专题1.6 二面角（高效培优讲义）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题1.6 二面角 教学目标 1.掌握二面角的概念. 2.理解二面角的平面角的含义. 3.会用向量法解决二面角的计算问题. 教学重难点 教学重点：会用向量法解决二面角的计算问题 教学难点：二面角的概念. 知识点01 二面角的概念 1.半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面． 2.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角的面，记作α­l­β，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作A­l­B，二面角的范围为[0，π]． 3.二面角的平面角：在二面角α­l­β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α­l­β的平面角． 知识点02 用向量运算求平面与平面所成角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 【即学即练】如图，在正四棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ；二面角的正弦值为 ． 【答案】 /0.8 【分析】建立空间直角坐标系，求得结合向量的夹角公式，即可求出直线与所成角的余弦值；分别求得平面和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】如图，以点为原点，分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则． 所以. 异面直线与所成角的余弦值为. 设面一个法向量为， 由，得，令， 则，设面一个法向量为， ∴， 所以二面角的正弦值为. 故答案为：；. 题型01 定义法求二面角 【典例1】中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.如图，在堑堵中，已知，则二面角的大小为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用几何法求出二面角大小. 【详解】在堑堵中，平面，平面，则， 而，平面，因此平面， 又平面，则，是二面角的平面角， 在中，，则. 故答案为： 【变式1】如图，在长方体中，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，设，连接得，由线面平行的判定定理可得答案； （2）与全等得，进而，，可得为二面角的平面角，在中计算可得答案. 【详解】（1）连接，设，连接，因为平面为正方形，所以为的中点， 在中，为的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）因为， 所以与全等，所以，又， 取的中点为M，连接，则有，， 所以为二面角的平面角， 因为平面，平面，所以， 在中，， 所以， 所以， 所以二面角的正弦值为. 【变式2】如图，在长方体中，，为的中点，求二面角的正切值. 【答案】 【分析】过作于，过作于，连结，根据三垂线定理或空间中垂直关系的转化可证为二面角的平面角，据此可求二面角的正切值. 【详解】过作于，则，且为中点， ∵是长方体，故平面， ∴平面，过作于，连结，则（三垂线定理） 我们也可以通过空间垂直的转化证明如下： 证明：因为平面，而平面，故， 而，平面，故平面， 而平面，故. 故为二面角的平面角. ∵，故，∴ ， 而，在中，， ∴所求二面角的正切值为. 【变式3】如图，在直三棱柱中，，. (1)求证：； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需利用线面垂直的判定定理证明出平面即可得证； （2）首先作于，过作于，证明即为二面角的平面角，即可得解. 【详解】（1）连接， 在直三棱柱中，平面， 平面，， ，，， ，平面，平面， 平面，平面，， ，四边形是正方形，， ，平面，平面， 平面，平面，； （2）过点作于，过作于，连， 在直三棱柱中，平面，平面，， ，平面，平面， 平面，平面，平面， ，， 又，，平面，平面， 平面，平面，， 是二面角的平面角， ，，， ，， 为直角，，， 二面角的正弦值为. 题型02 利用向量法求二面角 【典例1】如图，在正四棱锥中，底边，侧棱，为侧棱上一点，若平面，则二面角的余弦值是 . 【答案】/ 【分析】连接交于，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别得到平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】连接交于， 在正四棱锥中，可得平面， 以为坐标原点， 分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系 ，如图所示，因为底边，侧棱，则高， 所以，可得， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量， 设二面角的平面角为，则， 所以二面角的余弦值为. 故答案为：. 【变式1】单位正方体中，、、分别是、和的中点，则过、、三点的截面与底面所成二面角的余弦值为 ． 【答案】/ 【分析】依题意建系，写出相关点的坐标，求出两平面的法向量坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】 如图，在单位正方体上建系，则， 于是， 设截面的法向量为，则，取，则， 而平面的一个法向量=为， 设过、、三点的截面与底面所成二面角为， 则. 故答案为：. 【变式2】如图所示，在几何体中，平面，平面，，，又，，则平面与平面夹角的余弦值为 ．    【答案】 【分析】以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，进而求出两个面所成角的余弦值. 【详解】如图，平面内，过点作的垂线交于， 以为原点，以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．    ∵，∴，又， ∴点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为， 则有，，，， 设平面的法向量为， ∵，， ∴，取，得平面的一个法向量为， 又，设平面SAB的法向量为， ，即令，则， ∴. 故平面与平面夹角的余弦值是. 故答案为：. 【变式3】在二面角中，平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，则二面角的大小为 ． 【答案】30°或150° 【分析】直接利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】设二面角的大小为，则由题意得 ， 所以或， 因为，所以或. 故答案为：30°或150° 【变式4】已知矩形，，沿对角线AC将折起，若，则二面角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】利用空间向量的数量积与模长计算夹角即可. 【详解】   如图所示，过分别作，垂足分别为， 由矩形中，， 可知， 设二面角的平面角为，则， . 故答案为： 题型03 根据二面角求参数 【典例1】如图，在三棱柱中中，两两互相垂直，是线段上的点，平面与平面所成锐二面角为，当最小时， .    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设出的长，求出平面与平面的法向量，借助面面角的向量求法求出关系，再判断当取最小时的长，进而求得的大小. 【详解】在三棱柱中，两两垂直，建立空间直角坐标系，如图：    依题意，设，则， 则，， 设平面的法向量为，则，令，得， 平面的法向量， 由平面与平面所成（锐）二面角为，得， 化简得，当取得最大值时，最小，此时，， 且，所以. 故答案为: 【点睛】易错点睛：空间向量求二面角时，一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算． 【变式1】四面体中，，，，，，平面与平面的夹角为，则的值可能为（ ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积运算律求解判断作答. 【详解】在四面体中，，，则是二面角的平面角，如图， ， 而，，， ， 因为平面与平面的夹角为，则当时，， 当时，， 所以的值可能为和. 故选：D. 【变式2】已知O为正方形ABCD的中心，E，F分别为BC，AD的中点，若将正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用向量夹角求法及数量积的运算律求. 【详解】翻折后如图所示，易知，， 结合已知有，，，， 易知，，设正方形边长为2， 所以，， 所以的值为 故选：D 【变式3】如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，设出，，求出两平面的法向量，从而根据两平面的所成角得到方程，求出，求出BE的长的最大值. 【详解】依题意，，，两两互相垂直， 以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.      设，（，，且m，n不同时为0）， 则，，，所以，. 设平面AEF的一个法向量为， 则， 令，得，则， 显然为平面ABC的一个法向量. 因为平面与平面所成角的大小为， 所以， 即， 得， 所以，所以当时，m取得最大值，最大值为. 故选：B 【变式4】如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量求得Q运动轨迹，进而求得面积的取值范围 【详解】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图， 由二面角的平面角大小为，可知Q的轨迹是过点D的一条直线， 又Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），则Q的轨迹是过点D的一条线段. 设Q的轨迹与y轴的交点坐标为，由题意可知，，，所以，，． 易知平面APD的一个法向量为， 设平面PDG的法向量为， 则，即， 令，得，，所以是平面PDG的一个法向量， 则二面角的平面角的余弦值为 ， 解得或（舍去）， 所以Q在DG上运动，所以面积的取值范围为． 故选：B． 题型04 二面角中的最值（范围）问题 【典例1】已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．． (1)证明：平面 (2)证明： (3)当为何值时，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小，并求此最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)，最小值为 【分析】（1）根据空间中点线面的位置关系，通过直三棱柱的性质得线面垂直，证明线线垂直，再根据线面垂直判定定理，证明线面垂直. （2）建立空间直角坐标系，根据向量法证明线线垂直的方法，求出直线的方向向量，证明线线垂直. （3）根据向量法求二面角的方法，设出点的坐标，求出法向量，根据法向量求出二面角的正弦值，根据函数最值，求出何时正弦值最小，求出结果. 【详解】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以底面ABC，所以， 因为，，所以， 又，平面，平面， 所以平面． （2） 由（1）知BA，BC，两两垂直．如图所示， 以B为坐标原点，分别以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，，，，，，，．设． 因为，， 所以，所以． （3）设平面DFE的法向量为，因为，， 所以，即．令，则 且平面的法向量为， 设平面与平面DEF的二面角的平面角为， 则． 根据同角三角函数可知，所以当取最大值时，取得最小值, 可知，当时，取最小值为， 此时取最大值为，则， 此时． 【变式1】如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，分别是棱的中点，且． (1)若，证明：平面； (2)当平面与平面夹角的余弦值最大时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取棱中点记为M，连接，由题意可得四边形是平行四边形，可得，可证结论成立； （2）以B点为坐标轴原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，求得的一个法向量，利用向量法可得，进而求得最大值即可. 【详解】（1）取棱中点记为M，连接， 分别是的中点，且侧面是正方形， ， 四边形是平行四边形， 又平面，平面， 平面． （2）直三棱柱， 两两垂直，以B点为坐标轴原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则． ， ， ． 设平面的法向量， 则，取， 设平面的法向量， 则，取， 记平面与平面夹角为， 令，所以，在，即时取得最大值． 【变式2】等腰梯形中，，，，沿对角线将翻折形成三棱锥（点翻折到点的位置），点、分别为棱，的中点. (1)证明：平面； (2)当直线与直线成角时，求四棱锥的体积； (3)在翻折过程中求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）首先找到直线与直线所成的角，再证明平面平面，作出四棱锥的高即可求解； （3）建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，再利用三角函数的范围即可求解. 【详解】（1），是的中点，， 又，，，四边形为菱形， 则，在翻折过程中，总有，，， 又平面，平面，， 平面. （2），分别为棱，的中点， ，直线与直线成角，即为与直线成， 则或，为边长为1的正三角形或顶角为的等腰三角形， 又四边形是上下底长分别为1和2的梯形，且， 四边形的面积为, 由（1）知平面，又平面，平面平面， 过点作于， 平面平面，平面， 平面，则， 四棱锥的体积. （3）由（1）（2）知平面平面，且， 分别以，所在直线为轴，轴， 以过点且与平面垂直的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 在翻折过程中设， 则，，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，，令，则，， ； 平面，可取平面的一个法向量为， ， 又，，则， 在翻折过程中平面与平面夹角余弦值的取值范围为. 【变式3】．如图，在四棱台中，底面，底面是边长为2的正方形，，点为线段上的动点，棱台的体积为. (1)求的长； (2)若平面，请确定点的位置； (3)求平面与平面的夹角的余弦值的最大值. 【答案】(1)2； (2)点的位置为靠近的4等分点； (3) 【分析】（1）根据台体体积公式得到方程，求出； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，，求出平面的法向量，根据得到方程，求出答案； （3）求出平面的法向量，在（2）基础上，设出面面角，利用向量夹角余弦公式得到，结合自变量取值范围，求出最大值. 【详解】（1）底面是边长为2的正方形，， 故底面是边长为1的正方形， 所以底面的面积为，底面的面积为， 底面，故为棱台的高， 故棱台的体积为，解得； （2）因为底面，平面， 所以，， 又，故两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 由（1）知， 则， 设，， 则，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，， 所以， 因为平面，所以， 解得，此时，点的位置为靠近的4等分点； （3）， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 由（2）知，平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 令， 则， 因为，故当，即时，取得最大值， 最大值为. 题型05 二面角中的探索性问题 【典例1】如图，在直三棱柱中，，平面平面，点分别是棱的中点，点是线段上的一点 (1)求证：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，再证明，由条件结合面面垂直的性质定理证明平面，由此可证，再结合，根据线面垂直判定定理证明平面，取的中点，证明，通过证明结论，完成证明； （2）建立空间直角坐标系，设，求直线的方向向量与平面的法向量，结合向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值，列方程求可得结论； 【详解】（1）连接，如图所示：在直三棱柱中，平面， 又，平面，所以，， 又，所以四边形是正方形，所以. 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 取的中点，连接，， 如图所示.因为是的中点，是的中点， 所以，， 又是棱的中点，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以，又，所以. （2）因为平面，平面，所以， 又，，所以以为坐标原点，，，为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示. 所以，，，，，， 所以，，所以， 设（）， 所以. 设平面的一个法向量为， 所以， 令，解得，， 所以平面的一个法向量为. 又，设直线与平面所成角的大小为， 所以， 化简可得， 解得或（舍），所以. 【变式1】如图，在四棱锥中，，，，为等边三角形，直线PA与平面ABCD所成角的大小为，点E是棱PB上的一点（不包含端点）. (1)求证：平面平面PBD； (2)若二面角的余弦值为，求线段PE的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取BD的中点O，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定性质确定线面角，由此求得，进而证得，再线面垂直的判定、面面垂直的判定，结合余弦定理得证. （2）由（1）的信息建立空间直角坐标系，求出平面PCD，平面ECD的法向量，利用面面角的向量求法列式求解. 【详解】（1）在四棱锥中，取BD的中点O，连接AO，PO， 由，得，由为等边三角形，得， 又，平面POA，则平面POA， 又平面ABCD，则平面平面ABCD，又平面平面， 因此直线PA在平面ABCD的射影在直线AO上，直线PA与平面ABCD所成角为，则， 由，，得是正三角形，且，， 由为等边三角形，得，在中，， 则，即，又，平面ABCD，则平面ABCD， 又平面ABCD，于是，在中，，易知， 由余弦定理得， 因此，即，又，平面PBD，则平面PBD. 又平面ECD，所以平面平面PBD. （2）由（1）知，直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面PCD的法向量为，则，取，得， 设，则， 设平面ECD的法向量为，则， 取，得，又二面角的余弦值为， 因此，整理得，则（负值舍）， 从而，所以线段PE的长为. 【变式2】如图，在底面为正方形的四棱台中，已知，，，.    (1)证明：平面； (2)点在棱上，当二面角的正弦值为时，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用平行四边形性质得到，再结合全等三角形的性质和给定条件得到，，最后由线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，设，，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再由二面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）连接，交于点，连接，.    由题意得，且，，为中点， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以.① 在和中，，，是公共边， 故，故有， 又是中点，所以. 结合①可得. 又， 且，面，故平面. （2）在梯形中，取中点，连接，则， 易证四边形是矩形，故，. 在中，由勾股定理得，故. 以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，设，， 则， 由（1）知平面，故， 又，故，又，且， 面，故平面， 故可取为平面的一个法向量. 设为平面的法向量， 则，即，可取. 设二面角的大小为，则，故， 所以， 整理得，解得或（舍），故. 【变式3】如图，在斜三棱柱中，，，点在底面上的投影为的中点，点满足. (1)当时，证明：平面平面； (2)已知 ，若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）根据投影的定义结合已知条件可得平面，然后根据面面垂直的判定即可得； （2）建立空间直角坐标系，通过向量法求解面面夹角的余弦列出方程，然后解方程即可； 【详解】（1）当时，即为线段的中点， 因为，所以，所以， 又，所以， 又因为平面，平面//平面， 所以平面，平面，所以， 且，，平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （2）因为，为的中点，所以，且平面， 故以为坐标原点，，，分别为，，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，所以，， 所以，，，， 可得，， 所以，. 设平面的法向量为， 则化简得 令，则，， 可得， 由题意可知，平面的法向量， 所以， 又平面与平面夹角的余弦值为， 所以，解得或，所以的值为或. 【变式4】三棱台中中，平面，，，. (1)证明：； (2)若，则当二面角的余弦值为时，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，证得平面，得到，由，得到，求得，再由，证得平面，即可证得； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，设，由，得到，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，列出方程，求得的值，得到答案. 【详解】（1）证明：因为平面，且平面，所以， 又因为，故， 因为，且平面，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，可得 所以，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）以为原点，以所在直线分别为轴和轴，以过点垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，， 可得，，， 设，因为，可得，所以， 所以， 设平面一个法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面一个法向量为，则， 取，可得 ，所以， 因为二面角的余弦值为，可得，即， 所以， 可得，解得或， 又因为，所以. 1．已知正三棱柱，E，F分别是棱BC，上的点．记EF与平面ABC所成的角为，二面角的平面角为，则（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】过点作交于，过作于，可得，，再比较两个角的正切值即可. 【详解】如图所示，过点作交于，过作于，连接PE、FM，则， 因为平面ABC，所以平面ABC，则是EF与平面ABC所成的角，即， 又因为平面ABC，所以，而是平面内的两条相交直线， 所以平面，平面，所以， 则二面角的平面角，即， 因为平面ABC，平面ABC，所以，   ，， 所以， 故选：A． 2．在空间直角坐标系中，已知平面的一个法向量分别为，，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面与的夹角的余弦值与法向量的关系求解即可. 【详解】设，，则， 所以平面与的夹角的余弦值为. 故选：D. 3．在棱长为的正方体中，满足，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，根据向量法求得平面的法向量，进而可得二面角余弦值. 【详解】    分别以射线，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系， 由，， 所以，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则， 令，则， 设平面的法向量为， 则， 令，则， 所以， 由图可知二面角为锐角， 则二面角的余弦值为， 故选：A. 4．卢浮宫玻璃金字塔是世界著名建筑，其结构单元中采用了正四面体衍生的索桁架体系，通过交叉拉索与刚性杆件形成稳定单元，体现了正四面体在复杂结构中的力学优势．一个正四面体两侧面所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过取中点作中线找到二面角的平面角然后在三角形中利用余弦定理求其余弦值. 【详解】如图所示所示正四面体，取的中点，连接，， 设四面体棱长为，则， 因为所有面都为等边三角形所以，，则为两侧面所成角的平面角， 在中由余弦定理有. 故选：C 5．已知两平面的法向量分别为，则两平面所成的二面角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意，利用空间向量的夹角公式，求得，结合法向量所成的角与二面角的关系，即可求解. 【详解】由两个平面的法向量分别为， 可得，且， 设两平面所成的二面角为，则， 所以两平面所成的二面角或. 故选：C. 6．六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为，在其分子结构中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看作正八面体，记为，各棱长均相等，则平面与平面夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法求平面与平面的夹角即可. 【详解】 设正八面体的棱长为，连接、相较于点，连接， 根据正八面体的性质可知为正方形，，平面， 建立如图所示，以为坐标原点， 分别以、、为、、轴的空间直角坐标系， ，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 所以，，令， 则有：，所以， ，， 设平面的法向量为， 所以，，令， 则有：，所以， 设平面与平面夹角为，则， 平面与平面夹角的余弦值为. 故选：D 7．在正方体中，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，将二面角转化为两个半平面的法向量之间的夹角问题，再利用空间向量的夹角公式进行求解. 【详解】不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示 则，，， 设平面的一个法向量为， 因为，，所以 则，即，取，则，，故. 平面，故平面的一个法向量为， 设二面角为， 则，因为为锐角，所以， 故二面角的余弦值为. 故选：D. 8．（多选）如图，已知正方体的棱长为2，O为正方体的中心，点满足，则（   ）    A．平面 B．平面 C．在上的投影向量为 D．二面角的余弦值为 【答案】AD 【分析】建立空间直角坐标系，求出求出法向量和直线方向向量，根据向量关系即可判断AB；由投影向量公式可判断C；求出两个平面法向量，根据向量夹角公式可判断D. 【详解】以为原点，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图， 则， 所以. 设平面的法向量为， 则令，则，. 因为，所以平面，A正确. ，所以EO不与平面平行，B错误. 在上的投影向量为，C错误． 易知平面的一个法向量为，设二面角的大小为， 则，D正确. 故选：AD      9．如图所示，在圆锥中，是底面圆直径，且，则二面角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，因为， 可得，则， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 平面的一个法向量为， 设二面角的大小为，由图可得， 则，所以面角的余弦值为. 故答案为：. 10．正方体的棱长为1，点在棱上，，则平面与平面夹角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】由，勾股定理求出，以为原点，建立空间直角坐标系，向量法求两个平面夹角的余弦值. 【详解】正方体的棱长为1，则有， 正方体中，平面，平面，得， 所以， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以， 设平面的法向量，则，即， 取，则，得， 取平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为，则． 故答案为：. 11．如图，在三棱锥中，，，，，． (1)求证：平面； (2)若点满足，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，根据勾股定理证明和，即可证明线线垂直； （2）根据（1）的结果建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量，利用法向量求夹角的余弦值. 【详解】（1）因为，，，所以， 所以， 因为，且，所以，又，， 所以，，，平面， 所以平面； （2）如图，以点为原点，为轴和轴的正方向，在平面中，作， ，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量为， 平面与平面的夹角为， ， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 12．如图，在四棱柱 中， 侧面和底面均为菱形， 且   为的中点，与平面 交于点， (1) 求证: 为的中点； (2) 若平面平面，求二面角 的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面平行可得，根据中位线的性质可得； （2）建立空间直角坐标系，利用法向量法求解二面角的余弦值. 【详解】（1）在四棱柱 中， 平面平面， 又因为平面CDE 平面ABCD=CD， 所以， 又因为，所以， 又因为E为的中点，所以F为的中点 （2）取AD的中点O，连接， 在四棱柱 中， 四边形，四边形均为菱形， 又 所以均为等边三角形， 所以， 又因为平面平面ABCD，平面平面ABCD=AD， 平面，所以平面ABCD， 平面ABCD，所以， 如图建立空间直角坐标系， 所以， 所以即为平面的一个法向量， ， 设平面的一个法向量为， 所以，令得， 所以， 所以， 因为二面角 为锐角， 所以二面角 的余弦值为， 13．如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，E为中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在点为的中点 【分析】（1）取中点记为，连接EF，CF，通过证明四边形为平行四边形，然后可证平面； （2）中点为，连接，，由勾股定理可得，结合可得 平面，即，又由即可证明平面； （3）以为坐标原点建立空间直接坐标系，设，然后利用待定系数法求出平面与平面的法向量，再利用向量的夹角公式求解方程即可. 【详解】（1）证明：取中点记为，连接EF，CF， 则，且； ，且； 所以平行且等于CD， 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为平面，平面， 所以平面. （2）记中点为，连接，， 则四边形为正方形， 且根据勾股定理得， 所以， 则，所以. 又因为，，平面，所以平面. 因为平面，所以. 又因为， 所以，且，平面， 所以平面. （3）由（2）知，平面，且. 以为坐标原点，以，BA，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ，，，，， 设，，则， 则，，， 设平面与平面的法向量分别为和 则 令，得. 令，得. 设平面与平面的夹角为，， 则，解得. 因此存在点为的中点，使得平面与平面夹角的余弦值为. 14．已知三棱柱中，，，， (1)求证：平面平面 (2)若，且是的中点，求平面和平面的夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作出辅助线，由菱形得到，结合得到线面垂直，进而得到，结合得到线面垂直，从而证明出面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用法向量求出面面角的余弦值，结合同角三角函数关系得到正弦值. 【详解】（1）在三棱柱中，四边形是平行四边形，而， 则平行四边形是菱形，连接， 如图，则有， 因为，，平面， 所以平面，而平面，则， 由，得，又，平面， 从而得平面，又平面，所以平面平面； （2）在平面内过作， 由（1）知平面平面，平面平面，平面 则平面， 以为原点，以射线分别为轴，轴，轴正半轴建立空间直角坐标系， 如图，因为，， 所以为等边三角形， 又是的中点，则⊥，故， 由勾股定理得， 又， 则，，，，， 则有，． 设平面的一个法向量，则有，解得：， 令得，而平面的一个法向量， 依题意，， 设平面和平面的夹角的夹角是， 则，， 所以平面和平面的正弦值为 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.6 二面角 教学目标 1.掌握二面角的概念. 2.理解二面角的平面角的含义. 3.会用向量法解决二面角的计算问题. 教学重难点 教学重点：会用向量法解决二面角的计算问题 教学难点：二面角的概念. 知识点01 二面角的概念 1.半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面． 2.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．棱为l，两个面分别为α，β的二面角的面，记作α­l­β，若A∈α，B∈β，则二面角也可以记作A­l­B，二面角的范围为[0，π]． 3.二面角的平面角：在二面角α­l­β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角α­l­β的平面角． 知识点02 用向量运算求平面与平面所成角 如图，若于A，于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角的平面角，∠AEB+∠APB=180°. 若分别为面，的法向量 ① ②根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角； 若二面角为锐二面角（取正），则； 若二面角为顿二面角（取负），则； 【即学即练】如图，在正四棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ；二面角的正弦值为 ． 题型01 定义法求二面角 【典例1】中国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.如图，在堑堵中，已知，则二面角的大小为 . 【变式1】如图，在长方体中，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值． 【变式2】如图，在长方体中，，为的中点，求二面角的正切值. 【变式3】如图，在直三棱柱中，，. (1)求证：； (2)求二面角的正弦值. 题型02 利用向量法求二面角 【典例1】如图，在正四棱锥中，底边，侧棱，为侧棱上一点，若平面，则二面角的余弦值是 . 【变式1】单位正方体中，、、分别是、和的中点，则过、、三点的截面与底面所成二面角的余弦值为 ． 