2.2探索直线平行的条件 复习训练 2024—2025学年北师大版数学七年级下册

北师大版数学七年级下册暑假巩固复习 第二章《相交线与平行线》 2.探索直线平行的条件 知识点复习 探索直线平行的条件 1. 两条直线被第三条直线所截，具有相同位置关系的角称为____。 2. 两条直线被第三条直线所截，如果 相等，那么这两条直线平行，简述为__ __。 3. 过直线外一点有且只有 条直线与这条直线平行。 4. 平行于同一条直线的两条直线 。 5. 两条直线被第三条直线所截，具有 "内错" 位置关系的角称为 ；具有 "同旁" 位置关系的角称为 。 6. 两条直线被第三条直线所截，如果 相等，那么这两条直线平行，简述为 。 7. 两条直线被第三条直线所截，如果 互补，那么这两条直线平行，简述为 。 知识点练习 一、选择题练习 1．如图，AB，DE被AC所截，则∠A的内错角是（　　） A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4 2．如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 3．下面能判断AB∥CD的条件是（　　） A．∠ADC+∠BCE＝180° B．∠2＝∠3 C．∠ADE＝∠BCE D．∠1＝∠4 4．如图，下列条件中能判定直线m∥n的是（　　） A．∠2+∠5＝180° B．∠2＝∠3 C．∠3+∠5＝180° D．∠1＝∠4 5．下列四幅图中，∠1和∠2是同位角的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，下列条件中，不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠2＝∠3 B．∠4＝∠C C．∠1＝∠4 D．∠C+∠ABC＝180° 7．下列图形中，能利用∠1＝∠2判断AB∥CD的是（　　） A． B． C． D． 8．如图所示，下列条件中，能判断AD∥BC的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠B+∠BCD＝180° C．∠3+∠4＝180° D．∠BAD+∠B＝180° 9．如图，点E在BC的延长线上，下列选项中，能判断AD∥BC的是（　　） A．∠1＝∠4 B．∠2＝∠5 C．∠4＝∠B D．∠1＝∠3 10．如图，下列条件中：①∠1＝∠C，②∠2＝∠C，③∠BAC+∠C＝180°，④∠ABE+∠2＝180°．能判断AB∥CD的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题练习 11．如图，∠APC与∠BCP的位置关系是 　 　 ．（请从“对顶角”“同位角”“内错角”“同旁内角”中选填一种） 12．如图，请你写出一个条件使得a∥b：　 　 ． 13．如图，木条a，b与木条c钉在一起，∠1＝70°，转动木条a，当∠2＝ 　 　 °时，木条a与b平行． 14．如图，写出一个使AB∥CE的条件：　 　 ． 15．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD是角平分线，点E、F分别在边AC、BC上，∠CEF＝45°，CF＜CD．将△CEF绕点C以每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，旋转时间为t．当t＝　 　 秒时，有EF∥AD． 16．如图所示，有一副三角板按图摆放，可得到AC∥DF，依据是　 　 ． 17．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若∠2﹣∠1＝75°，则∠3与∠4的度数和是 　 　 ． 18．一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中∠D＝30°，∠OAB＝45°．若固定三角板AOB，改变三角板ACD的位置（其中点A的位置始终不变），当∠BAD＝　 　 时，CD∥OB． 19．如图，有一副直角三角板，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠A＝60°，∠C＝30°，∠D＝∠E＝45°，现将三角板的直角顶点按照图中方式叠放，点D在直线AB上方，且0°＜∠ABD＜180°，则能使三角板ABC有一条边与DE平行的所有∠ABD的度数为 　 　 ． 20．如图将一张四边形纸片沿EF折叠，以下条件中①∠2＝∠4；②∠2+∠3＝180°；③∠1＝∠6；④∠4＝∠5．其中能得出AD∥BC的条件是　 　 ．（填写序号）． 三、解答题练习 21．如图，直线AB，CD被EF所截，∵∠1＝∠2，以下是证明AB∥CD的过程，请补充完成． 证明：∵∠1＝∠2（已知）， ∠2＝∠3（ 　 　 ）， ∴　 　 （等量代换）， ∴　 　 （ 　 　 ）． 22．看图填空，并在括号内注明说理依据． 如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝35°，∠2＝35°，AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？ 解：因为∠1＝35°，∠2＝35°（已知）， 所以∠1＝∠2． 所以　 　 ∥　 　 （　 　 ）． 又因为AC⊥AE（已知）， 所以∠EAC＝90°．（　 　 ） 所以∠EAB＝∠EAC+∠1＝125°． 同理可得，∠FBG＝∠FBD+∠2＝　 　 °． 所以∠EAB＝∠FBG（　 　 ）． 所以　 　 ∥　 　 （同位角相等，两直线平行）． 23．如图，已知直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，HM平分∠GHD交AB于点M，若∠BGE＝54°，∠GHM＝27°，求证：AB∥CD． 24．如图，∠B＝∠D，∠1＝∠2，求证：AB∥CD． 25．如图，在三角形ABC中，点D，F分别在边AB，AC上，连接DF并延长至E点，连接CE，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠E．试判断AB与CE的位置关系，并说明理由． 26．如图，已知直线EF与AB交于点M，与CD交于点O，OG平分∠DOF，若∠COM＝120°，． （1）求∠FOG的度数； （2）写出一个与∠FOG互为同位角的角； （3）直接写出∠AMO的所有内错角，同旁内角的度数之和． 27．如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B． （1）求证：∠AFB＝90°； （2）若∠A+∠2＝90°，求证：AB∥CD． 28．将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°． （1）猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由； （2）若∠BCD＝4∠ACE，求∠BCD的度数； （3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时CE∥AB，并简要说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版数学七年级下册暑假巩固复习 第二章《相交线与平行线》 2.探索直线平行的条件 知识点复习 探索直线平行的条件 1. 两条直线被第三条直线所截，具有相同位置关系的角称为 同位角 。 2. 两条直线被第三条直线所截，如果 同位角 相等，那么这两条直线平行，简述为 同位角相等，两直线平行 。 3. 过直线外一点有且只有_ 一条___条直线与这条直线平行。 4. 平行于同一条直线的两条直线 互相平行 。 5. 两条直线被第三条直线所截，具有 "内错" 位置关系的角称为 内错角 ；具有 "同旁" 位置关系的角称为 同旁内角 。 6. 两条直线被第三条直线所截，如果 内错角 相等，那么这两条直线平行，简述为 内错角相等，两直线平行 。 7. 两条直线被第三条直线所截，如果 同旁内角 互补，那么这两条直线平行，简述为 同旁内角互补，两直线平行 。 知识点练习 一、选择题练习 1．如图，AB，DE被AC所截，则∠A的内错角是（　　） A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠4 【解答】解：AB，DE被AC所截，∠A的内错角是∠4． 故选：D． 2．如图，过直线外一点作已知直线的平行线，其依据是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 【解答】解：如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是同位角相等，两直线平行． 故选：C． 3．下面能判断AB∥CD的条件是（　　） A．∠ADC+∠BCE＝180° B．∠2＝∠3 C．∠ADE＝∠BCE D．∠1＝∠4 【解答】解：∵∠ADC+∠BCE＝180°， ∴AD∥BC， 故A不符合题意； ∵∠2＝∠3， ∴AD∥BC， 故B不符合题意； ∵∠ADE＝∠BCE， ∴AD∥BC， 故C不符合题意； ∵∠1＝∠4， ∴AB∥CD， 故D符合题意； 故选：D． 4．如图，下列条件中能判定直线m∥n的是（　　） A．∠2+∠5＝180° B．∠2＝∠3 C．∠3+∠5＝180° D．∠1＝∠4 【解答】解：A、两角是邻补角，两角互补不能判定直线m∥n，故A不符合题意； B、两角是同旁内角，两角互补才能判定直线m∥n，故B不符合题意； C、两角是同位角，两角相等才能判定直线m∥n，故C不符合题意； D、由内错角相等，两直线平行判定直线m∥n，故D符合题意． 故选：D． 5．下列四幅图中，∠1和∠2是同位角的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：上列四幅图中，∠1和∠2是同位角的是 ， 故选：B． 6．如图，下列条件中，不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠2＝∠3 B．∠4＝∠C C．∠1＝∠4 D．∠C+∠ABC＝180° 【解答】解：A、∠2＝∠3，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行），不符合题意； B、∠4＝∠C，则AB∥CD（内错角相等，两直线平行），不符合题意； C、∠1＝∠4，则AD∥BC（同位角相等，两直线平行），不能判定AB∥CD，符合题意； D、∠C+∠ABC＝180°，则AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），不符合题意， 故选：C． 7．下列图形中，能利用∠1＝∠2判断AB∥CD的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A选项图形中，由∠1＝∠2无法判断AB∥CD， 故该选项不符合题意； B选项图形中，∵∠1＝∠2， ∴BD∥AC，但无法判断AB∥CD， 故该选项不符合题意； C选项图形中，由∠1＝∠2无法判断AB∥CD， 故该选项不符合题意； D选项图形中，∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD， 故该选项符合题意； 故选：D． 8．如图所示，下列条件中，能判断AD∥BC的是（　　） A．∠1＝∠2 B．∠B+∠BCD＝180° C．∠3+∠4＝180° D．∠BAD+∠B＝180° 【解答】解：A、由内错角相等，两直线平行判定AB∥CD，不能判定AD∥BC，故A不符合题意； B、由同旁内角互补，两直线平行判定AB∥CD，不能判定AD∥BC，故B不符合题意； C、∠3和∠4是内错角，∠3＝∠4能判定AD∥BC，∠3+∠4＝180°不能判定AD∥BC； D、由同旁内角互补，两直线平行判定AD∥BC，故D符合题意． 故选：D． 9．如图，点E在BC的延长线上，下列选项中，能判断AD∥BC的是（　　） A．∠1＝∠4 B．∠2＝∠5 C．∠4＝∠B D．∠1＝∠3 【解答】解：根据平行线的判定定理， A、∠1＝∠4，不能得到AD∥BC，所以A选项错误，不合题意． B、∠2＝∠5，不能判断AD∥BC，所以B选项错误，不符合题意． C、∠4＝∠B，则可判断AB∥CD，所以C选项错误，不符合题意． D、∠1＝∠3，则AD∥BC，所以D选项正确，符合题意． 故选：D． 10．如图，下列条件中：①∠1＝∠C，②∠2＝∠C，③∠BAC+∠C＝180°，④∠ABE+∠2＝180°．能判断AB∥CD的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①由同位角相等，两直线平行判定AB∥CD，故①符合题意； ②由同位角相等，两直线平行判定AC∥DE，不能判定AB∥CD，故②不符合题意； ③由同旁内角互补，两直线平行判定AB∥CD，故③符合题意； ④由对顶角的性质得到∠2和∠ABE的对顶角互补，由同旁内角互补，两直线平行判定AB∥CD，故④符合题意． 故能判断AB∥CD的有3个． 故选：C． 二、填空题练习 11．如图，∠APC与∠BCP的位置关系是 　内错角　 ．（请从“对顶角”“同位角”“内错角”“同旁内角”中选填一种） 【解答】解：∠APC与∠BCP的位置关系是：内错角． 故答案为：内错角． 12．如图，请你写出一个条件使得a∥b：　∠1＝∠3（答案不唯一）　 ． 【解答】解：∠1＝∠3， ∵∠1＝∠3， ∴a∥b， 故答案为：∠1＝∠3（答案不唯一）． 13．如图，木条a，b与木条c钉在一起，∠1＝70°，转动木条a，当∠2＝ 　70　 °时，木条a与b平行． 【解答】解：当∠2＝70°时，a∥b， ∵∠3＝∠2＝70°，∠1＝70°， ∴∠3＝∠1， ∴a∥b， 故答案为：70． 14．如图，写出一个使AB∥CE的条件：　∠3＝∠B（答案不唯一）　 ． 【解答】解：当∠3＝∠B时，AB∥CE， 故答案为：∠3＝∠B（答案不唯一）． 15．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD是角平分线，点E、F分别在边AC、BC上，∠CEF＝45°，CF＜CD．将△CEF绕点C以每秒5°的速度按逆时针方向旋转一周，旋转时间为t．