第一章 空间向量与立体几何（高效培优单元测试·强化卷）数学人教B版2019选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．点在空间直角坐标系中的（    ） A．轴上 B．平面上 C．平面上 D．第一象限内 【答案】B 【分析】根据坐标平面和坐标轴上点的坐标特点即可判断. 【详解】因为点的竖坐标为0，所以该点在平面上. 故选：B. 2．已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 【答案】A 【分析】得出，即可判断. 【详解】由题意得，，则，则. 故选：A 3．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】通过，列出等式求解即可. 【详解】由题意可知，，所以， 解得，所以. 故选：A. 4．已知四面体，M、N分别是的中点，且，用表示（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算，结合图形可得. 【详解】因为M、N分别是的中点，所以， 所以. 故选：D 5．已知向量，，，当时，向量在向量上的投影的数量为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由向量数量积的几何意义即可求. 【详解】向量，，， 所以，解得，所以，， 所以向量在向量上的投影的数量为. 故选：B. 6．在平行六面体中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量线性运算，可得，利用数量积运算性质即可得出． 【详解】， 又，，，， ， ； 故选：A 7．中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法求解即可. 【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接、、， 以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则、、、， 所以，，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：A. 8．如图，已知正方体的棱长为为上三等分点且靠近点，在侧面内作边长为1的正方形，是侧面内一动点，且点到平面的距离与线段PF的长度相等．则当点运动时，的最小值是（   ） A．12 B．13 C．14 D．17 【答案】B 【分析】构建合适空间直角坐标系，过作，垂足为，设且，利用得，再应用空间两点的距离求法求的最小值. 【详解】建立空间直角坐标系，如图所示，过作，垂足为， 设，则，，且， 由，即，化简得， ， 所以当时，取最小值13． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点，，则（   ） A．为 B．线段的中点坐标为 C．点B到x轴的距离为5 D．直线的一个方向向量为 【答案】ABC 【分析】根据向量模的坐标表示即可判断A；根据中点坐标公式即可判断B；根据空间点到坐标轴距离公式即可判断C，根据向量共线的坐标表示即可判断D。 【详解】对A，由题意得，则，故A正确； 对B，线段的中点坐标为，即，故B正确； 对C，点B到x轴的距离为，故C正确； 对D，因为，且，则与向量不共线，故D错误. 故选：ABC. 10．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AD 【分析】根据空间共面向量定理和空间向量基底的定义逐一验证即可. 【详解】对于A：设，则，由无解， 故不存在，使得，所以，，不共面，故A正确； 对于B：，所以，，共面，故B错误； 对于C：，所以，，共面，故C错误； 对于D：设，则，由无解， 故不存在，使得，所以，，不共面，故D正确. 故选：AD. 11．如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上（含端点）运动，下列选项中正确的有（    ） A．线段长度的最大值是 B．点P到平面的距离是定值 C．直线与BD所成角的最小值是 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，设，且，利用空间两点间的距离通过求函数最大值即可判断A；由∥平面得到点P到平面的距离即为点到平面的距离，并通过等体积法求得距离可判断B；利用空间向量表示线线角、线面角并利用函数单调性求得最值或范围，从而判断CD. 【详解】如图，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 设，且. 对于A，， 当时，.故A正确； 对于B，正方体中，∥，平面，平面， 所以∥平面，因为，所以点P到平面的距离是等于点到平面的距离, 设到平面的距离为，由得，，得，故B不正确； 设，且. 对于C，，， 设直线与BD的所成角为， 则 令，则， 函数，在上单调递减，在上单调递增，所以 ，所以，故C正确； 对于D，设平面的法向量，则 取，得， 所以直线与平面所成角的正弦值为： 因为在上单调递增 ，故D正确 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．向量 且 ，则实数 . 【答案】/ 【分析】利用向量的坐标运算，再结合向量平行列式计算，即可求解. 【详解】，， 因为，所以， 即， 有， 故实数 . 故答案为： 13．在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则 ． 【答案】-1 【分析】表达出，，，根据四点共面得到，列出方程，求出答案. 【详解】依题意，得，，． 若四点共面，则，即， 所以，所以． 故答案为：-1 14．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，则当的长最小时，平面与平面夹角的余弦值为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，运用两点间的距离公式可求得，借助二次函数，求出最小时对应的的值，然后找出二面角的平面角,借助向量夹角公式计算求解即可. 【详解】以原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，由， 得，则， 当时，取得最小值，此时，为中点，， 取的中点，连接，则， 由，，得，， 所以是平面与平面的夹角或其补角， 而，， 因此， 所以平面与平面夹角的余弦值是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先求出，两边平方得到，求出的长； （2），平方，进而求出，，利用空间向量夹角公式得到. 【详解】（1）记，，， 则，， ∴，， ， ∴，即的长为； （2），故， 故， 由（1）知，， 故 ， ∴． 16．如图，在正三棱柱中，，为的中点． (1)求点到直线的距离； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点，连接，即可证明平面，建立空间直角坐标，利用空间向量法求出点到直线的距离； （2）求出直线与的方向向量，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）取的中点，连接，因为三棱柱为正三棱柱， 所以为正三角形，所以, 又平面，平面，所以平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 以为坐标原点，直线，分别为，轴，在面内过作的平行线作为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，， 所以，， ， 则点到直线的距离. （2）因为，． 所以． 所以异面直线与BD所成角的余弦值为． 17．如图，在三棱锥中，，，，点E为的中点. (1)求证：； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）取中点，由题意可证，，进而可证平面，再由线面垂直的性质定理可证； （2）建立空间直角坐标系，分别求出直线AC的方向向量与平面BCE的法向量，利用空间向量求线面角即可. 【详解】（1）取中点，连接，则， 因为，所以， 因为为中点，所以， 因为平面，所以平面， 又平面，所以． （2）因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 又平面，所以， 由（1）知，所以两两垂直． 以点为坐标原点，直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的一个法向量，则有，即， 令，则，，所以． 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18．如图，在五边形ABCDE中，四边形ABCD是正方形，是以AD为底边的等腰三角形，，，以AD为折痕，把折起，使点E到达点F的位置，得到四棱锥． (1)当时，求四棱锥外接球的表面积． (2)当时， ①求的面积； ②求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)①6；② 【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合及，利用数量积的坐标运算及模的坐标运算求出，设四棱锥外接球的球心，半径为，利用，解得，代入球的表面积公式即可的解． （2）①结合及，利用数量积的坐标运算及模的坐标运算求出，利用向量法求得，利用同角三角函数基本关系求得，利用模的坐标运算得，代入三角形面积公式求解即可； ②分别求出平面FAD与平面FAC的法向量，利用向量法求出平面夹角的余弦值. 【详解】（1）以A为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，垂直于ABCD为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 设，则，， 因为，所以，解得， 又，所以， 又，所以， 解得，则， 设四棱锥外接球的球心，半径为， 则，解得， 所以四棱锥外接球的表面积为． （2）①由（1）知，，， 则，解得, 又，， 因为， 所以，所以，即， 所以，，则， 所以， 所以， 所以的面积为； ②设平面的法向量为，，， 则，即，令，则． 设平面的法向量为，，， 则，即，令，则． 所以，故平面与平面夹角的余弦值为． 19．如果与是不共面的向量，那么对于空间中任意一个向量，存在唯一的一组实数与，使得，其中的称为向量的一个基，系数称为向量在基下的坐标.已知分别是空间中两两互相垂直的单位向量，向量在基下的坐标为.且是空间中的另一个基. (1)求向量在基下的坐标； (2)若向量在基下的坐标为，向量与共线，且. ①求向量在基下的坐标； ②若向量在基下的坐标为，且与的夹角为锐角，将的起点平移至同一点后，以为邻边的三角形区域绕旋转一周得到旋转体，求的体积. 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】（1）向量在基下的坐标为，再根据向量的线性运算可求； （2）①根据向量的线性运算，先求在基下的坐标，设，再利用向量模长的坐标表示求得，即可得到向量在基下的坐标；②由题知旋转体是两个同底的圆锥，然后根据圆锥体积计算公式求解即可. 【详解】（1）设向量在基下的坐标为， 则 因为 可得方程组，解得 所以向量在基下的坐标为. （2）①向量在基下的坐标为， 即 则. 因为向量与共线，可设， 解得， 所以在基下的坐标为或. ②， 因为与的夹角为锐角，从而，所以， 在上的投影大小为 以、为邻边的三角形区域以为轴旋转一周得到的旋转体是两个同底的圆锥， 该圆锥的半径， 两个圆锥高值和为， 所以旋转体的体积为 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．点在空间直角坐标系中的（    ） A．轴上 B．平面上 C．平面上 D．第一象限内 2．已知平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（    ） A． B． C． D．与相交但不垂直 3．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A．2 B．1 C． D． 4．已知四面体，M、N分别是的中点，且，用表示（   ） A． B． C． D． 5．已知向量，，，当时，向量在向量上的投影的数量为（    ） A． B． C．3 D． 6．在平行六面体中，，，，则（   ） A． B． C． D． 7．中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知正方体的棱长为为上三等分点且靠近点，在侧面内作边长为1的正方形，是侧面内一动点，且点到平面的距离与线段PF的长度相等．则当点运动时，的最小值是（   ） A．12 B．13 C．14 D．17 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点，，则（   ） A．为 B．线段的中点坐标为 C．点B到x轴的距离为5 D．直线的一个方向向量为 10．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 11．如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上（含端点）运动，下列选项中正确的有（    ） A．线段长度的最大值是 B．点P到平面的距离是定值 C．直线与BD所成角的最小值是 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．向量 且 ，则实数 . 13．在空间直角坐标系中，若，，，四点共面，则 ． 14．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，则当的长最小时，平面与平面夹角的余弦值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 16．如图，在正三棱柱中，，为的中点． (1)求点到直线的距离； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 17．如图，在三棱锥中，，，，点E为的中点. (1)求证：； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 18．如图，在五边形ABCDE中，四边形ABCD是正方形，是以AD为底边的等腰三角形，，，以AD为折痕，把折起，使点E到达点F的位置，得到四棱锥． (1)当时，求四棱锥外接球的表面积． (2)当时， ①求的面积； ②求平面与平面夹角的余弦值． 19．如果与是不共面的向量，那么对于空间中任意一个向量，存在唯一的一组实数与，使得，其中的称为向量的一个基，系数称为向量在基下的坐标.已知分别是空间中两两互相垂直的单位向量，向量在基下的坐标为.且是空间中的另一个基. (1)求向量在基下的坐标； (2)若向量在基下的坐标为，向量与共线，且. ①求向量在基下的坐标； ②若向量在基下的坐标为，且与的夹角为锐角，将的起点平移至同一点后，以为邻边的三角形区域绕旋转一周得到旋转体，求的体积. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$