 则， 两式相减，可得 ， 所以，所以. 17. 已知函数. （1）若函数在处取得极值8，求函数在区间上的值域； （2）是否存在实数，对任意的，且，有恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）首先对函数求导，根据极值点和极值求出的值，然后根据单调性确定函数在区间上的值域. （2）首先将不等式变形，构造新函数，并且使其单调递增，然后通过求导、化简即可求出的范围. 【小问1详解】 对函数求导得， 则有，， 解得或，对应的或. 当时，， 此时函数在定义域上单调递增，没有极值，所以不合题意. 当时，， 当时，或；当时，. 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 且，所以在处取得极值，所以满足题意. 在区间上，函数在上单调递增，在上单调递减. 此时函数的最大值为，而. 所以函数在区间上的值域为. 【小问2详解】 对任意，且，有恒成立， 若，则有恒成立；，则有恒成立； 令，则在上单调递增，所以恒成立. 因为，所以在恒成立， 当时，， 所以在恒成立，所以. 所以存在实数，对任意，且，有恒成立，此时. 18. 已知数列满足，且.函数. （1）求； （2）若恒成立，求的值； （3）设，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明：由（1）知， 由（2）知，当时，，即， 令，所以，即， ，不等式成立. 【解析】 【分析】（1）由等差中项判断数列为等差数列，再由等差数列前项和公式求得公差，从而求得； （2）求导判断的单调性，当时，，再由结合得； （3）由，令，得，由裂项相消法得到. 【小问1详解】 因为，所以数列是等差数列， 又因为，所以，解得， 所以. 【小问2详解】 的定义域为， ，， 当时，，所以在上单调递增， 又因为，所以当时，，不符合题意， 当时，令得，令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令，， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 又因为，要使得恒成立，则. 【小问3详解】 略 19. 泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数．例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等．因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中e为自然对数的底数. （1）当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为.若，求的值（保留三位小数）； （2）某公司制造微型芯片，次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数. （i）若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率； （ii）若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率.通过比较计算结果，你发现了什么规律？ （3）若，且，求的最大值（保留一位小数）. 参考数据：若，则有，. 【答案】（1）. （2）（i）；（ii），发现：当较大p较小，二项分布可以用泊松分布来近似计算. （3）. 【解析】 【分析】（1）先由题意得，再由正态分布的对称性性质结合原则即可求解； （2）（i）先由题得，利用求出概率； （ii）先求出，再由结合泊松分布概率公式即可计算求解并得到相关结论； （3）先由结合泊松分布概率公式求得，构造，求导得到其单调性，得的，通过构造函数，得到和，从而得到答案. 【小问1详解】 由题意可得， 所以. 【小问2详解】 （i）由题， 所以在1000个产品中至少有2个次品的概率为 ； （ii）由题，所以， 所以在1000个产品中至少有2个次品的概率为 . 根据计算结果发现当较大次品率p较小时， 二项分布和泊松分布计算出的“至少有2个次品的概率”非常接近， 所以当较大p较小，二项分布可以用泊松分布来近似计算. 【小问3详解】 若，则， 故， 设，则对任意恒成立， 所以函数在上单调递减， 又由， 所以若，则， 设，则对任意恒成立， 所以函数在上单调递减， 所以，即， 所以； 设， 则， 因为，所以对任意恒成立， 所以函数在上单调递增， 所以， 即， 综上，当时，有，当时，有， 所以的最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省抚州市2024-2025学年高二下学期学生学业质量监测数学试题卷 说明：（1）本试题卷共4页，4大题，19个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟； （2）答案须写在答题卡相应的位置上，不得在本试题卷上作答，否则不给分； 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若质点运动的位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的函数关系是，那么该质点在时的瞬时速度和从到这两秒内的平均速度分别为（ ） A. B. C. D. 2. 为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到的试验数据如下表： 天数天 3 4 5 6 7 繁殖个数千个 3 4 4.5 6 由此计算得回归直线方程为，但因工作人员的疏忽不慎将表中的试验数据丢失，则的值为（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.3 D. 2.5 3. 在等比数列中，是方程的两根，则的值为（ ） A. -4 B. -2或2 C. -2 D. 2 4. 近年来，越来越多的游客来参观抚州市的大觉山、流坑古村、麻姑山、黎川古城、竹桥古村、曹山景区等6处景点.现甲、乙两位游客准备从6处景点各随机选一处游玩，记事件“甲和乙至少有一个人前往大觉山”，事件“甲和乙选择不同的景点”，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量的分布列如表：若，则（ ） 2 3 5 A. B. C. 1 D. 2 6. 若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙两人玩掷六面骰游戏，各个面的点数分别为.两人各轮流投掷一次，当两人向上的点数之差为偶数时，视为平局；当两人向上的点数之差为奇数时，谁的点数大谁胜…重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时游戏的场数为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数满足，且当时，，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递减 B. 函数的单调递减区间为 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极大值 10. 下列命题中，不正确的命题是（ ） A. 若相关系数的值越大，则两个变量的线性相关性越强 B. 若随机事件A，B满足：，则A，B相互独立 C. 已知随机变量的方差为，则 D. 若，则当事件发生的概率最大时 11. 英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数有两个不相等的实根c，b，其中.在函数图象上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列.记，且，下列说法正确的是（ ） A. （其中） B. 数列是递增数列 C. D. 数列的前项和 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 曲线在点处的切线方程为______. 13. 现调查某地区某种野生动物的数量，将该地区分成面积相近的100个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取10个作为样本，调查得到样本数据，其中分别表示第个样本的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，分别表示这10个样本的植物覆盖面积和这种野生动物的数量的平均值，构造向量，并计算得，由选择性必修第一册教材中的知识，我们知道对数据的相关系数，则上述数据的相关系数______. 14. 斐波那契数列（Fibonaccisequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：，，，，，，，，，，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：，，，.若集合为集合的非空子集，则集合中所有元素之和为奇数的概率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在某校举行的数学统计建模比赛中，参与比赛的高一学生与高二学生人数之比为2:3，且成绩分布在区间[40，100]，分数在80分以上（含80分）的同学获奖.按高一、高二年级用分层抽样的方法抽取100人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示： 高一学生 高二学生 合计 获奖 4 不获奖 合计 100 （1）求a的值，并填写下面的列联表； （2）试判断是否有的把握认为“获奖与学生的年级有关”？说明你的理由. 附表及公式： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 16. 设数列的前项和为. （1）求的通项公式； （2）若，且，求数列的前项和. 17. 已知函数. （1）若函数在处取得极值8，求函数在区间上的值域； （2）是否存在实数，对任意的，且，有恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 18. 已知数列满足，且.函数. （1）求； （2）若恒成立，求的值； （3）设，求证：. 19. 泊松分布是一种统计与概率学里常见的离散型分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生的次数．例如：某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一个产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等．因此，在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为，其中e为自然对数的底数. （1）当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认为.若，求的值（保留三位小数）； （2）某公司制造微型芯片，次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数. （i）若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率； （ii）若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率.通过比较计算结果，你发现了什么规律？ （3）若，且，求的最大值（保留一位小数）. 参考数据：若，则有，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $