专题1.4 空间中的点、直线、平面与空间向量（高效培优讲义）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题1.4 空间中的点、直线、平面与空间向量 教学目标 1．理解点的位置向量、方向向量的概念. 2．掌握利用空间向量求空间两直线所成的角的方法． 3．掌握利用空间向量证明两条直线平行或垂直的方法． 4.掌握利用空间向量求法向量的方法 教学重难点 教学重点：利用向量方法解决空间两直线的平行、垂直、异面等位置关系；求空间两直线所成的角． 教学难点：利用直线的方向向量研究两直线的位置关系；法向量的求解 知识点01用向量表示点、直线、平面的位置 1、用向量表示点的位置： 在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图. 2、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 3、空间直线的向量表示式 如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使① 或② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 4、用向量表示空间平面的位置 根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使. 【即学即练】若平面，的法向量分别为，，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 知识点02平面的法向量及其应用 1、平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 2、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 【即学即练】平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为 ． 知识点03 空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 【即学即练】在空间直角坐标系中，为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则t＝（    ） A．3 B．－3 C．1 D．－1 知识点04 空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 【即学即练】在空间直角坐标系中，是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（   ） A．4 B． C．2 D．-2 题型01平面的法向量及其求法 【典例1】已知，则平面ABC的一个法向量可以为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知空间中，点，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【变式2】在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量坐标可以作为平面的一个法向量的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】已知直线，的方向向量分别为，，且直线，均平行于平面，平面的单位法向量为 ． 【变式4】已知，若平面的一个法向量为，则 ． 题型02异面直线所成角 【典例1】已知正方体的棱长为2，分别为的中点，求异面直线与所成角的余弦值. 【变式1】已知直三棱柱的棱长均为2，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】在正四棱柱中，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在长方体中，，则异面直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式4】在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为 . 用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 题型03利用向量方法证明线面平行 【典例1】如图所示，在四面体中，平面，，，，是的中点，是的中点，点在线段上，且．求证：平面． 【变式1】如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 【变式2】如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 【变式3】如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点． (1)求证：BM∥平面ADEF； 【变式4】如图，在直三棱柱中，，，为的中点．试用向量的方法证明： (1)； (2)平面． 题型04利用向量方法证明面面平行 【典例1】在正方体中，若为中点，为中点.    求证： (1)； (2)平面； (3)平面平面． 【变式1】如图，正方体中，，分别为，的中点． (1)用向量法证明：平面平面； (2)用向量法证明：平面． 【变式2】如图，在直三棱柱中，，，，点E在线段上，且，分别为、、的中点.求证：    (1)平面平面； (2)平面平面. 【变式3】如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【变式4】如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 题型05用向量方法证明线线垂直 【典例1】棱长为2的正方体中，分别是的中点，在棱上，且是的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)求证：； (2)求； (3)求的长. 【变式1】如图，在三棱锥中，、、两两垂直，且，为的中点. (1)证明：；（用向量方法证明） (2)求直线与所成角的余弦值. 【变式2】已知四棱锥底面是直角梯形，，，侧面底面.证明： (1)； (2)平面平面. 【变式3】直三棱柱的底面中，，，棱，、分别是，的中点，如图，建立空间直角坐标系. (1)求的坐标及的长； (2)求证：. 【变式4】如图所示，在棱长为4的正方体中，分别是棱上的动点，且，其中，以为原点建立空间直角坐标系. (1)求证：； (2)若，求的值. 题型06利用向量方法证明线面垂直 【典例1】如图，在棱长为1的正方体中，是正方形的中心. (1)求绕棱所在的直线旋转一周所形成的几何体的体积； (2)求证：平面. 【变式1】如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； 【变式2】如图，四棱锥的底面为正方形，平面，是的中点，． (1)求证：平面； 【变式3】如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上一点．请用向量方法解决以下问题： (1)证明：直线平面； 【变式4】如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，分别为的中点，，用向量法证明：直线平面．    题型07利用向量方法证明面面垂直 【典例1】如图所示，在直二面角中，四边形是边长为2的正方形，，F为上的点，且平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【变式1】如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量 (2)求证：平面平面． 【变式2】如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.证明： (1)； (2)平面； (3)平面平面. 【变式3】如图，正四棱柱的底面边长为2，E为棱的中点，，且四棱锥的体积为． (1)求棱的长； (2)证明：平面平面． 【变式4】如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱PC的中点．证明： (1)平面； (2)平面平面． 题型08 空间向量中的平行，垂直动点问题 【典例1】在四棱锥中，面面，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【变式1】如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中. 问题：如图，在正方体中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系.已知点的坐标为为棱上的动点，为棱上的动点，__________，试问是否存在点满足？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【变式3】已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【变式4】在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 1．在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 3．已知直线与平面垂直，直线的一个方向向量为，向量与平面平行，则实数等于（    ） A． B． C．3 D． 4．已知向量分别是平面与平面的一个法向量，若，则实数（   ） A．4 B．2 C． D． 5．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 6．已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 7．已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（   ） A． B． C．l与α相交但不垂直 D．或 8．在空间直角坐标系中，为坐标原点，为其内一点，，平面平面，则平面的一个法向量可以为：（    ）． A． B． C． D． 9．（多选）在空间直角坐标系中，点，，，则下列结论正确的有（   ） A．点关于轴的对称点的坐标为 B． C． D． 10．（多选）已知平面过点，其法向量为，则下列各点在平面内的有（   ） A． B． C． D． 11．设直线的方向向量，平面的法向量，若，则 12．已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为.若，则实数λ的值为 . 13．如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 14．如图，在正方体中，，，，点分别是的中点．    (1)试用表示； (2)若正方体的棱长为，求的面积； (3)保持（2）的条件不变，求平面的一个法向量． 15．如图，在正三棱柱中，分别是的中点． (1)求证：平面平面． (2)在线段上是否存在一点Q，使平面？若存在，确定点Q的位置；若不存在，也请说明理由． 16．如图，在直三棱柱中，，，D是的中点，F是上一点，且． (1)求证：平面； (2)若，判定直线与平面的位置关系，并证明． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 空间中的点、直线、平面与空间向量 教学目标 1．理解点的位置向量、方向向量的概念. 2．掌握利用空间向量求空间两直线所成的角的方法． 3．掌握利用空间向量证明两条直线平行或垂直的方法． 4.掌握利用空间向量求法向量的方法 教学重难点 教学重点：利用向量方法解决空间两直线的平行、垂直、异面等位置关系；求空间两直线所成的角． 教学难点：利用直线的方向向量研究两直线的位置关系；法向量的求解 知识点01用向量表示点、直线、平面的位置 1、用向量表示点的位置： 在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图. 2、直线的方向向量 如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 3、空间直线的向量表示式 如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使① 或② ①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定. 4、用向量表示空间平面的位置 根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使. 【即学即练】若平面，的法向量分别为，，则与的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．无法确定 【答案】B 【分析】求出给定向量的数量积，再利用空间位置关系的向量证明判断即得. 【详解】由，得， 所以平面与垂直. 故选：B 知识点02平面的法向量及其应用 1、平面法向量的概念 如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ． 2、平面的法向量的求法 求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下: 设向量：设平面的法向量为 选向量：选取两不共线向量 列方程组：由列出方程组 解方程组：解方程组 赋非零值：取其中一个为非零值（常取) 得结论：得到平面的一个法向量. 【即学即练】平面内三点坐标分别为，则平面的一个法向量为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】求出，由，求解即可． 【详解】解：由 则 因为向量是平面的一个法向量， 所以，令，则 故答案为： 知识点03 空间中直线、平面的平行 设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则 线线平行 ⇔⇔() 线面平行 ⇔⇔ 面面平行 ⇔⇔ 【即学即练】在空间直角坐标系中，为直线l的一个方向向量，为平面的一个法向量，且，则t＝（    ） A．3 B．－3 C．1 D．－1 【答案】B 【分析】由得到与垂直，进而得到方程，求出答案. 【详解】因为，所以与垂直， 故，解得. 故选：B． 知识点04 空间中直线、平面的垂直 设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则 线线垂直 ⇔⇔ 线面垂直 ⇔⇔⇔ 面面垂直 ⇔⇔⇔ 【即学即练】在空间直角坐标系中，是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（   ） A．4 B． C．2 D．-2 【答案】A 【分析】直线与平面垂直则直线的方向向量与平面的法向量平行，再根据空间中两平行向量的坐标关系进行求解. 【详解】因为，所以∥，则，解得. 故选：A. 题型01平面的法向量及其求法 【典例1】已知，则平面ABC的一个法向量可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设，，根据平面的法向量性质及空间向量数量积的坐标运算求法向量即可. 【详解】由题设，， 若是平面ABC的一个法向量，则， 取，则. 故选：A 【变式1】已知空间中，点，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出，，设平面的一个法向量为，由，，列方程组，解方程即可得出答案. 【详解】由题，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，，得. 故选：B. 【变式2】在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量坐标可以作为平面的一个法向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由法向量定义求出一个法向量，与它平行的向量即可． 【详解】设法向量为， 由已知， 则，取，则， 只有B选项中向量与平行，可表示为， 故选：B． 【变式3】已知直线，的方向向量分别为，，且直线，均平行于平面，平面的单位法向量为 ． 【答案】或 【分析】由法向量与，垂直列出等式即可求解. 【详解】设平面的单位法向量为， 因为直线，均平行于平面， 所以有， 由可得： 或， 故平面的单位法向量为或． 故答案为：或． 【变式4】已知，若平面的一个法向量为，则 ． 【答案】. 【分析】根据题意，求得向量，得到方程组，即可求解. 【详解】因为，可得， 因为平面的一个法向量为，则， 解得，所以. 故答案为：. 题型02异面直线所成角 【典例1】已知正方体的棱长为2，分别为的中点，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】 【分析】首先将异面直线的方向向量运用向量的线性运算表示出来，然后计算它们的数量积和向量的模，最后利用异面直线夹角的余弦公式求得答案. 【详解】根据题意可知，. 所以. 因为，，，， 所以，. 所以. 根据勾股定理可得，， 所以异面直线所成角的余弦值为： . 【变式1】已知直三棱柱的棱长均为2，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】思路一：利用几何法求异面直线所成角时，往往结合平行四边形的对边或三角形的中位线寻找平行线，将异面直线转化到同一个三角形中，进而利用正、余弦定理求解；思路二：两直线所成角为锐角或直角，若利用向量法求出余弦值为负，注意取相反数. 【详解】方法一：如图2，分别取，，的中点，连接， 则，， 从而或其补角为异面直线与所成的角，易知,， 则由余弦定理得， 从而直线与直线夹角的余弦值为，故选：D． 方法二：以为坐标原点，过且与平面垂直的直线为轴，，所在直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，如图3， 则，，，，，，， 故所求两直线夹角的余弦值为， 故选：D． 【变式2】在正四棱柱中，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：以为原点，建立空间直角坐标系，设，则，求得的坐标，结合向量的加减公式，即可求解； 解法二：设，取的中点P，连接，证得和，得到（或其补角）是异面直线与所成角，在中，结合余弦定理，即可求解． 【详解】解法一：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，可得， 则， 所以. 解法二：设，则， 如图所示，取的中点P，连接， 在正方形中，可得， 在三角形中，因为是的中点，可得， 所以（或其补角）是异面直线与所成角， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得, 在中，由余弦定理得． 故选:D． 【变式3】如图，在长方体中，，则异面直线和夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算求解异面直线所成角得余弦值即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系， 则，， 故异面直线和夹角的余弦值为. 故选：B. 【变式4】在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的大小为 . 【答案】 【分析】建系，向量法求直线夹角. 【详解】不妨设正方体棱长为2，以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则 则 故答案为：. 用向量运算求两条直线所成角 已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为，则 ① ②. 题型03利用向量方法证明线面平行 【典例1】如图所示，在四面体中，平面，，，，是的中点，是的中点，点在线段上，且．求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】以的中点O为原点建立空间直角坐标系，表示各点坐标，利用表示点坐标，根据直线的方向向量与平面的法向量垂直可得结果. 【详解】如图，取的中点O，以O为坐标原点，，所在射线分别为y轴、z轴的正半轴，建立如图空间直角坐标系Oxyz． 由题意知，，，． 设点C的坐标为，则． 因为， 所以， 所以Q． 因为M为的中点，所以． 因为P为的中点，所以P， 所以． 因为平面的一个法向量为， 所以， 因为平面，所以平面． 【变式1】如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.求证：平面. 【答案】证明见解析 【分析】以点H为原点，建立空间直角坐标系，得到向量和平面的法向量为，求得，得到，进而证得平面； 【详解】证明：如图， 因为H，P分别是BC，AB的中点，所以， 因为，可得，又因为平面ABC， 以点为原点，以所在直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，，，，，，，， 所以向量，且平面的法向量为， 则，所以， 又因为平面，所以平面. 【变式2】如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） (1)求证：平面PBC； (2)求证：平面BDE． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，证明，，原题即得证； （2）设平面BDE的法向量为，证明即得证. 【详解】（1）证明：如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以， ，即，， 又因为，平面PBC． 所以平面PBC． （2）证明：由（1）可得，，． 设平面BDE的法向量为， 则，即令，得，， 则是平面BDE的一个法向量， 因为，所以， 因为平面BDE，所以平面BDE． 【变式3】如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点． (1)求证：BM∥平面ADEF； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）根据题意可知平面平面，平面平面， 又是正方形，所以，平面， 所以平面，从而可得，，两两垂直； 以D为原点，分别以，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 又为的中点，所以， 则，且平面的一个法向量为， 因为，可知， 又平面，所以∥平面. 【变式4】如图，在直三棱柱中，，，为的中点．试用向量的方法证明： (1)； (2)平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，表示各点坐标，利用可得. （2）表示，计算平面的法向量，利用可得平面． 【详解】（1） 如图，以为原点，建立空间直角坐标系. 设，则，，，， ∴，， ∴，∴． （2）由（1）得，，，， ∴，，， 设平面的法向量为， 则，令则， ∴， ∵ 平面，∴平面． 题型04利用向量方法证明面面平行 【典例1】在正方体中，若为中点，为中点.    求证： (1)； (2)平面； (3)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出的坐标，利用，即可证明； （2）求出平面ACD1的法向量，及直线的方向向量，从而得到，即可证明； （3）可以利用平面，及平面，利用面面平行的判定定理证明，也可以求出两个平面的法向量，利用法向量平行来证明面面平行. 【详解】（1）以D为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1．    依题意知：，，，， ∴，， ∴， ∴，即. （2）设平面ACD1的法向量为， ∵，，， ∴，， 由可得，，即， 令，则，∴， 又， ∴，∴， 又平面，∴平面． （3）证法一  ∵， ∴，又， ∴，∴， 又平面，平面， ∴平面， 又由（2）知平面，而， 且平面，平面, ∴平面平面. 证法二  设平面的法向量为 则即∴ 令，得，∴， 由（2）知平面ACD1的一个法向量， ∴，∴， ∴平面平面. 【变式1】如图，正方体中，，分别为，的中点． (1)用向量法证明：平面平面； (2)用向量法证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，表示各点坐标，求两个平面的法向量，利用法向量平行可证平面平行. （2）求直线的方向向量和平面的法向量，利用向量平行可得线面垂直. 【详解】（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，，，， 故，，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，则． 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以，即，故平面平面． （2）由，是线段，中点得，，， 所以， 由得，， 所以平面． 