专题1.2 空间向量基本定理（高效培优讲义）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题1.2 空间向量基本定理 教学目标 1.理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示，并学会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底表示其他向量，培养学生数学抽象和直观想象的核心素养； 2.理解单位正交基底，正交分解的概念，并能够将向量进行正确的正交分解，解决相关问题，提升学生的数学抽象素养以及提高学生解决问题的能力； 教学重难点 重点：理解空间向量基本定理． 难点：选择合适的基底表示向量，解决相关问题． 知识点01 空间向量基本定理 1、定理：如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 【即学即练】（多选）已知空间向量，，，，若存在实数组和，满足，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则，，共面 B．若，，共面，则 C．若，，不共面，则，， D．若，，共面，则 题型01 空间向量基底的概念及辨析 【典例1】（多选）若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】若是空间的一组基，且向量，则可以与构成空间的另一组基的向量是（   ） A． B． C． D． 【变式3】若为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（   ） A． B． C． D． 【变式4】若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 基底的判断思路 （1）判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则可以作为一个基底. （2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断. 题型02 用空间基底表示向量 【典例1】在直三棱柱中，，分别为，的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图所示，在平行六面体 中，M是 的中点，点N是CA₁上的点，且 用表示向量 的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，空间四边形 中，，，，点 在线段 上，且 ，点 为 的中点，则      A． B． C． D． 【变式3】如图所示，在平行六面体中，，.设，，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式4】如图所示，空间四边形中，，，，点在上，点在上，且，，则（    ） A． B． C． D． 题型03 空间向量基本定理及其应用 【典例1】在正四面体中，点是的中心，若（），则 . 【变式1】正方体，点E是上底面的中心，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【变式2】在四面体中，点为线段靠近A的四等分点，为的中点，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【变式3】如图，在正方体中，若点是侧面的中心，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式4】在四面体中，点为线段靠近A的四等分点，为的中点，若，则的值为（    ）    A． B．1 C． D． 题型04 空间向量的坐标表示 【典例1】设为空间一组基底，若向量，则向量在基底下的坐标为．若在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】设为空间的一个基底，若向量，则向量在基底下的坐标为.若向量以为基底时的坐标为，则可以为基底时的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 . 【变式4】已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是 . 题型05 空间四点共面 【典例1】O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数 . 【变式1】在四面体中，空间的一个点满足，若四点共面，则 . 【变式2】已知三棱锥，如图所示，为重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若四点共面，则 ． 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 1．若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．已知在三棱锥中，是棱OA上靠近点的三等分点，为棱BC的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 3．在三棱锥中，M在PA上，N在BC上，且，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知是空间一个基底，，一定可以与向量构成空间另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 5．已知是空间中一组基底，若向量，则称向量在基底下坐标为.若向量在基底下坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A． B． C． D． 6．在平行六面体中，，，，为的中点，为上靠近的三等分点，则线段的长度为（   ） A． B．5 C． D． 7．（多选）已知是空间的一个基底，则下列说法正确的是（    ） A．两两共面 B．若，则 C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D．不一定能构成空间的一个基底 8．不与共面，并且四点在一个平面上，（），则的最小值为 ． 9．在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，，则 ．    10．如图所示，在平行六面体中，设分别是的中点，试用表示以下各向量： (1)； (2)； (3) 11．在平行六面体中，，，.记向量，向量，向量. (1)取的中点，用向量，，来表示向量； (2)求. 12．如图所示，已知空间四面体的每条棱长都等于1，点，，分别是，，的中点，求的长． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 空间向量基本定理 教学目标 1.理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示，并学会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底表示其他向量，培养学生数学抽象和直观想象的核心素养； 2.理解单位正交基底，正交分解的概念，并能够将向量进行正确的正交分解，解决相关问题，提升学生的数学抽象素养以及提高学生解决问题的能力； 教学重难点 重点：理解空间向量基本定理． 难点：选择合适的基底表示向量，解决相关问题． 知识点01 空间向量基本定理 1、定理：如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 【即学即练】（多选）已知空间向量，，，，若存在实数组和，满足，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则，，共面 B．若，，共面，则 C．若，，不共面，则，， D．若，，共面，则 【答案】AC 【分析】根据空间向量共面定理判断A，利用特殊值判断B、D，根据空间向量基本定理判断C. 【详解】对于A：因为，， 所以， 因为，所以， 所以向量，，共面，故A正确． 对于B、D：若，，，则，，共面， 令，则，，，可为任意实数， 此时由，， 得不到，也得不到，故B、D错误； 对于C：若，，不共面，由，， 则，，，故C正确； 故选：AC 题型01 空间向量基底的概念及辨析 【典例1】（多选）若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用空间向量的基底的概念结合空间向量的共面定理一一判定即可. 【详解】对于A项，易知，则A项中向量共面，不符合； 对于B项，易知，则B项中向量共面，不符合； 对于C项，易知不共面，能作为空间的一个基底，即C正确. 对于D项，设不能作为空间的一个基底， 则存在实数，使得， 由于是空间的一组基底，则满足， 故不存在使得， 故能作为空间的一个基底，D正确， 故选： CD 【变式1】已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】由空间向量的基底的定义建立方程，可得答案. 【详解】对于A，设，无解， 所以，，不共面，能构成空间的一组基底，故A正确； 对于B，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故B错误； 对于C，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：A. 【变式2】若是空间的一组基，且向量，则可以与构成空间的另一组基的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐一判断选项中的向量是否与共面即可，如果不共面就符合题意. 【详解】由题意知，不共面，对于选项A，，故共面，排除A； 对于选项B，，故共面，排除B； 对于选项D，由选项A得，，故共面，排除D． 对于C，，向量，而不与共面，故C正确. 故选：C. 【变式3】若为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过证明ACD选项中的三个向量共面，判断它们错误，利用反证法证明B选项中的三个向量不共面，判断B正确. 【详解】对于A，因为，所以共面， 所以不能构成基底， 对于C，因为， 所以共面，所以不能构成基底，C错误； 对于D，， 所以共面，所以不能构成基底，D错误， 对于B，若共面， 则可设，故， 故共面，与条件矛盾， 所以不共面，即能构成基底，B正确； 故选：B. 【变式4】若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】利用基底的意义，逐项判断即得. 【详解】对于A，，向量，，共面，A不是； 对于B，，向量，，共面，B不是； 对于C，假定向量，，共面，则，而不共面， 于是，无解，因此向量，，不共面，C是. 对于D，，向量，，共面，D不是. 基底的判断思路 （1）判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则可以作为一个基底. （2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断. 题型02 用空间基底表示向量 【典例1】在直三棱柱中，，分别为，的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的基底，结合几何图形表示出. 【详解】在直三棱柱中，. 故选：A 【变式1】如图所示，在平行六面体 中，M是 的中点，点N是CA₁上的点，且 用表示向量 的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形，利用空间向量的加减数乘运算，将用空间的基底表示即可. 【详解】由图可得： . 故选：C. 【变式2】如图，空间四边形 中，，，，点 在线段 上，且 ，点 为 的中点，则      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量的基本定理运算求解. 【详解】因为，所以；因为点为的中点，所以， 易知，， 所以 ， 又，，， 所以 ． 故选：A 【变式3】如图所示，在平行六面体中，，.设，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算得，则得到其和值. 【详解】因为，， 则 ， 所以，故. 故选：D. 【变式4】如图所示，空间四边形中，，，，点在上，点在上，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，，又，从而可求解. 【详解】因为，，， 所以， 因为，，所以， 所以. 故选：D． 题型03 空间向量基本定理及其应用 【典例1】在正四面体中，点是的中心，若（），则 . 【答案】/ 【分析】连接并延长交于点，连接，可得，，结合图形将用表示即得. 【详解】 如图，在正四面体中，连接并延长交于点，连接， 则，， 于是 ， 即得，故. 故答案为：. 【变式1】正方体，点E是上底面的中心，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据空间向量对应线段的关系，结合加减、数乘的几何意义用表示求出参数，即可得答案. 【详解】由， 所以，故. 故选：D 【变式2】在四面体中，点为线段靠近A的四等分点，为的中点，若，则的值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】由向量运算法则结合空间向量基本定理即可计算求解. 【详解】由题 又由题，故. 故选：C. 【变式3】如图，在正方体中，若点是侧面的中心，且，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的线性运算、结合空间向量基本定理计算得解. 【详解】在正方体中， ， 而， 因此，，， 所以. 故选：A. 【变式4】在四面体中，点为线段靠近A的四等分点，为的中点，若，则的值为（    ）    A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】先根据空间向量基本定理用向量，，表示向量，进而求得，，的值，即可求得的值. 【详解】由空间向量基本定理可得 又由题干，则，故. 故选：C. 题型04 空间向量的坐标表示 【典例1】设为空间一组基底，若向量，则向量在基底下的坐标为．若在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算法则，把表示为的线性和，然后由向量相等求得即得． 【详解】设=， 为空间一组基底，所以，解得，所以的新坐标为． 故选：C． 【变式1】设为空间的一个基底，若向量，则向量在基底下的坐标为.若向量以为基底时的坐标为，则可以为基底时的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量基本定理代入计算即可. 【详解】由题意得， 则可以为基底时的坐标为. 故选：C. 【变式2】已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，结合向量坐标的意义即可求解. 【分析】因为向量在基底下的坐标为， 可得， 所以向量在基底下的坐标为. 故选：B. 【变式3】已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 . 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算的坐标表示，可得答案. 【详解】由题意可得，设， 则，解得，所以坐标为. 故答案为：. 【变式4】已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是 . 【答案】 【分析】依题意可得，即可得解. 【详解】向量在基底下的坐标是， ， 所以向量在基底下的坐标是. 故答案为： 题型05 空间四点共面 【典例1】O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且，若P，A，B，C四点共面，则实数 . 【答案】 【分析】应用空间向量共面定理计算求解. 【详解】因为P，A，B，C四点共面，所以，解得. 故答案为：. 【变式1】在四面体中，空间的一个点满足，若四点共面，则 . 【答案】/ 【分析】根据空间向量共面定理的推论，即可求得答案. 【详解】因为四点共面，， 所以，解得. 故答案为： 【变式2】已知三棱锥，如图所示，为重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若四点共面，则 ． 【答案】4 【分析】先得到，进一步有，结合四点共面的充要条件即可求解. 【详解】如图所示：    设中点为，连接，因为点G为重心， 所以点在线段上面， 因为 ， 所以， 所以， 若M，D，E，F四点共面，则，解得， 故答案为：4. 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 1．若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据基底的定义，结合空间向量的共面条件，可得答案. 【详解】因为，所以，，共面； 因为，所以，，共面； 因为，所以，，共面； 因为不存在x，y，使得，所以，，不共面，所以可以作为基底． 故选：D. 2．已知在三棱锥中，是棱OA上靠近点的三等分点，为棱BC的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的线性运算即可得出结果. 【详解】 根据题意， 故选：C. 3．在三棱锥中，M在PA上，N在BC上，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算求解即可. 【详解】M在PA上，N在BC上，且，， . 故选：B. 4．已知是空间一个基底，，一定可以与向量构成空间另一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量基底的定义，任意两个不共线且不为零向量，三个向量不共面，即可判断. 【详解】向量，得与是共面向量, 不能构成空间的一个基底，A错误； 同理，得与是共面向量，不能构成空间的一个基底，B错误； 又与和不共面，所以与可以构成空间的一个基底，C正确； 与是共面向量，不能构成空间的一个基底，D错误. 故选：C. 5．已知是空间中一组基底，若向量，则称向量在基底下坐标为.若向量在基底下坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件得到，然后利用待定系数法求解即可. 【详解】因为向量在基底下坐标为， 所以， 设， 则，解得， 所以向量在基底下的坐标为， 故选：C 6．在平行六面体中，，，，为的中点，为上靠近的三等分点，则线段的长度为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量加减运算法则，则，两边同时平方根据向量数量积可得对角线的长度. 【详解】设，，，则， ， 所以线段的长为5， 故选：B． 7．（多选）已知是空间的一个基底，则下列说法正确的是（    ） A．两两共面 B．若，则 C．对空间任一向量，总存在有序实数组，使 D．不一定能构成空间的一个基底 【答案】AC 【分析】AC选项，根据基底的定义以及空间向量基本定理可得；B选项，，不一定垂直；D选项，判断出，，一定不共面，所以一定能构成空间的一个基底. 【详解】A选项，由基底的定义可知，不能共面，两两共面，A正确； B选项，，但，不一定垂直，B错误； C选项，根据空间向量基本定理，对空间任一向量，总存在有序实数组， 使，C正确； D选项，设，故，无解， 故，，一定不共面，所以一定能构成空间的一个基底，D错误. 故选：AC 8．不与共面，并且四点在一个平面上，（），则的最小值为 ． 【答案】16 【分析】由向量共面定理有，再应用基本不等式“1”的代换求最小值. 【详解】由题设，不与共面，且四点共面， 所以，可得，且， 所以， 当且仅当时取等号，则最小值为16. 故答案为：16 9．在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，，则 ．    【答案】/ 【分析】由向量基本定理表达出，根据四点共面，得到方程，求出答案. 【详解】， 因为，，所以， 又，故， 即，故， 因为平面与直线交于点，所以四点共面， 所以，解得.    故答案为： 10．如图所示，在平行六面体中，设分别是的中点，试用表示以下各向量： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由是的中点，得，再根据空间向量的线性运算结合基底向量求解即可. （2）由为的中点，得，再根据空间向量的线性运算结合基底向量求解即可. （3）由为的中点，得，再根据空间向量的线性运算结合基底向量分别出和求解即可. 【详解】（1）因为是的中点，， 所以. （2）因为为的中点，， 所以. （3）因为为的中点，， 所以， ， 所以. 11．在平行六面体中，，，.记向量，向量，向量. (1)取的中点，用向量，，来表示向量； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算计算即可； （2）根据空间向量的数量积和模长公式计算即可. 【详解】（1）； （2）因为，，， 所以，， 所以 ， 所以. 12．如图所示，已知空间四面体的每条棱长都等于1，点，，分别是，，的中点，求的长． 【答案】 【分析】结合图形，设，表示出，再求出模长即可； 【详解】设， ， ， 则，即的长为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$