2.1两条直线的位置关系暑假巩固复习2024-2025学年北师大版数学七年级下册

北师大版数学七年级下册暑假巩固复习 第二章《相交线与平行线》 1.两条直线的位置关系 知识点复习 两条直线的位置关系 1. 在同一平面内，两条直线的位置关系有 相交 和 平行 两种。 2. 若两条直线只有一个公共点，称这两条直线为 相交线 。 3. 在同一平面内，不相交的两条直线叫作 平行线 ，用符号 "__∥__" 表示。 4. 具有公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角叫作 对顶角 ， 其性质是 对顶角相等 。 5. 如果两个角的和是180°，称这两个角互为 补角 ；如果两个角的和是 90°，称这两个角互为 余角 。 6. 同角（或等角）的补角 相等 ，同角（或等角）的余角 相等 。 7. 两条直线相交成四个角，若有一个角是直角，称这两条直线互相 垂直 ，其中一条直线叫作另一条直线的 垂线 ，它们的交点叫作 垂足 ，用符号 "__⊥__" 表示。 8. 同一平面内，过一点有且只有 一条 条直线与已知直线垂直。 9. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 垂线段 最短，这条线段的长度叫作 这一点到这条直线的距离 。 知识点练习 一、选择题练习 1．如图，某村庄在灌溉时要把河水引到农田A处，为保证渠道最短，挖渠的位置这样确定：过点A向河岸l作垂线，垂足为B，则AB就是所要挖的渠道，理由是（　　） A．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．两条直线相交有且只有一个交点 C．过一点可以作无数条直线 D．垂线段最短 【解答】解：为保证渠道最短，过点A向河岸l作垂线，垂足为B，则AB就是所要挖的渠道，理由是垂线段最短． 故选：D． 2．如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则m+n的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 【解答】解：在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是1条和1条， ∴m+n＝2． 故选：B． 3．下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、∠1和∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； B、∠1和∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； C、∠1和∠2不是对顶角，故此选项不符合题意； D、∠1和∠2是对顶角，故此选项符合题意； 故选：D． 4．如图，CD⊥AB于点D，则点A到CD的距离是（　　） A．线段AB的长 B．线段AC的长 C．线段AD的长 D．线段BC的长 【解答】解：∵CD⊥AB， ∴点A到CD的距离是：线段AD的长， 故选：C． 5．如图，直线AB与CD相交于点O，若∠3＝2∠1，则∠2等于（　　） A．60° B．120° C．30° D．150° 【解答】解：∵∠1+∠3＝180°，∠3＝2∠1， ∴∠1180°＝60°， ∴∠2＝∠1＝60°， 故选：A． 6．如图，点O直线AD上，∠BOE＝∠COD＝90°，那么下列结论错误的是（　　） A．∠AOE＝∠COB B．∠COE＝∠DOE C．∠AOB与∠COB互为余角 D．∠COE与∠AOB互为补角 【解答】解：∵∠BOE＝∠COD＝90°， ∴∠AOC＝90°， ∴∠AOB+∠BOC＝90°，∠AOB+∠AOE＝90°， ∴∠BOC＝∠AOE， A选项正确，不符合题意； 设∠BOC＝α， 则∠COE＝90°+α， ∵∠COD＝90° ∵∠AOC＝90°， ∴∠DOE＝360°﹣∠COD﹣∠COE＝360°﹣90°﹣（90°+α）＝180°﹣α， ∠COE≠∠DOE， 选项B错误，符合题意； ∵∠AOC＝90°， ∴∠AOB与∠COB互为余角， 选项C正确，不符合题意； 设∠BOC＝α， 则∠COE＝90°+α，∠AOB＝90°﹣∠BOC＝90°﹣α， ∴∠COE+∠AOB＝180°， ∴∠COE与∠AOB互为补角， 选项D正确，不符合题意． 故选：B． 7．如图所示，下列结论正确的是（　　） A．∠1＝90° B．∠2＝50° C．∠3＝40° D．∠4＝130° 【解答】解：A．因为∠1＝40°+50°＝180°，所以∠1＝180°﹣40°﹣50°＝90°，因此选项A符合题意； B．当a∥b时，∠2＝40°，当a与b不平行时，∠2的大小改变，因此选项B不符合题意； C．当c∥d时，∠3＝90°﹣40°＝50°，当c与d不平行时，∠3的大小改变，因此选项C不符合题意； D．∠4＝180°﹣40°＝140°，因此选项D不符合题意． 故选：A． 8．如图，笔直小路DE的一侧栽种有两棵小树BM，CN，小明测得AB＝3m，AC＝5m，则点A到DE的距离可能为（　　） A．5m B．4m C．3m D．2m 【解答】解：∵AB，AC是点A到DE的斜线段，表示点A到DE的距离的线段是垂线段， 根据垂线性质：垂线段最短， ∴A到DE的距离小于AB， ∵AB＝3， ∴A到DE的距离可能为2， 故选：D． 9．已知∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，若∠1＝∠4，则∠2与∠3的关系是（　　） A．∠2＜∠3 B．∠2＝∠3 C．∠2＞∠3 D．无法确定 【解答】解：根据题意可知∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，∠1＝∠4， 根据等角的补角相等可得∠2＝∠3． 故选：B． 10．如图，点C，D在线段上，O为AB上方一点，连接OC，OD．有下列结论：①图中共有8个锐角；②图中互余的角有3对；③图中共有线段10条；④若AB＝12，CD＝6，P为线段AB上一点，则点P到点A，C，D，B的距离之和最小为18．其中正确的结论有（　　） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【解答】解：①图中的锐角有∠AOC、∠AOD、∠AOB、∠DOC、∠BOC、∠DOB、∠ACO、∠ADO、∠ABO共9个，故①错误； ②互余的角有∠AOC+∠ACO＝90°， ∠AOD+∠ADO＝90°， ∠AOB+∠BDO＝90°，有3对，故②正确； ③图中的线段有OA、OB、OC、OD、AC、AD、AB、CD、CB、DB，共10条，故正确； ③图中的锐角有∠AOC、∠AOD、∠AOB、∠DOC、∠BOC、∠DOB、∠ACO、∠ADO、∠ABO共9个，故③错误； ④当P在线段CD上，则点P到点A，C，D，B的距离之和最小为PA+PB+PC+PD＝18，故④正确； 综上所述：②③④正确． 故选：A． 二、填空题练习 11．若∠α＝35°27'，则∠α的余角的度数是　54°33′　 ． 【解答】解：∵∠α＝35°27′， ∴∠α的余角＝90°﹣35°27′ ＝89°60′﹣35°27′ ＝54°33′． 故答案为：54°33′． 12．一个锐角的补角比它的余角的2倍多36°，则这个锐角度数为　36　 °． 【解答】解：设这个锐角为x度， 由题意知180﹣x＝2（90﹣x）+36， 解得x＝36， 故答案为：36． 13．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O，∠AOC＝35°，则∠BOE＝　55°　 ． 【解答】解：∵EO⊥CD， ∴∠COE＝90°， ∵∠AOC＝35°， ∴∠EOB＝180°﹣∠AOC﹣∠COE＝55°， 故答案为：55°． 14．如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，∠EOC＝28°，则∠BOD的度数为　118°　 ． 【解答】解：∵OE⊥AB， ∴∠BOE＝90°， ∴∠BOC＝∠BOE﹣∠EOC＝90°﹣28°＝62°， ∴∠BOD＝180°﹣∠BOC＝180°﹣62°＝118°， 故答案为：118°． 15．如图，点P到一条笔直的公路MN共有四条路径，若要用相同速度从点P走到公路，最快到达的路径是选择沿线段PB去公路，这一选择用到的数学知识是 　垂线段最短　 ． 【解答】解：∵PB⊥MN， ∴根据垂线段最短得出最快到达的路径是选择沿线段PB去公路， 故答案为：垂线段最短． 16．太阳光和灯光都是我们生活中的光源，蕴含着很丰富的数学知识．如图，一束光沿AB方向射入水平液面EF，在点B处发生折射，折射光沿BC方向射出，点D为AB延长线一点，若∠1＝51°，∠2＝24°，则BC与水平底面形成的∠3的度数为　75°　 ． 【解答】解：∵∠1+∠EBC+∠2＝180°，∠1＝51°，∠2＝24°， ∴∠EBC＝180°﹣51°﹣24°＝105°， ∵水面EF平行于底面， ∴∠3＝180°﹣∠EBC＝75°． 故答案为：75°． 17．下列各图中的直线都相交于一点． 若n条直线相交于一点，则共有　n（n﹣1）　 对对顶角． 【解答】解：①两条直线相交共2＝1×2对对顶角； ②三条直线相交，在2对的基础上再加4对，共6对； ③四条直线相交，在6对的基础上再加6对，共12对； ④五条直线相交，在12对的基础上再加8对，共20对； ……， 以此类推，当n条直线相交时，对顶角的总对数为：n（n﹣1）； 故答案为：n（n﹣1）． 18．如图，直线AB，CD相交于点O，如果∠1＝40°，那么∠2＝ 　40　 °，∠3＝ 　140　 °． 【解答】解：∵∠1与∠2是对顶角，∠1＝40°， ∴∠2＝∠1＝40°， ∵∠3与∠1是邻补角，∠1＝40°， ∴∠3＝180°﹣40°＝140°， 故答案为：40，140． 19．【动手操作】如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝135°．将直角三角板MON绕点O旋转一周，当直线OM与直线OC互相垂直时，∠AOM的度数是 　135°或45°　 ． 【解答】解：∵∠BOC＝135°， ∴∠AOC＝180°﹣135°＝45°． 当OM在直线OC的右侧时，如图， ∵OM⊥OC， ∴∠COM＝90°， ∴∠AOM＝∠AOC+∠COM＝135°． 当OM在直线OC的左侧时，如图， ∵OM⊥OC， ∴∠COM＝90°， ∴∠AOM＝∠COM﹣∠AOC＝45°． 故答案为：135°或45°． 20．如图，点O是量角器的中心点，射线OM经过刻度线90．若∠AOB＝∠COD．射线OA、OB分别经过刻度线40和60，∠COD在刻度线OM的右侧． 下列结论： ①∠AOC＝∠BOD； ②若∠AOC与∠BOC互补，则射线OD经过刻度线160； ③若∠MOC＝3∠COD，则图中共有5对角互为余角． 其中正确的是 　①②　 （填序号）． 【解答】解：①∵∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC， ∴∠AOC＝∠BOD，故正确； ②由题意可得：∠AOB＝60°﹣40°＝20°＝∠COD， ∵∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠AOB+∠BOC+∠BOC＝180°，即20°+∠BOC+∠BOC＝180°， ∴∠BOC＝80°， ∴60°+80°+20°＝160°，即射线OD经过刻度线160，故正确； ③如图： ∵∠MOC＝3∠COD＝3∠AOB＝60°，∠MOB＝90°﹣60°＝30°， ∴∠BOC＝90°， ∴∠BOM和∠COM互为余角， ∵射线OM经过刻度线90， ∴∠EOM＝∠FOM＝90°， ∴∠AOE和∠AOM，∠BOE和∠BOM，∠COM和∠COF，∠DOM和∠DOF，∠BOE和∠COF互为余角， 即共有6对角互为余角，故错误； ∴正确的有①②， 故答案为：①②． 三、解答题练习 21．已知一个角的余角的4倍与这个角的补角的和是180°，求这个角的度数． 【解答】解：设这个角的度数为x°， 由题意得：4（90﹣x）+（180﹣x）＝180， 解得x＝72， 答：这个角的度数为72°． 