【变式2】如图，在直三棱柱中，，，，点E在线段上，且，分别为、、的中点.求证：    (1)平面平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用空间向量法证明线面垂直证明面面垂直； （2）利用空间向量法证明平面，再根据线面垂直的性质得到面面平行； 【详解】（1）证明：以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系.    则，，，，，. 设，则，，. 因为，，， 所以，. 所以，，即，. 又平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）因为，，， 所以，. 所以，. 因为平面，所以平面. 又由（1）知平面，所以平面平面. 【变式3】如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，P为线段的中点 【分析】（1）根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，由法向量平行，即可证明面面平行； （2）由空间向量的坐标运算，由与平面的法向量垂直，代入计算，即可求解. 【详解】（1）证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点P使得平面，. 由（1）得，，平面的一个法向量为， 所以. 所以，解得. 所以当P为线段的中点时，平面. 【变式4】如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据正方体性质可知为平面的一个法向量，然后证明即可得证； （2）证明也是平面MNP的一个法向量即可. 【详解】（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2，则，，，，，．    由正方体的性质，知平面， 所以为平面的一个法向量． 由于， 则， 所以． 又平面， 所以平面． （2）证明：因为为平面的一个法向量， 由于，， 则， 即也是平面MNP的一个法向量， 所以平面平面． 题型05用向量方法证明线线垂直 【典例1】棱长为2的正方体中，分别是的中点，在棱上，且是的中点.建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题： (1)求证：； (2)求； (3)求的长. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）建立以为坐标原点的空间直角坐标系，求出并计算即可得证； （2）由（1）求出，接着计算即可得解； （3）由（1）求出，再由向量坐标形式的模长公式计算即可得解. 【详解】（1）证明：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 则由题意得， 因为，， 所以， 所以，所以. （2）由（1）可得， 所以. （3）由（1）得，所以. 【变式1】如图，在三棱锥中，、、两两垂直，且，为的中点. (1)证明：；（用向量方法证明） (2)求直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，计算出，即可证得结论成立； （2）利用空间向量法可求得直线与所成角的余弦值. 【详解】（1）在三棱锥中，、、两两垂直，且，为的中点. 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 所以，，，则，故. （2），， 所以，直线与所成角的余弦值为. 【变式2】已知四棱锥底面是直角梯形，，，侧面底面.证明： (1)； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证明底面，建立空间直角坐标系，计算得证； （2）取PA的中点M，连接DM，利用向量法先证明平面，从而可得面面垂直. 【详解】（1）取BC的中点O，连接PO， ∵平面底面，为等边三角形， 平面底面，平面， ∴底面. 以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴， OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 不妨设，则， ∴， ∴，， ∵， ∴，∴. （2）取PA的中点M，连接DM，则， ∵，，∴， ∴，即. ∵， ∴，即， 又∵平面PAB， ∴平面. ∵平面， ∴平面平面. 【变式3】直三棱柱的底面中，，，棱，、分别是，的中点，如图，建立空间直角坐标系. (1)求的坐标及的长； (2)求证：. 【答案】(1)； (2)证明见详解 【分析】（1）根据坐标系标点，即可得向量坐标和模长； （2）由（1）求，根据空间向量垂直的坐标表示运算求解. 【详解】（1）由题意可知：， 则，可得， 所以的长为. （2）由（1）可得：， 因为，所以. 【变式4】如图所示，在棱长为4的正方体中，分别是棱上的动点，且，其中，以为原点建立空间直角坐标系. (1)求证：； (2)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定的空间直角坐标系，求出的坐标，计算即可得证. （2）求出的坐标，利用向量夹角的坐标表示即可得解. 【详解】（1）依题意，，， 则，于是， 所以，即. （2）当时，，则， 所以. 题型06利用向量方法证明线面垂直 【典例1】如图，在棱长为1的正方体中，是正方形的中心. (1)求绕棱所在的直线旋转一周所形成的几何体的体积； (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）绕棱所在的直线旋转一周所形成的几何体是底面半径为，高为1的圆锥，求出体积可得答案； （2）方法一：连接，利用线面垂直的判定定理、性质定理可得、，再由线面垂直的判定定理可得答案；方法二：以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出则，，再由线面垂直的判定定理可得答案. 【详解】（1）因为正方体的棱长为1， 所以，，是直角三角形， 所以绕棱所在的直线旋转一周所形成的几何体是底面半径为， 高为1的圆锥，其体积为； （2）方法一：连接，如图. 在正方体中，易知， 因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面. 