12.2 一次函数（一次函数的图像与性质）（题型专练）数学新教材沪科版八年级上册

12.2一次函数（一次函数的图像与性质） 题型一 一次函数的识别 1．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B． C． D．（是常数） 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握形如（，、是常数）的函数，叫做一次函数．利用一次函数定义进行解答即可． 【详解】解：A、是一次函数，故此选项符合题意； B、不是一次函数，故此选项不符合题意； C、中自变量的次数为2，不是一次函数，故此选项不符合题意； D、当时，（是常数）不是一次函数，故此选项不合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·安徽池州·期末）下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，是一次函数的有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，掌握形如，a、b是常数的函数叫做一次函数成为解题的关键． 根据一次函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：一次函数有，，共3个． 故选B． 3．（24-25八年级上·安徽池州·期末）在下列函数解析式中，①；②；③；④；⑤，y一定是x的一次函数的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义，对各个函数进行分析，即可求解， 本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是：一次函数的定义一般形如（，是常数，），其中是自变量，是因变量‌。． 【详解】解：①当时，不是一次函数， ②，是一次函数， ③，是一次函数， ④，是一次函数， ⑤，不是一次函数， 综上所述，②③④是一次函数，共3个， 故选：C． 题型二 根据一次函数的定义求参数 1．（22-23八年级上·全国·单元测试）已知函数，是的一次函数，则的值是（   ） A． B． C．或 D．任意实数 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的定义，解题的关键是熟练掌握一次函数的定义．根据一次函数的定义：形如 (，为常数且)，可得且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵是的一次函数， ∴，且， 解得：， 故选：A． 2．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）一次函数经过原点，则（    ） A．2 B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点、一次函数的定义等知识点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 把代入函数求出k的值，再结合一次函数的定义即可解答即可． 【详解】解：∵函数经过原点， ∴，解得， ∵，即， ∴． 故选A． 3．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）当 时，函数是一次函数． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一般地，形如（其中k、b是常数且）的函数叫做一次函数，据此求解即可． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·安徽·期中）已知函数． (1)当，为何值时，此函数是一次函数？ (2)当，为何值时，此函数是正比例函数？ 【答案】(1)当，为任意实数时，这个函数是一次函数 (2)当，时，这个函数是正比例函数 【分析】此题主要考查了一次函数以及正比例函数的定义，正确把握次数与系数的关系是解题关键． （1）直接利用一次函数的定义分析得出答案； （2）直接利用正比例函数的定义分析得出答案． 【详解】（1）解：根据一次函数的定义，得：， 解得， 又即， 当，为任意实数时，这个函数是一次函数； （2）解：根据正比例函数的定义，得：，， 解得，， 又即， 当，时，这个函数是正比例函数． 5．（20-21八年级上·全国·单元测试）已知函数， (1)当m、n为何值时，此函数是一次函数？ (2)当m、n为何值时，此函数是正比例函数？ 【答案】(1) (2)n=1，m=-1 【分析】（1）根据一次函数的定义知，且，据此可以求得、的值； （2）根据正比例函数的定义知，，据此可以求得、的值． 【详解】（1）解：当函数是一次函数时， ，且， 解得，，； （2）解：当函数是正比例函数时， ， 解得，，． 【点睛】本题考查了一次函数、正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数是一次函数的一种特殊形式． 题型三 求一次函数自变量或函数值 1．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知一次函数的图象经过点，，下列关于m和n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，将点，代入解析式，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点，， ∴ 解得： ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·福建宁德·期中）若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解，一次函数图象上点的坐标特征，由方程的解是可得，即得，再把各选项代入计算求出的值即可判断求解，掌握一元一次方程解的定义及一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程的解是， ∴， ∴， ∴直线， 当时，；当时，；当时，； ∴直线一定经过点， 故选：． 3．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四个点，在一次函数图象上的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数上点的特点， 把各点横坐标代入一次函数解析式，看y值和点的纵坐标是否一致，一致则在函数图像上，反之则不在． 【详解】解：．当时，，则点A在一次函数的图象上，故该选项符合题意； ．当时，，则点B不在一次函数的图象上，故该选项不符合题意； ．当时，，则点C不在一次函数的图象上，故该选项不符合题意； ．当时，，则点D不在一次函数的图象上，故该选项不符合题意； 故选：A． 4．（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段练习）若直线经过点，则代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】把点的坐标代入解析式，变形计算即可． 本题考查了图象过点的意义，等式的变形，熟练掌握图象过点的应用是解题的关键． 【详解】解：直线经过点， 故， 故． 故答案为：2． 5．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）若点，在直线上，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的定义．根据题意得到，将代入函数的解析式，求出函数值作差即可． 【详解】解：点，在直线上，且， ∴， ． 故答案为：． 题型四 待定系数法求一次函数解析式 1．（2025·安徽蚌埠·三模）若一次函数的自变量的取值减少2，函数值就相应增加4，则k的值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据题意，易得，进而得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴． ∵， ∴， 解得． 故选：C． 2．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）下列各点在如图所示的一次函数图象上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象，待定系数法求一次函数解析式，根据一次函数图象用待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 先由函数图象用待定系数法求出一次函数解析式，再逐项判断即可． 【详解】解：由图可知：函数图象经过点，， 把，代入得 ， 解得：，     ∴， A、当时，，所以不在一次函数图象上，故此选项不符合题意； B、当时，，所以在一次函数图象上，故此选项符合题意； C、当时，，所以不在一次函数图象上，故此选项不符合题意； D、当时，，所以不在一次函数图象上，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级上·安徽宣城·期末）已知直线与直线平行，且与y轴的交点为，那么这条直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线平行的问题，待定系数法求解析式，直线与直线平行，先确定，再将点代入求得b的值，从而确定这条直线的函数关系式． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴， ∵与y轴的交点为，即， ∴这条直线的函数关系式为， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知关于x的一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)直接写出当x取何值时，． 【答案】(1)； (2)当时，． 【分析】本题考查了待定系数法法求一次函数的解析式．一次函数图象上的点都满足一次函数解析式． （1）利用待定系数法即可求解； （2）作出点和，过两点作直线，根据图象，求出直线位于轴下面的部分的的取值范围． 【详解】（1）解：把点和代入一次函数得：， 解得， 则一次函数的解析式是：； （2）解：函数图象如图所示： 根据图象可得：当时，． 5．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）一次函数的图象经过点、，与轴相交于点，且和一次函数的图象交于点，如图所示． (1)填空：不等式的解集是________． (2)若点的横坐标是1，请完成下面的问题： ①填空：不等式的解集是________． ②求的值． 【答案】(1) (2)①② 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，一次函数与几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合函数图象找到一次函数的图象在x轴上方时，自变量的取值范围即可得到答案； （2）①由函数图象可知，找到一次函数的图象在一次函数的图象下方时，自变量的取值范围即可得到答案； ②利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点C的坐标，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知，当一次函数的图象在x轴上方时，自变量的取值范围为， ∴不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：①由函数图象可知，当一次函数的图象在一次函数的图象下方时，自变量的取值范围为， ∴不等式的解集是， 故答案为：； ②∵一次函数的图象经过点、， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴． 题型五 判断一次函数图像 1．（2025·安徽宣城·二模）两个一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键； 观察题中所给选项，根据图象逐项判断m、n的正负，如果通过两个一次函数图象所判断的m、n的正负一致，即为正确选项； 【详解】解：当，时，经过一、三、四象限，经过一、二、四象限，故选项B符合题意； 当，时，经过一、二、四象限，经过一、三、四象限，没有选项符合题意； 故选：B． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，已知函数（），则下列图象可能是该函数的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象和图象上点的坐标特征，根据可判断函数的增减性以及与y轴的交点，从而可得正确选项． 【详解】解：∵， ∴函数y随x的增大而增大，， ∴函数y与y轴交于负半轴， 当时，， 观察各选项，只有选项B符合题意， 故选：B． 3．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知直线经过一、二、三象限，则直线的图像只能是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图像与性质，解题的关键是掌握一次函数的图像与性质．根据题意可得：，，进而得到，推出直线经过第一、三、四象限，即可求解． 【详解】解：直线经过第一、二、三象限， ，， ， 直线经过第一、三、四象限， 故选：C． 4．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）在同一坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的图象和性质及一次函数图象与坐标轴交点的坐标特征，熟练掌握正比例函数及一次函数的图象和性质是解题关键． 分情况讨论的取值范围，根据正比例函数图象的性质及一次函数图象与坐标轴交点的坐标特征进行判断，即可得出答案． 【详解】解：当时，的图象过原点并经过第一、第三象限，的图象过第一、二、三象限且与轴交点的纵坐标大于0，选项符合题意； 当时，的图象过原点并经过第二、第四象限，的图象过第一、第三、第四象限且与轴交点的纵坐标小于0，选项A符合题意； 故选：A． 题型六 画一次函数解析式 1．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）作出函数的图象，并利用图象回答问题： (1)作出该函数图象； (2)写出图象与x轴的交点A的坐标 ，与y轴的交点B的坐标 ． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了画一次函数的图象、一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握一次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）求出当时，；当时，，再画出函数图象即可得解； （2）由函数图象即可得解． 【详解】（1）解：在中，当时，， 当时，，解得， 故画出函数图象如图所示： ； （2）解：由图象可得：图象与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标． 2．（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求两点的坐标，并画出函数图象； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)已知点，点，记的面积为，的面积为，则__________．（填“”“”或“”） 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，图像见解析 (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，画一次函数的图象，一次函数的性质： （1）分别令，，进行求解即可； （2）根据一次函数的增减性，进行求解即可； （3）连接，求出直线的解析式，证明，即可解答． 【详解】（1）解：（1）当时，即， 解得， ∴点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为． 描点、连线、画出函数图象如图所示： （2）当时，； 当时， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，． （3）连接，如图 设直线的解析式为，将，点代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为． 由直线的解析式为，得 ， 则与是同底等高． ∴=． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在以下平面直角坐标系中， (1)画出函数与的图象； (2)根据图象写出方程组的解； (3)根据图象写出不等式的解集． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了画一次函数图象、一次函数与方程组的关系、一次函数与不等式的关系等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）运用列表、描点、连线的步骤画出函数图形即可； （2）根据二元一次方程组的解为其对应函数交点的坐标，据此即可解答； （3）根据函数图象确定在上方部分所对应的自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：列表如下： x 0 1 5 4 3 描点、连线、画图如下： （2）解：方程组可化为：， 由函数图象可知直线与直线的交点坐标为， 所以方程组的解为． （3）解：∵当时，函数的图象在函数的下方， ∴不等式的解集为． 题型七 根据一次函数解析式判断其经过象限 1．（2025·安徽池州·三模）如果，且，那么直线不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，先根据，且，得出，，再结合一次函数的性质进行作答即可． 【详解】解：∵，， ∴m与n异号，m与同号；或，． 又∵， ∴，， ∴经过第一、二、四象限或经过第二、四象限，即不经过第三象限， 故选：C． 2．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象特征，掌握理解一次函数的图象特征是解题关键．根据直线的图象所经过的象限即可． 【详解】解：直线的图象经过第一、二、四象限， 则交点不可能在第三象限 故选：C． 3．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）若一次函数经过第二、三、四象限，则一次函数的大致图象是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象性质，根据一次函数经过第二、三、四象限，得出，，则，，一次函数经过第一、二、三象限，据此即可作答． 【详解】解：∵一次函数经过第二、三、四象限， ∴，， 则，， ∴一次函数经过第一、二、三象限， 故选：B． 