山东省平邑第一中学2024-2025学年高二下学期期末数学考前热身试题

2025年平邑一中高二（下）考前热身（解析版） 一．选择题（共8小题） 1．设集合，，若只含一个元素，则　　 A． B． C． D． 2．已知，，且，则当取得最小值时，　　 A． B． C． D．1 3．已知函数的图像如图所示，则不等式的解集为　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 4．某位同学用一根直径，长度，粗细均匀的圆木棒做接力棒，先按长度将其划分成每段为的三个区域，再将每个区域漆上一种颜色，要求相邻区域的颜色不能相同，现有红、黄、蓝三种颜色的油漆可以选取，则漆出的外观有　　种可能． A．18 B．15 C．12 D．9 5．除以64的余数为　　 A．13 B．33 C．23 D．31 6．在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．已知在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为，某天在嘈杂环境下进行了10次测试试验，若测试结果为语音识别成功，则记2分，否则记分，且每次测试成功与否相互独立．记这10次测试试验的总得分为，则当取得最大值时，实数的值为　　 A． B． C． D． 7．已知变量，线性相关，其一组样本数据，，2，3，4，，满足，用最小二乘法得到的线性回归方程是．现增加一个数据，重新计算得到的回归直线斜率是1.1，时，的估计值是　　 A．3 B．3.2 C．3.4 D．3.6 8．已知定义在上的偶函数满足，记，，，当时，．记关于的方程在上有两个不相等的实数根，则　　 A．， B．， C．， D．， 二．多选题（共3小题） 9．关于（1﹣2x）2021＝a0+a1•x+a2•x2+…+a2021•x2021（x∈R），则（　　） A．a0＝1 B．a1+a2+a3+…+a2021＝32021 C．a3＝8 D．a1﹣a2+a3﹣a4+…+a2021＝1﹣32021 10．下列说法正确的是　　 A．已知一组数据为，1，2，4，3，5，10，9，若为这组数据的上四分位数，则的展开式中的系数为 B．数据，，2，3，，组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点 C．若随机变量，则函数为偶函数 D．在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的9倍，其中 11．有三个相同的箱子，分别编号1，2，3，其中1号箱内装有1个红球、4个白球，2号箱内装有2个红球、3个白球，3号箱内装有3个红球，这些球除颜色外完全相同．某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱，2，”，事件表示“摸到红球”，事件表示“摸到白球”，则　　 A． B． C． D． 三．填空题（共3小题） 12．投掷一枚质地均匀的硬币，若出现连续三次正面朝上的情况，则停止投掷，那么投掷总次数的数学期望为 　　 13．已知定义在上的函数满足（4），对任意的，，且，恒成立，则不等式的解集为 　　 ． 14．2025年五四青年节，某高中学校为了表彰工作认真负责，业务能力强的优秀团员干部，学校给高中三个年级共分配9个优秀团员干部名额，每个年级至少一个名额．从所有可能的分配方案中随机选择一种，用表示这三个年级中分配的最少名额数，则的数学期望　　 ． 四．解答题（共5小题） 15．已知． （1）求的值； （2）求的值． 16．某校高二年级为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下： 语文成绩 合计 优秀 不优秀 数学成绩 优秀 50 30 80 不优秀 40 80 120 合计 90 110 200 （1）根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ （2）现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”， 表示“选到的学生数学成绩不优秀”．请利用样本数据，估计的值． 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 17．某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足：为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2004年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）． （1）将该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； （2）该厂家促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 18．已知函数． （1）求的定义域； （2）解关于的方程； （3）若函数的图象关于直线对称，求实数，的值． 19．已知函数，且曲线在点，（1）处的切线经过坐标原点． （1）求的值． （2）当时，求的单调区间． （3）设为的导函数，若存在两个不同的正数，，同时满足，，证明：． 一．选择题（共8小题） 1．设集合，，若只含一个元素，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：因为集合表示直线以及上侧所有点，表示圆心为，半径为1的圆上所有的点， 又只含一个元素， 所以． 故选：． 2．已知，，且，则当取得最小值时，　　 A． B． C． D．1 【答案】 【解答】因为，， 所以， 所以当且仅当时， 可得时，取得最小值， 所以． 故选：． 3．已知函数的图像如图所示，则不等式的解集为　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】 【解答】解：根据题意，由函数的图象，在区间上，为减函数，必有， 在区间上，为减函数，必有， 在区间上，为减函数，必有， 在区间上，为增函数，必有， 若，即或，必有或， 即不等式的解集为，，． 故选：． 4．某位同学用一根直径，长度，粗细均匀的圆木棒做接力棒，先按长度将其划分成每段为的三个区域，再将每个区域漆上一种颜色，要求相邻区域的颜色不能相同，现有红、黄、蓝三种颜色的油漆可以选取，则漆出的外观有　　种可能． A．18 B．15 C．12 D．9 【答案】 【解答】解：因为有红、黄、蓝三种颜色的油漆可以选取，相邻区域的颜色不能相同， 故第一段有3种颜色可选； 第二段需与第一段不同，有2种选择； 第三段需与第二段不同，有2种选择． 总方案数为种． 故选：． 5．除以64的余数为　　 A．13 B．33 C．23 D．31 【答案】 【解答】解：因为 ， 所以所求余数即为801除以64的余数． 因为，所以除以64的余数为33． 故选：． 6．在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．已知在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为，某天在嘈杂环境下进行了10次测试试验，若测试结果为语音识别成功，则记2分，否则记分，且每次测试成功与否相互独立．记这10次测试试验的总得分为，则当取得最大值时，实数的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：设为测试成功的次数，则，有，． ， 因此，， 因此，其中， 综上所述当且仅当时，有最大值． 故选：． 7．已知变量，线性相关，其一组样本数据，，2，3，4，，满足，用最小二乘法得到的线性回归方程是．现增加一个数据，重新计算得到的回归直线斜率是1.1，时，的估计值是　　 A．3 B．3.2 C．3.4 D．3.6 【答案】 【解答】解：根据题意可知，设，则， 增加数据后，，且回归直线为， 所以，得，则， 所以时，有． 故选：． 8．已知定义在上的偶函数满足，记，，，当时，．记关于的方程在上有两个不相等的实数根，则　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【解答】解：因为是上的偶函数，且， 所以， 即， 所以函数是周期函数，2为最小正周期， 又因为，，时，， 且关于的方程在，上有两个不相等的实数根， 作出函数在，上的图象，如图所示： 要使函数与函数在，上有两个不同交点， 则， 解得， 所以，． 故选：． 二．多选题（共3小题） 9．关于（1﹣2x）2021＝a0+a1•x+a2•x2+…+a2021•x2021（x∈R），则（　　） A．a0＝1 B．a1+a2+a3+…+a2021＝32021 C．a3＝8 D．a1﹣a2+a3﹣a4+…+a2021＝1﹣32021 【答案】AD 【解答】解：令x＝0，可得1＝a0，A正确； 令x＝1，可得﹣1＝a0+a1+a2+...+a2021， 则a1+a2+...+a2021＝﹣1﹣1＝﹣2，B错误； 令x＝﹣1，可得32021＝a0﹣a1+a2﹣...﹣a2021， 则﹣32021＝﹣a0+a1﹣a2+...+a2021， 即a1﹣a2+...+a2021＝﹣32021+1，D正确； a3＝（﹣2）2021≠8，C错误． 故选：AD． 10．下列说法正确的是　　 A．已知一组数据为，1，2，4，3，5，10，9，若为这组数据的上四分位数，则的展开式中的系数为 B．数据，，2，3，，组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点 C．若随机变量，则函数为偶函数 D．在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的9倍，其中 【答案】 【解答】解：对于，已知一组数据为，1，2，4，3，5，10，9， 将数据按照从小到大的顺序排序为，1，2，3，4，5，9，10， 因为上四分位数就是第75百分位数，所以，所以， 因为的二项展开式的通项为 令，解得，所以的展开式中的系数为， 故正确； 对于，因为回归直线方程为过样本的中心点， 所以， 所以去除一个异常点后，， 所以新的回归直线必过点，故正确； 对于，已知随机变量，则函数为偶函数， 所以其图象关于对称， 所以关于对称轴的对称点为，即， 关于对称轴的对称点为，即， 根据正态曲线的对称性可知 因为，所以， 所以，所以函数为偶函数，故正确； 对于，若每一个数据均变为原来的3倍，则 ， 所以变为原来的3倍，故错误． 故选：． 11．有三个相同的箱子，分别编号1，2，3，其中1号箱内装有1个红球、4个白球，2号箱内装有2个红球、3个白球，3号箱内装有3个红球，这些球除颜色外完全相同．某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱，2，”，事件表示“摸到红球”，事件表示“摸到白球”，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【解答】解：因为是等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球， 所以， ，，． 对于，因为，故正确； 对于，因为事件，事件相互对立， 所以，故错误； 对于，因为（B） ，故正确； 对于，因为，故正确． 故选：． 三．填空题（共3小题） 12．投掷一枚质地均匀的硬币，若出现连续三次正面朝上的情况，则停止投掷，那么投掷总次数的数学期望为 　 【答案】14． 【解答】解：设投掷总次数为，结果出现“正面朝上”记为成功，出现“反面朝上”记为失败， 先进行第一次投掷，若第一次失败，因为试验失败对出现连续三次成功毫无帮助， 可视作后续期望仍为，即投掷总次数为； 若第一次成功，则进行第二次投掷，当第二次试验失败时，后续期望仍为， 即投掷总次数为； 在第一次、第二次都成功的前提下进行第三次试验， 若成功则结束，此时试验次数为3，若失败则三次均无效，后续期望仍为， 则， 故． 故答案为：14． 13．已知定义在上的函数满足（4），对任意的，，且，恒成立，则不等式的解集为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：对任意的，，不妨设， 由， 得， 因为，且，所以，即， 设，则不等式化为， 所以在上单调递减． 由（4），得， 由，得，即， 即，得，解得， 所以原不等式的解集为． 故答案为：． 14．2025年五四青年节，某高中学校为了表彰工作认真负责，业务能力强的优秀团员干部，学校给高中三个年级共分配9个优秀团员干部名额，每个年级至少一个名额．从所有可能的分配方案中随机选择一种，用表示这三个年级中分配的最少名额数，则的数学期望　　 ． 【答案】． 【解答】解：若三个年级人数分别为，，，则，又每个年级至少一个名额， 用2个隔板插入8个空，则有种， 根据题目，，，则，2，3，且各年级人数为，，， 其中的情况有，3，一种情况，即， 的情况有，2，、，5，、，2，、，3，、，4，、，2，、，4，、，2，、，3，九种情况， 即， 所以， ． 故答案为：． 四．解答题（共5小题） 15．已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）1023； （2）3240． 【解答】解：（1）已知． ， 令可得 ． （2）的展开式通项为， 令， 可得， 由题意可知，为的展开式中的系数， 故． 16．某校高二年级为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下： 语文成绩 合计 优秀 不优秀 数学成绩 优秀 50 30 80 不优秀 40 80 120 合计 90 110 200 （1）根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ （2）现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”， 表示“选到的学生数学成绩不优秀”．请利用样本数据，估计的值． 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）认为数学成绩与语文成绩有关； （2）． 【解答】解：（1）零假设为：数学成绩与语文成绩无关， 由表中数据计算得， 根据的独立性检验，我们推断不成立，即认为数学成绩与语文成绩有关． （2）设事件 “选到的学生语文成绩不优秀”，事件 “选到的学生数学成绩不优秀”， 则有，， 所以， 故估计的值是． 17．某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足：为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2004年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）． （1）将该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； （2）该厂家促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【解答】解：（1）由题意知，当时，，，即，； 每件产品的销售价格为（万元）， 利润函数 ． （2）因为利润函数， 所以，当时，， ，当且仅当，即（万元）时，（万元）． 所以，该厂家2008年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元． 18．已知函数． （1）求的定义域； （2）解关于的方程； （3）若函数的图象关于直线对称，求实数，的值． 【答案】（1），，； （2）； （3），． 【解答】解：（1）由得或，所以的定义域为，，； （2）因为在和上单调递增， 又在定义域上单调递增，由复合函数的单调性知在和上为增函数， 所以，所以， 记结合指数函数的单调性可知为增函数， 又，所以； （3）由（1）可知，的定义域为，，， 因为函数的图象关于直线对称， 所以进一步根据， 得即； 则有，即．综上所述，，． 19．已知函数，且曲线在点，（1）处的切线经过坐标原点． （1）求的值． （2）当时，求的单调区间． （3）设为的导函数，若存在两个不同的正数，，同时满足，，证明：． 【答案】（1）； （2）的单调递增区间为，单调递减区间为； （3）证明见解析． 【解答】解：（1）函数， ， （1），又则（1）， 曲线在点，（1）处的切线方程为， 又切线经过坐标原点，，解得； （2）当时，由（1）可得， ， 令，， 当时，，当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 又， 当时，；当时，， 的单调递增区间为，单调递减区间为； （3）证明：由（1），， 令， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 存在两个不同的正数，，同时满足，， 可记，且，， 整理得， 令，，， ， 设， ， 设，， 设在上恒成立， 为上的减函数， 即为上的减函数， （1），为上的增函数， （1），又，在上恒成立， 在上恒成立，为上的减函数， 令在上恒成立， 在上单调递增，故（1）在上恒成立， 在上恒成立，在上恒成立， 在上恒成立， 即在上恒成立， ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年平邑一中高二（下）考前热身（原卷版） 一．选择题（共8小题） 1．设集合，，若只含一个元素，则　　 A． B． C． D． 2．已知，，且，则当取得最小值时，　　 A． B． C． D．1 3．已知函数的图像如图所示，则不等式的解集为　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 4．某位同学用一根直径，长度，粗细均匀的圆木棒做接力棒，先按长度将其划分成每段为的三个区域，再将每个区域漆上一种颜色，要求相邻区域的颜色不能相同，现有红、黄、蓝三种颜色的油漆可以选取，则漆出的外观有　　种可能． A．18 B．15 C．12 D．9 5．除以64的余数为　　 A．13 B．33 C．23 D．31 6．在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件（安静或嘈杂）的影响．已知在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为，某天在嘈杂环境下进行了10次测试试验，若测试结果为语音识别成功，则记2分，否则记分，且每次测试成功与否相互独立．记这10次测试试验的总得分为，则当取得最大值时，实数的值为　　 A． B． C． D． 7．已知变量，线性相关，其一组样本数据，，2，3，4，，满足，用最小二乘法得到的线性回归方程是．现增加一个数据，重新计算得到的回归直线斜率是1.1，时，的估计值是　　 A．3 B．3.2 C．3.4 D．3.6 8．已知定义在上的偶函数满足，记，，，当时，．记关于的方程在上有两个不相等的实数根，则　　 A．， B．， C．， D．， 二．多选题（共3小题） 9．关于（1﹣2x）2021＝a0+a1•x+a2•x2+…+a2021•x2021（x∈R），则（　　） A．a0＝1 B．a1+a2+a3+…+a2021＝32021 C．a3＝8 D．a1﹣a2+a3﹣a4+…+a2021＝1﹣32021 10．下列说法正确的是　　 A．已知一组数据为，1，2，4，3，5，10，9，若为这组数据的上四分位数，则的展开式中的系数为 B．数据，，2，3，，组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点 C．若随机变量，则函数为偶函数 D．在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的9倍，其中 11．有三个相同的箱子，分别编号1，2，3，其中1号箱内装有1个红球、4个白球，2号箱内装有2个红球、3个白球，3号箱内装有3个红球，这些球除颜色外完全相同．某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件表示“取到号箱，2，”，事件表示“摸到红球”，事件表示“摸到白球”，则　　 A． B． C． D． 三．填空题（共3小题） 12．投掷一枚质地均匀的硬币，若出现连续三次正面朝上的情况，则停止投掷，那么投掷总次数的数学期望为 　　 13．已知定义在上的函数满足（4），对任意的，，且，恒成立，则不等式的解集为 　　 ． 14．2025年五四青年节，某高中学校为了表彰工作认真负责，业务能力强的优秀团员干部，学校给高中三个年级共分配9个优秀团员干部名额，每个年级至少一个名额．从所有可能的分配方案中随机选择一种，用表示这三个年级中分配的最少名额数，则的数学期望　　 ． 四．解答题（共5小题） 15．已知． （1）求的值； （2）求的值． 16．某校高二年级为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下： 语文成绩 合计 优秀 不优秀 数学成绩 优秀 50 30 80 不优秀 40 80 120 合计 90 110 200 （1）根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ （2）现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”， 表示“选到的学生数学成绩不优秀”．请利用样本数据，估计的值． 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 17．某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足：为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2004年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）． （1）将该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； （2）该厂家促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 18．已知函数． （1）求的定义域； （2）解关于的方程； （3）若函数的图象关于直线对称，求实数，的值． 19．已知函数，且曲线在点，（1）处的切线经过坐标原点． （1）求的值． （2）当时，求的单调区间． （3）设为的导函数，若存在两个不同的正数，，同时满足，，证明：． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$