又平面，所以， 同理可证平面，所以. 因为，平面， 所以平面. 方法二：以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 则， ， 所以，， 又，，平面， 所以平面. 【变式1】如图，等边三角形与直角梯形所在的平面垂直，． (1)若F为的中点，求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）设的中点为H，的中点为O，连接，， 由题意知． 因为平面平面，平面，，平面平面， 所以平面，所以平面，则，， 又为等边三角形，所以． 故以O为坐标原点，射线，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ，， ，， 所以.又因为平面， 所以平面． 【变式2】如图，四棱锥的底面为正方形，平面，是的中点，． (1)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， ，设平面的法向量为， 所以即，令，则， 则，所以，即平面. 【变式3】如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱上一点．请用向量方法解决以下问题： (1)证明：直线平面； 【答案】(1)证明见解析； 【详解】（1）在棱长为2的正方体中，以为原点，建立如图空间直角坐标系， 则， ， 于是， 即，而平面， 所以直线平面. 【变式4】如图，在直四棱柱中，底面为直角梯形，分别为的中点，，用向量法证明：直线平面．    【答案】证明见解析 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求出和平面的一个法向量的坐标，可得与平面的法向量共线，则得直线平面． 【详解】由题意知，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，    则，， ， 设平面的一个法向量为， 则即， 令，则， 所以，故直线平面． 题型07利用向量方法证明面面垂直 【典例1】如图所示，在直二面角中，四边形是边长为2的正方形，，F为上的点，且平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）建立空间直角坐标系得出的坐标，要证平面，只需证明和即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面法向量和平面的一个法向量，利用向量夹角公式可求得余弦值. 【详解】（1）∵为正方形，∴， ∵二面角为直二面角，∴平面， 以线段的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 过点平行于的直线为轴，建立如图空间直角坐标系， 则，，，， 设()， ∵为上的点，， ∴设，∴， ∴，，， ∵平面，、平面，∴， 且，解得，，∴，， 所以，，∴，∴， ∵平面，平面，∴， 又，、平面，∴平面； （2）由题意可知，平面的法向量为， 设面的法向量为，，， ∴且，取，则，， ∴，∴，∴平面平面. 【变式1】如图所示，是一个正三角形，平面，，且． (1)求平面的法向量 (2)求证：平面平面． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)证明见解析 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，根据法向量与平面垂直求出法向量即可； （2）证明两平面的法向量垂直即可. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量是， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为. （2）设平面的一个法向量是， 则，令，则， 因为，所以， 所以平面平面. 【变式2】如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.证明： (1)； (2)平面； (3)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，论证即可； （2）易得向量为平面的一个法向量，再论证即可； （3）易得平面的法向量为，再求得平面的一个法向量为，论证即可. 【详解】（1）证明：依题意，以点为原点建立空间直角坐标系： 可得. 由为棱的中点，得. （1）向量， 故， 所以. （2）因为， 又平面，平面， 所以，，平面， 所以平面， 所以向量为平面的一个法向量， 而， 所以， 又平面，所以平面. （3）由（2）知平面的法向量为， 向量，， 设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得， 所以为平面的一个法向量. 且， 所以 所以平面平面. 【变式3】如图，正四棱柱的底面边长为2，E为棱的中点，，且四棱锥的体积为． (1)求棱的长； (2)证明：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据正四棱柱，可得平面，设，结合线面关系确定四棱锥的体积表达式求解，即可得所求； （2）建立空间直角坐标系，分别求解平面与平面的法向量，根据法向量的关系证明结论即可. 【详解】（1）因为正四棱柱，所以平面， 且四边形为直角梯形，设， 所以， 解得，即； （2）以点为原点，直线分别为轴，如图建立空间直角坐标系， 由题意可得， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则； 设平面的法向量为， 则，令，则； 因为， 所以平面平面． 【变式4】如图，在四棱锥中，底面，，，，，点E为棱PC的中点．证明： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，先证明AB，AD，AP两两垂直，从而建立对应的空间直角坐标系，再利用空间向量法证明平面PAD的一个法向量与垂直，进而即可证明结论； （2）结合（1），先证明平面PCD的一个法向量与平面PAD的一个法向量垂直，进而即可证明结论． 