4．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）一次函数的图像经过点，且当时，，则该函数图像不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图像性质，根据图像经过点，且当时，，得到，进行判断即可． 本题主要考查一次函数图像在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与k、b的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限．时，直线必经过二、四象限．时，直线与y轴正半轴相交．时，直线过原点；时，直线与y轴负半轴相交．熟练掌握一次函数图=图像的性质是解题的关键． 【详解】解：∵图像经过点，且当时，， ∴，且当时， ∴一次函数的图像经过一、二、三象限，不经过第四象限． 故选D． 5．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）若，则直线一定经过第 限． 【答案】三，四 【分析】本题考查一次函数的性质，解题的关键是分类讨论思想的应用． 由，可得，当时，，直线经过一，三，四象限；当时，直线为经过二，三，四象限；即可得到答案． 【详解】解：∵， ，，， ， 当时，， ∴直线为，经过一，三，四象限； 当时，有， ， ∴直线为，经过二，三，四象限； 综上所述，直线一定经过第三，四象限； 故答案为：三，四． 题型八 根据一次函数解析式判断其性质 1．（2025·安徽宿州·模拟预测）下列关于函数的性质说法正确的是（    ） A．图象不经过第二象限 B．图象与y轴交于点 C．图象与x轴交于点 D．y随x的增大而减小 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及一次函数图象与系数的关系．根据一次函数的性质一一判断即可． 【详解】解：∵，， ∴该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故选项A正确； 该函数图象与x轴、y轴分别交于点，，故选项B，C错误； 该函数y随x的增大而增大，故选项D错误． 故选：A． 2．（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段练习）关于一次函数的图象，下列表述正确的是 （    ） A．与轴交于点 B．经过第一、二、三象限 C．函数值随自变量的增大而减小 D．当时， 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，根据解析式逐一判断选项，即可解答，明确题意，熟练利用一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：．当时，，则与轴交于点，原表述错误，故该选项不符合题意； ． ∵，，∴一次函数经过第一、二、三象限，原表述正确，故该选项符合题意； ．∵，∴一次函数值随自变量的增大而增大，原表述错误，故该选项不符合题意； ．∵当时，，且一次函数值随自变量的增大而增大，∴当时，，原表述错误，故该选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，下列对于直线的描述正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．与y轴的交点是 C．经过点 D．图象不经过第三象限 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象的性质、一次函数图象与系数的关系等知识点，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象的性质、一次函数图象与系数的关系逐项判断即可． 【详解】 解：A．由，则y随的增大而减小，选项A不符合题意； B．∵当时，， ∴直线与轴的交点是，选项B不符合题意． C．∵当时，， ∴直线经过点，选项C符合题意； D．，， ∴直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限，选项D不符合题意． 故选：B． 4．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）关于一次函数，下列结论错误的是（     ） A．函数图象是一条直线 B．函数图象过定点 C．函数图象经过第二、三、四象限 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象和性质．根据一次函数的图象与性质分别分析各选项即可． 【详解】解：A、∵函数为一次函数，故图象是一条直线，A正确，不符合题意； B、当时，， ∴该一次函数图象过定点， 故B正确，不符合题意； C、∵，， ∴该函数图象经过第二、三、四象限， 故C正确，不符合题意； D、∵当时，， ∵ ∴y随x的增大而减小， ∴当时，， 故D不正确，符合题意； 故选：D． 题型九 判断一次函数的增减性 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知一次函数的图象经过点P，且y随x的增大而增大，则点P的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图像上的点坐标特征以及一次函数性质，熟记直线上任意一点坐标都满足函数关系式，利用坐标求出值是解题关键．当y随x的增大而减小时，为负值，分别将各选项坐标代入函数式，求出值，即可得出结论． 【详解】解：A．当点P坐标为时，，解得， ∵， ∴y随x的增大而增大，符合题意，此选项正确； B．当点P坐标为时，，解得， ∵， ∴y随x的增大而减小，不符合题意，此选项错误； C．当点P坐标为时，，解得，不符合题意，此选项错误； D．当点P坐标为时，，解得， ∵， ∴y随x的增大而减小，不符合题意，此选项错误． 故选：A． 2．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）下列函数中，y随x的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图像与性质，涉及一次函数图像增减性与常数的关系，熟记一次函数图像与性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、是一次函数，，得到随的增大而增大，选项不符合题意； B、是一次函数，，得到随的增大而增大，选项不符合题意； C、是一次函数，，得到随的增大而减小，选项符合题意； D、是一次函数，，得到随的增大而增大，选项不符合题意； 故选：C． 3．（20-21八年级上·上海·期中）函数是正比例函数，这个函数中的值随自变量的增大而 ． 【答案】减小 【分析】根据函数是正比例函数可得，求出m的值，代入即可求出的值，即可判断这个函数的增减性． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴，解得：， ∴， ∴这个函数表达式为， ∵， ∴值随自变量的增大而减小． 故答案为：减小． 【点睛】此题考查了正比例函数的定义，正比例函数的增减性和系数的关系，解题的关键是熟练掌握正比例函数的定义，正比例函数的增减性和系数的关系．正比例函数：一般地，两个变量x、y之间的关系式可以表示成形如y=kx的函数（k为常数，x的次数为1，且k≠0），那么y=kx就叫做正比例函数．当k>0时，函数值y随着自变量x的增大而增大；当k<0时，函数值y随着自变量x的增大而减小． 4．（24-25八年级下·上海崇明·期末）已知一次函数与轴交于正半轴，则函数值随的增大而 ． 【答案】增大 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质， 根据直线与y轴的正半轴相交可得，即可得出，再根据一次函数图象的性质得出答案． 【详解】解：当时，， 即直线与y轴的交点为． ∵一次函数与y轴交于正半轴， ∴， ∴， ∴一次函数的函数值y随着x的增大而增大． 故答案为：增大． 5．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如果一次函数的图像经过点，那么y随x的增大而 （填“增大”或“减小”） 【答案】增大 【分析】本题主要考查一次函数解析式，一次函数图象与性质，将点代入，可求出k值，再利用一次函数的性质（当时y的值随x值的增大而增大，当时，y的值随x值的增大而减小）即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数的图像经过点， ∴， 解得：， ∴， ∴y随x值的增大而增大， 故答案为：增大． 题型十 比较一次函数自变量或函数值的大小 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知点，都在一次函数图像上，则，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，以及一次函数的增减性，先求出，再根据一次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵一次函数， ∴且， 解得， ∴， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）已知点，是函数图象上的两个点，若，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的增减性，是解题的关键．先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据，即可得出结论． 【详解】∵， ∴， ∴一次函数中，y随着x的增大而减小． ∵点，是函数图象上的两个点， ， ∴． ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）若点，，在一次函数（m是常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，根据题意判断出函数的增减性，进而可得出结论． 【详解】解：∵中，， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故选：D． 4．（20-21八年级下·湖北武汉·期末）若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．根据一次函数的增减性可知一次函数中随的增大而减小，再结合图象上点的特征即可解答． 【详解】解：， 一次函数中随的增大而减小， 又， ． 故选：B． 5．（2023·安徽滁州·二模）已知，，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】先分析出一次函数的增减性，再根据不同情况进行分类讨论． 【详解】解：直线是一次函数， 是小于0的， 随的增大而减小． ， ． 若，则与同号， 但不能确定、的正负，故选项A不符合题意； 若，则与异号， 但不能确定、的正负，故选项B不符合题意； 若，则与异号，则与同时为负， 故、同时为正，故，选项C符合题意； 若，则与同号， 但不能确定、的正负，故选项D不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查一次函数图象和性质，掌握一次函数的增减性性质是解题关键． 题型一 已知函数经过的象限求参数 1．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知直线经过点，且不经过第三象限，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一元一次不等式组的应用等知识点，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 首先，根据直线经过的点可以得到，然后，由直线不经过第三象限得出和的取值范围，最后，将代入，根据的取值范围求出的取值范围． 【详解】解：∵直线经过点， ∴，即， ∵直线不经过第第三象限， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一次函数图象不经过第二象限．则整数m的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质及解不等式组，解题的关键是熟知一次函数的性质并正确的应用．根据一次函数图象经过的象限可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴该图象经过第一、三象限或第一、三、四象限， ， 解得：． ∴整数m的最小值为0． 故选：A． 3．（2024·福建福州·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则点所在的象限为   (    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】由图象经过第一、三、四象限可知求出，再根据不等式的性质得到，即可判断所处象限． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图像与系数的关系，解一元一次不等式，点的坐标特征，不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若一次函数不经过第三象限，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解一元一次不等式组，由图象所在的象限得到关于的不等式组是解题的关键．由一次函数不经过第三象限可得到关于的不等式组，解不等式组即可求得的取值范围． 【详解】解：∵一次函数不经过第三象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 5．（22-23八年级下·吉林·阶段练习）已知为整数，且一次函数的图象不经过第二象限，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知一次函数中，当，时，函数的图象不经过第二象限是解答此题的关键．由于一次函数的图象不过第二象限，则得到不等式组，然后解不等式即可得m的值． 【详解】解：∵一次函数的图象不过第二象限， ∴， 解得：，而m是整数， 则或． 故答案为：或． 题型二 一次函数图像的平移问题 1．（2025·安徽滁州·三模）在平面直角坐标系中，若要使直线平移后得到直线 ，则应将直线y₁（  ） A．沿y轴向上平移2个单位长度 B．沿y轴向下平移2个单位长度 C．沿x轴向左平移2个单位长度 D．沿x轴向右平移2个单位长度 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图象与平移变换，解题的关键是掌握一次函数图象的平移规律：右加左减，上加下减．利用一次函数图象的平移规律，右加左减，上加下减，即可得出答案． 【详解】解：设将直线向左平移个单位后得到直线， ， 解得：， 故将直线向左平移2个单位后得到直线， 故选：C． 2．（24-25九年级下·安徽宿州·期中）在平面直角坐标系中，将函数的图象向右平移3个单位长度，则平移后的图象与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与几何变换，熟知平移的规律“上加下减，左加右减”是解题的关键． 先根据平移特点求出新函数解析式，然后再求解新函数与y轴的交点坐标即可． 【详解】解：由“左加右减”的平移规律可知：将函数的图象向右平移3个单位长度所得到的新函数的解析式为：， 令，则， ∴与y轴的交点坐标为． 故选A． 3．（2025·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，将一次函数（为常数）的图象向上平移2个单位长度后恰好经过原点，若点在一次函数的图象上，则的值为（　　） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象与性质、一次函数图象的平移等知识，先由一次函数图象的平移得到，再由一次函数图象与性质代值求解即可得到答案，熟记一次函数图象的平移方法是解决问题的关键． 【详解】解：将一次函数为常数的图象向上平移2个单位长度后得到，且经过原点， ， ， ， 点在一次函数的图象上， ， 故选：A． 4．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）将直线向下平移个单位长度后，正好经过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移，图象过点求解析式，熟练掌握平移规律是解题的关键．直线向下平移个单位长度后得到新解析式为，把代入解析式解答即可． 【详解】解：直线向下平移6个单位长度后得到新解析式为， 把代入解析式得， 解得． 故答案为：． 5．（24-25八年级下·安徽池州·开学考试）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向下平移3个单位长度后得到一个正比例函数的图象．若点在一次函数的图象上，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数的图象及正比例函数的图象，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 根据“上加下减”的平移法则求出b的值，再将点代入计算即可． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移3个单位长度后得到， ∵是一个正比例函数， ∴, ∴， ∴一次函数的解析式为 又∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得 故答案为： 6．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数，将该函数向下平移1个单位后，若函数值y随x的增大而增大，且图象不经过第二象限，求k的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象直线的平移和等知识点，熟练掌握一次函数的图象与性质解题的关键．先求出平移后的解析式，再根据函数值y随x的增大而增大，且图象不经过第二象限列不等式组求解即可． 【详解】解：∵函数，将该函数向下平移1个单位后， 解析式为， 由于，函数值y随x的增大而增大，且图象不经过第二象限， ∴， 解得：， ∴k的取值范围为． 题型三 根据一次函数的增减性求参数 1．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知点在一次函数的图象上，且，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，解一元一次不等式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 由题目条件可判断出一次函数的增减性，则可得到关于的不等式，可求得的取值范围． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上，且， ∴随的增大而增大， ∴，解得：， 故选：C． 2．