12.2一次函数（1）（4大知识点+巩固练习） 2024-2025学年沪科版数学八年级上册

12.2一次函数（1） 知识点1　一次函数的概念 一般地,形如：y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数。 【例1】已知函数y＝（m﹣1）x|m|+5是一次函数，则m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．±1 D．2 【例2】下列函数为一次函数的有（　　） ①y＝x+6；②y﹣x＝﹣2（x+1）；③y＝﹣x2+4x﹣1；④y＝4x． A．①②④ B．①③ C．①② D．②④ 知识点2　正比例函数的概念 一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数，（y与x成正比例）其中k叫做比例系数。 【例3】下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　） A．y＝x﹣1 B． C．y＝2x2 D．y＝3x 【例4】下列说法中正确的有（　　） ①y＝kx是正比例函数；②如果y＝（a+3）x+a2﹣9是正比例函数，那么a＝±3；③如果y与x+2成正比例，那么y是x的正比例函数；④如果，那么y与x2成正比例． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 知识点3　正比例函数的图象 正比例函数的图像是一条经过原点的直线，我们把正比例函数y=kx(k≠0)的图象叫做直线y=kx. 【例5】下列图象哪个可能是函数y＝﹣8x的图象（　　） A．B．C．D． 【例6】下列各点中，在正比例函数的图象上的是（　　） A． B．（﹣3，﹣1） C．（0，﹣1） D．（6，3） 【例7】如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，下列用“＜”表示a，b，c的不等关系正确的是（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b 知识点4　正比例函数的性质 正比例函数y=kx（k≠0）有下列性质： 当k>0时,y随x的增大而增大,图象经过一、三象限;（图像自左向右上升） 当k<0时,y随x的增大而减小,图象经过二、四象限.（图像自左向右下降） 【例8】在平面直角坐标系中，函数y＝2x的图象经过（　　） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 【例9】如果正比例函数y＝m的图象在二、四象限，那么m的值是 　　 ． 【解答】解：由题意得：m2﹣3＝1，且m≠0， 解得：m＝±2． ∵图象经过第二、四象限， ∴m＜0， ∴m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 二、巩固练习 1.下列函数（1）y＝πx；（2）y＝﹣2x+1；（3）；（4）y＝x2﹣1；（5）y＝kx+b（k，b是常数）中，一次函数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数关系的是（　　） A．圆的面积S随半径r的变化而变化 B．用10m长的绳子围成一个矩形，其中一边长y随它邻边x的变化而变化 C．正方形的周长C随边长a的变化而变化 D．汽车油箱中有汽油50L，行驶过程中油箱中的油量Q随行驶路程s的变化而变化 3.若y＝（m﹣1）x|m|+1表示一次函数，则m等于（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．1或 0 4.若函数y＝（m﹣2）x+m2﹣4是正比例函数，则下列叙述正确的是（　　） A．m＝±2 B．m＝2 C．m＝﹣2 D．y随x的增大而增大 5.一次函数y＝kx（k＜0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 6.在闭合电路中，通过定值电阻的电流I（单位：A）是它两端的电压U（单位：V）的正比例函数，其图象如图所示．当该电阻两端的电压为15V时，通过它的电流为（　　） A．12A B．8A C．6A D．4A 7.