专题2.3 有理数的乘法（课堂同步）-2025-2026学年七年级数学上册同步课堂与核心专题特训（浙教版2024）

专题2.3.有理数的乘法 1. 理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法的法则，正确进行有理数的乘法运算； 2. 理解倒数的意义，并能求出已知数的倒数； 3. 掌握几个有理数相乘时，积的符号的确定方法，并能熟练的进行几个有理数的乘法运算； 4. 在运算过程中能合理使用乘法运算律使运算简便； 5. 初步体会“分类”与“归纳”的数学思想，培养严谨的科学态度。 2 考点1.有理数的乘法运算 2 考点2.有理数乘法的符号辨析 3 考点3.有理数乘法运算律 6 考点4.有理数乘法的实际应用 10 考点5.有理数乘法的新定义问题 13 考点6.倒数的概念与运用 15 17 考点1.有理数的乘法运算 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 例1．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 例2．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 变式1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）计算： ． 变式2．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）计算： ． 变式3．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算：． 考点2.有理数乘法的符号辨析 符号判别方法：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 例1．（24-25七年级上·河南商丘·期中）如果3个有理数的乘积为负数，那么这3个有理数中正数有（   ） A．0个或1个 B．1个或2个 C．0个或2个 D．2个或3个 例2．（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 例3．（2024·湖北·七年级期中）现有以下五个结论：①两个非负数的乘积一定是正数；②若两个数互为相反数，则它们相乘的积是负数；③任何一个有理数都可以在数轴上表示；④两个数的和为正数，则这两个数可能异号；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，其中正确的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 例3．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）在军训期间，701班43名学生做游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点m个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令（同一名学生可以多次被点名），则n次点名后（n，m为正整数），下列说法正确的是（   ） A．当m为奇数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 B．当m为奇数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 C．当m为偶数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 D．当m为偶数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 变式1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列算式中，积为正数的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（2024七年级上·浙江·专题练习）有个有理数相乘，如果积为，那么在这个有理数中（　　） A．全部为 B．只有一个为 C．至少有一个为 D．有两个互为相反数 变式3.（2024•浙江七年级期中考）下列说法中正确的有（　　） ①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；③数a、b互为相反数，它们的积一定为负；④四个有理数相乘，若有三个负因数，则积为负。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点3.有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 注意：1）当用字母表示乘数时，“"号可以写为“”或省略； 2）在遇到多数相乘的时候，注意寻找乘数为“0”或者互为倒数的因数，往往会起到事半功倍的效果； 3）公式的正用与逆用。 乘法运算的常用技巧： ①运用结合律，将能约分的先结合计算；如：。 ②小数与分数相乘，一般先将小数化为分数；如：1.2×。 ③带分数应先化为假分数的形式；如：。 ④几个分数相乘，先约分，在相乘；如；。 ⑤一个数与几个数的和相乘，常用分配律可简化计算；如：。 例1．（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A． B． C． D． 例1．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题． 解：原式① ② ③ ④ ⑤ (1)上述计算过程，在第_____步出现错误，本题运算的正确结果是______； (2)第①步的变形依据是____，第②步的变形依据是____；（填选项） （依据：A．加法交换律；B．乘法交换律；C．加法结合律；D．乘法结合律；E．乘法分配律） (3)运用上述解法，计算：． 变式1．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（    ） …① …② …③ A．