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）关于的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在x轴下方，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，解一元一次不等式组，根据一次函数的性质可得，再解一元一次不等式组即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵关于的一次函数，y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在x轴下方， ∴， ∴， 故选：C． 3．（2024·吉林长春·中考真题）已知直线（、是常数）经过点，且随的增大而减小，则的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】2（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出，由y随x的增大而减小，利用一次函数的性质，可得出，若代入，求出b值即可． 【详解】解：∵直线（k、b是常数）经过点， ∴． ∵y随x的增大而减小， ∴， 当时，， 解得：， ∴b的值可以是2． 故答案为：2（答案不唯一） 4．（2025·安徽合肥·三模）若一次函数的函数值随的增大而减小，则的值可以是（   ） A．3 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查根据一次函数的增减性求参数的值，根据题意，得到，求出的范围，即可得出结果． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴， ∴， 结合四个选项的值，满足条件的的值是3； 故选A． 题型四 一次函数与坐标轴交点问题 1．（22-23八年级上·安徽宿州·期末）一次函数的图象如图所示，下列判断错误的是（    ） A．y随x的增大而增大 B．直线与y轴的交点是 C．直线经过点 D．直线与直线平行 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质以及一次函数图象上点的坐标特征对各选项进行判断即可得到答案． 【详解】解：由图象得，一次函数的图象经过一、二、三象限，则y随x的增大而增大，故选项A正确，不符合题意； 当时，，直线与y轴的交点是，故选项B错误，符合题意； 当时，，直线经过点，故选项C正确，不符合题意； 直线与直线平行，故选项D正确，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 2．（23-24八年级上·安徽池州·期末）已知一次函数，当时，，则此函数与轴的交点坐标是 ． 【答案】（0，）或（0，） 【分析】根据k的取值分类讨论，①当k＞0时，y随x增大而增大，可知一次函数过两点，利用待定系数法求出一次函数的解析式，然后将x=0代入即可求出此函数与轴的交点坐标；②当k＜0时，y随x增大而减小，可知一次函数过两点，利用待定系数法求出一次函数的解析式，然后将x=0代入即可求出此函数与轴的交点坐标． 【详解】解：①当k＞0时，y随x增大而增大 ∵当时， ∴一次函数过两点 将代入解析式中，得 解得： 故该一次函数的解析式为 将x=0代入，解得y=， 故此函数与轴的交点坐标是（0，）； ②当k＜0时，y随x增大而减小 ∵当时， ∴一次函数过两点 将代入解析式中，得 解得： 故该一次函数的解析式为 将x=0代入，解得y=， 故此函数与轴的交点坐标是（0，）； 综上所述：此函数与轴的交点坐标是（0，）或（0，） 故答案为：（0，）或（0，）． 【点睛】此题考查的是一次函数的增减性和求一次函数的解析式，掌握一次函数的增减性与k的关系和利用待定系数法求一次函数的解析式是解决此题的关键． 3．（24-25八年级上·全国·期中）如图，一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则下列说法：①y随x的增大而减小；②；③关于x的方程的解为．其中说法正确的有 ． 【答案】/ 【分析】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对个小题分析判断即可得解．本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，利用数形结合是求解的关键． 【详解】解：由图可知：一次函数的图象经过第一、二、三象限 ∴随的增大而增大，①错误； ∴，②正确； ∵一次函数的图象与x轴的交点坐标为， ∴， 则关于x的方程的解为．③正确， 故答案为：②③． 4．（24-25八年级下·上海·期中）已知一次函数，函数值随自变量值的增大而减小． (1)求的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，这个函数的图像与轴的交点位于轴的正半轴还是负半轴？请简述理由． 【答案】(1) (2)这个函数的图像与轴的交点位于轴的正半轴，理由见解析 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系．一次函数，当时，函数值随自变量值的增大而增大；当时，函数值随自变量值的增大而减小． （1）由一次函数图象与系数的关系得到，由此求得的取值范围； （2）令y=0，得到，结合的取值范围求得的符号，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数，函数值随自变量值的增大而减小， ， 解得：； （2）这个函数的图像与轴的交点位于轴的正半轴，理由如下： 令，则， 整理得：， ， ， ， ， 这个函数的图像与轴的交点位于轴的正半轴． 题型五 与一次函数有关的开放性问题 1．（24-25八年级下·甘肃天水·期中）已知函数（是常数），随的增大而减小，请写出一个符合题意的的值是 （写出一个合理的值即可） 【答案】（答案不唯一，即可） 【分析】本题考查了一次函数性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质，当时，y随x的增大而减小解答即可． 【详解】解：∵函数（是常数），随的增大而减小， ∴ ∴ ∴的值可以是 故答案为：（答案不唯一，即可） ． 2．（2025·河南开封·三模）写出一个一次函数的表达式，使其图象经过第二、三、四象限，且过点 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与其系数的关系，根据图象经过第二、三、四象限可得一次项系数和常数项都小于0，再根据图象经过点可确定常数项，据此可得答案． 【详解】解：设一次函数的表达式为， ∵图象经过第二、三、四象限， ∴，， 又∵过点， ∴， 当取，则一次函数的表达式为， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）请写出一个一次函数，使其图象满足以下条件： ①经过第一、三、四象限， ②与轴的交点坐标为，此一次函数的表达式可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数图象的性质及与坐标轴的交点问题，根据题意确定出即可求解，掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：∵函数图象要经过第一、三、四象限， ∴，， 又∵与轴的交点坐标为， ∴， ∴写出的一次函数表达式满足、即可， 故答案为：． 4．（2025·上海宝山·二模）已知正比例函数，y的值随x的值增大而减小，那么k的值可以是 ．（写出一个符合题意的k的值即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】本题考查正比例函数的增减性，掌握正比例函数的意义是解题关键． 由正比例函数增减性直接求解即可得到答案． 【详解】解：在正比例函数中， ∵的值随的值增大而减小， ∴． 解不等式得 ． ∴只要取大于2的数都符合题意； 故答案为：3（答案不唯一）． 题型六 与一次函数有关的最值问题 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）对于一次函数（），当时，y的最小值为4，则k的值是 ． 【答案】 【分析】当时，y随x的增大而增大，结合时y的最小值为4，此时时，，代入，得到，舍去；当时，y随x的增大而减小，结合时y的最小值为4，此时时，，代入，得到，符合题意，解答即可． 本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：当时，y随x的增大而增大， 由时y的最小值为4， 此时时，，代入， 解得，舍去； 当时，y随x的增大而减小， 由时y的最小值为4，此时时，，代入， 解得，符合题意． 故答案为：． 2．（2025·黑龙江大庆·三模）已知一次函数，当时，的最大值是，则的最小值是 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了一次函数的增减性及解一元一次方程，解题的关键是理解函数的增减性． 分及两种情况，根据的最大值是，求出此时的的值，从而得出的值，再求出的值即可． 【详解】解：当时，一次函数中，y随x的增大而增大， 当时，的最大值是， ， 此时，即 当时，一次函数有最小值，最小值为； 当时，一次函数中，y随x的增大而减小， 当时，的最大值是， ， 此时，即 当时，一次函数有最小值，最小值为； 综上所述，的最小值是1或； 故答案为：1或． 3．（23-24八年级下·河南周口·期末）已知一次函数当时，y的最大值是，最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的增减性，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 根据题意，得到，再由一次函数的增减性解题即可． 【详解】解：一次函数中， 随的增大而减小， 故当时， 的最大值是时，即， 的最小值是时，即， 故答案为：1． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知函数 （1）若，当时，的取值范围是 （2）当时，有最小值5，则的值是 【答案】 8或 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，一次函数的性质，解一元一次不等式等知识点， (1)把代入，再根据一次函数的性质即可求解； (2)根据一次函数的性质，分三种情况讨论，即可求解； 熟练掌握绝对值的性质，进行分类讨论是解决此题的关键． 【详解】(1)当时，， ∵， ∴y随着x的增大而减小， 当时，，当时，， ∴， 当时，， .∵， ∴y随着x的增大而增大， ∴当时，，当时，， ∴ ∴y的取值范围为：， 故答案为：； (2)  当时，， ∵，x越大，越小， ∴当时，y取得最小值， ∴y的最小值为， ∵y有最小值5， ∴， ∴， 当时，， ∵，x越大，越大， ∴当时，y取得最小值， ∴y的最小值为， ∵y有最小值5， ∴， ∴， 当时，， ∵，y在时取得最小值， ∵y有最小值5， ∴， ∴， ∵不满足这个条件， ∴舍去， 综上所述：a的值是8或， 故答案为：8或． 5．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）已知，，对于任意，取与中较小的值，若当时有最大值，则 ． 【答案】或5 【分析】本题主要考查了不等式的应用，一次函数的性质，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的性质，注意进行分类讨论．分两种情况讨论，当，则，即时，当，则，即时，分别求出a的值即可． 【详解】解：当，则， 解得：， 即时，， ∵， ∴随x的增大而减小， ∴当时，m取最大值，即， 解得：， 当时，，符合题意； 当，则， 解得：， 即时，， ∵， ∴随x的增大而增大， ∴当时，m取最大值，即， 解得：， 当时，，符合题意； 综上分析可知，或． 故答案为：或． 1．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数与图象在轴上相交于同一点，则的值是（  ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“一次函数与图象在轴上相交于同一点”，可知两个图像与x轴的交点是同一个点，用a，b分别表示出这个交点的横坐标，然后联立即可. 【详解】在中，令，得； 在中，令，得 ∵一次函数与图象在轴上相交于同一点 ∴ ∴ 故选B. 【点睛】本题考查的是一次函数同解问题，能够根据图像交点相同想到用同解联立来解答是解题的关键. 2．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）一次函数满足条件：①随的增大而减小；②它的图象与轴交于负半轴，则函数图象不可能经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质．根据题意，可判断，，从而得到一次函数图象经过第二、三、四象限，即可求解． 【详解】解：∵随的增大而减小； ∴， ∵它的图象与轴交于负半轴， ∴， ∴一次函数图象经过第二、三、四象限， ∴函数图象不可能经过的点是． 故选D 3．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）已知关于的一次函数（），小莹给出了下面四个结论：①该函数的图象经过点；②当时，该函数图象不经过第三象限；③当时，该函数图象与轴的交点在轴的正半轴上；④当时，若点和在该函数图象上，则．其中正确的是（   ） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，过象限的问题，与正半轴的交点问题． 逐一分析四个结论的正确性，结合一次函数的图象与性质进行判断． 【详解】解：结论①：将点代入函数， 得， ∴无论取何值（），均满足，故①正确； 结论②：当时，则， ∴， ∴函数图象经过第一、第三、第四象限，因此会经过第三象限，故②错误； 结论③：函数与轴交点为， 当时，若（如），则，交点在负半轴； 若，则，交点在正半轴， 结论③未限定的具体范围，故③错误； 结论④：当时，，随着的增大而减小， ∵点的值小于的值， ∴，故④正确， 综上，正确的结论为①④， 故选：D． 4．（24-25八年级下·北京·期中）对于两个一次函数，我们称一次函数为这两个函数的复合函数．已知一次函数与的复合函数的图象经过第一、第三、第四象限，常数m满足的条件是 ；若，一次函数与的复合函数的图象必经过定点 ． 【答案】 【分析】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特点，根据题意理解复合函数的表达式是解题的关键．先根据复合函数的定义得出一次函数与的复合函数，再由复合函数的图象经过第一、三、四象限得出关于的不等式，求出的取值范围即可；先求出一次函数与的复合函数，进而可得出结论． 【详解】解：一次函数与的复合函数为， 复合函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， 解得， 依题意，一次函数与的复合函数为， ， ， ， ， 当时，函数值与无关， 解得，此时， 复合函数的图象经过定点． 故答案为：；． 5．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，放置一块等腰直角三角板，使得两直角边分别与轴重合，，将三角板先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，斜边恰好落在直线上，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了平移的性质，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据，得，结合平移规律得平移后点B坐标为，再根据一次函数图象上点的坐标特征进行列式计算即可解答． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，放置一块等腰直角三角板，使得两直角边分别与轴重合，， ∴， ∵将三角板先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度 ∴平移后点B坐标为， 依题意，平移后点B在直线上， ∴， 解得． 故答案为：2． 6．（21-22八年级上·江西九江·期中）已知直线经过点，且它与坐标轴围成的三角形面积为．若函数满足随的增大而减小，求的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式．根据题意得出直线与轴的交点为，进而根据三角形的面积公式，得出的值，即可求解． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， ∴， 当时，， 解得：， ∴直线与轴的交点为， ∵直线与坐标轴围成的三角形面积为， ∴， 解得：， ∵函数满足随的增大而减小， ∴， ∴， ∴直线解析式为：． 7．（24-25八年级下·陕西西安·期中）直线和直线（为常数，且）分别交轴于点，两直线交于点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）把坐标代入可求出的值，再把点坐标代入可求出的值； （）由（）知，点的坐标为，，过点作轴的垂线，垂足为，可得，再利用一次函数解析式求出的坐标，求出的长，最后根据三角形面积公式计算即可求解； （）根据函数图象解答即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，一次函数与不等式，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：把坐标代入，得， ， 把代入，得， ∴； （2）解：由（）知，点的坐标为，， 过点作轴的垂线，垂足为，如图，则， 把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴， ∴， ∴； （3）解：由图可知，当时，． 8．（24-25八年级下·河北承德·期中）如图，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线经过点B交x轴于点C． (1)点A的坐标为________； (2)当时， ①求的面积； ②直接写出及内部横纵坐标都为整数的点的个数． 【答案】(1) (2)①3；②7 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，令，则，又，则，进而可以判断得解； （2）①依据题意，当时，函数为，则令，则，故，又直线经过点B，进而可得直线，再令，则，解得，从而，又，则，故可得的面积为； ②依据题意，结合图象，又，，，从而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，令， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． （2）解：①由题意，当时，函数为， ∴令，则． ∴． ∵直线经过点B， ∴， ∴直线， 令，则，解得， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． ②由题意，如图， ∵，，， ∴结合图象可得，及内部横纵坐标都为整数的点的个数为7． 