预习专题05 异面直线间的距离（2知识点+2题型+提升练）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020）

预习专题05 异面直线间的距离 1.通过猜测、归纳到论证的探究过程认识和理解两条异面直线的公垂线以及公垂线的存在性与唯一性，进一步完善空间的直线、平面之间的位置关系以及研究方法，提升直观想象和逻辑推理素养。(重点) 2.懂得两条异面直线间的距离的概念，并能在简单情境中求两条异面直线间的距离。(难点) 知识点1：异面直线公垂线定理 1.内容：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交。 知识点2：两条异面直线的距离相关概念 1.公垂线 与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线。 2.公垂线段 公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段。 3.两条异面直线的距离 两条异面直线的公垂线段的长度叫做两条异面直线的距离。 异面直线的距离可转化为：①直线a上任意一点P到过直线b且与a平行的平面的距离； ②直线a上任意一点P到直线c的距离（c为过b且平行于a的直线）。 求异面直线距离的常用方法 1.直接法：找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。 2.转化为线面距离：过其中一条直线b上的任一点作另一条直线a的平行线c，b和c所决定的平面与a之间的距离即为异面直线的距离。 3. 转化为平行平面距离：过两条异面直线作两个互相平行的平面，这两个平面间的距离即为异面直线的距离。 异面直线上两点间的距离公式 如图，已知两条异面直线 、 所成的角为 ，它们的公垂线段 的长度为 ，在直线 、 上分别取：点 、 ，设 ，则 . 题型一、正方体、长方体中异面直线的距离 例1如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． E．均不是 1-1已知正方体的棱长为a，则异面直线与距离是 ． 1-2如图，已知长方体中，，，，则异面直线与BC距离是 ． 1-3正方体的棱长为1，求异面直线与间的距离． 题型二、异面直线间距离的应用 例2已知菱形中，，沿对角线折起，使二面角的平面角为，若异面直线与的距离是菱形边长的，则（    ） A． B． C． D． 2-1已知菱形的边长为a，．将菱形沿对角线折成二面角，若，则异面直线与距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 2-2已知平面平面，直线，直线，点，A到的距离为，a到的距离为，a到b的距离为，到的距离为．则、、、间的大小关系为 ． 2-3已知P为矩形ABCD所在平面外一点，且，P到B、C、D三点的距离分别为、、，则 P 到 A 的距离为 ，异面直线 PA 和 CD 的距离为 ． 2-4已知A是边长为a的正△BCD所在平面外一点，AB＝AC＝AD＝a，E，F分别是AB，CD的中点． (1)求证：EF为异面直线AB与CD的公垂线段； (2)求异面直线AB与CD的距离． 1．三棱锥中，，，，，分别是两条相对棱上的动点，则最小距离为（   ） A．1 B．2 C． D．3 2．如图在棱长为2的正方体，中E为BC的中点，点P在线段上，点P到直线的距离的最小值为（    ）    A． B． C． D． 3．已知长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1＝，过BD1作平面α分别交棱AA1，CC1于E，F，则四边形BFD1E面积的最小值为 . 4．已知是边长为的正三角形所在平面外一点，，点、分别是、的中点， （1）求证：为异面直线与的公垂线段; （2）求异面直线与的距离. 5．在四面体ABCD中，，，，M，N分别为棱AB，CD所在直线的点，则线段长度的最小值为 ． 6．在的二面角的棱上，有两个点分别是这个二面角的两个面上垂直于的线段．已知，，．求的长． 试卷第1页，共3页 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习专题05 异面直线间的距离 1.通过猜测、归纳到论证的探究过程认识和理解两条异面直线的公垂线以及公垂线的存在性与唯一性，进一步完善空间的直线、平面之间的位置关系以及研究方法，提升直观想象和逻辑推理素养。(重点) 2.懂得两条异面直线间的距离的概念，并能在简单情境中求两条异面直线间的距离。(难点) 知识点1：异面直线公垂线定理 1.内容：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交。 知识点2：两条异面直线的距离相关概念 1.公垂线 与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线。 2.公垂线段 公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段。 3.两条异面直线的距离 两条异面直线的公垂线段的长度叫做两条异面直线的距离。 异面直线的距离可转化为：①直线a上任意一点P到过直线b且与a平行的平面的距离； ②直线a上任意一点P到直线c的距离（c为过b且平行于a的直线）。 求异面直线距离的常用方法 1.直接法：找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。 2.转化为线面距离：过其中一条直线b上的任一点作另一条直线a的平行线c，b和c所决定的平面与a之间的距离即为异面直线的距离。 3. 转化为平行平面距离：过两条异面直线作两个互相平行的平面，这两个平面间的距离即为异面直线的距离。 异面直线上两点间的距离公式 如图，已知两条异面直线 、 所成的角为 ，它们的公垂线段 的长度为 ，在直线 、 上分别取：点 、 ，设 ，则 . 题型一、正方体、长方体中异面直线的距离 例1如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（    ） A． B． C． D． E．均不是 【答案】C 【分析】在上取点，使，连接、，过点作于点，结合题意可得平面，平面，故点到直线距离的最小值为，计算出即可得. 【详解】在上取点，使，连接、，过点作于点， 由，故，又平面， 平面， 故平面，由平面，平面，故， 故，又，，、平面， 故平面，故到平面的距离为， 又在线段上，故点到直线距离的最小值为， 由，故，则， 故. 故选：C. 1-1已知正方体的棱长为a，则异面直线与距离是 ． 【答案】 【分析】证明平面，从而将异面直线与距离转换成点到平面的距离，接着证明平面即可结合正方体性质得所求距离为. 【详解】连接，因为平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离就是直线到平面的距离， 又平面，所以异面直线与距离就是点到平面的距离， 由正方体性质可知，平面，平面， 所以，又，平面， 所以平面， 所以由正方体性质点到平面的距离为， 即异面直线与距离为. 故答案为：. 1-2如图，已知长方体中，，，，则异面直线与BC距离是 ． 【答案】4 【分析】因为分别与、垂直，故是与的公垂线，即可求解． 【详解】因为分别与、垂直，故是与的公垂线， 所以的长4就是与之间的距离， 故答案为：4 1-3正方体的棱长为1，求异面直线与间的距离． 【答案】 【分析】将异面直线间的距离转化为线面距离，以及点面的距离. 【详解】如图，连接、，在正方体中，∵， ∴平面，∴与平面间的距离等于异面直线与间的距离． 连接、BD，设，．∵，， ∴平面，且平面，∴平面平面． 连接，则平面平面，作于G， 则平面，∴为直线与平面间的距离， 即为异面直线与间的距离． 在中，，， ∴， ∴， 即异面直线与间的距离为． 题型二、异面直线间距离的应用 例2已知菱形中，，沿对角线折起，使二面角的平面角为，若异面直线与的距离是菱形边长的，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先找到二面角的平面角为，再证明是异面直线与的距离，在中求解. 【详解】如图，设菱形的边长为，连接两条对角线 易得， 菱形沿对角线折起，连接，得到三棱锥 在菱形中，，翻着后垂直不变，即 所以是二面角的平面角，即 又因为 所以平面，取中点，连接 又因为平面 所以 在中，，并且为的中点， 所以 故是异面直线与的距离 又因为异面直线与的距离是菱形边长的 所以 在中， 所以，又因为 所以 故选：C 2-1已知菱形的边长为a，．将菱形沿对角线折成二面角，若，则异面直线与距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按沿对角线BD和沿对角线AC折成二面角分别推理计算异面直线与距离的最大值，再比较大小得解. 【详解】如图，在菱形中，，，， 当沿对角线BD折成二面角时，显然，于是得，取AC中点E，连OE，如图， 则，而平面AOC，平面AOC，即有，因此，线段OE长为异面直线与距离， ，而，即，函数在上单调递减， 于是当时，， 当沿对角线AC折成二面角时，显然，于是得，取BD中点M，连OM，如图， 同理，当时，，而， 所以异面直线与距离的最大值为. 故选：C 2-2已知平面平面，直线，直线，点，A到的距离为，a到的距离为，a到b的距离为，到的距离为．则、、、间的大小关系为 ． 【答案】 【分析】根据平面平面，利用点与面，线与线，线与面和面与面的距离判断. 【详解】因为平面平面，直线， 所以平面， 所以a到的距离与到的距离相等，即， 又点，则A到的距离与到的距离相等，即， 又当a与b异面时，a到b的距离与到的距离相等，即， 当a与b平行时，a到b的距离大于等于与的距离，即， 所以、、、间的大小关系为， 故答案为：. 2-3已知P为矩形ABCD所在平面外一点，且，P到B、C、D三点的距离分别为、、，则 P 到 A 的距离为 ，异面直线 PA 和 CD 的距离为 ． 【答案】 1 3 【分析】分别设，利用勾股定理建立等式分别求出，即得. 【详解】如图所示，设，因为矩形所在平面， 易得， 又，故为异面直线PA和CD的距离 在中，， 同理，， 解得， 所以， 即P到A的距离为1，异面直线PA和CD的距离为3. 故答案为：1；3. 2-4已知A是边长为a的正△BCD所在平面外一点，AB＝AC＝AD＝a，E，F分别是AB，CD的中点． (1)求证：EF为异面直线AB与CD的公垂线段； (2)求异面直线AB与CD的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接EC，ED，可以证得EF⊥CD，同理可得EF⊥AB； （2）根据勾股定理即可求解. 【详解】（1）连接EC，ED， 因为AB＝AC＝AD＝BC＝BD＝CD=a，所以， 又E为AB的中点，所以EC＝ED， 因为F为CD的中点，所以EF⊥CD， 同理，可得EF⊥AB， 又 ， ， 所以EF即为异面直线AB与CD的公垂线段； （2）在中，∠CFE＝90°，，，所以， 所以异面直线AB与CD的距离为. 1．三棱锥中，，，，，分别是两条相对棱上的动点，则最小距离为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】由题意三棱锥的对棱相等，可构造长方体使三棱锥的棱长为长方体的面对角线，求出长方体棱长，再当分别为两条棱的中点时，最小，求出即可； 【详解】 由题意可得，三棱锥的对棱相等，可构造长方体，使三棱锥的棱长为长方体的面对角线， 设长方体的长宽高分别为， 则，解得， 由于对棱为异面直线，所以为异面直线间的公垂线时最小， 由长方体的性质可得当分别为两条棱的中点时最小， 此时， 故选：A. 2．如图在棱长为2的正方体，中E为BC的中点，点P在线段上，点P到直线的距离的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点F，连接，，利用线面平行的性质即可得到平面，进而得到异面直线与的距离，即为点P到直线距离的最小值． 【详解】    解：如图所示，取的中点F，连接，， ∵，底面， ∴四边形是矩形， ∴， 又平面，平面， ∴平面， ∴直线上任一点到平面的距离是两条异面直线与的距离， 过点作， ∵平面平面，平面平面， 平面， ∴平面， 过点M作交于点P，则， 取，连接，则四边形是矩形． 可得平面， 在中，， 得， ∴点P到直线的距离的最小值为． 故选：B． 3．已知长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA1＝，过BD1作平面α分别交棱AA1，CC1于E，F，则四边形BFD1E面积的最小值为 . 【答案】 【分析】法一：过点F作FH⊥BD1交BD1于H，设FH＝h，由求解；法二(射影面积法)：设平面BFD1E与底面ABCD的交线为l，过D1作D1H⊥l交l于H.连接DH，则∠D1HD为二面角D1­l­D的平面角，设为θ，由求解. 【详解】法一：根据题意作图，如图①所示， 过点F作FH⊥BD1交BD1于H，设FH＝h.由题意得BD1＝2. 因为长方体对面平行， 所以截面BFD1E为平行四边形，则， 当h取最小值时四边形BFD1E的面积最小. 易知h的最小值为直线CC1与直线BD1间的距离. 易知当F为CC1的中点时，h取得最小值，hmin＝，. 故四边形BFD1E面积的最小值为. 法二(射影面积法)：设平面BFD1E与底面ABCD的交线为l. 如图②， 过D1作D1H⊥l交l于H.连接DH，则∠D1HD为二面角D1­l­D的平面角，设为θ. 根据射影面积公式,得, 则当cos θ最大时，最小.当cos θ最大时，分析易知DH最长.又DH最长为DB＝，所以cos θ最大值为，因为，所以四边形BFD1E面积的最小值为. 故答案为： 4．已知是边长为的正三角形所在平面外一点，，点、分别是、的中点， （1）求证：为异面直线与的公垂线段; （2）求异面直线与的距离. 【答案】(1)证明见解析；（2） . 【分析】（1）连结、，推导出，，由此能证明线段是异面直线与的公垂线段． （2）在中，求出，由此能求出异面直线与的距离． 【详解】证明：（1）连结、． 由、为等边三角形，为的中点， ．又为的中点，． 同理，．又与、都相交， 故线段是异面直线与的公垂线段． 解：（2）在中，，， 故异面直线与的距离为． . 5．在四面体ABCD中，，，，M，N分别为棱AB，CD所在直线的点，则线段长度的最小值为 ． 【答案】3 【分析】将该四面体放置于长方体中，列方程求出长方体长宽高，再转化为求异面直线距离即可. 【详解】如图，将四面体放入长方体中，分别为矩形的中心， 设，，， 则，，， 得，，． 由图易知直线与异面，则线段长度的最小值即为求两异面直线距离， 即长方体的二平行平面间的距离. 故答案为：3 6．在的二面角的棱上，有两个点分别是这个二面角的两个面上垂直于的线段．已知，，．求的长． 【答案】 【分析】过点作，，连接，结合二面角定义求，解三角形求. 【详解】过点作，且， 则四边形为平行四边形，所以，， 因为，所以， 又，所以为二面角的平面角， 由已知，，又， 所以， 因为，平面， 所以平面，平面， 所以，由， 所以，又， 所以， 所以的长为. 试卷第1页，共3页 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$