12.2 一次函数（正比例函数的图像与性质）（题型专练）数学沪科版2024八年级上册

12.2 一次函数（正比例函数的图像与性质） 题型一 正比例函数的识别 1．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）下列函数中，是正比例函数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）下列函数（1）；（2）；（3）；（4）中，是正比例函数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）已知与成正比例，且当时，．当时，则 ． 4．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）已知y与成正比例，当时，． (1)求这个函数表达式； (2)求当时y的值． 题型二 根据正比例函数的定义求参数 1．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数是正比例函数，则的值为(    ) A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·四川达州·期中）若一个正比例函数的图象经过，两点，则m的值为 ． 3．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知正比例函数，且y随x的增大而增大，求m的值． 4．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数（为常数）． (1)当满足条件______时，该函数是正比例函数；当满足条件______时，随的增大而增大． (2)当满足条件______时，函数图象经过点． (3)若该函数图象不经过第一象限，求的取值范围． 题型三 用待定系数法求函数解析式 1．（24-25八年级下·安徽池州·开学考试）已知y与x成正比例，当时， (1)求y与x之间的函数表达式； (2)请判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 2．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个正比例函数的表达式； (2)若一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且过点，将这个一次函数的图象向下平移4个单位，写出平移后函数表达式． 3．（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知正比例函数． (1)若点在它的图象上，求正比例函数的解析式及的值； (2)若函数图象经过第二、四象限，求的取值范围． 4．（24-25八年级下·福建泉州·期中）已知正比例函数为常数． (1)求的值． (2)在平面直角坐标系中，画出该正比例函数的图象． 题型四 判断正比例函数的图像 1．（24-25八年级下·河北唐山·期中）正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．2 B． C． D． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，正比例函数，其中y随x增大而减小的图象是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（　　） A．B．C．D． 4．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）直线与直线在同一坐标系中的大致图象可能是（   ） A．B．C．D． 题型五 判断正比例函数图像上的点 1．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）下列四个点中，在正比例函数图象上的点是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广西来宾·期末）函数的图象一定经过下列四个点中的（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）若点是正比例函数图象上的点，则此正比例函数的表达式为 ． 4．（2024八年级下·上海·专题练习）已知和是一个正比例函数图象上的两个点，那么的值是 ． 题型六 根据正比例函数解析式求其性质 1．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）关于正比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．点在函数的图象上 B．y随x的增大而减小 C．图象经过原点 D．图象经过二、四象限 2．（2022·安徽黄山·二模）对于函数，下列结论不正确的是（    ） A．函数图象必经过点(1，3) B．y的值随x值的增大而增大 C．当时， D．函数图象经过第三象限 3．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）关于正比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过第一、三象限 B．图象经过原点 C．y随x增大而增大 D．点在函数的图象上 题型七 根据正比例函数图像判断比例系数的大小关系 1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，三个函数的图象对应的表达式为：；；，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海·期中）如图，三个正比例函数的图像分别对应的解析式是：①，②，③，下列用“”表示的不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3（21-22八年级上·安徽蚌埠·期中）已知4个正比例函数y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x，y＝k4x的图像如图，则下列结论成立的是（　　） A．k1＞k2＞k3＞k4 B．k1＞k2＞k4＞k3 C．k2＞k1＞k3＞k4 D．k4＞k3＞k2＞k1 题型八 判断正比例函数图像通过象限 1．（22-23八年级上·安徽蚌埠·期中）已知点在轴负半轴上，则函数的图象经过（    ） A．二、四象限 B．一、三象限 C．一、二象限 D．三、四象限 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知正比例函数的图像经过点，则该函数的图像（   ） A．在第二、四象限，y随x的增大而增大 B．在第二、四象限，y随x的增大而减小 C．在第一、三象限，y随x的增大而增大 D．在第一、三象限，y随x的增大而减小 3．（24-25八年级上·上海·期中）函数的图像过点，那么的图像经过的象限是（   ） A．一、三 B．一、二 C．二、四 D．三、四 4．（22-23八年级上·安徽马鞍山·期中）正比例函数中，y随x的增大而增大，则直线经过（   ） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 5．（22-23八年级上·安徽滁州·阶段练习）已知正比例函数的图象经过第二、四象限，求函数的图象经过哪些象限？ 题型九 比较正比例函数中函数值的大小 1．（2025·山西长治·模拟预测）已知点都在正比例函数的图象上，若则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·安徽淮南·期末）点、都在直线上，则与的关系是（    ） A． B． C． D．与值有关 3．（21-22八年级下·河北邢台·期末）若是y关于x的正比例函数，如果点和点在该函数的图像上，那么a和b的大小关系是（    ） A．a<b B．a>b C． D． 4．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）若点，都在正比例函数的图象上，则 （填“”“”或“”）． 题型十 画正比例函数图像 1．（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）已知三个函数的解析式分别为，，． (1)如图，请在同一平面直角坐标系中画出三个函数的大致图象，并标记好函数； (2)仔细观察画出的函数图象，写出3条函数的图象特征． 2．（23-24八年级上·广西梧州·阶段练习）我们知道正比例函数的图像是一条直线，又因为“两点确定一条直线”，从而我们把画正比例函数图像简化成“定两点，画图像”的简易方法，下面就是用这种简易方法画正比例函数和图像的过程．请你回答下列问题． (1)列表：把下表补充完整为： …… … … … (2)描点并连线得函数图像： 题型一 已知正比例函数图像经过象限求其参数 1．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）正比例函数经过第二、四象限，则k的取值范围是 ． 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）若正比例函数的图象经过第一、三象限，请你写出一个符合上述条件的的值： ． 3．（23-24八年级上·上海·阶段练习）若正比例函数经过第一、三象限，则a的取值范围是 ． 4．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知函数是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则的值是 ． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）按照下列条件求的取值范围： (1)正比例函数的图象经过一、三象限； (2)正比例函数中，随的增大而增大； (3)已知的图象经过一、三象限． 题型二 根据正比例函数的增减性求参数 1．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知正比例函数的图象上两点、，当时，有，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，，且，则的值可能为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 3．（2022·陕西西安·二模）若正比例函数的图像经过点和点，当时，，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·安徽宣城·期末）已知正比例函数，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是 ． 题型三 与正比例函数有关的平移问题 1．（2024·安徽滁州·三模）在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点 B，若点 B 在直线上，则实数m的值为（       ） A． B．0 C．4 D．6 2．（24-25八年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向右平移一个单位长度，则平移后的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2025·陕西咸阳·一模）已知直线（为常数，且）向下平移后可以得到直线，且，则直线经过（   ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 4（2025·陕西西安·三模）已知正比例函数（是常数，）的图象经过点，将的图象向左平移3个单位长度后，经过下列哪个点（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）在平面直角坐标系中，将点向右平移1个单位，再向下平移2个单位后恰好落在直线上，则的值为 ． 题型四 与正比例函数有关的最值问题 1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知正比例函数，当时，函数的最大值为8，则k的值为（   ） A．3 B． C．1或 D．或3 2．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）对于正比例函数，当时，y的最大值等于 ． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）当时，正比例函数的最大值是 ，最小值是 ． 4．（2023·江苏镇江·二模）正比例函数，当时，函数y的最大值和最小值之差为4，则 ． 5．（23-24八年级·全国·假期作业）已知正比例函数，当时，函数有最大值3，则k的值为 ． 6．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）已知关于的正比例函数． (1)若点在该正比例函数的图象上，求的值； (2)在（1）的条件下，当时，求的最小值． 1．（2025·江西·中考真题）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）如图，将的正方形网格放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点．每个小正方形的边长都是1，正方形的顶点都在格点上．若直线与正方形有公共点，则的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·安徽·模拟预测）若点，在函数的图象上，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西安康·二模）已知点和点是正比例函数图象上的两个点．如果，那么和的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 5．（2025·陕西商洛·一模）已知函数（为常数）是正比例函数，且点，是该函数图象上的点，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·上海闵行·期中）定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知正比例函数，若点在这个函数的相关函数的图象上，则n的值为 ． 7．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知 、、是正比例函数图象上的三个点，当时，t的取值范围是 ． 8．（2024八年级上·安徽·专题练习）平面直角坐标系内有两点，如果正比例函数的图象与线段有交点，那么k的取值范围是 ．   9．（2025·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，函数和函数的图象相交于点． (1)当时，求点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出的取值范围． 10．（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知如下三个正比例函数：，，． (1)若，两点均在的图象上，求的值； (2)若点在的图象上，点在的图象上，点在的图象上，且，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.2 一次函数（正比例函数的图像与性质） 题型一 正比例函数的识别 1．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）下列函数中，是正比例函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，根据正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数，需满足：①自变量的次数为1；②无常数项；③分母不含自变量. 【详解】解：选项A：，自变量的次数为2，属于二次函数，不符合正比例函数的定义； 选项B：，可写为，自变量的次数为，且分母含，属于反比例函数，不符合定义； 选项C：，展开为，含常数项，属于一次函数但非正比例函数； 选项D：，即，满足的形式（），无其他项，符合正比例函数的定义； 综上，正确答案为D； 故选：D 2．（24-25八年级上·安徽淮北·阶段练习）下列函数（1）；（2）；（3）；（4）中，是正比例函数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的一般形式是，此题可以根据正比例的定义进行解答． 【详解】解：（1）是正比例函数，故正确； （2）是一次函数，故错误； （3）是正比例函数，故正确； （4）的次数为二，不是一次函数，故错误； 故选：C． 3．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）已知与成正比例，且当时，．当时，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义和求函数值，能根据正比例函数定义列出关系式是解题的关键．设，将当时，代入求出k的值，在代入表达式求值即可． 【详解】与成正比例， 设， 当时，， ， ， ， 当时，， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）已知y与成正比例，当时，． (1)求这个函数表达式； (2)求当时y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例的定义、利用待定系数法求函数的解析式等知识点，掌握理解正比例的定义是解题关键． ①设，将时，代入求出k的值即可得； ②根据①的结论，将代入求值即可得． 【详解】（1）解：设， 由题意得：， 解得， 则这个函数的解析式是； （2）解：由（1）可知，， ∴当时，． 题型二 根据正比例函数的定义求参数 1．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）已知一次函数是正比例函数，则的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的定义：一次项系数不为0，常数项等于0．根据定义可得，即可求解． 【详解】解：∵一次函数是正比例函数， ∴ 解得：， 故选：C． 2．（22-23八年级上·四川达州·期中）若一个正比例函数的图象经过，两点，则m的值为 ． 【答案】 【分析】根据点A的坐标，利用待定系数法可求出正比例函数解析式，再利用正比例函数图象上点的坐标特征可求出m的值． 【详解】解：设正比例函数的解析式为， 将代入，得：， ∴正比例函数解析式为， 当时，， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式以及正比例函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标，利用待定系数法求出正比例函数解析式是解题的关键． 3．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）已知正比例函数，且y随x的增大而增大，求m的值． 【答案】2 【分析】本题考查了正比例函数的定义．根据正比例函数的定义计算即可． 【详解】解：∵正比例函数，且 y随x的增大而增大， ∴， 解得． 4．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知函数（为常数）． (1)当满足条件______时，该函数是正比例函数；当满足条件______时，随的增大而增大． (2)当满足条件______时，函数图象经过点． (3)若该函数图象不经过第一象限，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，一次函数的定义和性质，解不等式组，根据题意正确的得到不等式组是解题的关键． （1）根据y是x的正比例函数列方程，即可得到结论； （2）根据函数图象经过点，将代入求解即可； （3）根据函数图象不经过第一象限，列不等式组，即可得到结论． 【详解】（1）解：对于函数， ∵是的正比例函数， 且， 解得：； 当，即时，随的增大而增大； 故答案为：；； （2）解：当函数图象经过点时， 将代入， 得：， 解得：， 故答案为：． （3）解：∵该函数图象不经过第一象限， 则， 解得：， 故的取值范围为． 题型三 用待定系数法求函数解析式 1．（24-25八年级下·安徽池州·开学考试）已知y与x成正比例，当时， (1)求y与x之间的函数表达式； (2)请判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)不在，理由见解析 【分析】本题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，熟知待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解决问题． （2）将点代入所得函数解析式验证即可． 【详解】（1）解：令y与x之间的函数表达式为， ∵当时，， ∴， 解得， 所以y与x之间的函数表达式为 （2）不在，理由如下： 将代入得， ， 所以点不在这个函数的图象上． 2．（24-25八年级上·安徽宿州·期中）已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个正比例函数的表达式； (2)若一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且过点，将这个一次函数的图象向下平移4个单位，写出平移后函数表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数图像与几何变换，一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． （1）待定系数法求出正比例函数解析式即可； （2）先求出平移前的解析式，再根据平移法则得到新的解析式． 【详解】（1）解：设正比例函数解析式为，图象经过点， ， 得， 故正比例函数的表达式为； （2）解：一次函数的图象与正比例函数的图象平行， 一次函数，即， 一次函数图像经过点， 解得， 一次函数解析式为：， 将这个一次函数的图象向下平移4个单位，得到． 3．（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知正比例函数． (1)若点在它的图象上，求正比例函数的解析式及的值； (2)若函数图象经过第二、四象限，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了求正比例函数的解析式、正比例函数的性质、解一元一次不等式，熟练掌握正比例函数的性质是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据正比例函数的性质可得，求解即可． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴， 解得， ∴正比例函数的表达式为． （2）解：∵的图象经过第二、四象限， ∴， ∴． 4．（24-25八年级下·福建泉州·期中）已知正比例函数为常数． (1)求的值． (2)在平面直角坐标系中，画出该正比例函数的图象． 【答案】(1) (2)画图见解析 【分析】（）根据正比例函数的定义解答即可； （）利用两点法画出图象即可； 本题考查了正比例函数的定义，画正比例函数的图象，正确求出正比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， 且， 解得； （2）解：由（）得，该正比例函数的表达式为， ∴当时，， 过点和画正比例函数的图象如图所示： 题型四 判断正比例函数的图像 1．（24-25八年级下·河北唐山·期中）正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的性质：当，图象经过第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而增大；当，图象经过第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而减小．利用正比例函数的性质得到，再结合直线为第一、第三象限的角平分线组成的图象，可得，然后在此范围内进行判断即可． 【详解】解：∵正比例函数图象经过第一、第三象限， ∴， 如图，直线为第一、第三象限的角平分线组成的图象， ∴， ∴的值可以为：， ∴选项C符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，正比例函数，其中y随x增大而减小的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数图象，利用正比例函数的性质可判断，然后根据正比例函数的图象经过原点和第二、四象限进行判断． 正比例函数的图象是一条经过原点的直线，当，直线经过第一、三象限；当，直线经过第二、四象限． 【详解】解：正比例函数，随的增大而减小， ， 直线经过原点和第二、四象限． 故选：C． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（　　） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是解题常用的方法．根据正比例函数图象所在的象限判定的符号，根据的符号来判定一次函数图象所经过的象限． 【详解】解： 当时，正比例函数的图象经过一三象限，一次函数的图象应该经过第一、二、四象限，故选项B不符合题意； 当时，正比例函数的图象经过二四象限，一次函数的图象应该经过第一、三、四象限，故选项A不符合题意，选项C符合题意； 正比例函数与一次函数的自变量系数互为相反数，则两直线不平行，故D不符合题意； 故选：C． 4．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）直线与直线在同一坐标系中的大致图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的图象．根据k的符号判定正比例函数和一次函数图象所在的象限． 【详解】解：直线经过第一、二、四象限，直线经过第一、三象限， 满足条件的只有B选项， 故选：B． 题型五 判断正比例函数图像上的点 1．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）下列四个点中，在正比例函数图象上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，将变形为，只需要验证选项中点的纵坐标与横坐标的比是否即可． 【详解】解：∵， ∴， A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意， 故选：B． 2．（23-24八年级下·广西来宾·期末）函数的图象一定经过下列四个点中的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象与点的关系，熟练掌握图象经过点的基本要求是解题的关键． 把点的坐标代入计算验证等式的成立性即可． 【详解】解：因为，当时，，所以A不符合题意； 当时，，所以B不符合题意； 当时，，所以C不符合题意； 当时，，所以D符合题意； 故选D． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）若点是正比例函数图象上的点，则此正比例函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数图象上点的坐标特征，将已知点P坐标代入函数解析式中求得k值即可求解． 【详解】解：∵点是正比例函数图象上的点， ∴，解得， ∴此正比例函数的表达式为， 故答案为：． 4．（2024八年级下·上海·专题练习）已知和是一个正比例函数图象上的两个点，那么的值是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了待定系数法求直线解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解答本题的关键． 设解析式为，代入点求出值得到解析式，再代入点坐标求出值即可． 【详解】解：设正比例函数解析式为， 在的图象上， ， ， 正比例函数解析式为：， 是直线上的点， ， ． 故答案为：6． 题型六 根据正比例函数解析式求其性质 1．（24-25八年级上·安徽亳州·期中）关于正比例函数，下列结论不正确的是（   ） A．点在函数的图象上 B．y随x的增大而减小 C．图象经过原点 D．图象经过二、四象限 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．根据正比例函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：对于正比例函数，，图象过原点，经过二、四象限，且随的增大而减小， 当时，，即点在函数的图象上； 所以B、C、D三个选项正确，选项A不正确； 故选：A． 2．（2022·安徽黄山·二模）对于函数，下列结论不正确的是（    ） A．函数图象必经过点(1，3) B．y的值随x值的增大而增大 C．当时， D．函数图象经过第三象限 【答案】C 【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】A． 当x=1时，y=3×1=3，则点(1，3)在函数y=3x的图象上，故选项错误，不符合题意； B． 因为k=3>0，所以y随x的增大而增大，故选项错误，不符合题意； C．当x>0时，y>0，故选项正确，符合题意； D． k=3>0，，函数图象经过第一、三象限，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了一次函数的图像和性质 ，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 3．（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）关于正比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象经过第一、三象限 B．图象经过原点 C．y随x增大而增大 D．点在函数的图象上 【答案】B 【分析】依据题意，由正比例函数图象的性质即可进行解答． 本题主要考查了正比例函数的性质：它是经过原点的一条直线．当时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．要判断一点是否在直线上，只需把点的坐标代入，看是否满足解析式． 【详解】解：A、由题意，， 图象经过第二、第四象限，故A错误； B、由题意，正比例函数，当，则， 该函数的图象是一条经过原点的直线，故B正确； C、由题意，， 随x的增大而减小，故C错误； D、，且当，则， 点不在函数的图象上，故D错误； 故选：B． 题型七 根据正比例函数图像判断比例系数的大小关系 1．（24-25八年级上·河南郑州·期中）如图，三个函数的图象对应的表达式为：；；，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数图象的性质，掌握函数图象的性质是解题的关键． 根据正比例函数图象的性质即可求解． 【详解】解：∵图象在第二、四象限， ∴， ∵，图象在第一、三象限，，， ∵直线在第一、三象限越陡，则越大， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级上·上海·期中）如图，三个正比例函数的图像分别对应的解析式是：①，②，③，下列用“”表示的不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，在图中画出直线，得出此直线与三个正比例函数图象的交点，再根据它们的位置关系即可解决问题．熟知正比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：作直线，如图所示： 则点，点，点， 结合三个点的位置可知，． 故选：B． 3（21-22八年级上·安徽蚌埠·期中）已知4个正比例函数y＝k1x，y＝k2x，y＝k3x，y＝k4x的图像如图，则下列结论成立的是（　　） A．k1＞k2＞k3＞k4 B．k1＞k2＞k4＞k3 C．k2＞k1＞k3＞k4 D．k4＞k3＞k2＞k1 【答案】A 【分析】首先根据直线经过的象限判断k的符号，再进一步根据直线的平缓趋势判断k的绝对值的大小，最后判断四个数的大小． 【详解】解：首先根据直线经过的象限，知：k3＜0，k4＜0，k1＞0，k2＞0， 再根据直线越陡，|k|越大，知：|k1|＞|k2|，|k4|＞|k3|． 则k1＞k2＞k3＞k4， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正比例函数图像的性质，首先根据直线经过的象限判断k的符号，再进一步根据直线的平缓趋势判断k的绝对值的大小，最后判断四个数的大小． 题型八 判断正比例函数图像通过象限 1．（22-23八年级上·安徽蚌埠·期中）已知点在轴负半轴上，则函数的图象经过（    ） A．二、四象限 B．一、三象限 C．一、二象限 D．三、四象限 【答案】A 【分析】根据题意得出，继而根据正比例函数图象的性质即可求解． 【详解】解：∵点在轴负半轴上， ∴， ∴函数的图象经过二、四象限， 故选：A． 【点睛】本题考查了正比例函数图象的性质，掌握正比例函数图象的性质是解题的关键． 2．（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知正比例函数的图像经过点，则该函数的图像（   ） A．在第二、四象限，y随x的增大而增大 B．在第二、四象限，y随x的增大而减小 C．在第一、三象限，y随x的增大而增大 D．在第一、三象限，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的性质：正比例函数，正比例函数图象过原点，当，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小． 根据正比例函数的性质进行判断． 【详解】解：∵正比例函数的图像经过点， ∴将点代入得：， ∴正比例函数的值随的增大而减小，图象经过第二、四象限． 故选：B． 3．（24-25八年级上·上海·期中）函数的图像过点，那么的图像经过的象限是（   ） A．一、三 B．一、二 C．二、四 D．三、四 【答案】C 【分析】本题考查求函数解析式，以及正比例函数的图象与性质．利用待定系数法求得，得到的解析式，再根据正比例函数的图象与性质判断，即可解题． 【详解】解：函数的图像过点， ， 解得， ， ， 那么的图像经过的象限是二、四象限， 故选：C． 4．（22-23八年级上·安徽马鞍山·期中）正比例函数中，y随x的增大而增大，则直线经过（   ） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】C 【分析】根据正比例函数的增减性，可得；则，据此判断直线经过的象限． 【详解】解：∵正比例函数中，y随x的增大而增大， ∴， ∴， ∴直线经过第二、四象限． 故选：C． 【点睛】此题考查了正比例函数，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 5．（22-23八年级上·安徽滁州·阶段练习）已知正比例函数的图象经过第二、四象限，求函数的图象经过哪些象限？ 【答案】第二、四象限 【分析】根据正比例函数的图象经过第二、四象限，可求出的范围，进而可得出，即可知函数的图象经过的象限． 【详解】解：正比例函数的图象经过第二、四象限， ， 解得：， ∴， 函数的图象经过第二、四象限． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，根据题意求出的范围是解题的关键． 题型九 比较正比例函数中函数值的大小 1．（2025·山西长治·模拟预测）已知点都在正比例函数的图象上，若则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟知正比例函数的图象和性质是解题的关键．根据正比例函数的图象和性质即可解决问题． 【详解】解：因为正比例函数的比例系数是， 所以y随x的增大而减小． 又因为， 所以． 故选：B． 2．（22-23八年级下·安徽淮南·期末）点、都在直线上，则与的关系是（    ） A． B． C． D．与值有关 【答案】C 【分析】直接根据正比例函数的性质即可得． 【详解】解：直线中的， 随的增大而减小， 又点、都在直线上，且， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键． 3．（21-22八年级下·河北邢台·期末）若是y关于x的正比例函数，如果点和点在该函数的图像上，那么a和b的大小关系是（    ） A．a<b B．a>b C． D． 【答案】B 【分析】利用正比例函数的定义，可求出m的值，进而可得出m-2=-4＜0，利用正比例函数的性质可得出y随x的增大而减小即可解答． 【详解】解：∵y=（m-2）x+m2-2是y关于x的正比例函数， ∴m2-2=0，m-2≠0，解得：m=-2， ∴m-2=-2-2=-4＜0， ∴y随x的增大而减小． 又∵A（m，a）和B（-m，b）在函数y=（m-1）x+m2-1的图像上，m＜-m ∴a>b． 故答案为：B． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质以及正比例函数的定义，掌握“当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小”是解答本题的关键． 4．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）若点，都在正比例函数的图象上，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】此题考查了正比例函数的增减性．由正比例函数可得y随x的增大而减小，然后根据点，即可求解． 【详解】解：∵正比例函数，， ∴y随x的增大而减小， ∴点，都在正比例函数的图象上，且， ∴， 故答案为：． 题型十 画正比例函数图像 1．（23-24八年级下·江西南昌·阶段练习）已知三个函数的解析式分别为，，． (1)如图，请在同一平面直角坐标系中画出三个函数的大致图象，并标记好函数； (2)仔细观察画出的函数图象，写出3条函数的图象特征． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了画正比例函数图象，正比例函数的性质； （1）根据题意画出三个正比例函数的图象，即可求解； （2）根据正比例函数的性质结合图象写出3条函数的图像特征即可求解． 【详解】（1）解：列表如下， … … … … … … … … 三个函数的大致图象，如图所示， （2）性质1，三个函数的函数值都随着的增大而增大； 性质2，三个函数的图象都经过； 性质3，三个函数的图象都经过一、三象限， 2．（23-24八年级上·广西梧州·阶段练习）我们知道正比例函数的图像是一条直线，又因为“两点确定一条直线”，从而我们把画正比例函数图像简化成“定两点，画图像”的简易方法，下面就是用这种简易方法画正比例函数和图像的过程．请你回答下列问题． (1)列表：把下表补充完整为： …… … … … (2)描点并连线得函数图像： 【答案】(1)补充表格见解析 (2)作图见详解 【分析】（1）当时，分别代入和求得对应的函数值，当时，分别代入和求得对应的函数值，然后将对应的函数值填入表格即可； （2）将点和在直角坐标系中描出并连接可得正比例函数的图像，将点和在直角坐标系中描出并连接可得正比例函数的图像． 【详解】（1）解：当时，，， 当时，，， ∴表格补充完整如下： …… … … … （2）描点并连线得，如图所示：      【点睛】本题考查正比例函数的图像，函数图像上点的坐标特征，函数图像上点的坐标适合解析式是解题的关键． 题型一 已知正比例函数图像经过象限求其参数 1．（23-24八年级上·安徽滁州·期末）正比例函数经过第二、四象限，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质．根据正比例函数的性质，即可求解． 【详解】解：∵正比例函数经过第二、四象限， ∴， 解得：． 故答案为： 2．（24-25八年级上·广东深圳·期中）若正比例函数的图象经过第一、三象限，请你写出一个符合上述条件的的值： ． 【答案】1（均可） 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质．熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键． 由题意知，，计算求解，然后作答即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， 解得，， ∴， 故答案为：1． 3．（23-24八年级上·上海·阶段练习）若正比例函数经过第一、三象限，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，正比例函数的图象经过第一、三象限，则得到，解不等式即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）已知函数是正比例函数，且图象在第二、四象限内，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正比例函数的概念和k的意义．根据正比例函数的概念以及比例系数k的意义，即可求解． 【详解】解：∵是正比例函数，且图象在第二、四象限内， ∴且， ∴． 故答案为：． 5．（2025八年级下·全国·专题练习）按照下列条件求的取值范围： (1)正比例函数的图象经过一、三象限； (2)正比例函数中，随的增大而增大； (3)已知的图象经过一、三象限． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数中，当时，函数图象分布在第一、三象限，随的增大而增大． （1）根据正比例函数图象在一、三象限可知，解不等式即可求解； （2）先根据正比例函数的性质列出关于的不等式，求出的取值范围即可； （3）根据正比例函数图象的性质，可得，根据正比例函数的定义可知，进而可得出 的取值范围． 【详解】（1）解：由正比例函数的图象经过第一、三象限， 可得：，则； （2）解：∵正比例函数中，随的增大而增大， ∴，解得． （3）解：由正比例函数的图象经过一、三象限， 可得：，且， 解得：． 题型二 根据正比例函数的增减性求参数 1．（23-24八年级上·安徽合肥·阶段练习）已知正比例函数的图象上两点、，当时，有，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是正比例函数的性质，根据正比例函数的性质即可求出当时，时，列出不等式，进而求出的取值范围，解答此题要熟知正比例函数；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 【详解】解：正比例函数的图象上两点，，当时，有， ， ， 故选：D． 2．（23-24八年级下·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，正比例函数的图象经过点，，且，则的值可能为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的性质，由题意得出随的增大而减小，从而得出，即可得解，熟练掌握正比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点，，，且， ∴随的增大而减小， ∴， ∴的值可能为， 故选：D． 3．（2022·陕西西安·二模）若正比例函数的图像经过点和点，当时，，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 【详解】解：当时，， 随x的增大而减小， 则，解得． 故选：D ． 【点睛】本题考查正比例函数的增减性，解题关键是根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号． 4．（24-25八年级上·安徽宣城·期末）已知正比例函数，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的性质，根据正比例函数，当时，y的值随x的值的增大而增大；当时，y的值随x的值的增大而减小解答即可． 【详解】解：∵正比例函数，y的值随x的值的增大而增大， ∴， 解得：． 故答案为：． 题型三 与正比例函数有关的平移问题 1．（2024·安徽滁州·三模）在直角坐标系中，把点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点 B，若点 B 在直线上，则实数m的值为（       ） A． B．0 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变化平移，根据点的平移，找出点的坐标是解题的关键． 根据平移的坐标变换规律，可得出点的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出的值 【详解】解：把点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点， 点的坐标为． 点在直线上， ， 解得：， 实数的值为． 故选：A． 2．（24-25八年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向右平移一个单位长度，则平移后的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象与系数的关系，先由“左加右减”的平移规律求出正比例函数的图象向右平移一个单位后的解析式，再根据一次函数图象与系数的关系即可求解． 【详解】解：将正比例函数的图象向右平移一个单位长度，得到， ，， 平移后的图象经过一，三，四象限，不经过第二象限， 故选：B． 3．（2025·陕西咸阳·一模）已知直线（为常数，且）向下平移后可以得到直线，且，则直线经过（   ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】A 【分析】该题考查了一次函数的平移，正比例函数的性质，根据平移得出，再根据得出，即可确定直线经过的象限． 【详解】解：∵直线（为常数，且）向下平移后可以得到直线， ∴， ∵， ∴， ∴直线经过第二、四象限， 故选：A． 4（2025·陕西西安·三模）已知正比例函数（是常数，）的图象经过点，将的图象向左平移3个单位长度后，经过下列哪个点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 先利用待定系数法求出正比例函数的解析式，再由平移的规律得出函数的图象向左平移 3 个单位长度后的解析式，再把各点坐标代入检验即可． 【详解】解：∵正比例函数是常数，的图象经过点， ， 解得：， ∴正比例函数的解析式为， ∴将的图象向左平移3个单位长度后的解析式为， A、当时，，故不在此函数图象上，不符合题意； B、当时，，故不在此函数图象上，不符合题意； C、当时，，故在此函数图象上，符合题意； D、当时，，故不在此函数图象上，不符合题意， 故选：C． 5．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）在平面直角坐标系中，将点向右平移1个单位，再向下平移2个单位后恰好落在直线上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标平移规律．由向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点，再把点代入即可． 【详解】解：向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点 点在直线上 ． 题型四 与正比例函数有关的最值问题 1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知正比例函数，当时，函数的最大值为8，则k的值为（   ） A．3 B． C．1或 D．或3 【答案】D 【分析】本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性是解答此题的关键． 根据函数的增减性，再由x的取值范围得出时，或时，，分别代入代入函数解析式得出k的值即可． 【详解】解：当时，即，函数y随x的增大而增大， 当时，． ，解得； 当时，即，函数y随x的增大而减小， 当时， ． ， 解得； 的值为或3． 故选：D． 2．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）对于正比例函数，当时，y的最大值等于 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性与系数的关系是解题的关键． 先根据题意判断出函数的增减性，然后根据函数的增减性求最值即可． 【详解】解：∵正比例函数中，， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，． 故答案为：12． 3．（23-24八年级下·全国·课后作业）当时，正比例函数的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握性质，根据，结合函数解析式得出当时，正比例函数有最大值，当时，正比例函数有最小值，然后求出结果即可． 【详解】解：∵正比例函数中， ∴y的值随x值的增大而减小， 又∵， ∴当时，正比例函数有最大值，为， 当时，正比例函数有最小值，为． 故答案为：；． 4．（2023·江苏镇江·二模）正比例函数，当时，函数y的最大值和最小值之差为4，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性是解题的关键．先根据判断出函数的增减性，再把与代入一次函数，由函数y的最大值和最小值之差为4求出k的值即可． 【详解】解：∵正比例函数， ∴y随x的增大而减小， ∵当时，，当时，， ∵当时，函数y的最大值和最小值之差为4， ∴，解得． 故答案为：． 5．（23-24八年级·全国·假期作业）已知正比例函数，当时，函数有最大值3，则k的值为 ． 【答案】或 【分析】根据函数的增减性，再由x的取值范围得出时，或时，，分别代入代入函数解析式得出k的值即可． 【详解】解：当时，函数y随x的增大而增大， ∴当时，， ∴，解得； 当时，函数y随x的增大而减小， ∴当时，， ∴，解得． ∴k的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键． 6．（24-25八年级上·贵州毕节·期中）已知关于的正比例函数． (1)若点在该正比例函数的图象上，求的值； (2)在（1）的条件下，当时，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数的性质，准确理解正比例函数图象的性质，确定y随x的变化情况是解题的关键； （1）直接把点代入正比例函数，求出m的值； （2）根据正比例函数的增减性与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：（1）因为点在正比例函数的图象上， 所以， 解得． （2）解：由（1）知，所以， 所以该正比例函数的表达式为． 因为，所以的值随着值的增大而减小， 所以当时，取得最小值，最小值为． 1．（2025·江西·中考真题）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的性质．根据正比例函数的性质解答即可． 【详解】解：如图， 根据题意得， ∴， 根据正比例函数的意义，值越大，图象越陡，反之图象越陡，值越大， ∴观察图象，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲， 故选：A． 2．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）如图，将的正方形网格放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点．每个小正方形的边长都是1，正方形的顶点都在格点上．若直线与正方形有公共点，则的取值不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的性质，分别确定点和点的坐标，代入正比例函数的解析式即可求得的取值范围，掌握正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由图可知，， ∴当直线过点时，， 当直线过点时，， ∴， ∴不可能为， 故选：C． 3．（2025·安徽·模拟预测）若点，在函数的图象上，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点以及一次函数的性质，根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵，y随x的增大而减小， ∵， ∴，， ，故A选项错误，C选项正确； 不能判断，故B、D选项错误； 故选C． 4．（2025·陕西安康·二模）已知点和点是正比例函数图象上的两个点．如果，那么和的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的增减性是关键．根据正比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：， 随x的增大而减小， ， ， 故选：B． 5．（2025·陕西商洛·一模）已知函数（为常数）是正比例函数，且点，是该函数图象上的点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的定义、性质以及利用函数解析式求函数上点的坐标，解题关键是熟练掌握正比例函数定义和性质． 根据正比例函数定义求解得到，计算，确定函数表达式为，将，代入，分别求出， ，比较得出 ． 【详解】函数是正比例函数， ，， 解得， ， 正比例函数的表达式为， 将，分别代入，得 ，， ． 故选：C． 6．（24-25八年级下·上海闵行·期中）定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知正比例函数，若点在这个函数的相关函数的图象上，则n的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了正比例函数的图象，以及图象上点的坐标特征，正确理解新定义是解题的关键． 根据相关函数的定义求出正比例函数的相关函数为，再分类讨论：当、时，分别把点代入相应的函数求解即可． 【详解】解：由题意可得，正比例函数的相关函数为， ∵点在这个函数的相关函数的图象上， 当时，把点代入得，， ∴， 当时，把点代入得，， ∴， ∴或． 故答案为：或． 7．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）已知 、、是正比例函数图象上的三个点，当时，t的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是正比例函数图象上点的坐标特点，根据正比例函数图象上点的坐标特征求得，再根据正比例函数的性质即可得出t的取值范围． 【详解】解：设正比例函数解析式为， ∵、、是正比例函数图象上的三个点， ∴， 两个方程相减得，解得， ∴正比例函数解析式为， ∴正比例函数的值随增大而减小， 当时，， ∵是正比例函数图象上的点， ∴当时，t的取值范围是． 故答案为：． 8．（2024八年级上·安徽·专题练习）平面直角坐标系内有两点，如果正比例函数的图象与线段有交点，那么k的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，将分别代入，得出，，正比例函数的图象越靠近轴，的值越大，即可求解． 【详解】解：如图，    将分别代入， 解得，，， 由题意知，正比例函数的图象越靠近轴，的值越大， ∴正比例函数的图象与线段有交点，则或． 故答案为：或． 9．（2025·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，函数和函数的图象相交于点． (1)当时，求点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的性质以及函数图象交点问题．解题关键在于理解函数图象交点坐标是联立函数方程的解，对于比较函数值大小的问题，要结合函数图象的位置关系，通过分析交点以及函数斜率等性质来确定参数的取值范围． （1）由，此得和．可联立这两个函数方程求解． （2）当时，的值都大于的值，意味着在时，直线在直线的上方．我们可以先考虑特殊情况，即两直线交点的横坐标为时的情况，再结合函数的性质来确定的取值范围． 【详解】（1）解：当时，函数，． 联立方程组， 解得， ∴点的坐标为． （2）解：联立， ∴， 解得（ ）． 当时，的值都大于的值，且当时，若两函数值相等，则 ， 解得． 又∵当时，在的下方， ∴要大于， ∴． 10．（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知如下三个正比例函数：，，． (1)若，两点均在的图象上，求的值； (2)若点在的图象上，点在的图象上，点在的图象上，且，求的值． 【答案】(1) (2)当时，；当时，或 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式和正比例函数值，正比例函数与几何综合，熟知正比例函数的相关知识是解题的关键． （1）把代入到求出的解析式，再把代入中计算求解即可； （2）求出，则，再根据题意建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入到中得，解得， ∴正比例函数的解析式为， 在中，当时，，即； （2）解：∵点在的图象上，点在的图象上，点在的图象上， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，A、B、C三点都与原点重合，此时满足，即此时k为不等于0的任意实数； 当时，则， ∴或， 解得或； 综上所述，当时，；当时，或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$