专题1.5 直线与平面的夹角（高效培优讲义）高二数学人教B版2019选择性必修第一册

专题1.5 直线与平面的夹角 教学目标 理解直线与平面所成的角的概念，会作出斜线与平面所成的角； 了解直线与平面所成的角的性质，能够利用性质处理简单的线面角问题； 培养读图、作图能力，培养空间想象力。 教学重难点 教学重点：斜线与平面所成的角的概念与性质 教学难点：斜线与平面所成的角的概念，最小角定理 知识点01直线与平面的夹角 1.直线与平面垂直：直线与平面的夹角为90°. 2.直线与平面平行或在平面内：直线与平面的夹角为0°. 3.斜线和平面所成的角：斜线和它在平面内的射影所成的角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角） 知识点02用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 【即学即练】如图，在正方体中，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 题型01 定义法求直线与平面所成角 【典例1】如图，在三棱锥中，底面，，是的中点. (1)求证：平面. (2)若，求与平面所成角的正弦值. 【变式1】在正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【变式2】如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，平面．若，则直线与平面所成的角的大小为 ． 【变式3】如图，已知在正三棱柱中，D为棱AC的中点，，则直线BC与平面所成角的正弦值为 . 【变式4】如图，在四面体中，，点为线段的中点，且. (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 题型02 向量法求直线与平面所成角 【典例1】在正方体中，F是BC的中点，点E在棱上，且，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 【变式1】如图，在四棱台体中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，，P为线段的中点，直线与平面所成角的大小为 . 【变式2】已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面的射影为中点H，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 【变式3】已知长方体中，，则CD与平面所成角的正弦值等于 . 【变式4】如图，正四棱柱中，设，点在线段上，且，则直线与平面所成角的正弦值是 . 题型03 根据线面角求参数 【典例1】在五棱锥中，，，平面平面.    (1)求证：； (2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【变式1】如图所示，在边长为2的正方体中，分别是棱上的点（异于端点），且． (1)证明：与相交且交点在直线上． (2)当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值． 【变式2】如图，在多面体ABCDEF中，四边形与均为直角梯形，平面，．    (1)已知点G为AF上一点，且，求证：BG与平面DCE不平行； (2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为，求AF的长及四棱锥D－ABEF的体积． 【变式3】如图，在五面体中，底面为正方形，侧面为等腰梯形，二面角为直二面角，.    (1)求点到平面的距离； (2)设点为线段的中点，点满足，若直线与平面及平面所成的角相等，求的值. 【变式4】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面平面，，．且 (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点C到平面的距离． 题型04 直线与平面所成角的最值（范围）问题 【典例1】已知正方体棱长为1，点E为正方形内（含边界）一动点．    (1)若，证明：面面； (2)若面面，求直线EB与平面ABCD所成角的正弦值的最大值． 【变式1】如图，在正方体中，O是AC中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为θ，则的取值范围是 ． 【变式2】已知棱长为1的正四面体，的中点为动点在线段上，则直线与平面所成角的正切值的取值范围是 【变式3】直三棱柱中，，，点E在棱上，． 若平面平面，点Q是上异于点B的动点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【变式4】如图，在四棱锥中，平面PAD，． (1)证明：平面ABCD； (2)若底面ABCD是正方形，，E为PB中点，点F在棱PD上，且异面直线AF与PB所成的角为60°． （ⅰ）求的长度； （ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在线段PB上，求EG与平面所成角的正弦值的取值范围． 题型05 直线与平面所成角的探索性问题 【典例1】如图，在正三棱台中，，侧棱长为2，P为棱上的动点.    (1)求证：平面； (2)是否存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点P；若不存在，请说明理由. 【变式1】如图，在几何体中，四边形与均为菱形，，且． (1)求证：平面平面； (2)设点满足，直线与平面所成角的正弦值为，求实数的值． 【变式2】如图，在矩形中，，，为EC中点，将沿AD翻折至，使得. (1)证明：平面平面； (2)线段PB上是否存在一点，使得AT与平面PAD所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【变式3】图1是边长为的等边三角形，点、分别在、上，且．将沿折起到的位置，连接、，如图2，若． (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【变式4】如图，三棱柱中，平面平面，，点是棱的中点. (1)证明：平面； (2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值，若不存在说明理由. 1．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则l与所成的角为（   ） A． B． C．或 D．或 2．设为实数，若直线垂直于平面，且的方向向量为，平面的法向量为，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 3．已知，，，则平面的法向量与的夹角的余弦值为（    ） A． B．或 C． D．或 4．已知直平行六面体中，，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 5．在三棱锥中，，，，，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 6．已知在四面体中，为等边三角形，且，则与平面所成角正切值的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列选项中正确的为（    ） A．直线与所成角的余弦值为 B．平面 C． D．直线与平面所成角的正弦值为 8．（多选）如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（    ） A．动点轨迹的长度为 B．与不可能垂直 C．直线与平面所成角正弦值的最小值为 D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 9．如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，，若异面直线和所成角的余弦值为，则的值为 . 10．如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为上的一动点（含端点），当直线与平面所成角取得最大值时，的长度为 . 11．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，，，，E为线段PD的中点. (1)证明：直线平面ACE； (2)求直线PC与平面ACE所成角的余弦值. 12．如图所示，圆锥的底面半径为4，高为4，线段为圆锥底面的直径，点在线段上，且，点是以为直径的圆上一动点. (1)当时，证明:平面平面； (2)当三棱锥的体积最大时，求与平面所成角的正弦值. 13．如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，二面角的大小为． (1)求线段的长． (2)若，且，则在线段上是否存在点，使得直线BE与平面PDC所成的角的正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 直线与平面的夹角 教学目标 理解直线与平面所成的角的概念，会作出斜线与平面所成的角； 了解直线与平面所成的角的性质，能够利用性质处理简单的线面角问题； 培养读图、作图能力，培养空间想象力。 教学重难点 教学重点：斜线与平面所成的角的概念与性质 教学难点：斜线与平面所成的角的概念，最小角定理 知识点01直线与平面的夹角 1.直线与平面垂直：直线与平面的夹角为90°. 2.直线与平面平行或在平面内：直线与平面的夹角为0°. 3.斜线和平面所成的角：斜线和它在平面内的射影所成的角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角） 知识点02用向量运算求直线与平面所成角 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为，则有 ① ②.（注意此公式中最后的形式是：） 【即学即练】如图，在正方体中，为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方体的棱长为，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值即可. 【详解】 设正方体的棱长为，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， ，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，所以，令，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：. 题型01 定义法求直线与平面所成角 【典例1】如图，在三棱锥中，底面，，是的中点. (1)求证：平面. (2)若，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据线面垂直的判断定理，转化为证明线线垂直，即证明； （2）根据（1）的结果，结合线面角定义，构造线面角，即可求解. 【详解】（1）因为底面，平面， 所以，且，，平面， 所以平面 （2）由（1）可知，平面，平面， 所以平面平面，且平面平面， 平面内作，连结，所以平面， 且，则是的中点， 则为与平面所成角， 由条件可知，，， ， 点是的中点，所以，， 所以. 【变式1】在正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】/0.8 【分析】利用正方体的性质，容易判断直线与平面所成角的平面角就是，然后利用余弦定理计算即可. 【详解】 由正方体的性质可得：平面，平面， 所以平面平面，即直线在平面的射影就是， 所以直线与平面所成角的平面角就是， 设正方体的棱长为，因为E是的中点，所以由勾股定理可得， 由余弦定理可得：， 因为为锐角，所以， 故答案为：. 【变式2】如图，在四棱锥中，底面是边长为a的正方形，平面．若，则直线与平面所成的角的大小为 ． 【答案】 【分析】找到在平面上的投影可得即为直线与平面所成的角，结合所给条件计算即可得解. 【详解】由平面，平面，故， 由底面是边长为a的正方形，故， 又，、平面，故平面， 故直线在平面上的投影为， 故即为直线与平面所成的角， 又，，故， 即直线与平面所成的角的大小为. 故答案为：. 【变式3】如图，已知在正三棱柱中，D为棱AC的中点，，则直线BC与平面所成角的正弦值为 . 【答案】 【分析】首先做辅助线找出直线与平面所成的角，然后根据直角三角形的边角条件求出其正弦值. 【详解】过点作于，连接. 因为正三棱柱，所以. 因为，所以平面. 又平面，所以. 又，所以平面. 所以为直线与平面所成的角. 设，则，根据勾股定理. 所以，解得. 在直角三角形中，，所以. 所以直线与平面所成的角的正弦值为. 故答案为：. 【变式4】如图，在四面体中，，点为线段的中点，且. (1)证明：直线平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先求出，结合得到平面，故，由勾股定理逆定理得到，从而得到线面垂直； （2）作出辅助线，得到线面垂直，则为与平面所成的角，求出各边长，利用得到答案. 【详解】（1）点为中点，且， ∴， ∴， 又， ∴，故 ，即， ，平面， ∴平面， ∵平面， ∴. ∵， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， 又，平面， ∴平面； （2）如图，过点作，垂足为，连接， 由（1）知平面，又平面， 故，又，平面， 所以平面. 则为与平面所成的角. ，由勾股定理得， 所以，其中， 则. 题型02 向量法求直线与平面所成角 【典例1】在正方体中，F是BC的中点，点E在棱上，且，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】/ 【分析】用向量法先求出平面的法向量，根据空间角的向量求法即可得答案. 【详解】 以为坐标原点,分别以为轴，轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设正方体的边长为4，则， 所以 设平面的一个法向量为，所以， 所以，解得, 设直线与平面所成角为， 因为， 所以. 【变式1】如图，在四棱台体中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，，P为线段的中点，直线与平面所成角的大小为 . 【答案】 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量计算公式求解即可. 【详解】根据题意建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， ，，设平面的法向量为， 则，则平面的一个法向量， 所以，即直线平面， 故直线与平面所成角的大小为. 故答案为：. 【变式2】已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面的射影为中点H，则直线与平面所成角的正弦值为 ． 【答案】 【分析】以点H为坐标原点，、、的方向分别为x、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量为，直线的一个方向向量，利用向量的夹角公式可求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】因为点在底面的射影为中点H，则平面， 又因为四边形为正方形， 以点H为坐标原点，、、的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，    因为平面，平面，则， 因为，，则， 则、、、， 所以， 易知平面的一个法向量为， ， 因此，直线与平面所成角的正弦值为． 故答案为：. 【变式3】已知长方体中，，则CD与平面所成角的正弦值等于 . 【答案】 【分析】先建立空间直角坐标系并求出点的坐标，接着求出向量，，，再求平面的一个法向量，最后求CD与平面所成角的正弦值. 【详解】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图 设，则，，，， 则，，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，，所以平面的一个法向量， 设CD与平面所成角为，所以. 故答案为：. 【变式4】如图，正四棱柱中，设，点在线段上，且，则直线与平面所成角的正弦值是 . 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，求出线面角的正弦值. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，故， 设直线与平面所成角大小为， 则， 故答案为： 题型03 根据线面角求参数 【典例1】在五棱锥中，，，平面平面.    (1)求证：； (2)若，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质、结合面面垂直的性质定理进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）证明：延长交于点 四边形为矩形， 平面平面，平面平面 平面平面，即. （2）如图建系，    设平面的一个法向量， . 【变式1】如图所示，在边长为2的正方体中，分别是棱上的点（异于端点），且． (1)证明：与相交且交点在直线上． (2)当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)1 【分析】（1）连接，由已知得出四边形为梯形，则与相交，再根据点线面的关系即可证明； （2）以为原点，，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，由线面夹角的向量公式列出方程即可求解． 【详解】（1）连接，因为，所以，， 所以， 因为分别是棱上异于端点的点， 所以，故四边形为梯形，故与相交， 记， 因为平面平面，平面平面， 所以，即与的交点在直线上． （2）因为是正方体，所以以为原点，，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，， 所以， 设为平面的法向量， 由，可得， 令，得，则， 因为，设直线与平面所成的角为， 所以，又， 解得，故当直线与平面所成角的正弦值为时，． 【变式2】如图，在多面体ABCDEF中，四边形与均为直角梯形，平面，．    (1)已知点G为AF上一点，且，求证：BG与平面DCE不平行； (2)已知直线BF与平面DCE所成角的正弦值为，求AF的长及四棱锥D－ABEF的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)AF的长为4；． 【分析】（1）证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面DCE的法向量，计算出，证明出BG与平面DCE不平行； （2）由BF与平面DCE所成角的正弦值计算出AF的长，从而求出梯形ABEF的面积，计算出四棱锥的体积. 【详解】（1）证明：因为平面ABEF，AB，平面ABEF， 所以，， 又， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则、、、、，    所以，，， 设平面DCE的法向量为，则， 令，则，所以， 因为，且不存在使得与垂直， 所以BG与平面DCE不平行； （2）设（且），则，所以， ∵直线BF与平面DCE所成角的正弦值为， ∴， 化简得，解得或（舍去）；故． 此时梯形ABEF的面积，故． 【变式3】如图，在五面体中，底面为正方形，侧面为等腰梯形，二面角为直二面角，.    (1)求点到平面的距离； (2)设点为线段的中点，点满足，若直线与平面及平面所成的角相等，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，得到点到平面的距离即为的长，由勾股定理求出答案； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由直线与平面及平面所成的角相等列出方程，求出的值. 【详解】（1） 如图，过点作⊥于点，过点作于点，连接. 因为二面角为直二面角，所以平面平面， 又平面平面平面，所以平面， 所以点到平面的距离即为的长， 因为平面，所以， 因为四边形为等腰梯形，， 所以，故，， 因为，由勾股定理得， 又，由勾股定理得， 即点到平面的距离为.    （2） 以为坐标原点，分别以所在直线分别为轴，过点作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，     由，得. .              设平面的法向量为， 由， 由，解得， 令，得，故， 又易知平面的一个法向量为. 设直线与平面所成角为，与平面所成角为， 则，∴ ， 整理得，由，得. 【变式4】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，平面平面，，．且 (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求点C到平面的距离． 【答案】(1)证明过程见解析； (2). 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，结合线面垂直的性质进行证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间夹角公式和点到面距离公式进行求解即可. 【详解】（1）因为平面平面，交线为， 且平面中，， 所以平面， 又平面， 所以,因为，平面， 所以平面，而平面， 所以； （2）由（1）知，平面且， 所以、、两两垂直 因此以原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，，设 所以，，，，， 因为平面平面，交线为，且平面中，， 所以平面， 所以为平面的法向量且， ， 因为直线与平面所成角的正弦值为 所以，解得： 所以，又，， 平面的法向量分别为：， 所以， 令，则， ， 设点C到平面的距离为， 所以. 题型04 直线与平面所成角的最值（范围）问题 【典例1】已知正方体棱长为1，点E为正方形内（含边界）一动点．    (1)若，证明：面面； (2)若面面，求直线EB与平面ABCD所成角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面面垂直的判断定理证明即可； （2）方法一：作出线面角所成平面角，计算即可；方法二：建立空间直角坐标系，运用线面角向量法计算即可. 【详解】（1）因为，所以三点共线， 所以，又因为，所以．    因为面ABCD，面ABCD，所以．              因为面面，所以面．        又因为面，所以面面． （2）方法一： 由 可知． 从而． 又因为， 所以E在线段上．                       过E做平面ABCD的垂线且交于F，则F在直线AC上，连BF，BE 则即为直线EB与平面ABCD所成角                 ．                   取最短时，取最大， 在中，， 为中点时，，此时最短， ．              方法二： 以D为原点，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 那么，设．      由， 可得面的一个法向量为，        由， 可得面的一个法向量为．                       于是由可得．                  所以．面ABCD的一个法向量为．           设直线EB与平面ABCD所成角为，那么 ．                                 因此当时取到最大值．    【变式1】如图，在正方体中，O是AC中点，点P在线段上，若直线OP与平面所成的角为θ，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得的取值范围. 【详解】设正方体边长为，建立如图所示空间直角.则， 设， 则， 由于 使，， 所以是平面的法向量， 所以 ， 由于，所以，， 所以 ， 故答案为： 【变式2】已知棱长为1的正四面体，的中点为动点在线段上，则直线与平面所成角的正切值的取值范围是 【答案】 【分析】利用三正弦定理公式可求正切值的取值范围，或者利用空间向量求出直线与平面所成角的正弦值的取值范围后可得正切值的取值范围. 【详解】法1：取的中点为，的中点为，的中心为， 则三点共线，连接，则， 由正三角形可得，同理， 而平面，故平面， 而平面，故，故为二面角的平面角， 因为，故，故 设二面角的平面角为，则. 设直线与平面所成的角为， 由三正弦定理得 又，所以，进而可得. 法2：取的中心为，的中点为，连接，，， 则三点共线，且， 故， 设，，则， 故， 设直线与平面所成角为，因为为平面的法向量， 所以，因为为正四面体，故， 故， ， 而， 故， 当时，； 当时，. 因为，故，故，故， 故， 综上，， 故答案为： 【变式3】直三棱柱中，，，点E在棱上，． 若平面平面，点Q是上异于点B的动点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据空间中线面的位置关系，通过线面平行的性质定理，证明线面平行， （2）根据空间向量求线面角正弦值的方法，建立空间直角坐标系，求出方向向量和法向量，求出直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【详解】（1）由直三棱柱得， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以， 又平面，平面，所以平面． （2） 如图所示，以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 所以， 因为，所以设，则， 设平面的一个法向量为， 由，即，取，则， 设直线与平面所成角为， 则， 因为，所以， 所以． 【变式4】如图，在四棱锥中，平面PAD，． (1)证明：平面ABCD； (2)若底面ABCD是正方形，，E为PB中点，点F在棱PD上，且异面直线AF与PB所成的角为60°． （ⅰ）求的长度； （ⅱ）平面AEF交PC于点G，点M在线段PB上，求EG与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）依据平面得，结合，利用线面垂直判定定理，证得结果； （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，设，依据异面直线所成角公式求解后结合长度得； （ⅱ）设求出平面法向量，计算线面角正弦值表达式，结合参数范围求取值范围． 【详解】（1）因为平面，平面PAD， 所以， 又因为平面ABCD，平面ABCD，， 所以平面ABCD． （2）（i）由（1）可知平面ABCD，所以AB，AD，AP两两垂直， 故以A为原点，以AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 依题意可得， 所以， 设， 则， 因为异面直线AF与PB所成角为60°， 所以， 解得，所以． （ⅱ）设， 则， ， 设平面AEF的法向量为，则，即， 取，得， 因为，所以，即，解得， 所似所以 因为M在线段PB上，所以， 则， 设平面MAD的法向量，则即 取，得， 设EG与平面MAD所成角为， 则， 由于，所以，所以 即EG与平面MAD所成角的正弦值的取值范围为 题型05 直线与平面所成角的探索性问题 【典例1】如图，在正三棱台中，，侧棱长为2，P为棱上的动点.    (1)求证：平面； (2)是否存在点P，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点P；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2)存在，点为靠近的三等分点 【分析】（1）台补锥，根据棱台的几何性质，结合勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）根据（1）的结论建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）延长三条侧棱交于一点， 因为正三棱台的侧棱长为2，且，即， 可得，且， 所以，， 即，，， 且，平面， 所以平面，即平面. （2）由（1）知， 以为原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，设， 可得，， 设平面的法向量为，则， 取，则，可得， 由题意可得：， 整理可得，解得或（舍去）， 故当点为靠近的三等分点时，使得直线与平面所成角的正弦值为. 【变式1】如图，在几何体中，四边形与均为菱形，，且． (1)求证：平面平面； (2)设点满足，直线与平面所成角的正弦值为，求实数的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设AC与BD相交于点O，连接FO，由线面垂直的判定定理证明平面BDEF，再得到平面平面即可； （2）首先证明平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）设与相交于点，连接， ∵四边形为菱形，，且为中点，又，， ∵，平面BDEF，∴平面， 又平面，所以平面平面； （2） 连接，∵四边形为菱形，且， 为等边三角形， ∵为中点，∴，又，，平面， 平面．故OA，OB，OF两两互相垂直， ∴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，∵四边形为菱形，，，． 为等边三角形，∴． ，, 则，因为，即， 所以， 所以，， 设平面的法向量为，则 取， 设与平面所成角为，则， 解得或，又，所以. 【变式2】如图，在矩形中，，，为EC中点，将沿AD翻折至，使得. (1)证明：平面平面； (2)线段PB上是否存在一点，使得AT与平面PAD所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）取线段的中点，线段的中点，利用线面垂直的判定、性质，面面垂直的判定推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法列式求解. 【详解】（1）如图，设线段的中点为，线段的中点为，连接，，， 依题意，，则，由，得， 而，，是梯形的中位线，于是，， 而平面，，则平面， 而平面，于是，又平面，且和一定相交， 因此平面，而平面，所以平面平面. （2）依题意，，则，即， 由（1）知平面，平面，则， 由平面，，得平面，过作平面， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图： 则，， 令， 则， 由平面，得平面的法向量， 设直线与平面所成角为， 则，解得， 所以当时，直线与平面所成角的正弦值为. 【变式3】图1是边长为的等边三角形，点、分别在、上，且．将沿折起到的位置，连接、，如图2，若． (1)证明：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使直线与平面所成的角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，且 【分析】（1）利用勾股定理可证得，，利用线面垂直、面面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）假设在线段上存在点，使平面与平面所成的角为，以为原点，、、所在的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系， 设，利用空间向量法可得出关于的等式，解出的值，即可得出结论. 【详解】（1）翻折前，是边长为的等边三角形， 因为，，． 由余弦定理得． 因为，所以，折叠后有． 在四棱锥中，连接，如下图所示： 在中，，，， 由余弦定理可得， 因为，，所以，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，故平面平面. （2）翻折前，翻折后，则有，又平面， 以为原点，以点、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 过作交于点， 设，则，，， 易知，，，所以. 因为平面，所以平面的一个法向量为， 因为直线与平面所成的角为， 所以，解得. 所以，满足，符合题意. 所以在线段上存在点P，使直线与平面所成的角为，此时. 【变式4】如图，三棱柱中，平面平面，，点是棱的中点. (1)证明：平面； (2)线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值，若不存在说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）连接.在三棱柱中，根据题意可知四边形为菱形，故.根据面面垂直的性质定理可证平面.结合线面垂直的性质与判定定理即可证明； （2）以A为坐标原点，分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据向量法可知直线与平面所成角的大小为满足，求解即可. 【详解】（1）连接.在三棱柱中， 因为，所以四边形为菱形，所以. 又平面平面，平面平面，平面，， 所以平面. 又平面，所以. 又，，平面，平面， 所以平面. （2）假设存在，，使得直线与平面所成角的正弦值为. 因为，所以. 连接，. 由（1）知平面，平面，所以， 所以在中，，，. 在中，，，， 由余弦定理可得， ∴，. 以A为坐标原点，分别为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，则，， ，. 设平面的法向量， 则，即， 取，得到平面的一个法向量. 又， 设直线与平面所成角的大小为， ， 所以. 又，所以， 即存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为. 1．若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则l与所成的角为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】由线面角的向量公式，求得正弦值，可得答案. 【详解】由题意可知与夹角的正弦值为，且夹角的取值范围为，则夹角为. 故选：B. 2．设为实数，若直线垂直于平面，且的方向向量为，平面的法向量为，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量平行，从而可求出的值. 【详解】因为直线垂直于平面α，所以直线的方向向量与平面的法向量平行， 即，解得. 故选：A. 3．已知，，，则平面的法向量与的夹角的余弦值为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】求解法向量，即可由夹角公式求解. 【详解】设为平面的一个法向量，则由， 可得，令，得，，∴. ， 由于法向量的方向不能确定， 故平面的法向量与的夹角的余弦值也可能为. 故选：B 4．已知直平行六面体中，，则直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】作出辅助线，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出直线与所成角的余弦值. 【详解】取的中点，连接，因为， 所以，故为等边三角形，故⊥， 所以⊥， 又平行六面体为直平行六面体， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设直线与所成角的大小为， 则. 与所成角的余弦值为. 故选：A 5．在三棱锥中，，，，，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量求线面角即可. 【详解】，，，， 故， 设平面的一个法向量， 则，令，则， 故， 设与平面所成角为， 则. 故选：C 6．已知在四面体中，为等边三角形，且，则与平面所成角正切值的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在平面中过作，连接，根据题设中的数量积可得的轨迹为以为直径的球面，故可求与平面所成角正切值的最大值. 【详解】 在平面中过作，连接， 则四边形为平行四边形，且， 故与平面所成角即为与平面所成的角. 而，故， 故即即，故， 不妨设的边长为， 则的轨迹为以为直径的球面（除去平面中以为直径的圆），如图， 设为的中点，连接， 当在球面上且平面平面时，与平面所成的角最大且为， 此时，故， 故此时， 故选：D. 7．（多选）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列选项中正确的为（    ） A．直线与所成角的余弦值为 B．平面 C． D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BC 【分析】A选项，建立，建立空间直角坐标系，得到，设直线与所成角为，利用得到答案；B选项，证明出，得到线面平行；C选项，计算出，得到垂直关系；D选项，求出平面的法向量，利用线面角的夹角公式求出答案. 【详解】A选项，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 故， 则， 设直线与所成角为， 故， 直线与所成角的余弦值为，A错误； B选项，，分别为棱，的中点，故， 因为平面，平面， 所以平面，B正确； C选项，， 故， 故，故，C正确； D选项，， ， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，故， 其中，设直线与平面所成角的大小为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为，D错误. 故选：BC 8．（多选）如图，棱长为2的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则下列说法正确的有（    ） A．动点轨迹的长度为 B．与不可能垂直 C．直线与平面所成角正弦值的最小值为 D．当三棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为 【答案】ACD 【分析】对A，由平面，联想到存在一个过的平面与平面平行，利用正方体特征找到平面平面，进而得到的轨迹为线段；对B，举反例即可；对C，由可得到使线面角取到最小时的点的位置， 此时再建系，利用线面角的坐标公式计算即可；对D，利用，可得到使三棱锥的体积取到最大值的点的位置，接下来用定心法求出外接球半径即可. 【详解】对A，如图，取中点为，中点为，连接， 又正方体中，为棱的中点，可得， 又平面，平面， 平面； 又中点为，中点为， ，又平面，平面， 平面； 又， 且平面， 平面平面， 又平面，且平面，平面， 又为正方形内一个动点（包括边界）， 平面平面，而平面平面， ，即的轨迹为线段. 由棱长为2的正方体得线段的长度为，故选项A正确； 对B，由可知三角形为等腰三角形， 当为线段中点时，由可得， 又中点为，中点为，，而，，故选项B不正确； 对C，由选项B 知，，又面，面， 面，则上的点到平面的距离为定值，设到平面的距离为， 直线与平面所成角为，则，而为定值， 当最大时，最小；此时点位于点时，最大，最小. 分别以为建立空间直角坐标系，则由题意得，，，， 可得，，设平面的法向量， 则有，不妨令可得， 平面的一个法向量，又， 则，故选项C正确； 对D，由侧棱底面，所以三棱锥体积为， 所以最大时，体积最大，∵， 可得当在处时，三棱锥的体积最大， 由已知得此时， 所以在底面的射影为底面外心，，，， 由勾股定理易知底面为直角三角形，所以在底面的射影为中点，设为， 如图，设外接球半径为，由，， 可得外接球半径， 外接球的表面积为，故选项D正确． 故选：ACD 9．如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，，若异面直线和所成角的余弦值为，则的值为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求直线和的方向向量，由条件结合向量夹角公式列方程求. 【详解】以为坐标原点，以为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，正方体的棱长为，则， ， . ， 解得（舍去）. 故答案为：. 10．如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为上的一动点（含端点），当直线与平面所成角取得最大值时，的长度为 . 【答案】1 【分析】先建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，进而得到向量坐标；然后设出平面的法向量，根据法向量与平面内向量的关系求出法向量；再利用向量的夹角公式表示出直线与平面所成角的正弦值，最后通过分析正弦值取最大值时的情况，求出的长度. 【详解】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 已知正方体棱长为，则，，.因为为线段的中点，可得.设，. 可得：；； . 设平面的法向量, 因为法向量与平面内的向量垂直，则且. 由，即；由，令，则，，所以. 设直线与平面所成角为，根据直线与平面所成角的向量公式. ； ；. 则，因为，所以. 令（），则. . 两边平方得， 令（），则. 对于二次函数，其对称轴为，开口向上， 在时取得最小值.此时，. 则，， 可得. 故答案为：1. 11．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，，，，E为线段PD的中点. (1)证明：直线平面ACE； (2)求直线PC与平面ACE所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接BD交AC于点H，证明，由线线平行即可证明线面平行； （2）先证明平面，建系后，求出相关点和向量的坐标，利用线面角的向量求法计算即得. 【详解】（1） 如图，连接BD交AC于点H，连接HE， 因四边形ABCD是正方形，则H是BD的中点， 又因E为线段PD的中点，可得， 由于平面ACE，平面ACE， 所以直线平面ACE； （2） 因为底面ABCD是边长为1的正方形，所以， 又因为，，且AD、平面， 所以平面， 因为，故可分别以AD，AP，AB为轴的正方向建立空间直角坐标系； 又底面ABCD为边长为1的正方形，， 则，，，，， 则，，， 设平面ACE的一个法向量为， 则， 令，则， 设直线PC与平面ACE所成角为， 则，因， 所以， 即直线PC与平面ACE所成角的余弦值为. 12．如图所示，圆锥的底面半径为4，高为4，线段为圆锥底面的直径，点在线段上，且，点是以为直径的圆上一动点. (1)当时，证明:平面平面； (2)当三棱锥的体积最大时，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由垂直于圆锥的底面，所以，再由，得到，利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而证得平面平面. （2）当三棱锥的体积最大时，得到为弧的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）因为垂直于圆锥的底面，所以， 当时，，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）当三棱锥的体积最大时，只需的面积最大，此时为弧的中点，如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系， 因为，所以， 则， 设平面的法向量为，则， 取，得，所以， 设与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角正弦值为. 13．如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，二面角的大小为． (1)求线段的长． (2)若，且，则在线段上是否存在点，使得直线BE与平面PDC所成的角的正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一，取底边中点证明两个垂直，即可得二面角的平面角，从而利用余弦定理可求线段的长； （2）利用勾股定理证明线线垂直，可建立以为坐标原点的空间直角坐标系，借助空间向量运算可求解线面角，最后可判断存在性，并求出的长. 【详解】（1）如图，取的中点为，连接． ∵四边形是平行四边形，． ． 又． 为二面角的平面角，即． 在中，由余弦定理得． 又平面平面． 平面， ． （2）由（1）知． 同理， 又两两垂直． 以为坐标原点，直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则． 假设在线段上存在点满足题意，不妨设， 则． 设平面PDC的法向量为，则 令，则． 设直线BE与平面PDC所成的角为， 则， 解得，此时， 存在点满足题意，且． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$