1.1探索勾股定理第1课时 课件2025-2026学年北师大版数学八年级上册

2024版北师大数学八年级数学上册 第一章 勾股定理 第1课 探索勾股定理 第1课时 学习目标 1.通过度量、数格子等方法，探索直角三角形的三边关系，发现勾股定理. 2.在有理数范围内，能借助勾股定理计算直角三角形中未知边的长度. 3.通过阅读勾股定理的相关文本，了解勾股定理的历史，感受古代中国在数学上的发展，增强文化自信. 教学设计的基本环节： 协作破冰 问题构建 情境启航 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 情境启航 从电线杆离地面 8m 处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部 6m，那么需要多长的钢索？ 数学抽象 在Rt△ABC中，AC=8,BC=6，那么AB=？ 问题构建 问题1：请大家在纸上画出上面的三角形，画完后，和小伙伴进行对比，你有什么发现？ 大家画出来的三角形都全等. 追问1：全等的理由什么？你有怎样的猜想? SAS,当直角三角形有两边确定了以后，第三条边也随之确定. 追问2：确定的两边可以分为几种情况，都能确定第三条边吗? 分两种情况.已知两条直角边，一条直角边和斜边. 不妨选取已知两条直角边的情况开始研究 在Rt△ABC中，AC=8,BC=6，那么AB=？ 问题构建 问题2：度量你画的△ABC中AB边的长你有什么发现？再换几个直角三角形度量下试一试？ 直角边 直角边 斜边 关系猜想 6 8 10 36+64=100 3 4 5 9+16=25 5 12 13 25+144=169 在Rt△ABC中，AC=8,BC=6，那么AB=？ 协作破冰 36+64=100 问题3：观察你所列的几个算式？它们和原三角形的边长有什么关系？ 都是原三角形边长的平方 追问1：对于某一条边的平方，你能联想到哪些知识？ 正方形的面积 追问2：如果三条边都是正方形的平方，你能画出对应的图形吗？动手试一试. 协作破冰 36+64=100 问题4：观察你所画的正方形？哪些面积比较易于计算？哪些不容易计算？原因是什么？ 以AC,BC为边长的好算，以AB 为边长的不好算，因为不知道边长等于多少. 追问1：如果把图形放置到方格纸中，你能尝试计算面积吗？ 协作破冰 追问1：你怎样计算正方形ABCD的面积？动手试一试. 方法一：将正方形ABCD，分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形，可得： 3×4+=25 协作破冰 追问1：你怎样计算正方形ABCD的面积？动手试一试. 方法二：将正方形ABCD，补成四个全等的直角三角形和一个大正方形，可得： - 3×4=25 协作破冰 追问2：对比两种不同的方法，对于方格中图形的面积计算问题，你有哪些思考？. 1、都对图形的形状进行了割补法的操作. 问题5：为什么要进行割补？ 把方格中不好算的面积转化好算的 问题6：方格中怎样的面积是好算的？ 从三角形面积计算的角度观察，底和高都是水平的或竖直的且两个端点都在格点上 协作破冰 追问2：对比两种不同的方法，对于方格中图形的面积计算问题，你有哪些思考？. 2、都借助了转化的数学思想. 问题7：方法一和方法二在面积转化上有什么相同点？ 四个直角三角形和一个正方形 两次转化产生的新正方形大小不同 追问1：方法一和方法二在面积转化上有什么不同点？ 协作破冰 问题8：观察你所画的正方形，对于直角三角形的三边之间的关系，你有怎样的发现？ 在Rt△ADE中， 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 追问1：换一些其他类似的图形，验证你的结论是否仍然成立？ 协作破冰 在Rt△ABC中， 在Rt△MNO中， 在Rt△PQR中， 发现：前面发现的结论依然成立. 思考：这种结论只在方格中的正方形才成立吗？ 教师示范 在Rt△ABC中， 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么. 思考：勾股定理借助图形的面积转化得到了三角形三边之间的关系，这种将代数与几何结合在一起的思想，称之为数形结合思想，今后将得到广泛使用. 教师示范 解：在Rt△ABC中，由 ∵AC=8,BC=6 ∴= =64+36 =100 所以AB=±10，因为AB表示长度 ∴AB=10. 在Rt△ABC中，AC=8,BC=6，那么AB等于多少？ 巩固拓展 数学文化与数学史 早期发现 古巴比伦：勾股定理最早的记录可追溯到约公元前 2000 年的古巴比伦文明时期 .当时巴比伦人使用了与勾股定理等价的数值关系，比如发现直角三角形两条短边为 3 和 4 时，斜边为 5 ，并将其应用于土地测量和建筑工程，但没有给出几何证明. 中国：中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一.约公元前 1120 年，商高答周公时提出 “故折矩，以为句广三，股修四，径隅五”，记载于《周髀算经》 ，这是勾股定理的一个特例，因此勾股定理在中国也被称为商高定理.公元前 7 - 6 世纪，中国学者陈子给出了任意直角三角形三边关系 ，即 “以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日”. 巩固拓展 数学文化与数学史 定理证明的发展 古希腊：公元前 6 世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派开始研究勾股定理，创始人毕达哥拉斯被认为是勾股定理的发现者 ，该学派提出了基于直角三角形的几何证明.公元前 4 世纪，欧几里得在其著作《几何原本》中详细讨论了勾股定理，给出多个证明方法，包括基于面积、相似三角形的证明等，对勾股定理研究起到重要推动作用. 中国：三国时期吴国的数学家赵爽创制 “勾股圆方图”（即赵爽弦图），用数形结合方法详细证明了勾股定理 ；魏晋时期刘徽在《九章算术注》中，利用割补法，提出青朱出入图证明勾股定理 ；清朝末期数学家华蘅芳更是提出了二十多种证明方法. 其他地区：公元 7 世纪，印度数学家布拉马古普塔在著作《布拉马法典》中提出勾股定理的特殊情况 —— 勾股数，推动了勾股定理的应用和推广 .公元 11 世纪，波斯数学家尼什布尔发现了更一般的勾股定理，使勾股定理的应用范围从直角三角形扩展到任意三角形，推动了三角学的发展. 巩固拓展 数学文化与数学史 影响： 数学思想层面：勾股定理是联系数与形的第一定理，体现了 “数形结合” 思想，使人们能用代数思想解决几何问题. 数学发展推动：其证明方法多达数百种，是数学定理中证明方法最多的定理之一，推动了人类对数学几何更深的探索，由它还可推导出许多定理.此外，希帕索斯根据勾股定理发现了第一个无理数 ，导致第一次数学危机，深刻揭示了数与量的区别，即无理数与有理数的差别. 实际应用方面：在建筑与工程、物理学以及数据分析与应用技术等众多领域均有广泛运用. 巩固拓展 已知一个直角三角形中的两边长为3和4，如果以另一边长为边长作正方形，这个正方形面积是多少？ 方法导引：本题易错点在于，只提供了直角三角形，无法确定所给边中是否有斜边的存在.需要借助分类谈论思想进行计算. 答案等于：7或25. 在运用勾股定理解决问题时，需要特别注意： 1.研究对象是直角三角形. 2.使用前要确认斜边，保证定理使用准确. 3.结果的形式与题目要求有关. 当堂检测 B 当堂检测 2.如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，当人体进入感应器的感应范围内时， 感应门就会自动打开．一名学生正对门，缓慢走到离门1.2米的C处时，感应门自动打开． 已知感应器离地面的高度AB为2.5米，这名学生身高CD为1.6米，则人头顶离感应器的距 离AD等于 米． 解：如图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AB=2.5米，BE=CD=1.6米，ED=BC=1.2米， ∴AE=AB-BE=2.5-1.6=0.9 (米）， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD= 1.5（米）． 故答案为：1.5米． 1.5 当堂检测 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AC=2.4，BC=1.8． (1)求AB的长； (2)求AB边上高线h的长 (1)3 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，等面积法求高，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据勾股定理求解，即可解题； （2）由三角形面积公式建立等式求解，即可解题． 当堂检测 解（1）解：在中，由 （2）解：由面积得，， 即：， 解得，． 反思：直角三角形斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边. 数学·美育 数学·美育 反思总结 1.本节课研究的定理和哪个图形有关？是怎样描述的？ 2.本节课研究的过程中使用哪些数学思想方法？ 3.你对接下来要学习的知识有哪些期待？和同学交流. 作业设计 一、基础巩固作业： P3 随堂练习1.2 二、素养类作业 阅读P6-7 《漫话勾股世界》 三、挑战类作业 P9 第6、7题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $$