11.2 乘法公式（第4课时）（教学课件）数学沪教版五四制2024七年级上册

11.2 乘法公式 （第4课时） 第11章 整式的乘除 沪教版五四制2024·七年级上册 章节导读 11.1整式的乘法 11.2 乘法公式 11.3整式的除法 幂的运算 幂的应用 单项式相乘 整式乘法 完全平方公式 平方差公式 同底数幂的除法 单项式的除法 多项式除以单项式 学 习 目 标 1 2 3 掌握乘法公式的结构特征，会利用乘法公式求某些代数式的值，并会利用乘法公式简便运 算以及解决一些实际问题． 经历选择适当的公式进行整式运算过程，体会乘法公式的变形和乘法公式之间的关系， 积累灵活运用公式运算的经验. 感受学习乘法公式的价值，体会字母表示数、 数形结合及化归的数学思想． 情境引入 复习回顾 思考平方差公式和完全平方公式.如何得到平方差公式和完全平方公式？ 完全平方公式 平方差公式 两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方的差． ． 两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方的和，加上（或减去）这两个数积的两倍. , ． 数形结合 典例分析 例1 已知 ， ．求 与 的值． 分析 解 还有其他的解法吗？ 方法一 典例分析 例1 已知 ， ．求 与 的值． 分析 方法二 新知探究 概念 1.完全平方公式的常见变形 熟悉完全平方公式的结构特征及其常见变形，可以巧妙求出代数式的值． 典例分析 例2 计算：(1)998×1002+4． (2) 1232-124×122 998×1 002+4 =(1 000-2)×(1 000+2)+4 =1 0002-22 +4 =1 000 000． 解：原式= (123+1)×(123-1) 1232-12 1232 解：原式=1232-124×122 =1232-(123+1)×(123-1) =1232- (1232-12) =1． 归纳乘法公式变形的注意事项！ 新知探究 概念 1.完全平方公式的常见变形 熟悉完全平方公式的结构特征及其常见变形，可以巧妙求出代数式的值． 2.注意事项：运用乘法公式可以简化数的计算．先观察题目是否符合公式的条件，若不符合，先做适当变形后再计算求解． 典例分析 例3 如图，一张直径为a＋2b的圆形纸片，从中挖去直径分别为a、b、b的三个圆形纸片．求剩下纸片的面积（结果保留π）. 【分析】 解：剩下纸片的面积为 因此，剩下纸片的面积 为 ． ． 乘法公式计算 题型一 题型探究 练习1 注意 根据已知条件和所求结论对平方差公式、完全平方公式进行变形解决问题. 已知 ， ．求 与 的值. 方法一 方法二 归纳乘法公式的常见变形！ 乘法公式计算 题型一 题型探究 练习2 先化简，再求值： ， 其中 ， ． ． 当 ， 时，原式 ． 解： 还有其他的解法吗？ 方法一 乘法公式计算 题型一 题型探究 练习2 先化简，再求值： ， 其中 ， ． 方法二 整体 乘法公式计算 题型一 题型探究 练习3 计算：9882 9882 652 问题解决 阅读理解 ? 解法1 解法2 解法3 解法4 化简求值 题型二 题型探究 练习4 先化简，再求值：，其中． 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，根据完全平方公式，平方差公式及多项式乘多项式将题目中的式子展开，再合并同类项，然后将x、y的值代入化简后的式子计算即可． 解： ； 当时， 原式． 乘法公式拓展 题型三 题型探究 练习5 问题情景：分解下列因式，将结果直接写在横线上： ___；___；___． 探究发现：观察以上三个多项式的系数，我们发现： ；； 归纳猜想：若多项式是完全平方式，则系数a，b，c存在某种关系，请你猜想并用式子表示出a，b，c之间的关系． 验证结论：请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并验证你猜想的结论． 解决问题：若多项式是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出m的值． 【分析】问题情景：可用完全平方公式进行分解因式； 【分析】归纳猜想：根据问题情境，式子中的系数关系，可猜想b2=4ac； 【分析】验证结论：可用完全平方公式进行验证； 【分析】解决问题：多项式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，则系数a，b，c存在的关系为b2=4ac，可列[-（2m+8）]2=4（m+2）（m+7），进而求出m的值． 