精品解析：安徽省六安市金寨县沙河中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

六安市金寨县沙河中学2023—2024学年度第二学期期末考试 八年级数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，直线与直线交于点，则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 3. 在同一平面内，从①，②，③，④，这四个条件中任意选取两个能使四边形是平行四边形的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，是角平分线，于点，，，则（ ） A. 2 B. C. D. 6 5. 有一块边长为x米的正方形空地，计划按如图所示的方式去种植草皮（图中阴影部分种植草皮）．方式一，在正方形空地上留两条宽为2a米的互相垂直的路；方式二，在正方形空地四周各留一块边长为a米的小正方形空地种植树木，现准备用5000元购进草皮．关于哪种方式种植草皮的单价高以及较高的单价是较低的单价的多少倍（　　） A. 用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 B. 用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 C. 用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 D. 用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 6. 关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的值之和为（ ） A 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 如图，A，B两地被池塘隔开，在没办法直接测量的情况下，小明通过下面的方法估测出了两地的距离，在外选一点，连接和，并分别找出和的中点，，测得，可估计，两地的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 在关于x，y的方程组中，未知数满足，，那么m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在△ABC中，D是AC边上中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'与AB交于点E，连接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC的距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每空5分，共25分） 11. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是 ___． 12. 用反证法证明某一命题的结论“”时，第一步应假设___________． 13. 关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是______． 14. 用反证法证明“三角形的三个内角中至少有一个角不小于60度”，第一步应假设_____________________________． 15. 等边△ABC的边长为2，过点C作直线lAB，P为直线l上一点，且，则点P到BC所在直线的距离是__________． 三、计算题（第16题7分，第17题8分，共15分） 16. 先化简，再求值：，其中 17. 先因式分解，再计算求值：，其中； 四、解答题（共70分） 18. 如图，直线相交于点O，，垂足为O，且平分．若，求的度数． 19. 如图，在中，，，垂直平分线交于点，交于点，且．延长交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）求的长． 20. “粮食生产根本在耕地、出路在科技”．为提高农田耕种效率，今年开春某农村合作社计划投入资金购进甲、乙两种农耕设备，已知购进2台甲种农耕设备和1台乙种农耕设备共需4.2万元；购进1台甲种农耕设备和3台乙种农耕设备共需5.1万元． （1）求甲种农耕设备和乙种农耕设备单价各是多少万元； （2）若该合作社决定购买甲、乙两种农耕设备共7台，且购进甲、乙两种农耕设备总资金不超过10万元，求最多可以购进甲种农耕设备多少台． 21. 某水果店销售A、B两种规格的水果礼盒，A进货价为每盒60元，B进货价为每盒45元．表格中是该水果店近两周这两种水果礼盒的销售情况．（进价保持不变，不考虑水果变质等损耗） 销售时段 周销售数量 周销售总利润 第一周 40盒A水果礼盒 85盒B水果礼盒 2075元 第二周 60盒A水果礼盒 100盒B水果礼盒 2700元 （1）若这两周售价保持不变，求这两种规格水果礼盒的售价分别为每盒多少元？ （2）第三周，该店决定恰好9000元购进A、B两种水果礼盒，A水果礼盒按售价打九折进行促销，而B水果礼盒则按利润率为定价，使得第三周总利润至少为3000元，且A、B两种水果礼盒全部售完，求第三周最多进货A水果礼盒多少盒？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且m，n满足，将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段DC，其中点D与点A对应，点C与点B对应，连接AD，BC，CD，得到平行四边形ABCD，连接BD． （1）补全图形，并写出平行四边形ABCD各顶点坐标； （2）平行四边形ABCD的面积是多少？ （3）在x轴上是否存在点M，使△MBD的面积等于平行四边形ABCD的面积？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由． 23 根据解答过程填空． 已知：如图，，平分交于点，交延长线于点，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴（理由：__________________）． ∴_________（理由：__________________）． ∵平分（已知）， ∴， ∴， ∵（已知）， ∴， ∴（理由：__________________）， ∴（理由：__________________）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 六安市金寨县沙河中学2023—2024学年度第二学期期末考试 八年级数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的加减法运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：，故A错误，不符合题意； ，故B错误，不符合题意； ，故C错误，不符合题意； ，故D正确，符合题意； 故选：D． 