专题05 直线与平面的夹角五大题型（高效培优专项训练）数学人教B版2019选择性必修第一册

专题05 直线与平面的夹角五大题型 题型一：定义法求直线与平面所成角 题型二：向量法求直线与平面所成角 题型三：根据线面角求参数 题型四：直线与平面所成角的最值（范围）问题 题型五：直线与平面所成角的探索性问题 题型一：定义法求直线与平面所成角 1．如图，在长方体中，，，则与平面所成角的大小为 ，与平面所成角的正弦值为 ．    【答案】 0/ / 【分析】利用平面平面可得与平面所成角；取是的中点，先证平面，然后可解. 【详解】根据长方体的性质可知：平面平面， 又平面，∴平面， ∴与平面所成角的大小为． 设是的中点，连接，由于， ∴，∴， 根据长方体的性质可知平面， 平面，∴， 由于，平面， ∴平面， ∴是直线与平面所成角， 又，， ∴． 故答案为：0；.    2．在三棱柱中，平面，为正三角形，，则与平面所成角的正切值为 . 【答案】 【分析】找到在平面内的射影，由线面角的定义求解. 【详解】为中点，连接，如图所示，    在三棱柱中，平面，则平面， 平面，则， 为正三角形，为中点，则， 平面，，平面， 在平面内的射影为，则与平面所成角为， ，则，，， 中，， 所以与平面所成角的正切值为. 故答案为：. 3．如图，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，为等边三角形，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】/ 【分析】根据面面垂直可得线面垂直，即可根据线面角的定义找到其平面角，结合三角形的边角关系即可求解. 【详解】取中点为，连接, 由于是等边三角形，所以 因为平面平面，其交线为,平面, 所以平面，是直线与平面所成角． 不妨设， 在等边中，，，所以， 故 故直线与平面所成角的正弦值为． 故答案为： 4．正方体中直线与平面所成角的大小为 . 【答案】 【分析】利用直线与平面夹角的定义及正方体的特征即可求解. 【详解】根据题意，如下图所示，连接，与交于点E，    易知，由平面，得， 又平面，平面，， 所以平面， 可知是直线与平面所成的角， 在正方形中，， 故直线与平面所成角的大小为. 故答案为：. 题型二：向量法求直线与平面所成角 5．若在空间直角坐标系中，点，平面OMQ的一个法向量，则直线OP与平面OMQ所成角的大小为 ． 【答案】 【分析】应用向量法求线面角的大小即可. 【详解】由题设，且平面OMQ的一个法向量， 令直线OP与平面OMQ所成角为， 则，所以. 故答案为： 6．在四棱锥中，底面，底面是边长为1的正方形，，则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 . 【答案】/0.4 【分析】由线面垂直得到线线垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用线面角的正弦向量夹角公式进行求解. 【详解】因为底面，平面， 所以，， 又底面是边长为1的正方形， 所以， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，故， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则，故， ， PB与平面PCD的夹角正弦值为. 故答案为： 7．在棱长为2的正方体中，为正方形的中心，为上一动点，现有如下两个条件：①，②，若选 ，则直线与平面夹角的正弦值为 ． 【答案】 ①或②（两者选填一个） （当空1填①时)或 (当空1填②时） 【分析】建立空间直角坐标系，向量法求线面角的正弦值. 【详解】如图所示，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则．    设平面的法向量为，则即 取可得， 设与夹角为，直线与平面夹角为． 若选择条件①：此时，， 则． 若选择条件②：此时，， 则. 故答案为：①；. (或②；) 8．如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为AE，BC的中点，直线BM与平面ADE所成角的正弦值为 ．    【答案】 【分析】根据题意，先由线面垂直的判定定理可证平面，然后过点做平行线，所以以点为原点， ，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算即可得到结果. 【详解】    过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、． ∵四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，， ∵，且， ∴平面是二面角的平面角，则， ∴是正三角形，由平面，得平面平面， ∵是的中点，，又平面，平面，可得，而，∴平面， 过点做平行线，所以以点为原点， ，、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 设，则， 设平面的法向量为， 由，得，取， 设直线与平面所成角为， ∴． 故答案为： 9．如图，平面，，且，则直线与平面所成角的正切值为 . 【答案】 【分析】根据几何性质建立空间直角坐标系，表达出各点坐标，得到直线的方向向量与平面的法向量，进而求出直线与平面所成角的正切值. 【详解】解：由题意，在中，，且， ∴是等腰直角三角形，，， 设，则， ∵平面， ∴， ∴是等腰直角三角形， 建立空间直角坐标系如图所示： 则,,,, ∴平面的一个法向量为：， , 设直线与平面所成角为， ∴， ∴， . 故答案为：. 10．如图所示，在几何体中，，平面，则点E到直线的距离为 、直线与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】 【分析】建立坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】以A为原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则． ． 因为，所以，所以点E到直线的距离为． 记平面的法向量为， 则令，得． 因为，所以直线与平面所成角的正弦值为． 故答案为：； 11．正三棱锥的侧面都是直角三角形，E，F分别是棱，的中点，则与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】 【分析】由已知可得两两垂直，设.以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，得到各点的坐标，通过向量求出平面的一个法向量，进而通过向量即可求出结果. 【详解】由已知可得，两两垂直，且. 设，由已知可得，，. 如图，连结.以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，如图建立空间直角坐标系. 则，，，，，，，，. 设是平面的一个法向量， 则，则，取，则. 所以， 与平面所成角的正弦值为. 故答案为：. 12．如图，在三棱锥中，底面是等腰直角三角形，底面是的中点，是的中点，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）在平面内，过点作，以为坐标原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，利用直线方向向量与平面法向量垂直即可证明结论； （2）求出以及平面的法向量，再利用空间向量夹角公式求解即可. 【详解】（1）在平面内，过点作， 由题知，， 所以， 所以. 因为底面，且在平面内， 所以， 所以两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系如图所示， 则，， 设，因为，所以 所以，所以， 易知平面的一个法向量为， 所以，所以，又因为平面. 所以平面. （2）由（1）知，， 设平面的法向量为， 则 令，得，所以， 设直线与平面所成角为， 又， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 13．如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，分别是底面圆周上的一点，，且点不与两点重合． (1)证明：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）根据直径所对的角为直角得到，由线面垂直得到，从而得到线面垂直，面面垂直； （2）先得到为二面角的平面角，为等边三角形，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的向量公式求出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为是底面圆上的一条直径， 所以， 因为底面圆， 所以底面圆， 因为底面圆，所以， 因为平画，所以平画， 因为平面，所以平面平面． （2）因为底面圆圆， 所以， 又，又，所以为等边三角形， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，设，故， ， ，， 设平面的一个法向量为， 则则， 解得，令，得，故， 设直线与平面所成角的大小为， 则， 直线与平面所成角的正弦值为． 14．如图，三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，，为的中点. (1)求证：⊥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由已知利用勾股定理的逆定理可得，可证得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法即可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以，又因为，平面， 所以⊥平面； （2）以为原点，直线为轴，在平面内过点与垂直的直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 所以. 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 题型三：根据线面角求参数 15．已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，平面ABCD，直线PD与平面PAC所成角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意建立如图空间直角坐标系，利用向量法结合PD与平面PAC的线面角，可求出PD. 【详解】，，， 由余弦定理得，即， 则有，所以， 又平面ABCD，以D为原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，    设，由，， 得，，，，， ， ， ， 设平面PAC的法向量为 ， 则 ， 令，则，，所以 ， 直线PD与平面PAC所成角为，所以  ， 则有，解得， 则. 故选：C. 16．设平面的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，若直线l与平面所成的角为，则正数 . 【答案】 【分析】根据线面角的向量计算公式得到方程，解得即可； 【详解】解：依题意可得， 即，解得或（舍去）； 故答案为： 17．在三棱锥中，，，，是的中点，且平面平面. (1)证明：平面； (2)已知平面经过直线，且，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 或 【分析】（1）由平面 平面 ，得到 平面 ，再结合即可求证； （2）建系，设 求得平面法向量及直线方向向量，代入夹角公式即可求解，利用体积公式计计算得出结果. 【详解】（1）因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ， 所以 平面 . 又 平面 ，所以 . 又 平面 ， 所以 平面 . （2）记 的中点为 ，连接 ， 因为 ，所以 ， 因为平面 平面 ，所以 平面 . 因为 分别是 的中点，所以 ，又 ，所以 . 以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 设 ，则 ， 所以 . 由题知 ，设平面 的法向量为 ， 则 即 令 ，则 ，则 . 则 . 化简可得 ，解得 或 ， 三棱锥 的体积 ，所以体积为 或 . 18．如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，与底面的夹角为，且是线段上的点． (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取AC的中点O，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定性质得，再结合余弦定理，线面垂直的判定、面面垂直的判定推理得证. （2）以O为原点，建立空间直角坐标系，利用线面夹角的向量求法列式求解. 【详解】（1）取的中点O，连接，由是等边三角形，是等腰三角形， 得，，又平面，则平面， 而平面，于是平面平面，在平面内射影为直线， 即为与底面的夹角，， 由正边长为4，，得，， 在中，由余弦定理得， 而，解，因此，， 又平面，则平面，又平面， 所以平面平面. （2）由（1）知，直线两两垂直，以O为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设，，，， 设平面的法向量为，则， 取，得，由与平面所成角的正弦值为， 得，整理得，而，解得， 所以 19．如图，四棱锥的底面为正方形，平面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，是线段PC上的一点． (1)求证：平面平面PAC； (2)若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为，求CG的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【分析】（1）连接BD，由线面垂直的性质得到，再由面面垂直的判定定理证明可得； （2）建立如图所示空间直角坐标系，设，求出平面AEF的一个法向量，代入空间线面角公式计算可得. 【详解】（1）连接BD，因为E，F分别是线段PB，PD的中点，所以． 因为平面平面ABCD，所以，即， 又ABCD为正方形，所以，即 又平面PAC，所以平面PAC， 又平面EFG，所以平面平面PAC． （2）如图，以为原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则， 设，则． 设平面AEF的一个法向量为，则，令得． 设直线AG与平面AEF所成角为，则 解得或，所以或． 题型四：直线与平面所成角的最值（范围）问题 20．如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，且二面角的大小为．底面为平行四边形，，，点Q在棱上且． (1)若，证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）只需证明，再结合线面平行的判定定理即可得证； （2）以为坐标原点，，所在直线为x，y轴，过A且垂直平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，求直线的方向向量与平面的法向量，由向量夹角公式可得，结合即可求解. 【详解】（1）若，即Q为中点，连接交于点M，连接， 因为为的中位线，所以， 因为平面，面， 所以平面． （2）因为，，，所以． 以A为坐标原点，，所在直线为x，y轴，过A且垂直平面的直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为是边长为2的正三角形，所以P和中点连线的距离为， 因为二面角的大小为， 所以点P到底面的距离为， 点P在底面的射影到的距离为， 所以点P在底面的射影在边上且靠近C的四分之一等分点处， 所以， 所以， 因为，所以， 又，． 又，设平面的一个法向量， 则，即， 令，则，， 即，， 又，设直线与平面所成角为， 则， 整理得． 所以当时，， 所以． 即直线与平面所成角的正弦值的取值范围为． 21．如图，已知底面是正三角形，平面，平面，． (1)若，是中点，证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由已知有，取中点，连接，，易证，再应用线面平行的判定证明结论； （2）令，取中点为，连接，过作，且交于，构建合适的空间直角坐标系，标出相关点坐标，求出直线的方向向量、平面的法向量，应用向量法求线面角的最大正弦值， 【详解】（1），均垂直于平面， ， 取中点，连接，， ，， 且， 又且，故四边形是平行四边形， ，又平面，平面， 平面； （2）令，取中点为，连接，过作，且交于， ，平面，平面， 是正三角形，所以， ， 以为坐标原点，，，方向为，，轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，所以，， 设平面法向量，则，所以， 取，则， 又，设与平面所成角为，则 所以，当时，最大值为， 综上，直线与平面所成角正弦值的最大值为. 22．如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆上一点，且. (1)求三棱锥的体积最大值； (2)求直线与平面所成角正弦值的最大值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由底面面积最大时，三棱锥的体积最大.即可求解； （2）建系，求得直线方向向量及平面法向量，代入夹角公式，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由于三棱锥的高，所以当底面面积最大时，三棱锥的体积最大. 又是底面圆的一条直径，所以当时，底面的面积最大. 此时. （2）如图以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系系，则， 设平面的一个法向量为， 记，则， 所以， 则直线与平面所成角的正弦值为 ， 当且仅当时等号成立. 故直线与平面所成角正弦值的最大值为. 23．如图，四棱锥中，平面，，，. (1)证明：平面平面； (2)若，动点在内（含边界）且. （ⅰ）求线段的轨迹形成的面积； （ⅱ）设直线与平面所成角为，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【分析】（1）通过线线垂直证明平面，即可完成证明； （2）（ⅰ）如图建立空间直角坐标系，设的坐标为，由可得动点的轨迹，即可求解； （ⅱ）由（ⅰ）可设，据此可表示出平面的法向量，然后由空间向量结合三角函数知识可得答案. 【详解】（1） 由，可知， 三角形为等腰直角三角形，，， 又因为，由余弦定理得：， 即得，， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （2）（ⅰ）依题意，建立如图坐标系， 设的坐标为，， 由， 化简得：，即， 则动点的轨迹是以线段的中点为圆心，以1为半径的圆弧， 由于线段的中点，所以该圆弧经过点， 故动点的轨迹是四分之一圆弧， 线段的轨迹形成的面积为圆锥侧面的，面积为； （ⅱ）由（ⅰ）可设，，，， ，，， 设平面的一个法向量为，则即 取，则， 则 因为，所以，所以， 所以，所以， 综上所述，. 24．在四棱台中，，，，，. (1)证明：. (2)若四棱台的体积为7， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）若为棱上一动点，求平面与平面所成角余弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由线线垂直得平面，得，进一步得平面，从而得到； （2）（i）由四棱台的体积为7得，以D为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法得到与平面所成角的正弦值； （ii）因为为棱上一动点，设，分别求出平面与平面的法向量，用表示出两平面所成角的余弦值，从而求得最大值. 【详解】（1）在中，，所以，所以，即， 因为，，平面， 所以平面，平面，所以. 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以. （2）因为，， 所以，所以. （i）以D为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，. 设平面的法向量为， 则，即， 令，得，，所以， 因为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （ii）， 则， 设，， 设平面法向量，则， 即， 令，得，所以， 由题意可得平面的法向量， 所以， 即平面与平面所成角余弦值为， 因为，所以当时，取得最大值， 所以平面与平面所成角余弦值的最大值为. 题型五：直线与平面所成角的探索性问题 25．如图，四棱锥的底面是边长为3的正方形，，. (1)证明：平面； (2)已知点在线段上，且（），若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理得平面，再根据线面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用得，利用线面角的向量公式列式求解即可. 【详解】（1）因为四边形是正方形，所以， 因为，，所以． 因为，，平面，所以平面， 又平面，所以，即． 因为，，，所以， 所以，即， 因为，，平面，所以平面. （2）由（1）知，，两两垂直， 因为，，所以． 以点为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意可得，，，，， 所以，，，， 设，所以，， 因为，，所以， 即所以所以，， 设是平面的一个法向量，则 所以令，则所以， 设直线与平面所成角为， 则，解得或． 26．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面，.M，N分别为AB，PC的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)在棱PA上是否存在一点E，使得直线DE与平面所成角为.若存在，确定点E的位置，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在，点为中点. 【分析】（1）取的中点，利用平行公理、线面平行的判定推理即得. （2）取的中点，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质判定推理得证. （3）由（2）可得直线两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）在四棱锥中，取的中点，连接，由分别为的中点， ，又四边形是菱形，则， 于是四边形是平行四边形，，而平面，平面， 所以平面. （2）取的中点，连接，由，得，又平面平面， 平面平面，平面，则平面， 而平面，于是，由平面，平面， 得，又平面， 所以平面. （3）由（2）知，，又四边形是菱形，则四边形是正方形， 直线两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 假定在棱PA上存在一点E，满足条件，令， ，， 设平面的一个法向量，则，取，得， 则直线DE与平面所成角正弦值为， 解得，所以在棱PA上存在一点E，使得直线DE与平面所成角为，点为中点. 27．正三角形所在的平面与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点. (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）由面面垂直可得线面垂直，进而可得线线垂直. （2）在空间直角坐标系中，利用空间向量求解线面角，进而可知点的位置，进而可求解. 【详解】（1）∵，是的中点，∴， ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面，平面， ∴. （2）由（1）知平面，平面， ∴，菱形中，， 所以是正三角形，∴． ∴ 两两垂直．建立如图所示空间直角坐标系． 则，，，，， 因为轴垂直平面，所以设平面的法向量为 ，， 设，， 则， ∵直线与平面所成的角为， ， 由，解得，∴． 28．如图，在三棱锥中，，．    (1)证明：； (2)在棱上是否存在点（不与端点重合），使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，点位于棱上靠近点或点的四等分点处. 【分析】（1）取的中点，连接，易得，，根据线面垂直的判定及性质定理证结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，设，，利用向量法及线面角的正弦值，列方程求参数，即可判断存在性. 【详解】（1）如图，取的中点，连接， 因为，所以，， 因为，，平面， 所以平面，又平面，所以． （2）存在点，位于棱上靠近点或点的四等分点处，使直线与平面所成角的正弦值为，证明如下： 如图，因为，易知，则，    取的中点，连接，易知，又平面，易知两两垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，过点作的平行线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题设，易得，，则，，，， 则，，设，， 则，故， 设平面的法向量为，则， 令，则，设直线与平面所成角为， 则，解得或， 故在棱上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为， 此时点位于棱上靠近点或点的四等分点处． 29．如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，且，，.    (1)求证：平面PAD； (2)若，在棱PB上是否存在一点，使得直线CD与平面ACM所成角的正弦值为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，. 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理、勾股定理的逆定理证得，再利用面面垂直的性质推理即得. （2）取的中点，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求线面角的正弦求解. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理，得， 则，即，由平面平面， 平面平面平面， 所以平面. （2）设的中点分别为，连接， 由，得，又平面平面， 平面平面平面，则平面， 又平面，则，又，，则，即两两互相垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，   ，则， 设，则， 于是， 设是平面的法向量，则， 令，则，得， 设直线与平面所成角为，， 则， 即，而，解得， 所以存在点，使得直线直线与平面所成角的正弦值为，. 30．如图，在三棱柱中，与的距离为，，． (1)证明：平面平面； (2)试判断在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值是，若有，请求出的位置，若没有，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点符合题意，为中点 【分析】（1）取棱中点，连接，则，由勾股定理得，，即平面，从而得证； （2）取中点，连接，取中点，连接，可证，，建立如图所示的空间直角坐标系，利用线面角的向量法求解问题. 【详解】（1）取棱中点，连接，因为， 所以，所以． 又因为，所以，； 因为，，所以， 所以，同理， 因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）取中点，连接，取中点，连接，则//， 由（1）知平面，所以平面， 因为平面，平面，所以， 因为，则． 以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 可设，则点， ， 设平面的法向量为， 得，取，则，，所以 设直线与平面所角为，因为，所以 则， 解得或（舍） 所以，存在符合题意，此时为中点． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 直线与平面的夹角五大题型 题型一：定义法求直线与平面所成角 题型二：向量法求直线与平面所成角 题型三：根据线面角求参数 题型四：直线与平面所成角的最值（范围）问题 题型五：直线与平面所成角的探索性问题 题型一：定义法求直线与平面所成角 1．如图，在长方体中，，，则与平面所成角的大小为 ，与平面所成角的正弦值为 ．    2．在三棱柱中，平面，为正三角形，，则与平面所成角的正切值为 . 3．如图，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，为等边三角形，则直线与平面所成角的正弦值为 . 4．正方体中直线与平面所成角的大小为 . 题型二：向量法求直线与平面所成角 5．若在空间直角坐标系中，点，平面OMQ的一个法向量，则直线OP与平面OMQ所成角的大小为 ． 6．在四棱锥中，底面，底面是边长为1的正方形，，则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 . 7．在棱长为2的正方体中，为正方形的中心，为上一动点，现有如下两个条件：①，②，若选 ，则直线与平面夹角的正弦值为 ． 8．如图，已知ABCD和CDEF都是直角梯形，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为AE，BC的中点，直线BM与平面ADE所成角的正弦值为 ．    9．如图，平面，，且，则直线与平面所成角的正切值为 . 10．如图所示，在几何体中，，平面，则点E到直线的距离为 、直线与平面所成角的正弦值为 ． 11．正三棱锥的侧面都是直角三角形，E，F分别是棱，的中点，则与平面所成角的正弦值为 ． 12．如图，在三棱锥中，底面是等腰直角三角形，底面是的中点，是的中点，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 13．如图，圆柱中，是底面圆上的一条直径，分别是底面圆周上的一点，，且点不与两点重合． (1)证明：平面平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 14．如图，三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，，为的中点. (1)求证：⊥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 题型三：根据线面角求参数 15．已知四棱锥的底面为平行四边形，，，，平面ABCD，直线PD与平面PAC所成角为，则（    ） A． B． C． D． 16．设平面的一个法向量为，直线l的一个方向向量为，若直线l与平面所成的角为，则正数 . 17．在三棱锥中，，，，是的中点，且平面平面. (1)证明：平面； (2)已知平面经过直线，且，直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积. 18．如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，与底面的夹角为，且是线段上的点． (1)求证：平面平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 19．如图，四棱锥的底面为正方形，平面ABCD，E，F分别是线段PB，PD的中点，是线段PC上的一点． (1)求证：平面平面PAC； (2)若直线AG与平面AEF所成角的正弦值为，求CG的长． 题型四：直线与平面所成角的最值（范围）问题 20．如图，在四棱锥中，是边长为2的正三角形，且二面角的大小为．底面为平行四边形，，，点Q在棱上且． (1)若，证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 21．如图，已知底面是正三角形，平面，平面，． (1)若，是中点，证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值． 22．如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆上一点，且. (1)求三棱锥的体积最大值； (2)求直线与平面所成角正弦值的最大值. 23．如图，四棱锥中，平面，，，. (1)证明：平面平面； (2)若，动点在内（含边界）且. （ⅰ）求线段的轨迹形成的面积； （ⅱ）设直线与平面所成角为，求的取值范围. 24．在四棱台中，，，，，. (1)证明：. (2)若四棱台的体积为7， （i）求直线与平面所成角的正弦值； （ii）若为棱上一动点，求平面与平面所成角余弦值的最大值. 题型五：直线与平面所成角的探索性问题 25．如图，四棱锥的底面是边长为3的正方形，，. (1)证明：平面； (2)已知点在线段上，且（），若直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 26．如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面，.M，N分别为AB，PC的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)在棱PA上是否存在一点E，使得直线DE与平面所成角为.若存在，确定点E的位置，若不存在，说明理由. 27．正三角形所在的平面与菱形所在的平面互相垂直，，，是的中点. (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 28．如图，在三棱锥中，，．    (1)证明：； (2)在棱上是否存在点（不与端点重合），使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由． 29．如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，且，，.    (1)求证：平面PAD； (2)若，在棱PB上是否存在一点，使得直线CD与平面ACM所成角的正弦值为?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 30．如图，在三棱柱中，与的距离为，，． (1)证明：平面平面； (2)试判断在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值是，若有，请求出的位置，若没有，请说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$