【详解】（1）因为平面ABCD，且平面ABCD，所以， 又因为，且，平面，所以平面， 依题意，以点A为原点，以，，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 由为棱的中点，得，则， 所以为平面的一个法向量， 又，所以， 又平面，所以平面． （2）由（1）知平面的一个法向量，，， 设平面PCD的一个法向量为，则， 令，可得，所以， 又， 所以，所以平面平面. 题型08 空间向量中的平行，垂直动点问题 【典例1】在四棱锥中，面面，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，的值为 【分析】（1）首先利用面面垂直的性质证明，然后结合已知条件利用线面垂直的判定定理即可证明平面.进而得到面面垂直. （2）首先假设存在点，根据已知条件和（1）中结论，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量与垂直求解即可. 【详解】（1）平面平面 且平面平面， 平面 平面 平面 又， 平面. 平面平面平面. （2）假设在棱上是否存在点，使得平面 取中点，连接，，如下图 ，， ，， 从而，故平面， 又平面平面 且平面平面， 平面， 以为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，如下图： 由题意可知，，，，， 设 点在棱上，故， ，故 设平面的法向量为 故，令，则， 从而平面的法向量可以取 平面 ，解得， 故假设成立，存在这样的点，使得平面，此时 即，从而 【变式1】如图，在直三棱柱中，，，P为上的动点，Q为棱的中点． (1)设平面平面，若P为的中点，求证：； (2)设，问线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）设的中点为，连接，易证四边形为平行四边形，可得，进而得到平面，再根据线面平行的性质求证即可； （2）建立空间直角坐标系，结合空间向量及平面列出方程组求解即可. 【详解】（1）证明：设的中点为，连接， 因为P为的中点，Q为的中点， 所以，，， 在直三棱柱中，，， 所以，且， 所以四边形为平行四边形， 则，又平面，平面， 所以平面， 又平面平面，平面， 所以. （2）在直三棱柱中，平面，， 故可以为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 则，， 又，则， 所以， 若平面，则， 则，解得， 所以线段上存在点P，使得平面，此时. 【变式2】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中. 问题：如图，在正方体中，以为坐标原点，建立空间直角坐标系.已知点的坐标为为棱上的动点，为棱上的动点，__________，试问是否存在点满足？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】答案见解析 【分析】设，根据空间直角坐标系中点的坐标可得向量的坐标，由向量的坐标运算可计算模长以及数量积，进而可求解. 【详解】由题意，正方体棱长为2， 则. 设， 则. 所以. 选择①，则有， 所以， 又， 所以，则， 因为， 所以， 故存在点，满足满足，且. 选择②，，即，所以， 因为， 所以， 故存在点，满足，且. 选择③，， 因为，所以与不共线， 所以，即， 则， 故不存在点满足. 【变式3】已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【分析】（1）取的中点，连接，由面面垂直的性质得到，再由中位线的性质得到，然后由线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立如图所示坐标系，平面的法向量，利用解出即可； 【详解】（1）    取的中点，连接， 因为矩形ABCD，，， 所以， 由为CD中点，所以， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 由为的中点，为四边形的中位线，， 所以，又平面，， 所以平面， 由平面，所以. （2）    作平面，以为原点，以所在直线为建立空间直角坐标系， 由（1）得为四边形的中位线，所以， 由得，，， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设点存在，，， 所以，所以， 由平面得， 所以，解得， 即，所以 所以存在点N，使得平面ADM，. 【变式4】在四棱锥中，平面平面，，，，，，. (1)求证：平面； (2)在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）面面垂直得到线面垂直，再由线线垂直证明线面垂直； （2）取AD中点，证明三条直线两两垂直，然后建立空间直角坐标系，得到对应点的坐标，设，使得平面，用空间向量建立等量关系，求得的值. 【详解】（1）∵面面，面面， ，面， ∴面， ∵面， ∴， 又，，面，面 ∴面， （2）取中点为，连结， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵面面，面面， 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 易知，，，， 则，，，， 设为面的法向量，令. 则 假设存在点使得面， 设，， 又，，，， 有∴ ∵面，为的法向量， ∴，即，得 综上，存在点，即当时，点即为所求. 1．在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，求出，，利用线线角的向量法，即可求解. 【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为， 则，所以，， 设异面直线与所成的角为， 则， 故选：D. 2．已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量共线，列式计算得解. 【详解】依题意，向量共线，则， 所以. 故选：B 3．已知直线与平面垂直，直线的一个方向向量为，向量与平面平行，则实数等于（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据题意由解方程即可求得. 【详解】由题意可得：， 即， 解得. 故选：B 4．已知向量分别是平面与平面的一个法向量，若，则实数（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据法向量垂直，即可根据数量积的坐标运算求解. 【详解】由于，则，解得， 故选：C 5．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，，则直线与直线夹角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的空间直角坐标系，利用线线角的向量求法求解. 【详解】依题意，，， 设直线与直线的夹角为，则， 所以直线与直线夹角的正弦值. 故选：C 6．已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 【答案】A 【分析】得出，即可判断. 【详解】由题意得，，则，则. 故选：A 7．已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（   ） A． B． C．l与α相交但不垂直 D．或 【答案】A 【分析】由和的位置关系即可判断. 【详解】，， 所以， 所以， 故选：A 8．在空间直角坐标系中，为坐标原点，为其内一点，，平面平面，则平面的一个法向量可以为：（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，为平面的法向量，由面面垂直的性质定理得，列式求出得解. 【详解】设为空间内一点，且， 由于平面平面，所以平面的法向量垂直且平行平面（或在平面内部）， 故不妨取为其法向量，则，， 所以，取代入得到，故D正确. 故选：D. 9．（多选）在空间直角坐标系中，点，，，则下列结论正确的有（   ） A．点关于轴的对称点的坐标为 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据空间中点的坐标可得向量坐标，进而判断位置关系及夹角. 【详解】由已知，，， 则点关于轴的对称点的坐标为，A选项正确； ，B选项正确； ，，即，即与不垂直，C选项错误； ，D选项正确； 故选：ABD. 10．（多选）已知平面过点，其法向量为，则下列各点在平面内的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】分别把每个选项的点与点确定的向量与法向量求数量积，进而判断各点是否在平面内. 【详解】对于A，设，则，因为， 所以点在平面内，故A正确； 对于B，设，则，因为， 所以点，2）不在平面内，故B错误； 对于C，设，则， 因为， 所以点不在平面内，故C错误； 对于D，设，则， 因为， 所以点在平面内，故D正确. 故选：AD. 11．设直线的方向向量，平面的法向量，若，则 【答案】 【分析】利用空间位置关系的向量法可得，列式求解即可. 【详解】因为直线的方向向量，平面的法向量，， 所以，所以，解得. 故答案为：. 12．已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为.若，则实数λ的值为 . 【答案】/2.5 【分析】由求解即可. 【详解】由题意可得：， 即， 解得：， 故答案为： 13．如图所示，直三棱柱 中，分别是的中点. (1)求的长； (2)求证： 平面 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，再求出坐标，进而求出向量求出模长； （2）应用向量法得出线线垂直，再根据线面垂直判定定理证明即可. 【详解】（1）因为平面，，以为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，所以，. （2）依题意得， 所以， 则，即， 又因为，平面，所以平面. 14．如图，在正方体中，，，，点分别是的中点．    (1)试用表示； (2)若正方体的棱长为，求的面积； (3)保持（2）的条件不变，求平面的一个法向量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量的线性运算即可； （2）以为原点建系，计算的坐标，再计算，即可通过即可计算面积； （3）设平面的法向量为，根据即可求出. 【详解】（1）因点分别是的中点， 则，， 则. （2）以为原点，分别以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，， 则， 则，，， 得，则， 则， 故的面积为. （3）设平面的法向量为 则，令，则， 平面的一个法向量为.    15．如图，在正三棱柱中，分别是的中点． (1)求证：平面平面． (2)在线段上是否存在一点Q，使平面？若存在，确定点Q的位置；若不存在，也请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在；点Q为点B 【分析】（1）应用线面平行判定定理得出面面平行即可证明； （2）建立直角坐标系，设点的坐标满足线面垂直即线线垂直计算求参. 【详解】（1）分别是的中点， ，∴四边形为平行四边形， ．平面平面,∴平面, 平面平面，平面． 又平面， ∴平面平面． （2）假设在线段上存在一点Q，使平面． 取的中点O，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ． 平面， ，解得， ∴在线段上存在一点Q，使平面，此时点Q为点B． 16．如图，在直三棱柱中，，，D是的中点，F是上一点，且． (1)求证：平面； (2)若，判定直线与平面的位置关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)平面，证明见解析 【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，只需证明，，再结合线面垂直的判定定理即可得证； （2）只需证明即可得证，其中平面的法向量为. 【详解】（1）因为，是的中点，所以，取的中点，则平面， 分别以、、所在直线为x轴、轴、轴，建立空间直角坐标系如图， 因为，， 所以，，，，，， 因为，所以. ，，， 因为，， 所以，， 又，平面，所以平面； （2）平面， 因为，所以， 所以． 设平面的法向量为，则，有，取，则． 因为，不在平面上，所以平面． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$