解题运用了加法结合律 B．解题运用了乘法交换律 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错 变式2．（24-25七年级上·广东·期中）用简便方法计算，逆用分配律正确的是（      ） A． B． C． D． 变式3．（24-25七年级上·广东江门·期中）计算：能用简算的用简算： (1)； (2)． 变式4．（2023·广东·七年级校考期中）用简便方法计算： (1) (2) (3) (4) 考点4.有理数乘法的实际应用 有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。 例1．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图，小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题； (1)若从中抽出2张卡片，且这2个数字的差最小，应如何抽取？最小值是多少？ (2)若从中抽出2张卡片，且这2个数字的积最大，应如何抽取？最大值是多少？ 例2．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务： 如何制定奶茶订购方案？ 素材1 为庆祝在校运动会中取得团体优胜，班主任刘老师决定在某奶茶店订购46杯单价为15元的奶茶奖励全班同学．现有如下两种订购方式： 订购方式 店铺优惠活动 配送费 电话订购 每购买10杯奶茶，免费赠送1杯奶茶． 免费 某外卖APP下单 订单总价（不含配送费）满20元起送，可使用红包立减抵扣，且一个订单只允许使用一个红包． 元/单 注：APP下单后，每个订单结算时系统自动收取配送费． 素材2 刘老师是该外卖APP的会员，平台赠送他以下6个红包： 问题解决 问题1 若刘老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，则需花费多少元？ 问题2 若刘老师通过某外卖APP分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，则需花费多少元？ 问题3 请帮助刘老师制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元． ①确定订购方式与数量：电话订购_____杯，送_____杯，外卖APP订购_____杯； ②计算订购方案的总费用． 变式1．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）在佛山的一个以传统手工艺和自然美景著称的小镇上，有一个专门生产竹制品和陶瓷的工艺合作社．这个合作社计划每天生产200件．但由于工艺的复杂性和市场需求的波动，实际每天的生产量与计划量有所差异．下表是某周每天的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)由表可知该合作社星期三生产竹制品和陶瓷____________件； (2)由表可知该厂本周生产竹制品和陶瓷多少件？ (3)合作社实行每日计件工资制，每生产一件产品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每件奖励15元；少生产一件扣20元，那么合作社成员这一周的工资总额是多少元？ 变式2．（24-25七年级上·广西南宁·期中）小明连续记录了他家私家车天中每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“” 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 (1)在这七天中，最远与最近路程差是多少千米？ (2)若行驶需用汽油升，汽油价格为元升，请计算小明家这天的汽油费用是多少元？ 变式3．（2024·北京平谷·一模）某工艺坊加工一件艺术品，完成该任务共需，，，，，六道工序，其中，是前期准备阶段，，，是中期制作阶段，为最后的扫尾阶段，三个阶段不能改变顺序，也不能同时进行，但各阶段内的几个工序可以同时进行，完成各道工序所需时间如下表所示： 阶段 准备阶段 中期制作阶段 扫尾阶段 工序 所需时间/分钟 加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用/元 不能缩短 在不考虑其它因素的前提下，加工该件艺术品最少需要 分钟；现因情况有变，需将加工时间缩短到分钟．每道工序加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用如上表，则所增加的投入最少是 元． 考点5.有理数乘法的新定义问题 “新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种考点.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题. 例1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．例如：，，则等于（   ） A．7.2 B．7.8 C．8.2 D．8.8 例2．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）若“！”是一种数学运算符号，并且，，，，……，则的值是为（  ） A． B．99！ C．9900 D．2！ 变式1．（2024·湖南娄底·七年级校联考期末）若定义一种新运算，规定，则________． 变式2．（2024·重庆万州·七年级统考期末）定义一种新运算“”，规定：等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：，．则的值是（    ）． A． B． C． D． 变式3．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知，，，，观察并找规律，计算的结果是（　　） A．42 B．