2. 如图，直线与直线交于点，则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出直线在直线上方部分的取值范围即可． 【详解】解：由图可知，当时，直线在直线上方， ∴不等式的解集为； 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 3. 在同一平面内，从①，②，③，④，这四个条件中任意选取两个能使四边形是平行四边形的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，用概率公式求概率，掌握平行四边形的判定方法和概率公式是解题的关键． 根据从①，②，③，④，这四个条件中任意选取两个，共有6种方法，由平行四边形的判定方法，可得①②、②④、①③、③④共有4种可判定是平行四边形．再根据概率公式求解即可． 【详解】解：从①，②，③，④，这四个条件中任意选取两个，共有6种方法， 由平行四边形的判定方法，可得①②、②④、①③、③④共有4种可判定是平行四边形． ∴这四个条件中任意选取两个能使四边形是平行四边形的概率为． 故选：A． 4. 如图，在中，，是角平分线，于点，，，则（ ） A. 2 B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据角平分线的性质得出，根据已知条件得出，在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵在中，，是角平分线， ∴ ∵，， ∴，， 在中，， 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 5. 有一块边长为x米的正方形空地，计划按如图所示的方式去种植草皮（图中阴影部分种植草皮）．方式一，在正方形空地上留两条宽为2a米的互相垂直的路；方式二，在正方形空地四周各留一块边长为a米的小正方形空地种植树木，现准备用5000元购进草皮．关于哪种方式种植草皮的单价高以及较高的单价是较低的单价的多少倍（　　） A. 用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 B. 用方式一比用方式二种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 C. 用方式二比用方式一种植草皮的单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 D. 用方式二比用方式一种植草皮单价高，且较高的单价是较低的单价的倍 【答案】A 【解析】 【分析】先求出每种方式草皮的面积，再5000元除以面积，即可得出答案；列出算式两种草皮单价之比为：，再求出即可． 【详解】解：方式一种植草皮每平方米的单价是5000÷[x2﹣2ax﹣2ax+（2a）2]＝（元）； 方式二种植草皮每平方米的单价是5000÷（x2﹣4a2）＝＝（元）， ∵x+2a＞x﹣2a， ∴＞， ∴用方式一比用方式二种植草皮的单价高， 两种草皮单价之比为： ＝• ＝， 故选：A． 【点睛】本题考查了列代数式与分式的混合运算的应用，解此题的关键是能关键题意列出算式，熟练进行计算． 6. 关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数的值之和为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】先解不等式组，根据不等数组的解集为求出，再解分式方程，根据分式方程的解为正数得到，从而得到，并进行验根，再求出正整数的值进行相加即可得到答案． 详解】解：∵， ∴ ∴， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，且 ∴正整数m有：2,3， ∵， 故选：C． 【点睛】本题考查不等式组和分式方程，解题的关键是掌握不等式组和分式方程的解法，并对分式分方程进行验根． 7. 如图，A，B两地被池塘隔开，在没办法直接测量的情况下，小明通过下面的方法估测出了两地的距离，在外选一点，连接和，并分别找出和的中点，，测得，可估计，两地的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理，得且，即可求出． 【详解】∵，是和的中点 ∴在中，是的中位线 ∴ ∵ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查三角形中位线的性质，解题的关键是掌握三角形中位线的性质． 8. 在关于x，y的方程组中，未知数满足，，那么m的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先解方程组求出方程组的解，然后根据，，列出关于m的不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：， 把①×2②得，解得 把代入② 中，解得 ∴方程组的解为：， 由，，则有， 解得：， 故选C． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的解法，二元一次方程组的解与解法，熟练掌握方程组与不等式组的解法是关键． 9. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用已知条件得到，再利用不等式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论； 本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， ， A选项不成立，不符合题意； ， B选项不成立，不符合题意； C选项一定成立，符合题意； ， D选项不成立，不符合题意； 故选： C． 10. 如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'与AB交于点E，连接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M＝DM＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长，则可得出答案． 详解】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H， ∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点， ∴DC＝AD＝2， 由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'， ∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M， ∴AD＝AC′＝DC'＝2， ∴△ADC'为等边三角形， ∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°， ∵DC＝DC'， ∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°， 在Rt△C'DM中， ∠DC'C＝30°，DC'＝2， ∴DM＝1，C'M＝DM＝， ∴BM＝BD−DM＝3−1＝2， 在Rt△BMC'中， BC'＝， ∵S△BDC'＝BC'•DH＝BD•CM， ∴DH＝3×， ∴DH＝， ∵∠DCB＝∠DBC'， ∴点D到BC的距离为． 故答案：C． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度． 二、填空题（每空5分，共25分） 11. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是 ___． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用二次根式的定义得出答案． 【详解】解：二次根式有意义，故2x≥0， 则x的取值范围是：x≥0． 故答案为：x≥0． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 12. 用反证法证明某一命题的结论“”时，第一步应假设___________． 【答案】 【解析】 【分析】熟记反证法的步骤，得出的反面是即可． 【详解】解：用反证法证明“”时，应先假设， 故答案为：． 【点睛】本题结合不等式的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.反证法的步骤是：假设结论不成立；从假设出发推出矛盾；假设不成立，则结论成立，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 13. 关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】先去分母，化为一个关于x的含参数的一元一次方程，求解x，再根据x的取值范围和使分式有意义的条件求的范围． 【详解】去分母得：， ， ， 方程的解为正数， 且， ， 且． 故答案为：且． 【点睛】本题考查分式方程的解，正确的求解分式方程是解题的关键．注意要使分式有意义则分母不等于0． 14. 用反证法证明“三角形的三个内角中至少有一个角不小于60度”，第一步应假设_____________________________． 【答案】三角形的三个内角都小于 【解析】 【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接填空即可；此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤是解题的关键． 【详解】解：∵用反证法证明三角形中至少有一个角不小于， 第一步应假设结论不成立， 即三角形的三个内角都小于. 故答案为：三角形的三个内角都小于. 15. 等边△ABC的边长为2，过点C作直线lAB，P为直线l上一点，且，则点P到BC所在直线的距离是__________． 【答案】或2 【解析】 【分析】根据题目画图，并求出AP、AE的长度，根据P点所在的位置分类，分为P在EC延长线上，还是P在CE延长线上，再运用勾股定理，分别算出点P到BC所在直线的距离即可． 【详解】过点C作CD⊥AB于D，过点A作AE⊥l于E，如图1所示， ∵，CD⊥AB于D， ∴， ∴， ∵AE⊥l于E， ∴ ∴ 当P点EC的延长线上时，AP交BC于点F，如图1所示， ∵ ∴ ∵lAB， ∴ ∴ ∴PF即为P点到BC所在直线的距离， ∵，， ∴， ∴ ∴； 当P点CE的延长线上时，延长BC，过点P作PF⊥CF，交BC延长线于点F，如图2所示， ∵，， ∴， ∵lAB， ∴ ∵PF⊥CF， ∴ ∴ ∴； 综上所述，P点到BC所在直线的距离为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半，以及勾股定理，分类思想是解决本题的关键． 三、计算题（第16题7分，第17题8分，共15分） 16. 先化简，再求值：，其中 【答案】； 【解析】 【分析】根据完全平方差公式化简第一个式子的分母，再把括号的式子通分再相减，运用除以一个数等于乘以它的倒数进行化简，再把x的值代入求解即可得到答案． 【详解】解： = ； 故当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，掌握完全平方差公式是解题的关键． 17. 先因式分解，再计算求值：，其中； 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，先将原式运用提公因式法分解后，再代入求值即可 【详解】解： ； 把代入得，原式． 四、解答题（共70分） 18. 如图，直线相交于点O，，垂足为O，且平分．若，求的度数． 【答案】65° 【解析】 【分析】本题考查了角平分线定义、对顶角、垂直定义等知识点，能求出各个角的度数是解此题的关键．根据对顶角相等求出的度数，根据垂直求出的度数，根据角平分线定义即可求出答案． 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 19. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，且．延长交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2）的长为 【解析】 【分析】（1）根据垂直平分线的性质可得，在中，根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （2）根据垂直平分线的性质得出，进而可得，在中，勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：垂直平分，， ． 在中，，，， ， ，即． 【小问2详解】 解：是线段的垂直平分线， ， ． ， ， ， ． 即的长为． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 20. “粮食生产根本在耕地、出路在科技”．为提高农田耕种效率，今年开春某农村合作社计划投入资金购进甲、乙两种农耕设备，已知购进2台甲种农耕设备和1台乙种农耕设备共需4.2万元；购进1台甲种农耕设备和3台乙种农耕设备共需5.1万元． （1）求甲种农耕设备和乙种农耕设备单价各是多少万元； （2）若该合作社决定购买甲、乙两种农耕设备共7台，且购进甲、乙两种农耕设备总资金不超过10万元，求最多可以购进甲种农耕设备多少台． 【答案】（1）1台甲种农耕设备需1.5万元，1台乙种农耕设备需1.2万元； （2）5台 【解析】 【分析】（1）设购进1台甲种农耕设备需万元，1台乙种农耕设备需万元，根据“购进2台甲种农耕设备和1台乙种农耕设备共需4.2万元；购进1台甲种农耕设备和3台乙种农耕设备共需5.1万元”，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进甲种农耕设备台，则购进乙种农耕设备台，利用总价单价数量，结合总价不超过10万元，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【小问1详解】 解：设购进1台甲种农耕设备需万元，1台乙种农耕设备需万元， 根据题意得：， 解得：． 答：购进1台甲种农耕设备需1.5万元，1台乙种农耕设备需1.2万元； 【小问2详解】 解：设购进甲种农耕设备台，则购进乙种农耕设备台， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 的最大值为5． 答：最多可以购进甲种农耕设备5台． 21. 某水果店销售A、B两种规格的水果礼盒，A进货价为每盒60元，B进货价为每盒45元．表格中是该水果店近两周这两种水果礼盒的销售情况．（进价保持不变，不考虑水果变质等损耗） 销售时段 周销售数量 周销售总利润 第一周 40盒A水果礼盒 85盒B水果礼盒 2075元 第二周 60盒A水果礼盒 100盒B水果礼盒 2700元 （1）若这两周售价保持不变，求这两种规格水果礼盒的售价分别为每盒多少元？ （2）第三周，该店决定恰好9000元购进A、B两种水果礼盒，A水果礼盒按售价打九折进行促销，而B水果礼盒则按利润率为定价，使得第三周总利润至少为3000元，且A、B两种水果礼盒全部售完，求第三周最多进货A水果礼盒多少盒？ 【答案】（1）A水果礼盒的售价为80元，B水果礼盒的售价为60元 （2）48盒 【解析】 【分析】（1）设A水果礼盒的售价为x元，B水果礼盒的售价为y元，根据两周的总利润列出方程组，解之即可； （2）设购进A种水果礼盒m盒，B种水果礼盒n盒，根据进货总价9000元列出方程，整理得到，再根据第三周总利润至少为3000元列出不等式，代入求出最大整数解即可． 【小问1详解】 解：设A水果礼盒的售价为x元，B水果礼盒的售价为y元， 由题意可得：， 解得：， ∴A水果礼盒的售价为80元，B水果礼盒的售价为60元； 【小问2详解】 设购进A种水果礼盒m盒，B种水果礼盒n盒， 由题意可得：， 整理得：， ∵第三周总利润至少为3000元，且A、B两种水果礼盒全部售完， ∴， 整理得：， ∴， 解得：， 又∵为正整数 ∴为3的倍数，即最大为 ∴第三周最多进货A水果礼盒盒． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的解，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解销售问题中的等量关系，正确列出方程组和不等式． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且m，n满足，将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到线段DC，其中点D与点A对应，点C与点B对应，连接AD，BC，CD，得到平行四边形ABCD，连接BD． （1）补全图形，并写出平行四边形ABCD各顶点坐标； （2）平行四边形ABCD的面积是多少？ （3）在x轴上是否存在点M，使△MBD的面积等于平行四边形ABCD的面积？若存在，求出点M坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）图见解析，，，， （2）12 （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）先根据绝对值和偶次方的非负性可得的值，再根据平移的性质、线段的画法补全图形，然后根据点坐标的平移变换规律即可得点的坐标； （2）先求出，，再利用平行四边形的面积公式即可得； （3）设点的坐标为，则，再根据三角形的面积公式建立方程，解方程可得的值，由此即可得． 【小问1详解】 解：， ，， 解得，， ，， 补全图形如下： 由平移的性质得：，，即，． 【小问2详解】 解：，，， ，， 则平行四边形的面积是． 【小问3详解】 解：如图，设点的坐标为， 则， 的面积等于平行四边形的面积， ，即， 解得或， 所以存在这样的点，此时点的坐标为或． 【点睛】本题考查了平移作图、点坐标的平移变换、平行四边形的面积、坐标与图形，熟练掌握平移作图是解题关键． 23. 根据解答过程填空． 已知：如图，，平分交于点，交延长线于点，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴（理由：__________________）． ∴_________（理由：__________________）． ∵平分（已知）， ∴， ∴， ∵（已知）， ∴， ∴（理由：__________________）， ∴（理由：__________________）． 【答案】同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．根据题目中的每一步推理过程，结合图形填写平行线的判定和性质即可． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵平分（已知）， ∴， ∴， ∵（已知）， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 故答案为：同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$