当t＝　69或33　 秒时，有EF∥AD． 【解答】解：延长DC交EF于点H， ∵EF∥AD， ∴∠ADH+∠FHC＝180°， ∴∠FHC＝120°， ∴∠FCH＝180°﹣∠CHF﹣∠CFE＝15°， ∴∠FCD＝165°， ∴t33， 当旋转角＞180°时， 同理可求：t69， 综上所述：t的值为33或69， 故答案为：33或69． 16．如图所示，有一副三角板按图摆放，可得到AC∥DF，依据是　内错角相等，两直线平行　 ． 【解答】解：由所给图形可知， 依据“内错角相等，两直线平行”可得AC∥DF． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 17．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中的平行光线，在空气中也是平行的．如图，若∠2﹣∠1＝75°，则∠3与∠4的度数和是 　105°　 ． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠4+∠2＝180°， ∴AE∥BF， ∴∠1＝∠3， ∵∠2﹣∠1＝75°， ∴∠2﹣∠3＝75°， ∴∠4+∠2﹣（∠2﹣∠3）＝180°﹣75°＝105°， ∴∠4+∠3＝105°． 故答案为：105°． 105°． 18．一副直角三角板按如图所示的方式叠放在一起，其中∠D＝30°，∠OAB＝45°．若固定三角板AOB，改变三角板ACD的位置（其中点A的位置始终不变），当∠BAD＝　15°或165°　 时，CD∥OB． 【解答】解：如图1，当CD∥OB时，∠AED＝∠O＝90°， ∴∠EAD＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BAD＝60°﹣45°＝15°； 如图2，当CD∥OB时，过点A作AM∥OB，AM∥CD， ∴∠OAM＝∠O＝90°，∠DAM＝∠D＝30°， ∴∠BAD＝90°+45°+30°＝165°； 故答案为：15°或165°． 19．如图，有一副直角三角板，∠ABC＝∠DBE＝90°，∠A＝60°，∠C＝30°，∠D＝∠E＝45°，现将三角板的直角顶点按照图中方式叠放，点D在直线AB上方，且0°＜∠ABD＜180°，则能使三角板ABC有一条边与DE平行的所有∠ABD的度数为 　45°，165°，135°，15°　 ． 【解答】解：①图1，DE∥AB， ∴∠ABD＝∠D＝45°； ②图2，DE∥AC， 延长DB交CA的延长线于F点， ∴∠F＝∠D＝45°， ∴∠ABF＝∠CAB﹣∠F＝60°﹣45°＝15°， ∴∠ABD＝180°﹣∠ABF＝180°﹣15°＝165°； ③图3，DE∥BC， ∴∠CBD＝∠D＝45°， ∴∠ABD＝∠ABC+∠CBD＝90°+45°＝135°； 综上所述，使三角板ABC有一条边与DE平行的所有∠ABD的度数为45°，165°，135°， 故答案为：45°，165°，135°． 20．如图将一张四边形纸片沿EF折叠，以下条件中①∠2＝∠4；②∠2+∠3＝180°；③∠1＝∠6；④∠4＝∠5．其中能得出AD∥BC的条件是　①②③④　 ．（填写序号）． 【解答】解：如图： ①∵∠2＝∠4， ∴AD∥BC， 故①符合题意； ②∵∠2+∠3＝180°，∠3+∠5＝180°， ∴∠2＝∠5， ∴HE∥GF， ∴∠1+∠6+∠5＝180°， ∵HE和GF是由CE和DF折叠得到的， ∴∠1＝∠CEF，∠5+∠6＝∠EFD ∴∠CEF+∠EFD＝180° 即AD∥BC， 故②符合题意； ③由折叠的性质可得∠1＝∠7， ∵∠1＝∠6， ∴∠6＝∠7， ∴AD∥BC， 故③符合题意； ④设∠4＝∠5＝x， 则，， ∴， ∴AD∥BC， 故④符合题意． 故答案为：①②③④． 三、解答题练习 21．如图，直线AB，CD被EF所截，∵∠1＝∠2，以下是说明AB∥CD的过程，请补充完成． 解：∵∠1＝∠2（已知）， ∠2＝∠3（ 　对顶角相等　 ）， ∴　∠1＝∠3　 （等量代换）， ∴　AB∥CD　 （ 　同位角相等，两直线平行　 ）． 【解答】解：∵∠1＝∠2（已知）， ∠2＝∠3（对顶角相等）， ∴∠1＝∠3（等量代换）， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：对顶角相等；∠1＝∠3；AB∥CD；同位角相等，两直线平行． 22．看图填空，并在括号内注明说理依据． 如图，已知AC⊥AE，BD⊥BF，∠1＝35°，∠2＝35°，AC与BD平行吗？AE与BF平行吗？ 解：因为∠1＝35°，∠2＝35°（已知）， 所以∠1＝∠2． 所以　AC　 ∥　BD　 （　同位角相等，两直线平行　 ）． 又因为AC⊥AE（已知）， 所以∠EAC＝90°．（　垂直的定义　 ） 所以∠EAB＝∠EAC+∠1＝125°． 同理可得，∠FBG＝∠FBD+∠2＝　125　 °． 所以∠EAB＝∠FBG（　等量代换　 ）． 所以　AE　 ∥　BF　 （同位角相等，两直线平行）． 【解答】解：因为∠1＝35°，∠2＝35°（已知）， 所以∠1＝∠2． 所以AC∥BD（同位角相等，两直线平行）． 又因为AC⊥AE（已知）， 所以∠EAC＝90°．（垂直的定义） 所以∠EAB＝∠EAC+∠1＝125°． 同理可得，∠FBG＝∠FBD+∠2＝125°． 所以∠EAB＝∠FBG（等量代换）． 所以AE∥BF（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：AC；BD；同位角相等，两直线平行；垂直的定义；125；等量代换；AE；BF． 23．如图，已知直线EF分别交直线AB、CD于点G、H，HM平分∠GHD交AB于点M，若∠BGE＝54°，∠GHM＝27°，试说明：AB∥CD． 【解答】解：∵HM平分∠GHD，∠GHM＝27°， ∴∠GHD＝2∠GHM＝54°， ∴∠BGE＝∠GHD＝54°， ∴AB∥CD． 24．如图，∠B＝∠D，∠1＝∠2，试说明：AB∥CD． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴AD∥BC， ∴∠DAB+∠B＝180°， ∵∠B＝∠D， ∴∠DAB+∠D＝180°， ∴AB∥CD． 25．如图，在三角形ABC中，点D，F分别在边AB，AC上，连接DF并延长至E点，连接CE，已知∠1+∠2＝180°，∠B＝∠E．试判断AB与CE的位置关系，并说明理由． 【解答】解：AB∥CE，理由如下： ∵∠1+∠2＝180°，∠B＝∠E， ∴DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B， ∴∠ADE＝∠E， ∴AB∥CE． 26．如图，已知直线EF与AB交于点M，与CD交于点O，OG平分∠DOF，若∠COM＝120°，． （1）求∠FOG的度数； （2）写出一个与∠FOG互为同位角的角； （3）直接写出∠AMO的所有内错角，同旁内角的度数之和． 【解答】解：（1）因为∠COM＝120°， 所以∠DOF＝120°， 因为 OG 平分∠DOF， 所以∠FOG＝60°； （2）与∠FOG互为同位角的角是∠BMF； （3）∠AMO 的同旁内角是∠COM， ∠AMO 的内错角有∠MOG，∠MOD， 由条件可知∠DOF＝120°，， ∴∠DOG＝60°， ∵∠DOM＝180°﹣∠COM＝60°， ∴∠MOG＝∠DOM+∠DOG＝120°， 所以∠AMO的所有内错角，同旁内角的度数之和为120°+120°+60°＝300°． 27．如图，点E、F分别在AB、CD上，AF⊥CE于点O，∠1＝∠B． （1）试说明：∠AFB＝90°； （2）若∠A+∠2＝90°，试说明：AB∥CD． 【解答】解：（1）∵∠1＝∠B， ∴CE∥BF， ∴∠AOE＝∠AFB， ∵AF⊥CE， ∴∠AOE＝90°， ∴∠AFB＝90°； （2）∵∠AFC+∠AFB+∠2＝180°， ∴∠AFC+∠2＝90°， ∵∠A+∠2＝90°， ∴∠AFC＝∠A， ∴AB∥CD． 28．将一副三角板中的两个直角顶点C叠放在一起（如图①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°． （1）猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，并说明理由； （2）若∠BCD＝4∠ACE，求∠BCD的度数； （3）若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究∠BCD等于多少度时CE∥AB，并简要说明理由． 【解答】解：（1）∠BCD+∠ACE＝180°，理由如下： ∵∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°+∠ACD， ∴∠BCD+∠ACE＝90°+∠ACD+∠ACE＝90°+90°＝180°； （2）如图①，设∠ACE＝α，则∠BCD＝4α， 由（1）可得∠BCD+∠ACE＝180°， ∴4α+α＝180°， ∴α＝36°， ∴∠BCD＝4α＝144°； （3）分两种情况： ①如图1所示，当∠BCD＝150°时，AB∥CE． ∵∠BCD＝150°，∠ACB＝∠ECD＝90°， ∴∠ACE＝30°， ∴∠A＝∠ACE＝30°， ∴AB∥CE． ②如图2所示，当∠BCD＝30°时，AB∥CE． ∵∠BCD＝30°，∠DCE＝90°， ∴∠BCE＝∠B＝60°， ∴AB∥CE． 综上所述，∠BCD等于150°或30°时，CE∥AB． 学科网（北京）股份有限公司 $$