120 C．210 D．840 考点6.倒数的概念与运用 1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 注意：（1）注意是乘积为1，要与相反数的概念区分开来；（2）互为倒数的两个数的符号一定是相同的；（3）倒数等于本身的数有：1、-1。 例1．（24-25七年级·贵州·阶段练习）农历年是乙巳蛇年，则的倒数是（  ） A． B． C． D． 例2．（24-25六年级上·山东淄博·期末）与互为倒数的数是（    ） A． B． C． D． 变式1．（2025·山东·一模）的倒数是（   ） A． B． C．4 D． 变式2．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）因为，所以（   ） A．是倒数 B．和是倒数 C．和互为倒数 D．和和是倒数 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列各式积为正的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河南南阳·期中）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海·期中）下列说法：①0的倒数是0；②若且，则a，b异号且负数的绝对值较大；③如果，那么a，b中至少有一个为0；④几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，其中正确的结论有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024·浙江·七年级校考阶段练习）若，则下列选项正确的是（　　） A．a，b，c没有一个为0 B．a，b，c只有一个为0 C．a，b，c至少一个为0 D．a，b，c三个都为0 5．（2025·天津南开·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·山东·期末）现规定一种运算：．则计算结果是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·河南安阳·期末）从，1，3，5五个数中任取两个数相乘，所得积中的最大值为（   ） A． B．25 C．15 D．20 8．（24-25七年级上·四川南充·期中）表示小于或等于该数的正整数的积，例如：，则为（   ） A．9989 B．9900 C．9910 D．9920 9．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）从，，，7，5，a（，且a为整数）这6个数中取其中3个不同的数作为因数，则它们积的最小值为（   ） A． B． C．168 D．无法确定 10．（2025·广东惠州·一模）中国古代数学著作《九章算术》最早提到了负数，的倒数是（　　） A． B．- C． D． 11．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）比较大小 0（“”，“”或“”）． 12．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）若是互不相等的整数，且，则 ． 13．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习） ； 14．（2024·浙江·七年级校联考期中）《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了的步骤：①将34，25分别写在方格的上边和右边；②把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧；③沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边；④将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）．若图2中a，b，c，d均为正整数，且c，d都不大于8，则b的值为________，该图表示的乘积结果为_________． 15．（23-24七年级上·宁夏·期中）小阳在做一道计算题：■时，不小心一滴墨水滴在了本子上，盖住了其中一个数字，导致他无法计算，在求助老师时老师告诉他：“被盖住的数字是4，7，10，11其中的一个，并且这道题直接用乘法结合律来计算会非常简便”，则被盖住的数字可能是 ． 16．（24-25七年级上·河南南阳·期末）若定义一种新运算“*”，规定：有理数，如：． (1)求的值．(2)求的值． 17．（24-25七年级上·浙江·期末）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样两道题目： 计算：（1）．（2）． 有两位同学的解法如下： （1）． （2）． 请参考上述解法，计算下列两题：(1)．(2)． 18．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)；(2)；(3)． 19．（24-25七年级上·北京·期中）一出租车司机某天上午从A地出发，在东西方向的公路上行驶运营，规定向东走为正，向西走为负，他当日行程记录如下（表示空载，⭕表示载有乘客，且乘客都不相同）： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 里程（千米） 载客 ⭕ ⭕ ⭕ ⭕ (1)该司机结束第6次行程后，他在A地的什么方向？离A地有多少千米？ (2)已知每次载客时不超过3千米收费13元，超过3千米后，超出部分每千米收费2.3元（注：费用只考虑里程）．请问该司机这天上午结束6次行程后的营业额为多少元？ 20．（2024·湖北七年级月考）已知、为有理数，现规定一种新运算，满足．（1）_________；（2）求的值．（3）新运算是否满足加法交换律，若满足请说明理由：若不满足，请举出一个反例． 21．（24-25七年级上·山东潍坊·期中）算筹是我国古代一种常用的数学工具，古人通常用算筹记数和进行数的简单运算．如图1，用算筹表示数字有两种方式：纵式和横式．我们可以使用纵横交替的十进制记数法表示数字．具体而言，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，依此类推．数字0要空位，在个位数上划上斜线以表示负数． 如“”表示38，“”表示1983． 【观察思考】（1）请写出图2，图3中算筹表示的数为______，______． （2）利用算筹可以进行简单的加法运算，请同学们观察的计算步骤，并在第5步中填入正确的算筹摆放方式． 【迁移运用】《孙子算经》对算筹乘法有详细阐述．将被乘数放在上排（上位），乘数放在下排（下位），乘数的个位对齐被乘数的最高位．上下排之间，留空几排，作中间积存放处．下图即为计算的演示步骤： （3）试用算式解释“利用算筹进行乘法运算”的原理； 【总结提升】（4）观察以上计算过程，对比我们现在所使用的竖式计算，你有什么发现，请写出你的发现． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3.有理数的乘法 1. 理解有理数乘法的意义，掌握有理数乘法的法则，正确进行有理数的乘法运算； 2. 理解倒数的意义，并能求出已知数的倒数； 3. 掌握几个有理数相乘时，积的符号的确定方法，并能熟练的进行几个有理数的乘法运算； 4. 在运算过程中能合理使用乘法运算律使运算简便； 5. 初步体会“分类”与“归纳”的数学思想，培养严谨的科学态度。 2 考点1.有理数的乘法运算 2 考点2.有理数乘法的符号辨析 3 考点3.有理数乘法运算律 6 考点4.有理数乘法的实际应用 10 考点5.有理数乘法的新定义问题 13 考点6.倒数的概念与运用 15 17 考点1.有理数的乘法运算 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 例1．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，故选：D． 例2．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 变式1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）计算： ． 【答案】3 【详解】解：，故答案为： 变式2．（24-25七年级上·山东菏泽·期中）计算： ． 【答案】 【详解】解：．故答案为：． 变式3．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 考点2.有理数乘法的符号辨析 符号判别方法：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． 例1．（24-25七年级上·河南商丘·期中）如果3个有理数的乘积为负数，那么这3个有理数中正数有（   ） A．0个或1个 B．1个或2个 C．0个或2个 D．2个或3个 【答案】C 【详解】解：根据多个有理数相乘，奇数个负数时，乘积为负数， 得3个有理数的乘积为负数时有1个或3个负数，即有2个正数或0个正数，故选：C． 例2．（24-25七年级上·浙江温州·期中）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．∵，∴，故不正确；     B．∵，∴，∴，故正确；C．∵，∴ ，故不正确；     D．∵，∴，∴ ，故不正确；故选B． 例3．（2024·湖北·七年级期中）现有以下五个结论：①两个非负数的乘积一定是正数；②若两个数互为相反数，则它们相乘的积是负数；③任何一个有理数都可以在数轴上表示；④两个数的和为正数，则这两个数可能异号；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，其中正确的有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【详解】解：①两个非负数的乘积一定是0或正数，原说法错误；故原命题错误； ②若两个数（非0）互为相反数，则它们相乘的积是负数；故原命题错误； ③任何一个有理数都可以在数轴上表示；故原命题正确； ④两个数的和为正数，则这两个数可能异号，故原命题正确； ⑤几个非零的有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，故原命题错误．∴正确的有2个； 故选：A． 例3．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）在军训期间，701班43名学生做游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点m个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令（同一名学生可以多次被点名），则n次点名后（n，m为正整数），下列说法正确的是（   ） A．当m为奇数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 B．当m为奇数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 C．当m为偶数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 D．当m为偶数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 【答案】C 【详解】解：假设站立记为“”，则蹲下为“”，开始时个“”，其乘积为“”． 