9．（24-25八年级下·福建福州·期中）平面直角坐标系中，已知函数的图象经过点，． (1)求函数的解析式； (2)若函数（且）和函数的图象与轴所围成的三角形的面积为4，求的值； (3)当时，对于的每一个值，函数的值大于的值且小于4，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】本题考查一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求两个函数与轴的交点坐标，设与的交点，根据三角形的面积公式求出的值，代入，求出点坐标，进而代入，求出的值即可； （3）求出直线过点和两个临界点时的值进行判断即可． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点，，分别代入得，解得； ∴函数的解析式为； （2）∵当代入，中可得， ∴与轴交点为，与轴交点为 ∴， ∵函数与的图象与轴围成的面积为4 设与的交点 ∴ ∴ ∴ ①当时，将代入得：，即； 将点代入得：； ②当时，将代入得：，即 将点代入得：， ∴或； （3）∵， ∴随着的增大而减小， ∵， ∴当时，， ∴当过点时，则：，解得：，此时满足题意， 当向上平移直至过点时，此时：，解得：，满足题意； 故当，时，对于的每一个值，函数的值大于的值且小于4， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.2一次函数（一次函数的图像与性质） 题型一 一次函数的识别 1．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B． C． D．（是常数） 2．（24-25八年级上·安徽池州·期末）下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）中，是一次函数的有（    ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25八年级上·安徽池州·期末）在下列函数解析式中，①；②；③；④；⑤，y一定是x的一次函数的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 题型二 根据一次函数的定义求参数 1．（22-23八年级上·全国·单元测试）已知函数，是的一次函数，则的值是（   ） A． B． C．或 D．任意实数 2．（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）一次函数经过原点，则（    ） A．2 B． C． D．0 3．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）当 时，函数是一次函数． 4．（24-25八年级上·安徽·期中）已知函数． (1)当，为何值时，此函数是一次函数？ (2)当，为何值时，此函数是正比例函数？ 5．（20-21八年级上·全国·单元测试）已知函数， (1)当m、n为何值时，此函数是一次函数？ (2)当m、n为何值时，此函数是正比例函数？ 题型三 求一次函数自变量或函数值 1．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）已知一次函数的图象经过点，，下列关于m和n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建宁德·期中）若关于的方程的解是，则直线一定经过点（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四个点，在一次函数图象上的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 4．（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段练习）若直线经过点，则代数式的值是 ． 5．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）若点，在直线上，且，则 ． 题型四 待定系数法求一次函数解析式 1．（2025·安徽蚌埠·三模）若一次函数的自变量的取值减少2，函数值就相应增加4，则k的值为（   ） A．2 B． C． D．4 2．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）下列各点在如图所示的一次函数图象上的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽宣城·期末）已知直线与直线平行，且与y轴的交点为，那么这条直线的解析式为 ． 4．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知关于x的一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)直接写出当x取何值时，． 5．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）一次函数的图象经过点、，与轴相交于点，且和一次函数的图象交于点，如图所示． (1)填空：不等式的解集是________． (2)若点的横坐标是1，请完成下面的问题： ①填空：不等式的解集是________． ②求的值． 题型五 判断一次函数图像 1．（2025·安徽宣城·二模）两个一次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A．B．C． D． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，已知函数（），则下列图象可能是该函数的是（   ） A．B．C．D． 3．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知直线经过一、二、三象限，则直线的图像只能是（   ） A．B．C． D． 4．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）在同一坐标系中，函数与的图象大致是（   ） A． B． C． D． 题型六 画一次函数解析式 1．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）作出函数的图象，并利用图象回答问题： (1)作出该函数图象； (2)写出图象与x轴的交点A的坐标 ，与y轴的交点B的坐标 ． 2．（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段练习）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求两点的坐标，并画出函数图象； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)已知点，点，记的面积为，的面积为，则__________．（填“”“”或“”） 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在以下平面直角坐标系中， (1)画出函数与的图象； (2)根据图象写出方程组的解； (3)根据图象写出不等式的解集． 题型七 根据一次函数解析式判断其经过象限 1．（2025·安徽池州·三模）如果，且，那么直线不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点不可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）若一次函数经过第二、三、四象限，则一次函数的大致图象是（   ） A．B．C． D． 4．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）一次函数的图像经过点，且当时，，则该函数图像不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）若，则直线一定经过第 限． 题型八 根据一次函数解析式判断其性质 1．（2025·安徽宿州·模拟预测）下列关于函数的性质说法正确的是（    ） A．图象不经过第二象限 B．图象与y轴交于点 C．图象与x轴交于点 D．y随x的增大而减小 2．（24-25八年级下·安徽芜湖·阶段练习）关于一次函数的图象，下列表述正确的是 （    ） A．与轴交于点 B．经过第一、二、三象限 C．函数值随自变量的增大而减小 D．当时， 3．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）在平面直角坐标系中，下列对于直线的描述正确的是（   ） A．y随x的增大而增大 B．与y轴的交点是 C．经过点 D．图象不经过第三象限 4．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）关于一次函数，下列结论错误的是（     ） A．函数图象是一条直线 B．函数图象过定点 C．函数图象经过第二、三、四象限 D．当时， 题型九 判断一次函数的增减性 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知一次函数的图象经过点P，且y随x的增大而增大，则点P的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）下列函数中，y随x的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 3．（20-21八年级上·上海·期中）函数是正比例函数，这个函数中的值随自变量的增大而 ． 4．（24-25八年级下·上海崇明·期末）已知一次函数与轴交于正半轴，则函数值随的增大而 ． 5．（24-25九年级下·上海·阶段练习）如果一次函数的图像经过点，那么y随x的增大而 （填“增大”或“减小”） 题型十 比较一次函数自变量或函数值的大小 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知点，都在一次函数图像上，则，的大小关系是 ． 2．（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）已知点，是函数图象上的两个点，若，则 （填“”“”或“”）． 3．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）若点，，在一次函数（m是常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（20-21八年级下·湖北武汉·期末）若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．（2023·安徽滁州·二模）已知，，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型一 已知函数经过的象限求参数 1．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）已知直线经过点，且不经过第三象限，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知一次函数图象不经过第二象限．则整数m的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2024·福建福州·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则点所在的象限为   (    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若一次函数不经过第三象限，则的取值范围是 ． 5．（22-23八年级下·吉林·阶段练习）已知为整数，且一次函数的图象不经过第二象限，则的值为 ． 题型二 一次函数图像的平移问题 1．（2025·安徽滁州·三模）在平面直角坐标系中，若要使直线平移后得到直线 ，则应将直线y₁（  ） A．沿y轴向上平移2个单位长度 B．沿y轴向下平移2个单位长度 C．沿x轴向左平移2个单位长度 D．沿x轴向右平移2个单位长度 2．（24-25九年级下·安徽宿州·期中）在平面直角坐标系中，将函数的图象向右平移3个单位长度，则平移后的图象与轴的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽·模拟预测）在平面直角坐标系中，将一次函数（为常数）的图象向上平移2个单位长度后恰好经过原点，若点在一次函数的图象上，则的值为（　　） A． B． C．3 D． 4．（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）将直线向下平移个单位长度后，正好经过点，则的值为 ． 5．（24-25八年级下·安徽池州·开学考试）在平面直角坐标系中，将一次函数的图象向下平移3个单位长度后得到一个正比例函数的图象．若点在一次函数的图象上，则a的值为 ． 6．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数，将该函数向下平移1个单位后，若函数值y随x的增大而增大，且图象不经过第二象限，求k的取值范围． 题型三 根据一次函数的增减性求参数 1．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知点在一次函数的图象上，且，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）关于的一次函数，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在x轴下方，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·吉林长春·中考真题）已知直线（、是常数）经过点，且随的增大而减小，则的值可以是 ．（写出一个即可） 4．（2025·安徽合肥·三模）若一次函数的函数值随的增大而减小，则的值可以是（   ） A．3 B．1 C．0 D． 题型四 一次函数与坐标轴交点问题 1．（22-23八年级上·安徽宿州·期末）一次函数的图象如图所示，下列判断错误的是（    ） A．y随x的增大而增大 B．直线与y轴的交点是 C．直线经过点 D．直线与直线平行 2．（23-24八年级上·安徽池州·期末）已知一次函数，当时，，则此函数与轴的交点坐标是 ． 3．（24-25八年级上·全国·期中）如图，一次函数的图象与x轴的交点坐标为，则下列说法：①y随x的增大而减小；②；③关于x的方程的解为．其中说法正确的有 ． 4．（24-25八年级下·上海·期中）已知一次函数，函数值随自变量值的增大而减小． (1)求的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，这个函数的图像与轴的交点位于轴的正半轴还是负半轴？请简述理由． 题型五 与一次函数有关的开放性问题 1．（24-25八年级下·甘肃天水·期中）已知函数（是常数），随的增大而减小，请写出一个符合题意的的值是 （写出一个合理的值即可） 2．（2025·河南开封·三模）写出一个一次函数的表达式，使其图象经过第二、三、四象限，且过点 3．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）请写出一个一次函数，使其图象满足以下条件： ①经过第一、三、四象限， ②与轴的交点坐标为，此一次函数的表达式可以为 ． 4．（2025·上海宝山·二模）已知正比例函数，y的值随x的值增大而减小，那么k的值可以是 ．（写出一个符合题意的k的值即可） 题型六 与一次函数有关的最值问题 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）对于一次函数（），当时，y的最小值为4，则k的值是 ． 2．（2025·黑龙江大庆·三模）已知一次函数，当时，的最大值是，则的最小值是 ． 3．（23-24八年级下·河南周口·期末）已知一次函数当时，y的最大值是，最小值是 ． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）已知函数 （1）若，当时，的取值范围是 （2）当时，有最小值5，则的值是 5．（23-24八年级上·安徽马鞍山·期末）已知，，对于任意，取与中较小的值，若当时有最大值，则 ． 1．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数与图象在轴上相交于同一点，则的值是（  ） A．4 B． C． D． 2．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）一次函数满足条件：①随的增大而减小；②它的图象与轴交于负半轴，则函数图象不可能经过的点是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）已知关于的一次函数（），小莹给出了下面四个结论：①该函数的图象经过点；②当时，该函数图象不经过第三象限；③当时，该函数图象与轴的交点在轴的正半轴上；④当时，若点和在该函数图象上，则．其中正确的是（   ） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 4．（24-25八年级下·北京·期中）对于两个一次函数，我们称一次函数为这两个函数的复合函数．已知一次函数与的复合函数的图象经过第一、第三、第四象限，常数m满足的条件是 ；若，一次函数与的复合函数的图象必经过定点 ． 5．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，放置一块等腰直角三角板，使得两直角边分别与轴重合，，将三角板先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，斜边恰好落在直线上，则的值为 ． 6．（21-22八年级上·江西九江·期中）已知直线经过点，且它与坐标轴围成的三角形面积为．若函数满足随的增大而减小，求的函数关系式． 7．（24-25八年级下·陕西西安·期中）直线和直线（为常数，且）分别交轴于点，两直线交于点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)当时，直接写出的取值范围． 8．（24-25八年级下·河北承德·期中）如图，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线经过点B交x轴于点C． (1)点A的坐标为________； (2)当时， ①求的面积； ②直接写出及内部横纵坐标都为整数的点的个数． 9．（24-25八年级下·福建福州·期中）平面直角坐标系中，已知函数的图象经过点，． (1)求函数的解析式； (2)若函数（且）和函数的图象与轴所围成的三角形的面积为4，求的值； (3)当时，对于的每一个值，函数的值大于的值且小于4，直接写出的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$