【变式2】如图所示，在几何体中，平面，平面，，，又，，则平面与平面夹角的余弦值为 ．    【变式3】在二面角中，平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，则二面角的大小为 ． 【变式4】已知矩形，，沿对角线AC将折起，若，则二面角的余弦值为 ． 题型03 根据二面角求参数 【典例1】如图，在三棱柱中中，两两互相垂直，是线段上的点，平面与平面所成锐二面角为，当最小时， .    【变式1】四面体中，，，，，，平面与平面的夹角为，则的值可能为（ ） A．5 B． C． D． 【变式2】已知O为正方形ABCD的中心，E，F分别为BC，AD的中点，若将正方形ABCD沿对角线BD翻折，使得二面角的大小为，则此时的值为（ ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在直四棱柱中，，，，E，F分别是侧棱，上的动点，且平面AEF与平面ABC所成角的大小为，则线段BE的长的最大值为（    ）      A． B． C． D． 【变式4】如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型04 二面角中的最值（范围）问题 【典例1】已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．． (1)证明：平面 (2)证明： (3)当为何值时，面与面DFE所成的二面角的正弦值最小，并求此最小值． 【变式1】如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，，分别是棱的中点，且． (1)若，证明：平面； (2)当平面与平面夹角的余弦值最大时，求的值． 【变式2】等腰梯形中，，，，沿对角线将翻折形成三棱锥（点翻折到点的位置），点、分别为棱，的中点. (1)证明：平面； (2)当直线与直线成角时，求四棱锥的体积； (3)在翻折过程中求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 【变式3】．如图，在四棱台中，底面，底面是边长为2的正方形，，点为线段上的动点，棱台的体积为. (1)求的长； (2)若平面，请确定点的位置； (3)求平面与平面的夹角的余弦值的最大值. 题型05 二面角中的探索性问题 【典例1】如图，在直三棱柱中，，平面平面，点分别是棱的中点，点是线段上的一点 (1)求证：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【变式1】如图，在四棱锥中，，，，为等边三角形，直线PA与平面ABCD所成角的大小为，点E是棱PB上的一点（不包含端点）. (1)求证：平面平面PBD； (2)若二面角的余弦值为，求线段PE的长. 【变式2】如图，在底面为正方形的四棱台中，已知，，，.    (1)证明：平面； (2)点在棱上，当二面角的正弦值为时，求. 【变式3】如图，在斜三棱柱中，，，点在底面上的投影为的中点，点满足. (1)当时，证明：平面平面； (2)已知 ，若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 【变式4】三棱台中中，平面，，，. (1)证明：； (2)若，则当二面角的余弦值为时，求的值. 1．已知正三棱柱，E，F分别是棱BC，上的点．记EF与平面ABC所成的角为，二面角的平面角为，则（    ） A． B． C． D．不能确定 2．在空间直角坐标系中，已知平面的一个法向量分别为，，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．在棱长为的正方体中，满足，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．卢浮宫玻璃金字塔是世界著名建筑，其结构单元中采用了正四面体衍生的索桁架体系，通过交叉拉索与刚性杆件形成稳定单元，体现了正四面体在复杂结构中的力学优势．一个正四面体两侧面所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 5．已知两平面的法向量分别为，则两平面所成的二面角为（    ） A． B． C．或 D．或 6．六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为，在其分子结构中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看作正八面体，记为，各棱长均相等，则平面与平面夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 7．在正方体中，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．（多选）如图，已知正方体的棱长为2，O为正方体的中心，点满足，则（   ）    A．平面 B．平面 C．在上的投影向量为 D．二面角的余弦值为 9．如图所示，在圆锥中，是底面圆直径，且，则二面角的余弦值为 ． 10．正方体的棱长为1，点在棱上，，则平面与平面夹角的余弦值为 ． 11．如图，在三棱锥中，，，，，． (1)求证：平面； (2)若点满足，求平面与平面的夹角的余弦值． 12．如图，在四棱柱 中， 侧面和底面均为菱形， 且   为的中点，与平面 交于点， (1) 求证: 为的中点； (2) 若平面平面，求二面角 的余弦值. 13．如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，且，，，E为中点. (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为?若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 14．已知三棱柱中，，，， (1)求证：平面平面 (2)若，且是的中点，求平面和平面的夹角的正弦值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$