每次改变其中的个数，经过次点名， ①当为偶数时， 若有偶数个“”偶数个“”，变为偶数个“”偶数个“”，其积的符号不变； 若有奇数个“”奇数个“”，变为奇数个“”奇数个“”，其积的符号不变； 故当为偶数时，每次改变其中的m个数，其积的符号不变，那么n次点名后，乘积仍然是“”， 故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数； ②当为奇数时， 若有偶数个“”奇数个“”，变为偶数个“”奇数个“”，其积的符号改变； 若有奇数个“”偶数个“”，变为奇数个“”偶数个“”，其积的符号改变； 故当为奇数时，每次改变其中的个数，其积的符号改变， 那么次点名后， 若为偶数，乘积仍然是“”，故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数； 若为奇数，乘积最后是“”，故最后出现的“”的个数为奇数，即蹲下的人数为奇数； 综上所述，选项C正确，选项A、B、D均错误；故选：C． 变式1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列算式中，积为正数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A. 积为负，不符合题意；B. 积为负，不符合题意； C. 积为正，符合题意；D. 积为0，不符合题意；故选：C． 变式2．（2024七年级上·浙江·专题练习）有个有理数相乘，如果积为，那么在这个有理数中（　　） A．全部为 B．只有一个为 C．至少有一个为 D．有两个互为相反数 【答案】C 【详解】解：∵个有理数相乘，积是，∴这个数中至少有一个数是，故选：． 变式3.（2024•浙江七年级期中考）下列说法中正确的有（　　） ①同号两数相乘，符号不变；②异号两数相乘，积取负号；③数a、b互为相反数，它们的积一定为负；④四个有理数相乘，若有三个负因数，则积为负。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①同号两数相乘，符号为正号，不是符号不变，该小题说法错误； ②异号两数相乘，积取负号，这符合乘法法则，该小题说法正确； ③数a、b互为相反数，它们的积不一定为负，如a、b都为0，它们互为相反数，但它们的积为0，不为负，该小题说法错误；④四个有理数（0除外）相乘，若有三个负因数，则积为负，故该小题说法错误； 故选：A． 考点3.有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 注意：1）当用字母表示乘数时，“"号可以写为“”或省略； 2）在遇到多数相乘的时候，注意寻找乘数为“0”或者互为倒数的因数，往往会起到事半功倍的效果； 3）公式的正用与逆用。 乘法运算的常用技巧： ①运用结合律，将能约分的先结合计算；如：。 ②小数与分数相乘，一般先将小数化为分数；如：1.2×。 ③带分数应先化为假分数的形式；如：。 ④几个分数相乘，先约分，在相乘；如；。 ⑤一个数与几个数的和相乘，常用分配律可简化计算；如：。 例1．（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．符合乘法交换律，正确，不符合题意； B．符合乘法结合律，正确，不符合题意； C．符合乘法结合律，正确，不符合题意； D．，乘法和加法不能结合，错误，符合题意．故选：D． 例1．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题． 解：原式① ② ③ ④ ⑤ (1)上述计算过程，在第_____步出现错误，本题运算的正确结果是______； (2)第①步的变形依据是____，第②步的变形依据是____；（填选项） （依据：A．加法交换律；B．乘法交换律；C．加法结合律；D．乘法结合律；E．乘法分配律） (3)运用上述解法，计算：． 【答案】(1)⑤，；(2)；(3)． 【详解】（1）解：根据题意，可得第⑤步出现错误， ∵，∴正确结果是，故答案为：⑤，； （2）解：第①步的变形依据是加法交换律，第②步的变形依据乘法分配律，故答案为：，； （3）解： ． 变式1．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（    ） …① …② …③ A．解题运用了加法结合律 B．解题运用了乘法交换律 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错 【答案】C 【详解】解： 此步骤是将原式变形， 此步骤是利用乘法分配律， 此步骤是利用减法法则， 则原计算步骤从②步开始出错，故选：C． 变式2．（24-25七年级上·广东·期中）用简便方法计算，逆用分配律正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：故选：B． 变式3．（24-25七年级上·广东江门·期中）计算：能用简算的用简算： (1)； (2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式4．（2023·广东·七年级校考期中）用简便方法计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)2(2)(3)0(4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 考点4.有理数乘法的实际应用 有理数运算相关的实际应用题种类较多，但是很多题目只是所给的情境不一样，解答的方法并没有发生改变。能够熟练的分析应用题的数量关系，找准解题的方法和技巧。 例1．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图，小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各题； (1)若从中抽出2张卡片，且这2个数字的差最小，应如何抽取？最小值是多少？ (2)若从中抽出2张卡片，且这2个数字的积最大，应如何抽取？最大值是多少？ 【答案】(1)抽取的2张卡片是、6，差的最小值是 (2)抽取的2张卡片是、，它们积最大，最大值是 【详解】（1）解：根据题意，得，最大数是6，最小数是， 故差的最小值是：．故抽取的2张卡片是、6，差的最小值是． （2）解：根据题意，得，同号数组为3，6，积为； 同号数组为，，积为；同号数组为，，积为；同号数组为，，积为；又，故抽取的2张卡片是、，它们积最大，最大值是． 例2．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务： 如何制定奶茶订购方案？ 素材1 为庆祝在校运动会中取得团体优胜，班主任刘老师决定在某奶茶店订购46杯单价为15元的奶茶奖励全班同学．现有如下两种订购方式： 订购方式 店铺优惠活动 配送费 电话订购 每购买10杯奶茶，免费赠送1杯奶茶． 免费 某外卖APP下单 订单总价（不含配送费）满20元起送，可使用红包立减抵扣，且一个订单只允许使用一个红包． 元/单 注：APP下单后，每个订单结算时系统自动收取配送费． 素材2 刘老师是该外卖APP的会员，平台赠送他以下6个红包： 问题解决 问题1 若刘老师通过电话订购方式购买这46杯奶茶，则需花费多少元？ 问题2 若刘老师通过某外卖APP分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用，则需花费多少元？ 问题3 请帮助刘老师制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元． ①确定订购方式与数量：电话订购_____杯，送_____杯，外卖APP订购_____杯； ②计算订购方案的总费用． 【答案】问题1：630元；问题2：667元；问题3：①30；3；13；②订购方案的总费用为元（答案不唯一） 【详解】解：问题1：通过电话订购方式先购买40杯奶茶，免费赠送4杯奶茶，再额外购买2杯奶茶，则一共可以得到46杯奶茶，需花费（元），答：需花费630元． 问题2：刘老师通过某外卖分六次下单这46杯奶茶，并将红包全部使用， 则需花费（元），答：需花费667元． 问题3：根据题意，要制定一个奶茶订购方案，使得订购总费用不超过625元， 则可以选择电话订购30杯，送3杯，此时花费（元），则外卖APP订购杯； 通过某外卖分五次下单这13杯奶茶， 其中三次都是使用“吃货红包”满45减8元，一次使用“吃货红包”满25减4元，一次使用“无门槛红包”， 则（元）， 订购总费用为（元）． 电话订购30杯，送3杯，外卖订购13杯，订购方案的总费用为元． 故答案为：30；3；13（答案不唯一）． 变式1．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）在佛山的一个以传统手工艺和自然美景著称的小镇上，有一个专门生产竹制品和陶瓷的工艺合作社．这个合作社计划每天生产200件．但由于工艺的复杂性和市场需求的波动，实际每天的生产量与计划量有所差异．下表是某周每天的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)由表可知该合作社星期三生产竹制品和陶瓷____________件； (2)由表可知该厂本周生产竹制品和陶瓷多少件？ (3)合作社实行每日计件工资制，每生产一件产品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每件奖励15元；少生产一件扣20元，那么合作社成员这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)195(2)1408件(3)84460元 【详解】（1）解：（件），即该合作社星期三生产竹制品和陶瓷件，故答案为：； （2）解：（件），答：该厂本周生产竹制品和陶瓷件； （3）解：（元），超过的部分奖励总额为：（元）， 扣款总额为：（元），∴（元）， 答：合作社成员这一周的工资总额是元． 变式2．（24-25七年级上·广西南宁·期中）小明连续记录了他家私家车天中每天行驶的路程（如表），以为标准，多于的记为“”，不足的记为“” 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程 (1)在这七天中，最远与最近路程差是多少千米？ (2)若行驶需用汽油升，汽油价格为元升，请计算小明家这天的汽油费用是多少元？ 【答案】(1)最远与最近路程差是千米；(2)小明家这天的汽油费用是元． 【详解】（1）解：这七天中，最远与最近路程差是（千米）， 答：最远与最近路程差是千米； （2）解：这七天中小明家共行驶：（千米）， ∴小明家这天的汽油费用是（元），答：小明家这天的汽油费用是元． 变式3．（2024·北京平谷·一模）某工艺坊加工一件艺术品，完成该任务共需，，，，，六道工序，其中，是前期准备阶段，，，是中期制作阶段，为最后的扫尾阶段，三个阶段不能改变顺序，也不能同时进行，但各阶段内的几个工序可以同时进行，完成各道工序所需时间如下表所示： 阶段 准备阶段 中期制作阶段 扫尾阶段 工序 所需时间/分钟 加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用/元 不能缩短 在不考虑其它因素的前提下，加工该件艺术品最少需要 分钟；现因情况有变，需将加工时间缩短到分钟．每道工序加工时间每缩短一分钟需要增加投入费用如上表，则所增加的投入最少是 元． 【答案】 【详解】解：一共有三个阶段，各阶段内的几个工序可以同时进行， 则加工该件艺术品最少需要：（分钟）； 需将加工时间缩短到分钟，则共需要缩短分钟， 在准备阶段若缩短分钟，则需要投入（元）， 在制作阶段若缩短分钟，则需要投入（元）， 还要分钟，在准备阶段缩短分钟需要投入（元），在制作阶段缩短分钟需要投入（元），， 综上，最少投入为：（元），故答案为：，． 考点5.有理数乘法的新定义问题 “新定义”型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种考点.它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接“新知识”;（3）定义新概念.这类试题考查考生对“新定义”的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将“新定义”的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题. 例1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）我们把不超过有理数的最大整数称为的整数部分，记作，又把称为的小数部分，记作，则有．例如：，，则等于（   ） A．7.2 B．7.8 C．8.2 D．8.8 【答案】A 【详解】解：；故选A． 例2．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）若“！”是一种数学运算符号，并且，，，，……，则的值是为（  ） A． B．99！ C．9900 D．2！ 【答案】C 【详解】解：根据题目的运算规则可得：，故选：C． 变式1．（2024·湖南娄底·七年级校联考期末）若定义一种新运算，规定，则________． 【答案】 【详解】解：∵，∴，故答案为：2． 变式2．（2024·重庆万州·七年级统考期末）定义一种新运算“”，规定：等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：，．则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意，得：， ∴；故选D． 变式3．（24-25八年级上·云南昭通·期末）已知，，，，观察并找规律，计算的结果是（　　） A．42 B．120 C．210 D．840 【答案】C 【详解】解：由已知得，故选C． 考点6.倒数的概念与运用 1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 注意：（1）注意是乘积为1，要与相反数的概念区分开来；（2）互为倒数的两个数的符号一定是相同的；（3）倒数等于本身的数有：1、-1。 例1．（24-25七年级·贵州·阶段练习）农历年是乙巳蛇年，则的倒数是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据倒数的定义可得：的倒数是．故选：． 例2．（24-25六年级上·山东淄博·期末）与互为倒数的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，的倒数为，的倒数为， A. ，和不互为倒数，故该选项不符合题意； B. ，和不互为倒数，故该选项不符合题意； C. ，和不互为倒数，故该选项不符合题意； D. ，和互为倒数，故该选项符合题意；故选：D ． 变式1．（2025·山东·一模）的倒数是（   ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【详解】解：，的倒数是；故选：C． 变式2．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）因为，所以（   ） A．是倒数 B．和是倒数 C．和互为倒数 D．和和是倒数 【答案】B 【详解】解：因为，所以和是倒数，故选：B． 1．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列各式积为正的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A.中三个正数一个负数，结果为负，不符合题意； B.中一个正数三个负数，结果为负，不符合题意； C.中有一个0，结果为0，不符合题意； D.中有四个负数，结果为正，符合题意．故选：D 2．（24-25七年级上·河南南阳·期中）实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由数轴可知：，∴；故A选项错误； ；故B选项正确；；故C选项错误；；故D选项错误；故选B． 3．（24-25七年级上·上海·期中）下列说法：①0的倒数是0；②若且，则a，b异号且负数的绝对值较大；③如果，那么a，b中至少有一个为0；④几个有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，其中正确的结论有（  ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①0 没有倒数，故①不符合题意； ②若且，则异号且负数的绝对值较大，正确，故②符合题意； ③如果，那么中至少有一个为0，正确，故③符合题意； ④几个不为 0 的有理数相乘，若有奇数个负因数，则积为负数，故④不符合题意， ∴其中正确的结论有 2 个．故选：B． 4．（2024·浙江·七年级校考阶段练习）若，则下列选项正确的是（　　） A．a，b，c没有一个为0 B．a，b，c只有一个为0 C．a，b，c至少一个为0 D．a，b，c三个都为0 【答案】C 【详解】解：根据任何数同零相乘，都得0，若，则a，b，c至少有一个为0，故选：C． 5．（2025·天津南开·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，故选：B． 6．（24-25七年级上·山东·期末）现规定一种运算：．则计算结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，．故选：B． 7．（24-25七年级上·河南安阳·期末）从，1，3，5五个数中任取两个数相乘，所得积中的最大值为（   ） A． B．25 C．15 D．20 【答案】D 【详解】解：解：．故选：D． 8．（24-25七年级上·四川南充·期中）表示小于或等于该数的正整数的积，例如：，则为（   ） A．9989 B．9900 C．9910 D．9920 【答案】B 【详解】解：，，， ，， 故选：B． 9．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）从，，，7，5，a（，且a为整数）这6个数中取其中3个不同的数作为因数，则它们积的最小值为（   ） A． B． C．168 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：∵要使它们积的最小，∴要取奇数个负数，且绝对值尽可能的大， ∴取，7，5，∴积的最小值为．故选A． 