乘法公式拓展 题型三 题型探究 练习5 问题情景：分解下列因式，将结果直接写在横线上： ___；___；___． 探究发现：观察以上三个多项式的系数，我们发现： ；； 归纳猜想：若多项式是完全平方式，则系数a，b，c存在某种关系，请你猜想并用式子表示出a，b，c之间的关系． 验证结论：请你写出一个不同于上面出现的完全平方式，并验证你猜想的结论． 解决问题：若多项式是一个完全平方式，利用你猜想的结论求出m的值． 解：问题情境 ：（x＋1）2  ，（3x－5）2，（2x＋6）2 归纳猜想： ＝4ac 验证结论：如：＋4x＋4， 验证：因为＝＝16，4ac＝4×1×4＝16. 所以＝4ac 解决问题：根据题意，得2＝4（m＋2）（m＋7） 4＋32m＋64＝4（＋9m＋14） 4＋32m＋64＝4＋36m＋56，m＝2 乘法公式拓展 题型三 题型探究 练习6 在数学老师的指导下，同学们进行了积极的数学探究性学习活动． 【思考与推理】老师提供了下列一组等式： 第一个等式：；第二个等式：；第三个等式：； 第四个等式：；…第n个等式可写为： 老师引导同学们将这n个等式相加，做了如下推理： 整理得， … 【类比推广】根据上面等式的特点，同学们类比写出下面一些等式． 第一个等式：；第二个等式：； 第三个等式：；第四个等式：； 【问题解决】 (1)请你完成【思考与推理】中省略的步骤． (2)你能写出【类比推广】中的第5个等式：__________________________；猜想第n个等式：___________________，请你证明这个猜想． (3)你能利用【思考与推理】的思路和成果，直接写出关于的公式． 乘法公式拓展 题型三 题型探究 练习6 在数学老师的指导下，同学们进行了积极的数学探究性学习活动． 【思考与推理】老师提供了下列一组等式： 第一个等式：；第二个等式：；第三个等式：； 第四个等式：；…第n个等式可写为： 老师引导同学们将这n个等式相加，做了如下推理： 整理得， … 【类比推广】根据上面等式的特点，同学们类比写出下面一些等式． 第一个等式：；第二个等式：； 第三个等式：；第四个等式：； 【分析】本题考查了整式的混合运算，数字类规律探索，熟练掌握各知识点，理解题意是解题的关键． 乘法公式拓展 题型三 题型探究 练习6 在数学老师的指导下，同学们进行了积极的数学探究性学习活动． 【思考与推理】老师提供了下列一组等式： 第一个等式：；第二个等式：；第三个等式：； 第四个等式：；…第n个等式可写为： 老师引导同学们将这n个等式相加，做了如下推理： 整理得， … 【问题解决】 (1)请你完成【思考与推理】中省略的步骤． 【分析】根据等式的性质以及完全平方公式计算即可； 解：剩余步骤为：， ∴， ∴； 乘法公式拓展 题型三 题型探究 练习6 在数学老师的指导下，同学们进行了积极的数学探究性学习活动． 【类比推广】根据上面等式的特点，同学们类比写出下面一些等式． 第一个等式：；第二个等式：； 第三个等式：；第四个等式：； 【问题解决】 (2)你能写出【类比推广】中的第5个等式：__________________________；猜想第n个等式：___________________，请你证明这个猜想． 【分析】（2）根据已知的前4个等式总结出第5个等式，以及第n个等式的规律，并将等式左右两边利用多项式乘多项式展开即可证明相等； 解：【类比推广】中的第5个等式：；猜想第n个等式：， 证明：左边， 右边， ∵左边右边，∴原式成立； 乘法公式拓展 题型三 题型探究 练习6 【思考与推理】老师提供了下列一组等式： 第一个等式：；第二个等式：；第三个等式：； 第四个等式：；…第n个等式可写为： 老师引导同学们将这n个等式相加，做了如下推理： 整理得， … ((3)你能利用【思考与推理】的思路和成果，直接写出关于的公式． 【分析】通过，将等式中从、、、依次取到时，可得个等式，再累加即可， 解：， 当式中的从、、、依次取到时，就可得下列个等式： ，，，， ， 将这个等式的左右两边分别相加得：， 即 ． 课堂小结 想一想 1.本节课学了哪些新知识？ 2.运用了哪些方法，解决了什么问题？ 3.其中蕴含了怎么样的数学思想？ 熟悉完全平方公式的结构特征及其常见变形，可以巧妙求出代数式的值． 运用乘法公式可以简化数的计算．先观察题目是否符合公式的条件，若不符合，先做适当变形后再计算求解． 感谢聆听! $$