22．如图，如果∠1+∠2＝290°，那么∠1、∠2、∠3各是多少度？ 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∠1+∠2＝290°， ∴∠1＝∠2＝145°， ∵∠1+∠3＝180°， ∴∠3＝180°﹣∠1＝180°﹣145°＝35°， ∴∠1、∠2、∠3的度数分别是145°，145°，35°． 23．如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC，若∠EOB＝35°，求∠AOD的度数． 【解答】解：∵OE⊥OC， ∴∠EOC＝90°， ∵∠EOB＝35°， ∴∠COB＝∠EOC+∠EOB＝125°， ∴∠COB＝∠AOD＝125°． 24．如图，直线CD，AB相交于点O，射线OM、ON分别在∠BOC、∠AOD的内部，已知∠AON＝∠COM，∠BOD+∠AON＝90°． （1）求∠MOB的度数； （2）若，求∠BOC的度数． 【解答】解：（1）∵∠AON＝∠COM，∠BOD＝∠AOC，∠BOD+∠AON＝90°， ∴∠AOC+∠COM＝90°， ∴∠BOM＝180°﹣90°＝90°； （2）由于∠COM∠BOC，可设∠COM＝2α，则∠BOC＝7α， ∵∠BOM＝7α﹣2α＝90°， ∴α＝18°， ∴∠BOC＝7α＝126°． 25．如图所示，直线c，d被直线a，b所截，已知∠1与∠2，∠1与∠5，∠3与∠4分别互补，且∠4＝135°，试求∠1，∠2，∠3的度数． 【解答】解：∵∠3与∠4互补，∠4＝135°， ∴∠3＝180°﹣135°＝45°， ∵∠1与∠2，∠1与∠5分别互补， ∴∠2＝∠5， ∵∠4＝∠5＝135°， ∴∠2＝135°， ∴∠1＝180°﹣135°＝45°． 26．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，若∠BOC比∠DOE大75°．求∠AOD和∠EOF的度数． 【解答】解：设∠BOD＝2x， ∵OE平分∠BOD， ∴∠DOE＝∠EOBx， ∵∠BOC＝∠DOE+75°＝x+75°． ∴x+75°+2x＝180°， 解得：x＝35°， ∴∠BOD＝2×35°＝70°， ∴∠AOD＝180°﹣∠BOD＝180°﹣70°＝110°， ∵FO⊥CD， ∴∠BOF＝90°﹣∠BOD＝90°﹣70°＝20°， ∴∠EOF＝∠FOB+∠BOE＝20°+35°＝55°． 所以∠AOD和∠EOF的度数分别为：110°、55°． 27．如图，AG平分∠BAC，∠BED＝∠C，∠1+∠2＝90°． （1）求证：FH⊥DE； （2）若∠3＝∠4，∠BAC＝66°，求∠DFH的度数． 【解答】（1）证明：∵∠BED＝∠C， ∴DE∥AC， ∴∠CAG＝∠3， ∵AG平分∠BAC， ∴∠CAG＝∠1， ∴∠1＝∠3， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠3+∠2＝90°，即∠DGH＝90°， ∴FH⊥DE； （2）解：∵∠CAG＝∠1，∠BAC＝66°， ∴∠1＝∠CAG＝33°， ∴∠3＝∠1＝33°， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠2＝90°﹣∠1＝57°， ∵∠3＝∠4，∠1＝∠3， ∴∠1＝∠4， ∴AG∥DF， ∴∠DFH＝∠2＝57°． 28．如图1，直线AB上任取一点O，过点O作射线OC（点C在直线AB上方），且∠BOC＝2∠AOC，以O为顶点作∠MON＝90°，点M在射线OB上，点N在直线AB下方，点D是射线ON反向延长线上的一点． （1）求∠COD的度数； （2）如图2，将∠MON绕点O逆时针旋转α度（0°＜α＜180°），若三条射线OD、OC、OA，当其中一条射线与另外两条射线所夹角的度数之比为1：2时，求∠BON的度数． 【解答】解：（1）如图1中， ∵∠AOB＝180°，∠BOC＝2∠AOC， ∴∠AOC＝60°，∠BOC＝120°， ∵ON⊥AB， ∴∠AOD＝90°， ∴∠COD＝90°﹣∠AOC＝30°． （2）①∵∠AOC＝60°，∠COD＝30°， ∴将∠MON绕点O逆时针旋转α度（0°＜α＜180°）， ∴射线OC分另外两条射线所夹角的比为1：2不可能． ②若射线OD分另外两条射线所夹角的比为1：2， 如图2﹣1，当∠AOD＝2∠COD时， ∵∠AOC＝60°， ∴∠COD＝20°， ∴旋转角α＝20°+30°＝50°， ∴∠BON＝90°﹣50°＝40°， 如图2﹣2中，当∠COD＝2∠AOD时， ∵∠AOC＝60°， ∴∠COD＝40°， ∴旋转角α＝40°+30°＝70°， ∴∠BON＝90°﹣70°＝20°． ③若射线OA分另外两条射线所夹角的比为1：2， 如图2﹣3中，若∠AOC＝2∠AOD时， ∵∠AOC＝60°， ∴∠AOD＝30°， ∴∠BON＝∠AOD＝30°． 如图2﹣4中，若∠AOD＝2∠AOC，则∠AOD＝120°，此时旋转角210°不符合题意． 如图2﹣5中，当OA平分COD时，也满足条件，此时∠AOD＝60°． 综上所述，满足条件的∠BON的值为40°或20°或30°或60°． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版数学七年级下册暑假巩固复习 第二章《相交线与平行线》 1.两条直线的位置关系 知识点复习 两条直线的位置关系 1. 在同一平面内，两条直线的位置关系有 和 两种。 2. 若两条直线只有一个公共点，称这两条直线为 。 3. 在同一平面内，不相交的两条直线叫作 ，用符号 "____" 表示。 4. 具有公共顶点，且两边互为反向延长线的两个角叫作 ， 其性质是 。 5. 如果两个角的和是 ，称这两个角互为 ；如果两个角的和是 90°，称这两个角互为 。 6. 同角（或等角）的补角 ，同角（或等角）的余角 。 7. 两条直线相交成四个角，若有一个角是直角，称这两条直线互相 ，其中一条直线叫作另一条直线的 ，它们的交点叫作 ，用符号 "____" 表示。 8. 同一平面内，过一点有且只有 条直线与已知直线垂直。 9. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， 最短，这条线段的长度叫 作 。 知识点练习 一、选择题练习 1．如图，某村庄在灌溉时要把河水引到农田A处，为保证渠道最短，挖渠的位置这样确定：过点A向河岸l作垂线，垂足为B，则AB就是所要挖的渠道，理由是（　　） A．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．两条直线相交有且只有一个交点 C．过一点可以作无数条直线 D．垂线段最短 2．如图，在平面内过点O作已知直线a的平行线和垂线，可作的条数分别是m条和n条，则m+n的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 3．下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，CD⊥AB于点D，则点A到CD的距离是（　　） A．线段AB的长 B．线段AC的长 C．线段AD的长 D．线段BC的长 5．如图，直线AB与CD相交于点O，若∠3＝2∠1，则∠2等于（　　） A．60° B．120° C．30° D．150° 6．如图，点O直线AD上，∠BOE＝∠COD＝90°，那么下列结论错误的是（　　） A．∠AOE＝∠COB B．∠COE＝∠DOE C．∠AOB与∠COB互为余角 D．∠COE与∠AOB互为补角 7．如图所示，下列结论正确的是（　　） A．∠1＝90° B．∠2＝50° C．∠3＝40° D．∠4＝130° 8．如图，笔直小路DE的一侧栽种有两棵小树BM，CN，小明测得AB＝3m，AC＝5m，则点A到DE的距离可能为（　　） A．5m B．4m C．3m D．2m 9．已知∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，若∠1＝∠4，则∠2与∠3的关系是（　　） A．∠2＜∠3 B．∠2＝∠3 C．∠2＞∠3 D．无法确定 10．如图，点C，D在线段上，O为AB上方一点，连接OC，OD．有下列结论：①图中共有8个锐角；②图中互余的角有3对；③图中共有线段10条；④若AB＝12，CD＝6，P为线段AB上一点，则点P到点A，C，D，B的距离之和最小为18．其中正确的结论有（　　） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 二、填空题练习 11．若∠α＝35°27'，则∠α的余角的度数是　 　 ． 12．一个锐角的补角比它的余角的2倍多36°，则这个锐角度数为　 　 °． 13．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O，∠AOC＝35°，则∠BOE＝　 　 ． 14．如图，直线AB，CD交于点O，OE⊥AB，∠EOC＝28°，则∠BOD的度数为　 　 ． 15．如图，点P到一条笔直的公路MN共有四条路径，若要用相同速度从点P走到公路，最快到达的路径是选择沿线段PB去公路，这一选择用到的数学知识是 　 　 ． 16．太阳光和灯光都是我们生活中的光源，蕴含着很丰富的数学知识．如图，一束光沿AB方向射入水平液面EF，在点B处发生折射，折射光沿BC方向射出，点D为AB延长线一点，若∠1＝51°，∠2＝24°，则BC与水平底面形成的∠3的度数为　 　 ． 17．下列各图中的直线都相交于一点． 若n条直线相交于一点，则共有　 　 对对顶角． 18．如图，直线AB，CD相交于点O，如果∠1＝40°，那么∠2＝ 　 　 °，∠3＝ 　 　 °． 19．【动手操作】如图，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝135°．将直角三角板MON绕点O旋转一周，当直线OM与直线OC互相垂直时，∠AOM的度数是 　 　 ． 20．如图，点O是量角器的中心点，射线OM经过刻度线90．若∠AOB＝∠COD．射线OA、OB分别经过刻度线40和60，∠COD在刻度线OM的右侧． 下列结论： ①∠AOC＝∠BOD； ②若∠AOC与∠BOC互补，则射线OD经过刻度线160； ③若∠MOC＝3∠COD，则图中共有5对角互为余角． 其中正确的是 　 　 （填序号）． 三、解答题练习 21．已知一个角的余角的4倍与这个角的补角的和是180°，求这个角的度数． 22．如图，如果∠1+∠2＝290°，那么∠1、∠2、∠3各是多少度？ 23．如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC，若∠EOB＝35°，求∠AOD的度数． 24．如图，直线CD，AB相交于点O，射线OM、ON分别在∠BOC、∠AOD的内部，已知∠AON＝∠COM，∠BOD+∠AON＝90°． （1）求∠MOB的度数； （2）若，求∠BOC的度数． 25．如图所示，直线c，d被直线a，b所截，已知∠1与∠2，∠1与∠5，∠3与∠4分别互补，且∠4＝135°，试求∠1，∠2，∠3的度数． 26．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，若∠BOC比∠DOE大75°．求∠AOD和∠EOF的度数． 27．如图，AG平分∠BAC，∠BED＝∠C，∠1+∠2＝90°． （1）求证：FH⊥DE； （2）若∠3＝∠4，∠BAC＝66°，求∠DFH的度数． 28．如图1，直线AB上任取一点O，过点O作射线OC（点C在直线AB上方），且∠BOC＝2∠AOC，以O为顶点作∠MON＝90°，点M在射线OB上，点N在直线AB下方，点D是射线ON反向延长线上的一点． （1）求∠COD的度数； （2）如图2，将∠MON绕点O逆时针旋转α度（0°＜α＜180°），若三条射线OD、OC、OA，当其中一条射线与另外两条射线所夹角的度数之比为1：2时，求∠BON的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$