精品解析：贵州省黔东南苗族侗族自治州从江县下江中学2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

从江县下江中学2024-2025学年度第二学期期中质量监测 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE＝14m，则A、B间的距离是（）． A. 18m B. 24m C. 28m D. 30m 4. 下列线段组成的三角形中，能构成直角三角形的是（　　） A. ，， B. 13，14，15 C. a＝，b＝1，c＝ D. ，， 5. 下列各式，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若平行四边形中两个内角的度数比为 ，则其中较小的内角是（ ） A. B. C. D. 7. 已知的三边长分别是、、，则的面积是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形ABCD的对角线为AC、BD，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（ ） A. BA=BC B. AC、BD互相平分 C. AC⊥BD D. AB∥CD 9. 如图，是一扇高为，宽为的门框，李师傅有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长，宽；②号木板长，宽；③号木板长，宽，可以从这扇门通过的木板是（ ） A. ①号 B. ②号 C. ③号 D. 均不能通过 10. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24cm，△OAB的周长是18cm，则EF的长是( )    A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm 11. 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积S=．这个公式称为海伦-秦九韶公式，在中，，，，则的面积是（ ） A. 12 B. C. 24 D. 12. 在正方形ABCD中，P为AB的中点，BE⊥PD的延长线于点E，连接AE、BE、FA⊥AE交DP于点F，连接BF，FC．下列结论：①△ABE≌△ADF；②FB＝AB；③CF⊥DP；④FC＝EF，其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 计算：______． 14. 如图，菱形ABCD中，AC＝2，BD＝5，P是AC上一动点（P不与A、C重合），交AB于E，交AD于F，则图中阴影部分的面积为_______． 15. （如图）一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm，高是5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_______cm． 16. 观察下列各式：，，请你找出其中规律，并将第个等式写出来______． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2） 18. （1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，，求的值． 19. 在中，． （1）若，，则______； （2）已知，，求、的值． 20. 求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形．要求：画出图形，写出已知和求证，并证明． 21. 如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，求的度数． 22. 如图，在离水面高度为6米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长度为的3倍． （1）求此时船离岸边的长；（结果保留根号） （2）若此人以米/秒的速度收绳，12秒后船移动到点的位置，则船向岸边移动了大约多少米？（假设绳子是直的，结果精确到米，参考数据：，） 23. 如图，已知在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC，交AE于G，且DF＝AD． （1）若∠C＝60°，AB＝2，求EC的长； （2）求证：CD＝DG+FC． 24. 如图，距沿海某城市A正南220千米的B处，有一台风中心，其最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就减弱1级，该中心正以每小时15千米的速度沿北偏东30°的BC方向移动，且风力不变，若城市A所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响． （1）A城市是否会受台风影响？为什么？ （2）若会，将持续多长时间？ （3）该城市受台风影响的最大风力为几级？ 25. （8分）【问题情境】 如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM． 【探究展示】（1）证明：AM=AD+MC； 【拓展延伸】（2）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）中的结论是否成立？请作出判断，不需要证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 从江县下江中学2024-2025学年度第二学期期中质量监测 八年级数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，即①被开方数不含能开方的因数，②分母不含根号，熟练掌握最简二次根式的定义是解题关键． 根据最简二次根式的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，此选项不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，此选项不是最简二次根式，不符合题意； D、，此选项不是最简二次根式，不符合题意． 故选：B． 2. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于零是解题的关键．根据二次根式有意义的条件列出不等式解答即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， ． ． 故选：D． 3. 如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE＝14m，则A、B间的距离是（）． A. 18m B. 24m C. 28m D. 30m 【答案】C 【解析】 【详解】解：连接AB，根据中点可得DE为△OAB的中位线， 则AB=2DE=28米． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形中位线的定义和性质． 4. 下列线段组成的三角形中，能构成直角三角形的是（　　） A. ，， B. 13，14，15 C. a＝，b＝1，c＝ D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条线段是否可以构成直角三角形，本题得以解决． 【详解】解：，故选项A中的线段不等构成直角三角形； ，故选项B中的线段不等构成直角三角形； ，故选项C中的线段可以构成直角三角形； ，故选项D中的线段不可以构成直角三角形； 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答． 5. 下列各式，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算法则，熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则是解题关键． 根据二次根式的加、减、乘、除运算法则进行计算，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，此选项计算错误，不符合题意； B、，此选项计算正确，符合题意； C、，此选项计算错误，不符合题意； D、，此选项计算错误，不符合题意． 故选：B． 6. 若平行四边形中两个内角的度数比为 ，则其中较小的内角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，如图所示，四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴较小的内角为，   故选： ． 7. 已知的三边长分别是、、，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，直角三角形面积的计算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． 根据勾股定理的逆定理判定为直角三角形，利用三角形面积等于两条直角边的积的一半即可求解． 【详解】解：， 是直角三角形， ， 的面积为． 故选：A． 8. 如图，四边形ABCD的对角线为AC、BD，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（ ） A. BA=BC B. AC、BD互相平分 C. AC⊥BD D. AB∥CD 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的判定方法解答． 【详解】解：能判定四边形ABCD是矩形的条件为AC、BD互相平分． 理由如下：∵AC、BD互相平分， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC=BD， ∴▱ABCD是矩形． 其它三个条件再加上AC=BD均不能判定四边形ABCD是矩形． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的判定定理． 9. 如图，是一扇高为，宽为的门框，李师傅有3块薄木板，尺寸如下：①号木板长，宽；②号木板长，宽；③号木板长，宽，可以从这扇门通过的木板是（ ） A. ①号 B. ②号 C. ③号 D. 均不能通过 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理，先计算出能通过的最大长度，然后和题中数据相比较即可． 【详解】解：∵， ∴木板的长和宽中必须有一个数据小于5米． ∴选③号木板． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练运用勾股定理计算长方形中的最大线段的长度，即对角线的长度是解题的关键． 10. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24cm，△OAB的周长是18cm，则EF的长是( )    A. 3cm B. 6cm C. 9cm D. 12cm 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可知OA=AC，OB=BD，结合AC+BD=24cm，△OAB的周长是18cm，求出AB的长，利用三角形中位线定理求出EF的长． 【详解】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O， ∴点O是AC、BD的中点， ∵AC+BD=24cm， ∴OB+OA=（AC+BD）=12cm， ∵△OAB的周长是18cm， ∴AB=18-12=6cm， ∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点， ∴EF=AB=3cm， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理以及平行四边形的性质的知识，解答本题的关键是求出AB的长，此题难度不大． 11. 如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积S=．这个公式称为海伦-秦九韶公式，在中，，，，则的面积是（ ） A. 12 B. C. 24 D. 【答案】B 【解析】 【分析】代入公式，进行二次根式的化简即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，练掌握二次根式的性质是解题的关键． 12. 在正方形ABCD中，P为AB的中点，BE⊥PD的延长线于点E，连接AE、BE、FA⊥AE交DP于点F，连接BF，FC．下列结论：①△ABE≌△ADF；②FB＝AB；③CF⊥DP；④FC＝EF，其中正确的是（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ①②③ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知和正方形的性质推出∠EAB＝∠DAF，∠EBA＝∠ADP，AB＝AD，证△ABE≌△ADF即可；取EF的中点M，连接AM，推出AM＝MF＝EM＝DF，证∠AMB＝∠FMB，BM＝BM，AM＝MF，推出△ABM≌△FBM即可；求出∠FDC＝∠EBF，推出△BEF≌△DFC即可． 【详解】解：∵正方形ABCD，BE⊥ED，EA⊥FA， ∴AB＝AD＝CD＝BC，∠BAD＝∠EAF＝90°＝∠BEF， ∵∠APD＝∠EPB， ∴∠EAB＝∠DAF，∠EBA＝∠ADP， ∵AB＝AD， ∴△ABE≌△ADF，∴①正确； ∴AE＝AF，BE＝DF， ∴∠AEF＝∠AFE＝45°， 取EF的中点M，连接AM， ∴AM⊥EF，AM＝EM＝FM， ∴BE∥AM， ∵AP＝BP， ∴AM＝BE＝DF， ∴∠EMB＝∠EBM＝45°， ∴∠AMB＝90°+45°＝135°＝∠FMB， ∵BM＝BM，AM＝MF， ∴△ABM≌△FBM， ∴AB＝BF，∴②正确； ∴∠BAM＝∠BFM， ∵∠BEF＝90°，AM⊥EF， ∴∠BAM+∠APM＝90°，∠EBF+∠EFB＝90°， ∴∠APF＝∠EBF， ∵AB∥CD， ∴∠APD＝∠FDC， ∴∠EBF＝∠FDC， ∵BE＝DF，BF＝CD， ∴△BEF≌△DFC， ∴CF＝EF，∠DFC＝∠FEB＝90°， ∴③正确；④正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查对正方形的性质，等腰直角三角形，直角三角形斜边上的中线性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式即可求解． 【详解】解：； 故答案为：1． 14. 如图，菱形ABCD中，AC＝2，BD＝5，P是AC上一动点（P不与A、C重合），交AB于E，交AD于F，则图中阴影部分的面积为_______． 【答案】2.5## 【解析】 【分析】设AP、EF交于点M，AC、BD交于点O，利用菱形的性质得出△ABC的面积是2.5，根据平行四边形的判定和性质得出阴影部分的面积等于△ABC的面积即可求解． 【详解】解：设AP、EF交于点M，AC、BD交于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BO＝OD＝BD＝2.5， ∴△ABC的面积是×AC×BO＝2.5， ∵ADBC，ABDC， 又∵PEBC，PFCD， ∴PFAB，PEAD， ∴四边形AEPF是平行四边形， ∴△AEM的面积和△PMF的面积相等， ∴阴影部分的面积等于△ABC的面积是2.5． 故答案为：2.5． 【点睛】题目主要考查菱形的性质及平行四边形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用这些性质定理是解题关键． 15. （如图）一只蚂蚁从长为4cm、宽为3cm，高是5cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_______cm． 【答案】 【解析】 【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短，再由勾股定理求解即可． 【详解】 解：将长方体展开，如图1所示，连接A、B，根据两点之间线段最短， AB=cm； 如图2所示，AB=cm， 如图3所示，AB= cm， ∵ ∴蚂蚁所行的最短路线为cm． 故答案为 【点评】本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可． 16. 观察下列各式：，，请你找出其中规律，并将第个等式写出来______． 【答案】（，且n取整数） 【解析】 【详解】解：∵； ； … ∴第个等式为（，且n取整数）． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则并正确计算是解题的关键； （1）分别化简各二次根式，再进行同类二次根式的合并即可； （2）利用平方差公式即可求解． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. （1）先化简，再求值：，其中． （2）已知，，求的值． 【答案】（1），（2）15 【解析】 【分析】本题主要考查整式的变形和二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式和平方差公式及二次根式的性质是解题的关键． （1）同类项，再把字母的值代入，进行根式的混合运即可； （2）分别求出的值，再利用完全平方公式把原式表示为关于的代数式，最后整体代入即可． 【详解】（1）解：原式 ； 当时， 原式 ． （2）解：，， ，， ． 19. 在中，． （1）若，，则______； （2）已知，，求、的值． 【答案】（1）12 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉定理的内容并灵活运用是关键． （1）已知直角三角形中的斜边与一条直角边，求另一条直角边，利用勾股定理即可求解； （2）由题意设，，由勾股定理建立方程，利用平方根的定义求出x即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴； 故答案为：12； 【小问2详解】 解：， 设，． 又，， ， 即， （舍去负值） ，． 20. 求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形．要求：画出图形，写出已知和求证，并证明． 【答案】 已知：如图，四边形中，，， 求证：四边形 是平行四边形． 证明：在 和中， ， ， ， ， 同理可证 ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】分析可知，题设为：对角线互相平分的四边形；结论是四边形是平行四边形，由此写出已知、求证，并画出图形，只要证明，即可． 【详解】略． 【点睛】本题考查了文字证明题的证明，涉及了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 21. 如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键； （1）由，可得四边形是平行四边形，再由即可得四边形是矩形； （2）由题意求得，由矩形的性质得是等边三角形，由等边三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ． 又矩形中，， ∴是等边三角形， ． 22. 如图，在离水面高度为6米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长度为的3倍． （1）求此时船离岸边的长；（结果保留根号） （2）若此人以米/秒的速度收绳，12秒后船移动到点的位置，则船向岸边移动了大约多少米？（假设绳子是直的，结果精确到米，参考数据：，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用， （1）根据勾股定理即可得出的长； （2）根据收绳的速度与时间得出收起绳的长度，即可得出的长，再根据勾股定理求出的长即可得出结果． 熟记勾股定理是解题的关键． 【小问1详解】 开始时绳子的长度为的3倍． 米， （米； 【小问2详解】 如图，连接， 此人以0.5米秒的速度收绳，12秒后船移动到点的位置． 船移动到点的位置时绳长（米， （米， 船向岸边移动的距离为（米， 答：船向岸边移动了大约6.5米． 23. 如图，已知在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC，交AE于G，且DF＝AD． （1）若∠C＝60°，AB＝2，求EC的长； （2）求证：CD＝DG+FC． 【答案】（1）EC＝2﹣； （2）证明：延长至，使， 在和中 ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ，即， ， ． 【解析】 【分析】（1）先由∠C＝60°，在Rt△DFC中，求得，由平分，则；由，则，从而有，得出，再根据即可求得； （2）延长至，使．连接构造全等三角形，再证等腰三角形即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ∴∠FDC=30°，； 又∵在中，， ∴，， ． ， ，平分， ， ． （2）略 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判断．解题关键是由补短法构造，再证明线段相等． 24. 如图，距沿海某城市A正南220千米的B处，有一台风中心，其最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就减弱1级，该中心正以每小时15千米的速度沿北偏东30°的BC方向移动，且风力不变，若城市A所受风力达到或超过4级，则称为受台风影响． （1）A城市是否会受台风影响？为什么？ （2）若会，将持续多长时间？ （3）该城市受台风影响的最大风力为几级？ 【答案】(1)会受到影响，距台风中心160千米就会受到影响．而A城到台风路线BC距离为110千米； (2) 持续4小时； (3)最大风力6.5级． 【解析】 【分析】（1）求是否会受到台风的影响，就是求A到BC的距离是否大于台风影响范围的半径，如果大于，则不受影响，反之则受影响．如果过A作AD⊥BC于D，AD就是所求的线段，直角三角形ABD中，有∠ABD的度数，有AB的长，AD就不难求出了，因此可以求出答案． （2）受台风影响时，台风中心移动的距离，应该是A为圆心，台风影响范围的半径为半径，所得圆截得的BC上的线段的长即EF得长，可通过在直角三角形AED和AFD中，根据勾股定理求得，有了路程，有了速度，即可求出时间． （3）风力最大时，台风中心应该位于D点，然后根据题目给出的条件判断出时几级风． 【详解】解：(1) 该城市会受到这次台风的影响． 理由是：如图，过A作AD⊥BC于D． 在Rt△ABD中， ∵∠ABD=30°，AB=220， ∴， ∵城市受到的风力达到或超过四级，则称受台风影响， ∴受台风影响范围的半径为20×（12-4）=160． ∵110＜160， ∴该城市会受到这次台风的影响． (2) 如上图，以A为圆心，160为半径作⊙A交BC于E、F， 则AE=AF=160， ∴台风影响该市持续的路程为：， ∴台风影响该市的持续时间为：t=÷15=4 (3)∵AD距台风中心最近， ∴该城市受到这次台风最大风力为：12-（110÷20）=12-5.5=6.5（级）， 故最大风力6.5级． 【点睛】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，使问题解决． 25. （8分）【问题情境】 如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM． 【探究展示】（1）证明：AM=AD+MC； 【拓展延伸】（2）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）中的结论是否成立？请作出判断，不需要证明． 【答案】 （1）证明：延长AE、BC交于点N，如图1， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC． ∴∠DAE=∠ENC． ∵AE平分∠DAM， ∴∠DAE=∠MAE． ∴∠ENC=∠MAE． ∴MA=MN． ∴△ADE≌△NCE（AAS） ∴AD=NC． ∴MA=MN=NC+MC=AD+MC． （2）仍然成立． 【解析】 【详解】整体分析： （1）延长AE、BC交于点N，由△ADE≌△NCE，证AD=NC，由角平分线，平行线得MA=MN；（2）与（1）的方法类似. （1）略 （2）①结论AM=AD+MC仍然成立． 证明：延长AE、BC交于点P，如图2， ∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC．∴∠DAE=∠EPC． ∵AE平分∠DAM，∴∠DAE=∠MAE． ∴∠EPC=∠MAE．∴MA=MP． ∴△ADE≌△PCE（AAS）． ∴AD=PC．∴MA=MP=PC+MC=AD+MC． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $