10.3 解二元一次方程组（第2课时）教案 2024--2025学年苏科版七年级数学下册

第十章 二元一次方程组 10.3 解二元一次方程组 第2课时 加减消元法   一、教材分析 本节课《加减消元法》是苏科版初中数学七年级下册第十章第三节第一课时内容．加减法和代入法是解二元一次方程组的两种常用方法，此前学生已经认识了二元一次方程组，能够用代入法解二元一次方程组，对消元思想有了初步的认识．加减消元法的核心思想是通过将方程组中的两个方程相加或相减，消去一个未知数，从而将二元一次方程组转化为一元一次方程求解． 本节课是在承接“代入法”的基础上，讲解的二元一次方程组的另一种重要的解法“加减法”． 教材是从某个未知数的系数的绝对值相同的二元一次方程组切入，逐渐到未知数的系数的绝对值不等的方程组．教材的内容由易到难，由特殊到一般，注重学生的认知发展．也为以后三元一次方程组的解法打下基础．   二、学情分析 学生在学习加减消元法之前，已经掌握了代入消元法的基本思想和方法，具备一定的方程求解能力．然而，加减消元法与代入消元法有所不同，学生可能在理解其合理性上存在困难，因此需要教师通过具体的例子和引导，帮助学生逐步掌握．在教学过程中，需遵循学生的认知规律，根据学生的知识结构和认知结构，在学生探索知识的过程中培养他们掌握好的学习和解题方法．   三、学习目标 1.理解并掌握加减消元法的意义； 2.会用加减消元法解二元一次方程组，并能根据方程组的特点，灵活选适当的解法，提高学生的运算能力； 3.让学生经历二元一次方程组解法的探究过程，进一步理解“消元”思想，体会化“未知”为“已知”，把复杂问题化为简单问题的转化思想．.   四、教学重难点 重点：理解并掌握加减消元法的意义. 难点：会用加减消元法解二元一次方程组，并能根据方程组的特点，灵活选适当的解法.   五、教学过程 · 情境导入 我们知道通过消元把二元一次方程组转化为一元一次方程，就能求出方程组的解． 用代入法解方程组 思考： 如何用代入消元法解这个方程组呢？ 解：由①，得 x=1−2y． ③ 把 ③代入②，得 3(1−2y)−2y=5． 解这个一元一次方程，得 y=． 将代入①，得 x+2×() =1． ． 所以原方程组的解是 问题：除了代入消元，还有没有其他方法实现消元吗？ 师生活动：学生先用“代入法”解方程组，再考虑其他方法实现消元． 设计意图：通过用代入法解二元一次方程组,复习解二元一次方程组的基本思路：通过消元把二元方程转化为一元方程．然后在教师引导下，学生观察y的系数发现新的消元方法，培养学生观察思维能力. · 探究新知 活动一：探究加减消元法解二元一次方程组 问题：观察方程组中未知数y的系数有什么特点？ 答：这两个方程中未知数 y的系数互为相反数. 师是适当提示学生两个方程相加. 由①+②，得 4x=6． x=． 将x=代入①，得 +2y=1． y=−． 原方程组的解是 师生小结： 把方程组的两个方程(或先做适当变形)的左、右两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程．这种解方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法． 师生活动：教师板书，学生代表回答，其他学生倾听、理解． 设计意图：当方程组某个未知数的系数互为相反数时,可以直接用加减消元法去求解，让学生再次体会了消元化归的数学思想.通过活动一中解方程组的过程，师生总结加减消元法的概念，从实践上升到理论，培养学生的总结归纳能力. 活动三：归纳加减消元法解二元一次方程组的基本步骤 解方程组 思考：能消去未知数x，解上述方程组吗？ 师提示：同一未知数的系数不相等也不互为相反数时，利用等式的性质，使得未知数的系数相等或互为相反数. 师提示：由①×3，得 3x+6y=3 ③ 解：由①×3，得 3x+6y=3． ③ ③−②，得 8y=−2． y=−． 将y=−代入①，得 x+2×(−) =1． x=． 所以原方程组的解是 问题 利用加减消元法解二方程组一般步骤有哪些呢？ 答：1.变形——同一个未知数的系数相同或互为相反数；2.加减——消去一个元,得一元一次方程；3.求解——分别求出两个未知数的值；4.写解——写出方程组的解． 师生活动：学生小组交流找到消去未知数x的方法；师生共同总结加减法解方程组的一般步骤． 设计意图：探究了同一未知数系数的绝对值不相等时消元的方法，培养了学生分析问题和解决问题的能力.同一个方程，两种不同的消元方法，让学生准确判断什么时候用加减法消元,消哪个未知数方便.同时，规范用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤,培养学生有条理的思维和解题习惯. · 应用新知 例1 用加减法解方程组 解：由①×3，得 15x−6y=12． ③ 由②×2，得 4x−6y=−10． ④ ③−④，得 11x=22． x=2． 将x=2代入①，得 5×2−2y=4． y=3． 所以原方程组的解是 变式 消去未知数x解方程组 解：由①×2，得 10x−4y=8． ③ 由②×5，得 10x−15y=−25． ④ ③−④，得 11y=33． y=3． 将y=3代入①，得 5x−2×3=4． x=2． 所以原方程组的解是 师生活动：教师板演示范，学生模仿． 设计意图：通过例题，进一步熟练地用加减消元法解二元一次方程组，锻炼学生的新知运用能力和计算能力，发展创新意识，提高解题技巧. 例2 已知关于x，y的方程组的解为，求m，n的值． 解：把代入方程组得 由①+②，得 4m=12． m=3． 将m=3代入②，得 3−2n=5． n=−1． 所以原方程组的解是 所以m的值是3，n的值是－1． 师生活动：学生先独立思考，再指定学生回答. 设计意图：通过此例题，一方面让学生巩固方程组的解的概念，另一方面加强用加减消元法解二元一次方程组，提高解题技巧. 例3 已知x、y满足方程组求代数式x−y的值． 解：由②−①，得 2x−2y=1−5． x−y=−2． 所以代数式x−y的值是−2． 师小结：当二元一次方程组中x与y系数恰好互换时，可以通过两式相加或相减得到x+y或x−y这两个整体的值．解这样一类方程组，也能像这样采用整体法求解． 变式 解方程组 解：由②−①，得 14x−14y=−14． x−y=−1． ③ 由①+②，得 60x+60y=180． x+y=3． ④ 由③+④，得 2x=2． x=1． 将 x=1代入③，得 1−y=−1． y=2． 所以原方程组的解是 师生活动：学生小组交流，师生总结． 设计意图：通过例题，让学生发现“当二元一次方程组中x与y系数恰好互换时，可以通过两式相加或相减得到x+y或x−y的值．”“解这样一类方程组，采用整体法求解．”让学生体会到特殊的方程组有特殊的方法，发展学生的创新意识，提高解题技巧. 例4 若关于x, y的二元一次方程组的解满足2x−5y=−2，求m的值． 解：由①−②，得 3y=6m． y=2m． 将y=2m代入①，得 x+2m=8m． x=6m． 所以该方程组的解是 将代入2x−5y=−2，得 2×6m−5×2m=−2． 所以m=−1． 师生活动：学生思考，教师板演示范． 设计意图：通过例题讲解，让学生掌握“含参”方程组的解法．这类方程组的解法与常规方程组的解法一样，最终方程组的解是用参数表示．这类题型虽有难度，但也是学生需要掌握的，能提高学生的计算能力． · 课堂练习 1. 用加减法解下列方程组： （1） （2） （3） （4） 答：（1）解：由①+②，得 4x=32． x=8． 将x=8代入①，得 2×8+y =32． y=16． 所以原方程组的解是 （2） 解：由①×2，得 6x−2y=−8． ③ ③−②， 得5x=−5． x=−1． 将x=−1代入①，得 3×(−1)−y=−4． y=1． 所以原方程组的解是 （3）解：由②×2，得 6x+8z=40． ③ ③−①，得 3z=15． z=5． 将z=5代入①，得 6x+5×5=25． x=0． 所以原方程组的解是 （4）解：由①×2，得 6s+8t=14． ③ 由②×3，得 −6s+9t=3． ④ ③+④，得 17t=17． t=1． 将t=1代入①，得 3s+4×1=7． s=1． 所以原方程组的解是 · 限时训练 1.填空： （1）已知是方程组的解，则m= ，n= ． （2）已知(a+2b−5)2 +|4a+b−6|=0，则a= ，b= ． . 答：（1）1，4；（2）1，2． 2.若关于x， y的二元一次方程组的解满足x+y=0，求k的值． 解：由①+②，得 3x+3y=3−3k． x+y=1−k． 因为方程组的解满足x+y=0， 所以1−k=0， 所以k=1． 3.若关于x，y的二元一次方程组的解满足x−y=3，求t的值． 解：由②−①，得 4y=4t−4． y=t−1． 将y=t−1代入②，得 x+t−1=3t． x=2t+1． 所以该方程组的解是 将代入x−y=3，得 2t+1−(t−1)=3． 所以t=1． 4.已知关于x， y的方程组和方程组有相同的解，求a，b的值． 解：由题意可得解得 把代入得关于a， b的方程组 解得 师生活动：学生独立完成，教师指定学生回答. 设计意图：通过限时训练巩固新知，加深对本节课的理解及应用. · 归纳总结 师生活动：师生交流总结. 设计意图：通过归纳总结，使学生梳理本节课所学的内容，掌握本节课的重点，进一步熟悉巩固本节课所学的知识.   六、板书设计   七、教学反思 本课引入一个二元一次方程组通过让学生用“代入法”求解达到复习巩固的目的，再通过观察y的系数引出加减消元法. 通过精心设计的问题，引导学生在已有知识的基础上，自己比较、分析得出二元一次方程组的解法，加深学生对“化未知为已知”的化归思想的理解，特别是如何由代入消元法到加减消元法，过渡自然.让学生深刻地体会到二元一次方程是一元一次方程的拓展，二元一次方程组又要通过“消元”转化为一元一次方程求解.这样的转化，不仅有助于学生掌握知识、技能和方法，提高学习效率，而且还加深了对数学中通性和通法的认识，体会学习数学和研究数学的规律，提升数学思维能力. 通过例题来帮助学生规范书写，同时明确用加减法解二元一次方程组的步骤.利用习题训练，加强对加减消元法的理解和应用，为了需要，将课本练习和补充题目进行合理编排，形成有梯度、有层次的练习，使学生循序渐进掌握所学知识和方法，符合学生的认知规律，教学目标基本达成. 学科网（北京）股份有限公司 $$