精品解析：安徽省六安市金寨县2024-2025学年八年级下学期期末检测数学试卷

金寨县2024-2025学年度第二学期期末质量监测 八年级数学试卷 时间：120分钟 满分：150 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 根据最简二次根式的定义逐项进行判定即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项不符合题意； B、是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、不是最简二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 郑板桥有诗《山中雪后》云：“晨起开门雪满山，雪晴云淡日光寒”描绘了一幅冬日山居雪景图．想感受冬日山居雪景的小颖密切关注寒假期间成都某山区一周的最低气温（）以便出行，该山区某周的最低气温预报如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 最低气温（） 则最低气温的众数、中位数分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中位数与众数的定义，掌握中位数与众数的定义是解题的关键，中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，在中间的一个数字(或者两个数字的平均值)叫做这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数． 先把把数据由小到大排列，然后根据众数和中位数的定义求解． 【详解】解：把数据由小到大排列为：，，，，，，， 最低气温中，出现次数最多，共3次，故最低气温的众数是， 最中间的数是第4个数，是； 故选：A． 3. 据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为亿元，5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为亿元．若全国旅游收入日平均增长率为x，则可以列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设全国旅游收入日平均增长率为x，则5月2日的收入为亿元，5月3日的收入为亿元，据此列出方程即可． 【详解】解：设全国旅游收入日平均增长率为x， 由题意得，， 故选：A． 4. 设a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值为（　　） A. 0 B. 1 C. 2025 D. 2024 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的意义，根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解． 根据一元二次方程的根的意义求得的值，根据根与系数的关系求得的值，将化为，进而代入求解即可． 【详解】a，b是方程的两个不相等的实数根， ∴， ． 故选：D． 5. 已知，中、、的对边分别是、、，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. ∶∶∶∶ 【答案】D 【解析】 【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵，，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵，，∴最大的角，∴不是直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理． 6. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可． 【详解】解：连接AC，如图： 根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=． ∵（）2+（）2=（）2． ∴AC2+BC2=AB2． ∴△ABC是等腰直角三角形． ∴∠ABC=45°． 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握其性质是解题的关键． 7. 如图，在数轴上点A表示的数是2，点C表示的数是，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴上两点间距离公式求出，再根据勾股定理求出，由作图方式可知，再根据点A表示的数即可求出点D表示的数． 【详解】解：点A表示的数是2，点C表示的数是， ， ， ， ， 由作图方式可知， 点A表示的数是2，点D在点A的左侧， 点D表示的数是． 故选C． 【点睛】本题考查实数与数轴，数轴上两点间距离公式以及勾股定理等，解题的关键是求出的长度． 8. 如图，与均为直角三角形，且，，，点是的中点，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，三角形全等的判定与性质．延长交的延长线于点，先证和全等，得出，，于是求出的长，在中利用勾股定理求出的长，在中利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：延长交的延长线于点， ， ∴， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，， 在中，由勾股定理得， ， 故选：B． 9. 定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】按新定义规定的运算法则，将其化为关于x的一元二次方程，从二次项系数和判别式两个方面入手，即可解决． 【详解】解：∵[x2+1，x]※[5−2k，k]=0， ∴． 整理得，． ∵方程有两个实数根， ∴判别式且． 由得，， 解得，． ∴k的取值范围是且． 故选：C 【点睛】本题考查了新定义运算、一元二次方程的根的判别等知识点，正确理解新定义的运算法则是解题的基础，熟知一元二次方程的条件、根的不同情况与判别式符号之间的对应关系是解题的关键．此类题目容易忽略之处在于二次项系数不能为零的条件限制，要引起高度重视． 10. 如图，正方形的边长为3，点P是正方形的内部一动点，且正方形的面积始终等于的面积的6倍，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】作于点Q，根据已知中面积关系可求得，作直线于点M，交于点N，可判断点P在线段上运动，作点C关于对称点F，则点F在的延长线上，且，连接交于点P，则此时最小，最小值为的长，勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：作于点Q，则由正方形的面积始终等于的面积的6倍， 可得， ∴，即P到的距离始终为1， 作直线于点M，交于点N，则点P在线段上运动，且四边形均为矩形， ∴， ∴， 作点C关于对称点F，则点F在的延长线上，且，连接交于点P，则此时最小，最小值为的长， 则在直角三角形中，根据勾股定理得； 即线段的最小值是5； 故选：D. 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、利用轴对称的性质求线段和的最小值以及矩形的判定和性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、得出的最小值为的长是解题的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式的非负性以及分式的分母不为0，求解即可． 【详解】由题知， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查二次根式的非负性以及分式的分母不为0，属于基础题，熟练掌握这些概念是解题关键． 12. 若一组数据1、2、x、6、8的众数为8，则这组数据的方差是____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据众数，确定，求得数据的平均数，后根据公式计算方差即可． 【详解】∵一组数据1、2、x、6、8的众数为8， ∴， ∴， ∴， 故答案：． 【点睛】本题考查了众数，平均数，方差，熟练掌握计算公式是解题的关键． 13. 已知关于的一元二次方程，若等腰三角形的一边长为，另两边长恰好是该方程的两个根，则的值是______． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．已知可能是底，也可能是腰，分两种情况求得，的值后，可得结论． 【详解】解：若为底边，设，为腰长，则，则， ， 解得：， 此时原方程化为， ，即， 此时三边为，，能构成三角形， ； 若，则或，即方程有一根为， 把代入方程，得， 解得：， 此时方程为， 解得：，， 方程另一根为， 、、能构成三角形， ，综上，的值为或， 故答案为：或． 14. 如图，矩形中，，．点N是边上一动点，将沿折叠，使点B落在点M处，延长交矩形的一边与点E， （1）当为的角平分线时，的度数为____________； （2）当点E为中点时，则的长为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，得到，根据为的角平分线，得到，于是得到，结合矩形的性质计算即可． （2）延长，，二线交于点P，证明，根据折叠性质，矩形性质和勾股定理计算即可． 【详解】（1）∵矩形， ∴， ∵沿折叠， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）延长，交于点P， ∵矩形， ∴，， ∵点E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵，， ∴． 根据折叠的性质，得到，，， 故． 设， 则， 在中， ， 故， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形全等的判断和性质，熟练掌握上述知识是解题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据相应的运算法则计算即可． 【详解】 ． 16. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）先化简，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ， ，； 【小问2详解】 解： ， ， 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是计算本题的关键． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是1，求方程另一个根． 【答案】（1）见解析 （2）-5 【解析】 【分析】(1)只需证明根的判别式△＞0即可． (2)设另一个根为，利用根与系数关系定理，×1= -5，计算即可． 【小问1详解】 ∵中，a=1，b=a，c=-5， ∴△=＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 设另一个根为， ∵， ∴×1= -5， 解得= -5， 故方程另一个根为-5． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系定理，熟练掌握并灵活应用两个定理是解题的关键． 18. 如图，的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点E，P是的中点，若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，平行四边形的判定与性质，先证明，可得，再结合三角形的中位线的性质可得答案． 【详解】解：在中，，，，， ． 平分， ， ， ， ． 是的中点，是的中点， ． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第4个等式： ； （2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的式子表示），并证明． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据数字规律求解； （2）根据数字规律及二次根式的性质计算． 【详解】解：（1）由题意： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 第4个等式为：， 故答案为：； （2）由（1）可得： 第个等式为：， 证明：左边， 左边右边， 等式成立． 故答案为：． 【点睛】本题考查数字类规律探索，分式的加减运算和二次根式的化简，理解题意发现数字间的规律是解题关键． 20. 中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽取了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图： 请你根据图中的信息，解答下列问题： （1）写出扇形图中______，并补全条形图； （2）样本数据的平均数是______，众数是______，中位数是______； （3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1200人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？ 【答案】（1）25%，图形见解析；（2）5.3，5，5；（3）540名. 【解析】 【分析】（1）用1减去其他人数所占的百分比即可得到a的值，再计算出样本总数，用样本总数×a的值即可得出“引体向上达6个”的人数； （2）根据平均数、众数与中位数的定义求解即可； （3）先求出样本中得满分的学生所占的百分比，再乘以1200即可． 【详解】解：（1）由题意可得， ， 样本总数为：， 做6个的学生数是， 故答案是：25％， 条形统计图补充如下： （2）由补全的条形图可知， 样本数据的平均数， ∵引体向上5个的学生有60人，人数最多， ∴众数是5， ∵共200名同学,排序后第100名与第101名同学的成绩都是5个， ∴中位数为， 故答案是：5.3，5，5； （3）该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有： （名）， 即该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有540名． 【点睛】本题主要考查了众数，用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图，中位数，平均数，掌握众数，用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图，中位数，平均数是解题的关键. 六、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 21. 在中，．点D是边AB上的一点，连接CD．作，，连接ED． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当D是边AB的中点时，若，，求四边形ADCE的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据AE∥DC，CE∥AB，可以得到四边形AECD是平行四边形，再根据CD⊥AB，即可得到结论成立； （2）根据题意，先判断四边形AECD是菱形，然后求出AC的长，再计算四边形ADCE的面积即可． 【小问1详解】 证明：∵AE∥DC，CE∥AB， ∴四边形AECD是平行四边形， ∵CD⊥AB， ∴∠CDA＝90°， ∴四边形AECD是矩形， ∴AC＝ED； 【小问2详解】 解：∵D是边AB的中点，∠ACB＝90°，AB＝10， ∴CD＝AD＝5， ∵AE∥DC，CE∥AB， ∴四边形AECD是平行四边形， ∴四边形AECD是菱形， ∴DE＝4， ∴AC＝， ∴AC＝6， ∴四边形ADCE的面积是AC•DE＝×6×8＝24， 即四边形ADCE的面积是24． 【点睛】本题考查勾股定理、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 22. 岳西县被誉为“中国茭白之乡”，该县某村今年种植12万千克的茭白，计划在A市和B市全部销售，若在A市销售，每千克茭白的利润为2元，若在B市销售，平均每千克茭白的利润y（元）与B市的销售量x（万千克）之间的关系满足：． （1）若在A市销售茭白2万千克，则销售完这批茭白共获利多少万元； （2）若该村销售完所有茭白共获利28.8万元，求B市销售茭白多少万千克； （3）若在B市销售茭白m万千克与n万千克所获总利润相同，且，请直接写出m与n所满足的关系式：______． 【答案】（1）26万元 （2）B市销售茭白3万千克或8万千克 （3） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）根据题意列出算式，计算即可得到结果； （2）设在B市销售茭白x万千克，则在A市销售茭白万千克，根据题意列出方程求解即可； （3）根据“在B市销售茭白m万千克与n万千克所获总利润相同，”列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【小问1详解】 解：若在A市销售茭白2万千克，则在B市销售茭白万千克， 则销售完这批茭白共获利万元； 【小问2详解】 解：设在B市销售茭白x万千克，则在A市销售茭白万千克， 根据题意可得：， 解得：或， 答：B市销售茭白3万千克或8万千克． 【小问3详解】 解：在B市销售茭白m万千克，则在A市销售茭白万千克， 在B市销售茭白n万千克，则在A市销售茭白万千克， 根据题意可得：， 化简得：， 即或， 解得：（舍去），或． 答：m与n所满足的关系式为：． 七、（本题满分14分） 23. 如图所示，在正方形中，E，F分别为的中点，和相交于点P，连接， （1）如图①，试猜想与的数量关系和位置关系，请说明理由； （2）求证： （3）试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想. 【答案】（1）且，见解析 （2）见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）证明，推出，，可得结论； （2）作交于M，交于G，连接，证明四边形为平行四边形，则，，由得到是直角三角形，，则，是等腰三角形，垂直平分，则，即可得到结论； （3）延长到点，使，证明，进而证明是等腰直角三角形，可得结论． 【小问1详解】 解：，． 理由：正方形中， ，， ∵、分别为，的中点， ∴， ∴， ， ，． ， ， ， ； 【小问2详解】 证明：作交于M，交于G，连接，如图1， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴是直角三角形，， ∴， ∴是等腰三角形， ∴垂直平分， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：结论：． 理由：如图，延长到点，使， ， ， ． 、分别为，的中点， ， ． ，， ， 是等腰直角三角形， ． ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金寨县2024-2025学年度第二学期期末质量监测 八年级数学试卷 时间：120分钟 满分：150 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列不是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 郑板桥有诗《山中雪后》云：“晨起开门雪满山，雪晴云淡日光寒”描绘了一幅冬日山居雪景图．想感受冬日山居雪景的小颖密切关注寒假期间成都某山区一周的最低气温（）以便出行，该山区某周的最低气温预报如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 最低气温（） 则最低气温的众数、中位数分别是（ ） A. B. C. D. 3. 据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为亿元，5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为亿元．若全国旅游收入日平均增长率为x，则可以列出方程为（ ） A. B. C. D. 4. 设a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值为（　　） A. 0 B. 1 C. 2025 D. 2024 5. 已知，中、、的对边分别是、、，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. ∶∶∶∶ 6. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 7. 如图，在数轴上点A表示的数是2，点C表示的数是，，，以点A为圆心，的长为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，与均为直角三角形，且，，，点是的中点，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 9. 定义新运算“※”：对于实数，，，，有，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如：．若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 10. 如图，正方形的边长为3，点P是正方形的内部一动点，且正方形的面积始终等于的面积的6倍，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. C. 4 D. 5 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是__________． 12. 若一组数据1、2、x、6、8的众数为8，则这组数据的方差是____________ 13. 已知关于的一元二次方程，若等腰三角形的一边长为，另两边长恰好是该方程的两个根，则的值是______． 14. 如图，矩形中，，．点N是边上一动点，将沿折叠，使点B落在点M处，延长交矩形的一边与点E， （1）当为的角平分线时，的度数为____________； （2）当点E为中点时，则的长为____________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 15. 计算：． 16. 解下列方程： （1） （2） 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根是1，求方程另一个根． 18. 如图，的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点E，P是的中点，若，，求的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： （1）写出第4个等式： ； （2）写出你猜想的第n个等式： （用含n的式子表示），并证明． 20. 中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽取了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图： 请你根据图中的信息，解答下列问题： （1）写出扇形图中______，并补全条形图； （2）样本数据的平均数是______，众数是______，中位数是______； （3）该区体育中考选报引体向上的男生共有1200人，如果体育中考引体向上达6个以上（含6个）得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？ 六、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 21. 在中，．点D是边AB上的一点，连接CD．作，，连接ED． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当D是边AB的中点时，若，，求四边形ADCE的面积． 22. 岳西县被誉为“中国茭白之乡”，该县某村今年种植12万千克的茭白，计划在A市和B市全部销售，若在A市销售，每千克茭白的利润为2元，若在B市销售，平均每千克茭白的利润y（元）与B市的销售量x（万千克）之间的关系满足：． （1）若在A市销售茭白2万千克，则销售完这批茭白共获利多少万元； （2）若该村销售完所有茭白共获利28.8万元，求B市销售茭白多少万千克； （3）若在B市销售茭白m万千克与n万千克所获总利润相同，且，请直接写出m与n所满足的关系式：______． 七、（本题满分14分） 23. 如图所示，在正方形中，E，F分别为的中点，和相交于点P，连接， （1）如图①，试猜想与的数量关系和位置关系，请说明理由； （2）求证： （3）试猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $