第一章 空间向量与立体几何（高效培优单元测试·提升卷）数学人教B版2019选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知点是点在坐标平面内的射影，则（    ） A． B． C． D．5 2．在斜四棱柱中，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 4．若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．如图，下列各正方体中，为下底面中心，为其所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   6．已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 知在四面体中，为等边三角形，的面积为，点在平面上的投影为点，点分别为的中点，则（    ）    A．与相交 B．与异面 C． D． 8．在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．给出下列命题，其中正确的有（   ） A．空间中任意两个向量一定共面 B．若空间向量，，则与的夹角为钝角 C．若是空间的一个基底，则，，中任意两个向量不共线 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 10．在正三棱柱中，D为BC中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 11．如图，在直三棱柱中，分别为棱上的动点，且，则（    ） A．存在使得 B．存在使得平面 C．若长度为定值，则时三棱锥体积最大 D．当时，直线PQ与所成角的余弦值的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知空间向量，，若，则实数的值为 ． 13．已知A，B，C，P是空间中不共面的四点，满足，若，且点P到平面ABC的距离等于1，则a的值为 ． 14．在正四棱柱 中， 是正四棱柱内 (含表面)的动点，且 ，则点 在正四棱柱内运动所形成的图形的面积为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．如图，在正三棱柱中，是棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 16．如图，已知是底面边长为2的正四棱柱，为与的交点，O为AC与BD的交点．    (1)证明：平面； (2)若点到平面的距离为，求正四棱柱的高． 17．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，，，. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 18．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点． (1)若F为线段BC上的动点，证明：平面平面PBC； (2)若F为线段BC上的动点，探究是否存在点F使得平面AEF，说明理由； (3)若F为线段DC的中点，，过A、E、F三点的平面交PC于点G，求四棱锥与的体积之比． 19．如图，在四棱锥中，平面，，，，M为棱的中点. (1)证明：平面. (2)已知. （i）求平面与平面夹角的余弦值. （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知点是点在坐标平面内的射影，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】求出点的坐标，再利用两点间距离公式计算得解. 【详解】依题意，，所以. 故选：A 2．在斜四棱柱中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量数量积可求. 【详解】， 则 ． 故选：A. 3．已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基底的定义，判断是否共面即可逐一求解. 【详解】对于A，由于基底向量不能是零向量，故A错误， 对于B，由于与不共面，符合基底要求，故B正确， 对于C，，故共面，不符合要求，C错误， 对于D，，故共面，不符合要求，D错误， 故选：B 4．若空间向量，则向量在向量上的投影向量的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入投影向量坐标公式，即可求解. 【详解】向量在向量上的投影向量的坐标是. 故选：D 5．如图，下列各正方体中，为下底面中心，为其所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】通过建立空间直角坐标系，对于每个选项，先确定相关点的坐标，进而得到向量与的坐标，再计算它们的数量积进行判断. 【详解】对于选项A，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为.    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，. 因为，根据向量垂直的性质可知，即满足，故A正确. 对于选项B，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为.    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，.则与不垂直.故B错误. 对于选项C，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为，    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，.则.则与不垂直.故C错误. 对于选项D，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为，    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，则.则与不垂直.故D错误. 故选：A. 6．已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何体特征，建立空间直角坐标系，根据空间点到线的距离公式计算即可. 【详解】根据题意，以正方体的顶点为坐标原点，以，，为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，所以，， 设与的夹角为，则， 所以， 所以点到直线的距离为. 故选：D. 7．如图，已知在四面体中，为等边三角形，的面积为，点在平面上的投影为点，点分别为的中点，则（    ）    A．与相交 B．与异面 C． D． 【答案】C 【分析】AB选项，作出辅助线，得到，由于与相交，故与异面；CD选项，建立空间直角坐标系，利用三角形面积求出等边三角形边长，写出点的坐标，利用向量夹角公式得到C正确，D错误. 【详解】AB选项，连接，则，平面，平面， 由于与相交，故与异面，故AB错误； C选项，的面积为，为等边三角形， 设的边长为，则，解得， 因为分别为的中点，所以⊥， 又在平面上的投影为点，故⊥平面， 以为坐标原点，所在直线为轴，平行的直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， 又，故， 则， ， 所以，C正确；    D选项，，， ， 故 故所成角的余弦值为，故D错误. 故选：C. 8．在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】设，，，将向量分别用表示，代入，利用向量数量积的运算律化简，求得，借助于二次函数的性质即可求得的最小值. 【详解】    设，，， 则，， 由， 因，，则， 代入整理得，，显然，故， 因，故当时，取得最大值， 此时取得最小值为36，故的最小值为为6. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．给出下列命题，其中正确的有（   ） A．空间中任意两个向量一定共面 B．若空间向量，，则与的夹角为钝角 C．若是空间的一个基底，则，，中任意两个向量不共线 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】ACD 【分析】根据向量的性质可判断A；利用空间向量坐标计算，即可判断B错误；根据空间基底的性质及定义，可判定CD正确. 【详解】对于A，因为空间中任意两个向量都可以平移至起点重合，成为同一个平面的两个向量，故A正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，基底的性质知，空间基底是由非零且不共面的三个向量构成，故C正确； 对于D，由是空间的一个基底，设，显然不存在实数使得成立， 所以一定不共面，则也是空间的一个基底，故D正确； 故选：ACD. 10．在正三棱柱中，D为BC中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BD 【分析】法一：对于A，利用空间向量的线性运算与数量积运算即可判断；对于B，利用线面垂直的判定与性质定理即可判断；对于D，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C，利用反证法即可判断；法二：根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】法一：对于A，在正三棱柱中，平面， 又平面，则，则， 因为是正三角形，为中点，则，则 又， 所以， 则不成立，故A错误； 对于B，因为在正三棱柱中，平面， 又平面，则， 因为是正三角形，为中点，则， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于D，因为在正三棱柱中， 又平面平面，所以平面，故D正确； 对于C，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾， 所以不成立，故C错误； 故选：BD. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为， 则， 对于A，， 则， 则不成立，故A错误； 对于BD，， 设平面的法向量为， 则，得，令，则， 所以，， 则平面，平面，故BD正确； 对于C，， 则，显然不成立，故C错误； 故选：BD. 11．如图，在直三棱柱中，分别为棱上的动点，且，则（    ） A．存在使得 B．存在使得平面 C．若长度为定值，则时三棱锥体积最大 D．当时，直线PQ与所成角的余弦值的最小值为 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，用向量在空间直线、面位置关系和空间角、距离上的应用方法一一去计算求解，并结合一元二次函数、基本不等式求最值即可. 【详解】如图，由题意可建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则由题：， 所以， 因为，， 所以，所以，， 所以，所以， 对于A：由，故A错误； 对于B：由是平面的一个法向量， 则， 所以当时，，所以平面，故B正确； 对于C：由， 设平面的一个法向量为， 所以，令， 设点到平面的距离为，则， 所以， 所以， 因为长度为定值，所以当时，三棱锥体积最大，故C正确； 对于D：设直线与所成角为， 由上当时， ， 当且仅当即时等号成立，故D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知空间向量，，若，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】利用向量共线定理求解. 【详解】根据题意，因为，设，则有， 可得，所以. 故答案为：. 13．已知A，B，C，P是空间中不共面的四点，满足，若，且点P到平面ABC的距离等于1，则a的值为 ． 【答案】 【分析】求得平面的一个法向量为，再根据和向量的数量积的运算，即可求解. 【详解】由， 设平面的法向量为，则， 取，可得，即， 点P到平面ABC的距离等于，所以，即得，且， 所以， 所以，所以. 故答案为：. 14．在正四棱柱 中， 是正四棱柱内 (含表面)的动点，且 ，则点 在正四棱柱内运动所形成的图形的面积为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，，写出点的坐标，根据 ，利用空间数量积求解，得到答案. 【详解】根据题意建立如图所示空间直角坐标系， ， 则 由，则，设，由题意可知， ， 则，， 由，则， 故的轨迹为矩形，且顶点为， 又，故. 故答案为: . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．如图，在正三棱柱中，是棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据中位线性质利用线面平行判定定理即可证明得出结论； （2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量即可计算得出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）连接，与相交于点，连接，如下图： 因为四边形为矩形，故为的中点. 又为的中点，故， 又平面平面， 所以平面 （2）取的中点，连接，则， 由于平面，故平面， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 因为， 所以， 设平面的法向量为， 则， 解得，令得，故， 又 设直线与平面所成的角为， 所以， 故直线与平面所成角正弦值为. 16．如图，已知是底面边长为2的正四棱柱，为与的交点，O为AC与BD的交点．    (1)证明：平面； (2)若点到平面的距离为，求正四棱柱的高． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，可证，根据线面平行的判断定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，设，则可用表示平面的法向量，根据距离公式可求. 【详解】（1）在正四棱柱中，连接， 由，得四边形为平行四边形，则，， 又为与的交点，为与的交点，则，， 因此四边形为平行四边形，，又平面，平面， 所以平面. （2）以为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，    则，设，则， 设平面的一个法向量为，而， 则，令，得，又， 由点到平面的距离为，得，解得， 所以正四棱柱的高为. 17．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，，，. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）利用面面垂直性质以及勾股定理，结合线面垂直判定定理可得结论； （2）建立空间直角坐标系并利用空间向量求得两平面的法向量，即可得出结论. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面，， 所以平面，所以； 在中，，，， 所以， 所以，即； 又因为， 所以平面. （2）由（1）知，平面，， 建立以A为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系，如下图所示： 则，，， 所以，， 设平面的一个平面法向量， 则，即，所以取； 同理可得，平面的一个法向量； 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，，E为线段PB的中点． (1)若F为线段BC上的动点，证明：平面平面PBC； (2)若F为线段BC上的动点，探究是否存在点F使得平面AEF，说明理由； (3)若F为线段DC的中点，，过A、E、F三点的平面交PC于点G，求四棱锥与的体积之比． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，理由见解析 (3)． 【分析】（1）根据题意，分别证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面PBC，再由面面垂直的判定定理，即可证得平面平面PBC； （2）连接AC，BD交于点O，得到O为BD的中点，证得，利用线面平行的判定定理，证得平面ACE，进而得到点F与点C重合时，直线平面AEF，得到结论； （3）连接EF，则四棱锥可分为和两个三棱锥，利用锥体的体积公式，求得四棱锥的体积，再由点G为PC的靠近C的三等分点，分别求得和，根据，求得即可得到答案． 【详解】（1）证明：在中，因为，且E为线段PB的中点，所以， 又因为底面ABCD，底面ABCD， 所以， 因为，，且AB，平面PAB， 所以平面PAB， 又因为平面PAB，所以， 因为，且PB，平面PBC， 所以平面PBC，因为平面AEF， 所以平面平面PBC； （2）存在，理由如下： 如图所示，连接AC，BD交于点O，可得O为BD的中点， 因为E为PB的中点，所以， 又因为平面ACE，平面ACE，所以平面ACE， 当点F与点C重合时，此时平面AEF， 即在BC上存在点F，使得平面AEF． （3）如图所示，连接EF，则四棱锥可分为和两个三棱锥， 因为，且底面ABCD， 所以四棱锥的体积为， 以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 可得， 则，，，， 设，其中， 则， 因为A，E，G，F共面， 则存在实数x，y使得， 即， 可得， 解得， 即， 所以G为PC的靠近C的三等分点， 因为F为线段DC的中点，可得， 即， 又因设E到平面PCD的距离为d，B到平面PCD的距离为d1， 则， 所以， 又因为F为线段DC的中点，且平面PAB， 因为，平面PAB，平面PAB， 所以平面PAB， 所以F到平面PAB的距离等于C到平面PAB的距离，此时距离为， 则， 所以， 所以． 19．如图，在四棱锥中，平面，，，，M为棱的中点. (1)证明：平面. (2)已知. （i）求平面与平面夹角的余弦值. （ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）存在， 【分析】（1）作的中点，连接，，可证四边形是平行四边形，可得，可证得结论. （2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解；（ii）利用点到面距离得向量法求解即可. 【详解】（1）取的中点，连接，，如图所示， 为棱的中点，，， ，，，， 四边形是平行四边形，， 又平面，平面， 平面. （2）平面，，，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 为棱的中点，， （i），， 设平面的法向量为，则， 令，则，，， 取的中点，连接，易知平面， 即是平面的一个法向量，， 设平面与平面夹角为， ， 平面与平面夹角的余弦值为； （ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是， 设，，则，， 由（i）知平面的一个法向量为，， 点Q到平面的距离是， ，，所以存在点Q满足题意，此时. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$