10．（2025·广东惠州·一模）中国古代数学著作《九章算术》最早提到了负数，的倒数是（　　） A． B．- C． D． 【答案】B 【详解】解：的倒数是，故选：B． 11．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）比较大小 0（“”，“”或“”）． 【答案】 【详解】解：，，，故答案为： ． 12．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）若是互不相等的整数，且，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，且是互不相等的整数， ∴代表的是这四个数，∴，故答案为：． 13．（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习） ； 【答案】 【详解】解：．故答案为：． 14．（2024·浙江·七年级校联考期中）《算法统宗》是我国明代数学著作，它记载了多位数相乘的方法，如图1给出了的步骤：①将34，25分别写在方格的上边和右边；②把上述各数字乘积的十位（不足写0）与个位分别填入小方格中斜线两侧；③沿斜线方向将数字相加，记录在方格左边和下边；④将所得数字从左上到右下依次排列（满十进一）．若图2中a，b，c，d均为正整数，且c，d都不大于8，则b的值为________，该图表示的乘积结果为_________． 【答案】 2或3 或 【详解】解：如图2所示，由题意得，， ∵都是自然数，且，∴，∴，∴； 如图2-1所示，∵的结果十位数为1，∴或， 当时，符合题意，此时的乘积为； 当时，符合题意；，此时的乘积为；故答案为：2或3；或 15．（23-24七年级上·宁夏·期中）小阳在做一道计算题：■时，不小心一滴墨水滴在了本子上，盖住了其中一个数字，导致他无法计算，在求助老师时老师告诉他：“被盖住的数字是4，7，10，11其中的一个，并且这道题直接用乘法结合律来计算会非常简便”，则被盖住的数字可能是 ． 【答案】7 【详解】解：被盖住的数字是4，7，10，11其中的一个，并且直接用乘法结合律来计算会非常简便， 观察■，只有数字7可以直接用乘法结合律来计算．故答案为：7． 16．（24-25七年级上·河南南阳·期末）若定义一种新运算“*”，规定：有理数，如：． (1)求的值．(2)求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：． （2）解： ． 17．（24-25七年级上·浙江·期末）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样两道题目： 计算：（1）．（2）． 有两位同学的解法如下： （1）． （2）． 请参考上述解法，计算下列两题：(1)．(2)． 【答案】(1)(2)2025 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 18．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 19．（24-25七年级上·北京·期中）一出租车司机某天上午从A地出发，在东西方向的公路上行驶运营，规定向东走为正，向西走为负，他当日行程记录如下（表示空载，⭕表示载有乘客，且乘客都不相同）： 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 里程（千米） 载客 ⭕ ⭕ ⭕ ⭕ (1)该司机结束第6次行程后，他在A地的什么方向？离A地有多少千米？ (2)已知每次载客时不超过3千米收费13元，超过3千米后，超出部分每千米收费2.3元（注：费用只考虑里程）．请问该司机这天上午结束6次行程后的营业额为多少元？ 【答案】(1)东向14千米(2)123.3元 【详解】（1）解： ，答：他在A地的东方向；离A地有14千米 （2）解：； ；；（元） 答：该司机这天上午结束6次行程后的营业额为123.3元． 20．（2024·湖北七年级月考）已知、为有理数，现规定一种新运算，满足．（1）_________；（2）求的值．（3）新运算是否满足加法交换律，若满足请说明理由：若不满足，请举出一个反例． 【答案】（1）-6；（2）；（3）不满足，举例见解析 【解析】（1）(-2)×4-(-2)=-8+2=-6 （2） （3）∵新运算 ∴运用加法加法交换律可得： 假设，则=3×4-3=9 =4×3-4=8 ∴不能用交换律。 21．（24-25七年级上·山东潍坊·期中）算筹是我国古代一种常用的数学工具，古人通常用算筹记数和进行数的简单运算．如图1，用算筹表示数字有两种方式：纵式和横式．我们可以使用纵横交替的十进制记数法表示数字．具体而言，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，依此类推．数字0要空位，在个位数上划上斜线以表示负数． 如“”表示38，“”表示1983． 【观察思考】（1）请写出图2，图3中算筹表示的数为______，______． （2）利用算筹可以进行简单的加法运算，请同学们观察的计算步骤，并在第5步中填入正确的算筹摆放方式． 【迁移运用】《孙子算经》对算筹乘法有详细阐述．将被乘数放在上排（上位），乘数放在下排（下位），乘数的个位对齐被乘数的最高位．上下排之间，留空几排，作中间积存放处．下图即为计算的演示步骤： （3）试用算式解释“利用算筹进行乘法运算”的原理； 【总结提升】（4）观察以上计算过程，对比我们现在所使用的竖式计算，你有什么发现，请写出你的发现． 【答案】（1）266；；（2）见解析；（3）见解析；（4）算筹进行乘法运算的原理是乘法分配律 【详解】解：（1）由题意得，图2表示的数为266，图3表示的数为； （2）如图所示，即为所求； （3）就是把38分成30和8，把76分成70和6， ； （4）观察以上计算过程，对比我们现在所使用的竖式计算可知，算筹进行乘法运算的原理是乘法分配律． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$