当x＞0时，y与x之间的函数解析式为y＝2x，当x≤0时，y与x之间的函数解析式为y＝﹣2x，则在同一平面直角坐标系中y与x之间的函数关系图象大致为图中的（　　） A．B．C．D． 8.若正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点A（m，n），且3m+2n＝0，则它的表达式为（　　） A． B． C． D． 9.x和y成正比例关系，当x＝2时，y＝10；当x＝5时，y＝（　　） A．1 B．4 C．20 D．25 10.若点A（m，y1）和点B（m+2，y2）在同一正比例函数图象上，且y2﹣y1＝4，则该正比例函数的表达式为（　　） A．y＝x B．y＝2x C．y＝﹣2x D． 11.若y＝mx|m+1|﹣2是关于x的一次函数，则m的值为 　 　 ． 12.下列函数：①y＝﹣3x；②y＝3x﹣1；③；④y＝x2；⑤．其中，y是x的正比例函数的有 　　 个． 13.如果正比例函数y＝m的图象在二、四象限，那么m的值是 　 　 ． 14.如图，这是正比例函数y1＝k1x和y2＝k2x的图象，则k1　 　 k2．（填“＞”“＜”或“＝”） 15.已知正比例函数y＝kx，当﹣4≤x≤4时，函数有最大值3，则k的值为 　 　 ． 16.如图，直线l1⊥x轴于点（1，0），直线l2⊥x轴于点（2，0），直线l3⊥x轴于点（3，0），……ln⊥x轴于点（n，0）．函数y＝x的图象与直线l1、l2、l3、……ln分别交于点A1、A2、A3、……An；函数y＝2x的图象与直线l1、l2、l3、……ln分别交于点B1、B2、B3、……Bn；如果△OA1B1的面积记作S1，四边形A1A2B2B1的面积记作S2，四边形A2A3B3B2的面积记作S3，……四边形An﹣1AnBnBn﹣1的面积记作Sn，那么S2022＝　 　 ． 17.已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7． （1）当m为何值时，y是x的一次函数？ （2）在（1）的条件下，x为何值时，y的值为3？ 18已知正比例函数y＝kx（k≠0），求： （1）k为何值时，函数图象经过第一、三象限； （2）k为何值时，y随x的增大而减小； （3）k为何值时，点（1，3）在该函数图象上． 19.已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点A（﹣3，6）． （1）求y与x的函数关系式； （2）当x＝﹣6时，求对应的函数值y； （3）当x取何值时，y． 20.已知y与x成正比例，当x＝﹣1时，y＝4． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）请判断点A（2，﹣6）是否在这个函数的图象上，并说明理由． （3）如果P（m，y1），Q（m+1，y2）是这个函数图象上的两点，请比较y1与y2的大小． 21.已知y1与（x+3）成正比例，y2与x成正比例，y＝y1+y2.当x＝1时，y＝8；当x＝﹣1时，y＝﹣2． （1）求y与x的函数解析式； （2）已知点A（a，5）在（1）所求出函数的图象上，求a的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 12.2一次函数（1） 知识点1　一次函数的概念 一般地,形如：y=kx+b(k、b是常数,k≠0)的函数,叫做一次函数。 【例1】已知函数y＝（m﹣1）x|m|+5是一次函数，则m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．±1 D．2 【解答】解：∵函数y＝（m﹣1）x|m|+5是一次函数， ∴|m|＝1，m﹣1≠0， 解得：m＝﹣1； 故选：A． 【例2】下列函数为一次函数的有（　　） ①y＝x+6；②y﹣x＝﹣2（x+1）；③y＝﹣x2+4x﹣1；④y＝4x． A．①②④ B．①③ C．①② D．②④ 【解答】解：y＝x+6，y﹣x＝﹣2（x+1）整理得y＝﹣x﹣2，y＝4x符合一次函数的定义，它们是一次函数， 故选：A． 知识点2　正比例函数的概念 一般地,形如y=kx(k是常数,k≠0)的函数,叫做正比例函数，（y与x成正比例）其中k叫做比例系数。 【例3】下列函数中，y是x的正比例函数的是（　　） A．y＝x﹣1 B． C．y＝2x2 D．y＝3x 【解答】解：A、y＝x﹣1是一次函数，不符合题意； B、y是反比例函数．不符合题意； C、y＝2x2是二次函数，不符合题意； D、y＝3x是正比例函数，符合题意． 故选：D． 【例4】下列说法中正确的有（　　） ①y＝kx是正比例函数；②如果y＝（a+3）x+a2﹣9是正比例函数，那么a＝±3；③如果y与x+2成正比例，那么y是x的正比例函数；④如果，那么y与x2成正比例． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【解答】解：①当k≠0时，y＝kx是正比例函数，原说法错误，不符合题意； ②如果y＝（a+3）x+a2﹣9是正比例函数，那么a＝3，原说法错误，不符合题意； ③如果y与x+2成正比例，那么y＝k（x+2）不是x的正比例函数，原说法错误，不符合题意； ④如果，那么y与x2成正比例，说法正确，符合题意； ∴正确的只有1个， 故选：D． 知识点3　正比例函数的图象 正比例函数的图像是一条经过原点的直线，我们把正比例函数y=kx(k≠0)的图象叫做直线y=kx. 【例5】下列图象哪个可能是函数y＝﹣8x的图象（　　） A．B．C．D． 【解答】解：∵函数解析式为y＝﹣8x， ∴k＝﹣8，b＝0， ∴该函数图象经过第二、四象限，故选项B符合题意． 故选：B． 【例6】下列各点中，在正比例函数的图象上的是（　　） A． B．（﹣3，﹣1） C．（0，﹣1） D．（6，3） 【解答】解：当时，y，不在正比例函数的图象上，故A不符合要求； 当x＝﹣3时，y＝﹣1，（﹣3，﹣1）在正比例函数的图象上，故B符合要求； 当x＝0时，y＝0，（0，﹣1）不在正比例函数的图象上，故C不符合要求； 当x＝6时，y＝2，（6，3）不在正比例函数的图象上，故D不符合要求； 故选：B． 【例7】如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，下列用“＜”表示a，b，c的不等关系正确的是（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b 【解答】解：作直线x＝1如图所示， 则点A坐标为（1，b），点B坐标为（1，a），点C坐标为（1，c）， 结合A，B，C三个点的位置可知， c＜a＜b． 故选：B． 知识点4　正比例函数的性质 正比例函数y=kx（k≠0）有下列性质： 当k>0时,y随x的增大而增大,图象经过一、三象限;（图像自左向右上升） 当k<0时,y随x的增大而减小,图象经过二、四象限.（图像自左向右下降） 【例8】在平面直角坐标系中，函数y＝2x的图象经过（　　） A．第一、三象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限 【解答】解：∵k＝2＞0， ∴函数y＝2x的图象经过第一、三象限， 故选：A． 【例9】如果正比例函数y＝m的图象在二、四象限，那么m的值是 　　 ． 【解答】解：由题意得：m2﹣3＝1，且m≠0， 解得：m＝±2． ∵图象经过第二、四象限， ∴m＜0， ∴m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 二、巩固练习 1.下列函数（1）y＝πx；（2）y＝﹣2x+1；（3）；（4）y＝x2﹣1；（5）y＝kx+b（k，b是常数）中，一次函数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：（1）y＝πx是一次函数； （2）y＝﹣2x+1是一次函数； （3）自变量的次数不是1，不是一次函数； （4）y＝x2﹣1自变量的次数不是1，不是一次函数； （5）y＝kx+b（k，b是常数）当k≠0时，是一次函数， （1）（2）是一次函数，共2个， 故选：B． 2.下列变量之间的关系，一个变量是另一个变量的正比例函数关系的是（　　） A．圆的面积S随半径r的变化而变化 B．用10m长的绳子围成一个矩形，其中一边长y随它邻边x的变化而变化 C．正方形的周长C随边长a的变化而变化 D．汽车油箱中有汽油50L，行驶过程中油箱中的油量Q随行驶路程s的变化而变化 【解答】解：A．S与r2成正比，故选项A不符合题意； B．y＝5﹣x不是正比例函数关系，故选项B不符合题意； C．是正比例函数关系，故选项C符合题意； D．Q＝50﹣ks（k为常数，即单位路程耗油量），不是正比例函数关系，故选项D不符合题意； 故选：C． 3.若y＝（m﹣1）x|m|+1表示一次函数，则m等于（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．1或 0 【解答】解：由条件可知m﹣1≠0，|m|＝1， ∴m＝﹣1， 故选：B． 4.若函数y＝（m﹣2）x+m2﹣4是正比例函数，则下列叙述正确的是（　　） A．m＝±2 B．m＝2 C．m＝﹣2 D．y随x的增大而增大 【解答】解：当m2﹣4＝0且m﹣2≠0时，y是x的正比例函数， 解得m＝﹣2， 所以y＝﹣4x， ∵﹣4＜0， ∴y随x的增大而减小， 故选项C符合题意． 故选：C． 5.一次函数y＝kx（k＜0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵一次函数y＝kx（k＜0）， ∴y随x的增大而减小， ∵图象经过原点， ∴选项A符合题意． 故选：A． 6.在闭合电路中，通过定值电阻的电流I（单位：A）是它两端的电压U（单位：V）的正比例函数，其图象如图所示．当该电阻两端的电压为15V时，通过它的电流为（　　） A．12A B．8A C．6A D．4A 【解答】解：设I＝kU， ∵当U＝5V时，I＝4A， ∴4＝5k， ∴k， ∴IU， 当U＝15V时，I15＝12（A）． 故选：A． 7.当x＞0时，y与x之间的函数解析式为y＝2x，当x≤0时，y与x之间的函数解析式为y＝﹣2x，则在同一平面直角坐标系中y与x之间的函数关系图象大致为图中的（　　） A．B．C．D． 【解答】解：∵当x＞0时，y与x的函数解析式为y＝2x， ∴此时图象则第一象限， ∵当x≤0时，y与x的函数解析式为y＝﹣2x， ∴此时图象则第二象限， 故选：C． 8.若正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点A（m，n），且3m+2n＝0，则它的表达式为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点A（m，n）， ∴n＝mk，即k， ∵3m+2n＝0， ∴3m＝﹣2n， ∴， ∴k， ∴yx． 故选：A． 9.x和y成正比例关系，当x＝2时，y＝10；当x＝5时，y＝（　　） A．1 B．4 C．20 D．25 【解答】解：由题知， 设y＝kx， 则2k＝10， 解得k＝5， 所以y＝5x． 将x＝5代入y＝5x得， y＝5×5＝25． 故选：D． 10.若点A（m，y1）和点B（m+2，y2）在同一正比例函数图象上，且y2﹣y1＝4，则该正比例函数的表达式为（　　） A．y＝x B．y＝2x C．y＝﹣2x D． 【解答】解：设正比例函数的解析式为y＝kx（k≠0）， 则y1＝km，y2＝k（m+2）， ∵y2﹣y1＝4， ∴k（m+2）﹣km＝4， ∴2k＝4， ∴k＝2． ∴正比例函数的解析式为y＝2x． 故选：B． 11.若y＝mx|m+1|﹣2是关于x的一次函数，则m的值为 　 　 ． 【解答】解：根据题意得：m≠0且|m+1|＝1， 解得：m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 12.下列函数：①y＝﹣3x；②y＝3x﹣1；③；④y＝x2；⑤．其中，y是x的正比例函数的有 　　 个． 【解答】解：①y＝﹣3x是正比例函数，符合要求； ②y＝3x﹣1是一次函数，不符合要求； ③是反比例函数，不符合要求， ④y＝x2是二次函数，不符合要求， ⑤是正比例函数，符合要求； 则是正比例函数的有2个， 故答案为：2． 13.如果正比例函数y＝m的图象在二、四象限，那么m的值是 　 　 ． 【解答】解：由题意得：m2﹣3＝1，且m≠0， 解得：m＝±2． ∵图象经过第二、四象限， ∴m＜0， ∴m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 14.如图，这是正比例函数y1＝k1x和y2＝k2x的图象，则k1　 　 k2．（填“＞”“＜”或“＝”） 【解答】解：如图： 当x＝a时，y1＝k1a，y2＝k2a，y1＜y2， ∴k1＜k2， 故答案为：＜． 15.已知正比例函数y＝kx，当﹣4≤x≤4时，函数有最大值3，则k的值为 　 　 ． 【解答】解：当k＞0时，函数y随x的增大而增大， ∴当x＝4时，y＝3， ∴4k＝3， 解得k； 当k＜0时，函数y随x的增大而减小， ∴当x＝﹣4时，y＝3， ∴﹣4k＝3， 解得k． ∴k的值为或． 故答案为：或． 16.如图，直线l1⊥x轴于点（1，0），直线l2⊥x轴于点（2，0），直线l3⊥x轴于点（3，0），……ln⊥x轴于点（n，0）．函数y＝x的图象与直线l1、l2、l3、……ln分别交于点A1、A2、A3、……An；函数y＝2x的图象与直线l1、l2、l3、……ln分别交于点B1、B2、B3、……Bn；如果△OA1B1的面积记作S1，四边形A1A2B2B1的面积记作S2，四边形A2A3B3B2的面积记作S3，……四边形An﹣1AnBnBn﹣1的面积记作Sn，那么S2022＝　 　 ． 【解答】解：根据题意，An﹣1Bn﹣1＝2（n﹣1）﹣（n﹣1）＝2n﹣2﹣n+1＝n﹣1， AnBn＝2n﹣n＝n， ∵直线ln﹣1⊥x轴于点（n﹣1，0），直线ln⊥x轴于点（n，0）， ∴An﹣1Bn﹣1∥AnBn，且ln﹣1与ln间的距离为1， ∴四边形An﹣1AnBn Bn﹣1是梯形， Sn（n﹣1+n）×1（2n﹣1）， 当n＝2022时，S2022（2×2022﹣1）＝2021.5． 故答案为：2021.5． 17.已知函数y＝（m﹣2）x3﹣|m|+m+7． （1）当m为何值时，y是x的一次函数？ （2）在（1）的条件下，x为何值时，y的值为3？ 【解答】解：（1）依题意得：， 解得：m＝﹣2， ∴当m为﹣2时，y是x的一次函数． （2）由（1）可知：一次函数的解析式为y＝﹣4x+5． 当y＝3时，﹣4x+5＝3， 解得：x， ∴当x为时，y的值为3． 18已知正比例函数y＝kx（k≠0），求： （1）k为何值时，函数图象经过第一、三象限； （2）k为何值时，y随x的增大而减小； （3）k为何值时，点（1，3）在该函数图象上． 【解答】解：（1）根据题意，得k＞0； （2）根据题意，得k＜0； （3）把（1，3）代入y＝kx，得k＝3， 即k为3时，函数图象经过点（1，3）． 19.已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点A（﹣3，6）． （1）求y与x的函数关系式； （2）当x＝﹣6时，求对应的函数值y； （3）当x取何值时，y． 【解答】解：（1）设正比例函数解析式为y＝kx， ∵图象经过点（﹣3，6）， ∴﹣3k＝6， 解得k＝﹣2， 所以，此函数的关系式是y＝﹣2x； （2）把x＝﹣6代入解析式可得：y＝12； （3）把y代入解析式可得：x． 20.已知y与x成正比例，当x＝﹣1时，y＝4． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）请判断点A（2，﹣6）是否在这个函数的图象上，并说明理由． （3）如果P（m，y1），Q（m+1，y2）是这个函数图象上的两点，请比较y1与y2的大小． 【解答】解：（1）令y＝kx， 将x＝﹣1，y＝4代入得， k＝﹣4， 所以y与x之间的函数解析式为y＝﹣4x． （2）点A不在这个函数的图象上． 将x＝2代入y＝﹣4x得， y＝﹣8≠﹣6， 所以点A不在这个函数的图象上． （3）因为正比例函数的解析式为y＝﹣4x， 则k＝﹣4＜0， 所以y随x的增大而减小． 因为m＜m+1， 所以y1＞y2． 21.已知y1与（x+3）成正比例，y2与x成正比例，y＝y1+y2.当x＝1时，y＝8；当x＝﹣1时，y＝﹣2． （1）求y与x的函数解析式； （2）已知点A（a，5）在（1）所求出函数的图象上，求a的值． 【解答】解：（1）设y1＝a（x+3），y2＝bx，则y＝a（x+3）+bx， 把x＝1时，y＝8；当x＝﹣1时，y＝﹣2代入得， 解得， ∴y＝x+3+4x＝5x+3， ∴y与x的函数关系式为y＝5x+3； （2）∵A（a，5）在函数y＝5x+3的图象上， ∴5a+3＝5， 解得a． 学科网（北京）股份有限公司 $$