12.2.5 分段函数 课件 2026-2027学年沪科版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦分段函数核心内容，从一次函数延伸，通过收费、行程等实际场景导入，明确“分段定义、整体为一个函数”本质，搭建从基础概念到实际应用的学习支架。 其亮点在于结合生活实例培养数学眼光，如打车收费、停车计费等问题引导学生观察现实数量关系，强调“先判区间再代公式”训练数学思维，通过函数表达式与图像发展数学语言。跨学科例题（生物冷却实验）增强应用意识，助力学生理解数学价值，教师可高效开展教学。

授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 沪科版（2024）数学八年级上册教学课件 第12章 函数与一次函数 12.2.5分段函数 2026年8月6日 沪科版八年级上册12.2.5分段函数同步练习题 本节学习分段函数，分段函数是在自变量不同取值范围内，对应不同函数解析式的特殊一次函数模型，是初中函数实际应用的重难点。分段函数的核心特点是“分段定义、整体为一个函数”，自变量取值范围不同，对应的表达式、图象走势、函数性质也不相同。常见于收费问题、行程问题、阶梯计费、行程变速等实际场景。学习本节需要掌握分段代入求值、判断取值区间、绘制分段图象、利用分段函数解决实际问题，熟练区分各段自变量范围，避免代错解析式。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 关于分段函数，下列说法正确的是（ ） A. 分段函数是多个独立的函数 B. 分段函数是一个函数，只是分段表达 C. 分段函数每一段自变量范围可以重叠 D. 分段函数图象一定是连续的 2. 已知分段函数 $$y=\begin{cases}2x &(x\ge0)\\ -2x &(x<0)\end{cases}$$，则当x=3时，y的值为（ ） A. 6 B. -6 C. 3 D. -3 3. 某打车收费分段函数：3公里以内统一收费，超过3公里单价提高，下列图象符合该收费规律的是（ ） A. 匀速上升直线 B. 先平缓上升，后变陡上升 C. 先陡后平缓 D. 水平直线 4. 已知分段函数 $$y=\begin{cases}x+1 &(x>1)\\ 2x &(x\le1)\end{cases}$$，当x=1时，y的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 5. 小明先匀速走路，停留休息，再匀速跑步回家，对应的路程时间图象属于（ ） A. 三段式分段函数图象 B. 正比例函数图象 C. 单一一次函数图象 D. 常函数图象 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 分段函数的本质是________个函数，根据________的不同范围选用不同解析式。 2. 已知 $$y=\begin{cases}3x-1 &(x\ge2)\\ x+2 &(x<2)\end{cases}$$，则x=0时，y=________。 3. 解决分段函数求值问题的第一步是________，再代入对应解析式计算。 4. 行程分段函数中，静止停留阶段对应的函数解析式为________函数。 5. 分段函数各段自变量的取值范围必须________，不能重复、不能遗漏。 三、解答题（共60分） 1.（18分）已知分段函数：$$y=\begin{cases}4x &(0\le x\le2)\\ 2x+4 &(x>2)\end{cases}$$。（1）求x=1时的函数值；（2）求x=3时的函数值；（3）简述两段函数的增减性。 2.（20分）某停车场收费标准：停车2小时以内（含2小时）收费5元；超过2小时，每多停1小时加收1.5元。设停车时间为x小时（x≥0），收费金额为y元。（1）写出该问题对应的分段函数解析式；（2）停车4小时需要缴费多少元？ 3.（22分）某人骑车出行，行程满足分段函数：$$y=\begin{cases}10x &(0\le x\le1)\\ 10 &(1<x\le3)\\ 5x-5 &(x>3)\end{cases}$$（x：时间/h，y：路程/km）。（1）分别说明三段函数的实际意义；（2）求骑行2小时的路程；（3）求骑行4小时的路程。 参考答案及解析 一、选择题 1. B 解析：分段函数是一个函数，只是分段表达，自变量区间不重叠，图象可连续也可断开。 2. A 解析：x=3≥0，代入y=2x，得y=6。 3. B 解析：起步低价增速慢，超里程后单价变高，图象倾斜程度变大。 4. B 解析：x=1满足x≤1，代入y=2x，得y=2。 5. A 解析：走路、停留、返程三段变化，对应三段式分段函数图象。 二、填空题 1. 一；自变量 2. 2 解析：x=0<2，代入y=x+2得y=2 3. 判断自变量所属区间 4. 常 5. 互不重叠 三、解答题 1. 解析：（1）x=1在0≤x≤2范围内，代入y=4x，得y=4；（2）x=3>2，代入y=2x+4，得y=10；（3）两段解析式k值均大于0，因此自变量在对应范围内，y均随x增大而增大。 2. 解析：（1）分段解析式为 $$y=\begin{cases}5 &amp;(0\le x\le2)\\ 1.5x+2 &amp;(x&gt;2)\end{cases}$$；（2）x=4>2，代入得y=1.5×4+2=8，需缴费8元。 3. 解析：（1）0~1小时，以10km/h匀速行驶；1~3小时，路程不变，原地停留休息；3小时后，以5km/h匀速行驶；（2）x=2在1<x≤3区间，y=10km；（3）x=4>3，代入得y=5×4-5=15km。 知识点总结：分段函数解题核心口诀：“先判区间，再代公式”。分段函数整体为一个函数，根据自变量取值区间划分不同解析式，广泛应用于生活中的阶梯收费、变速行程、分段优惠等问题。解题易错点为混淆自变量区间、选错解析式、忽略取值范围端点，做题时务必先判断x所属范围，再精准代入计算，结合图象可直观理解分段变化规律。 典型例题 【例5】为节约用水，某市制定以下用水收费标准：每户每月用水不超过8m³，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费，超过8m³时， 超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费，现设一户每月用水 x m³，应缴水费y元. 〔1〕给出y与x之间的函数表达式； 用水时以8m3为界，分成两段，收费标准不一样： 当x≤8时，每立方米收费(1+0.3)元； 当x＞8时，超过部分每立方米收费(1.5+1.2)元. 分析 2 典型例题 〔1〕给出y与x之间的函数表达式； 解：y与x之间的函数表达式为： y = ( 1+ 0.3 ) x = 1.3x (0≤x≤8) ( 1.5+ 1.2 ) ( x  8 ) + 1.3  8 = 2.7x11.2 (x＞8) 叫做分段函数. 注意：①它是一个函数 ②要写明自变量取值范围 正比例函数 一次函数 【例5】为节约用水，某市制定以下用水收费标准：每户每月用水不超过8m³，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费，超过8m³时， 超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费，现设一户每月用水 x m³，应缴水费y元. 3 典型例题 〔2〕画出上述函数图象； 函数表达式： y = 1.3x (0≤x≤8) 2.7x11.2 (x＞8) x 0 8 y=1.3x   0  10.4 列表： x 8 16 y=2.7x11.2  10.4   32 描点、连线 x/m3 y/元 如图，函数图象是一段折线. 4 Y 值 0 8 16 0 10.4 32 函数表达式： 典型例题 y = 1.3x (0≤x≤8) 2.7x11.2 (x＞8) 先确定要求值的自变量属于哪一段范围； 然后代入该段的解析式求值. 解：当x = 5 m3 时，y = 1.3  5 = 6.5 (元) 当x = 10 m3 时，y = 2.7  10  11.2 = 15.8 (元) 即当用水量为5m3时，该户应缴水费6.5元；当用水量为10m3时， 该户应缴水费15.8元. 〔3〕当该市一户某月的用水量为x=5m3或x=10m3时，求其应缴的水费； 5 〔4〕该市一户某月缴水费26.6元，求该户这个月用水量. 典型例题 函数表达式： y = 1.3x (0≤x≤8) 2.7x11.2 (x＞8) 把对应y的值代入函数解析式 y=26.6 解：∵y = 26.6 ＞ 1.3  8 ， 可见该户这月用水超过8m3， 因此 2.7x11.2 = 26.6 ，解方程得x =14. 即该户本月用水量为14m3. 6 1．[南京期末节选]【问题背景】若一个函数，对于自变量的不同取值范围，该函数有不同的表达式，则这样的函数称为“分段函数”． 当x≥0时，y1＝kx＋2；当x<0时，y1＝kx－2， 可以记作分段函数y1＝ 1星题 基础练 【问题探究】当k＝1时，请在如图所示的平面直角坐标系中画出y1与x之间的函数图象，并写出该函数两条不同类型的性质． 举一反三 x －2 －1 0 1 … y －4 －3 2 3 … 解：当k＝1时，y1＝ 列表如下： 作图如图所示． 性质1：当x≥0时，y随x的增大而增大； 性质2：当x≥0时，函数有最小值2.(性质不唯一) 举一反三 2．[广州期末]某市出租车白天的收费起步价为12元，即路程不超过3 km时收费12元，超过部分每千米收费2.6元．如果乘客白天乘坐出租车的路程为x km，乘车费为y元，那么y与x之间的函数表达式为__________________． 举一反三 归纳 分段函数： 在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同 注意： 〔1〕书写解析式时要用大括号将几个式子括起来； 〔2〕每个式子后面标明自变量的取值范围； 〔3〕临界点要根据实际情况写在其中一个自变量的范围内. 的形式，这样的函数称为分段函数. 3．[武汉期末]共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3～10 km的出行市场，图中反映某共享电动车平台收费y(元)与骑行时间x(min)之间的函数关系，根据图中的信息，某天小明从家到学校一共骑行40 min，则需要向平台付费________元． 12 举一反三 4．随着新能源汽车的普及，充电站如雨后春笋般出现．某充电站施行峰谷电价收费制度(高峰时段：10：00至22：00，低谷时段：22：00至次日10：00)，已知高峰时段的充电单价是低谷时段的2倍，且充电总费用y(元)与充电量x(千瓦时)之间成一次函数关系，下图为一辆新能源汽车从充电开始直至充电结束的整个计费过程． (1)求出当0≤x≤5时，充电总费用y(元)与充电 量x(千瓦时)之间的函数表达式； 举一反三 解：设充电总费用y(元)与充电量x(千瓦时)之间的函数表达式为y＝kx， 将(5，6)代入，得6＝5k，解得k＝1.2，所以y＝1.2x. 举一反三 (2)当这辆汽车充电结束时，充电总费用是多少？ 8 (3)当这辆汽车的充电总费用为7.8元时，充电量为__________千瓦时． 解：因为高峰时段的充电单价是低谷时段充电单价的2倍，所以低谷时段的充电单价为1.2÷2＝0.6(元/千瓦时)，1.2×5＋0.6×(10－5)＝6＋3＝9. 答：当这辆汽车充电结束时，充电总费用是9元． 举一反三 5．[绍兴期末]某校智慧学习小组用AI记录学生运动轨迹：小敏从宿舍出发跑步前往体育场，在体育场锻炼了一小段时间后，步行至文具店购买了一些学习用品，最后散步走回宿舍．小敏离宿舍的距离y(km)与她所用的时间x(min)的关系如图所示，解答下列问题： 举一反三 (1)小敏宿舍离体育场的距离为________km，小敏跑步的平均速度为________km/min； (2)当15≤x≤45时，请直接写出y关于x的函数表达式：____________________． 2.5 举一反三 6．某校无人超市，恰逢周年庆，推出优惠活动，活动内容如图所示． (1)请写出小李的实付金额y(元)关于购物的商品总价x(元)的函数表达式及自变量的取值范围； 解：根据题意，得当0≤0.7x<56，即0≤x<80时，y＝0.7x；当0.7x≥56，即x≥80时，y＝0.7x－10. 举一反三 (2)小李和好朋友小于拼单购物，小李和小于所购商品的总价分别为60元和40元，那么小李和小于应分别实付多少元？ 解：因为60＋40＝100(元)>80元，所以把x＝100代入y＝0.7x－10，得y＝0.7×100－10＝60，所以小李应实付 ×60＝36(元)，小于应实付 ×60＝24(元)． 举一反三 7.【跨学科·生物】在生物实验室，科研人员对一种生物标本进行真空冷却实验，探索低温环境对标本细胞活性的影响．标本初始温度为45 ℃，在真空冷却过程中，温度T(单位：℃)与冷却时间t(单位：min)之间满足一次函数关系：前8 min，温度每分钟下降2.5℃；8 min后，调整冷却设备，温度每分钟下降2 ℃.同时，标本的细胞活性y与温度T之间也满足一次函数关系，且当T＝35 ℃时，y＝0.7；当T＝25 ℃时，y＝0.3. 举一反三 根据以上信息，回答下列问题： (1)求在不同阶段标本温度T关于冷却时间t的函数表达式； 解：根据题意，得当0≤t≤8时，T＝－2.5t＋45， 因为当t＝8时，T＝－2.5×8＋45＝25， 所以当t>8时，T＝25－2(t－8)，即T＝－2t＋41， 所以标本温度T关于冷却时间t的函数表达式为T＝ 举一反三 (2)当细胞活性降至0.1时，求标本冷却时间． 解：因为细胞活性y与标本温度T之间满足一次函数关系，所以设y＝kT＋b， 将T＝35，y＝0.7；T＝25，y＝0.3代入， 所以y＝0.04T－0.7. 举一反三 对于y＝0.04T－0.7，当y＝0.1时，0.04T－0.7＝0.1，解得T＝20.由(1)可知，T＝20时，t>8， 所以把T＝20代入T＝－2t＋41，得－2t＋41＝20，解得t＝10.5，所以当细胞活性降至0.1时，标本冷却时间是10.5 min. 举一反三 分段函数 分段函数求值 〔1〕先确定要求值的自变量属于哪一段范围； 〔2〕代入该段的解析式求值. 分段函数： 〔1〕定义： 在自变量的不同取值范围内表示函数关系的表达式有不 同的形式，这样的函数称为分段函数. 〔2〕图象： 画出函数在各段上的图象，再合起来就是分段函数的图象. 〔3〕注意： 它是一个函数；要写明自变量取值范围. 由分段函数的图象确定解析式的方法 〔1〕定类型〔2〕设函数式〔3〕列方程(组)〔4〕下结论 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 作业 谢谢观看 THANKS y＝ y＝ 综上，y＝ 得解得 $