精品解析： 江苏省淮安市清江浦区开明集团2024-2025学年八年级下学期期中数学试卷

2024-2025学年江苏省淮安市清江浦区开明集团八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案涂到答题纸上．） 1. 未来的生活中，AI将扮演非常重要的角色．下列是中国著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念求解即可．本题考查了中心对称图形，熟知中心对称图形定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解题的关键． 【详解】解：选项A、B、D中的图形都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 选项C中的图形能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 故选：C． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加、减、乘、除运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．根据二次根式的运算性质逐项分析可得答案． 【详解】解：A．，原计算错误，故不符合题意； B．，原计算错误，故不符合题意； C．，原计算正确，故符合题意； D．，原计算错误，故不符合题意． 故选：C． 3. 反比例函数的图象在每一象限内y随x的增大而减小，那么m的值可以是（ ） A. B. 0 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质；由反比例函数的性质列出不等式，解出k的范围，即可判断． 【详解】解：根据题意，， 解得， 故选：D． 4. 如图，在矩形中，对角线，交于点，若，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，根据矩形的对角线互相平分且相等进行解答即可． 【详解】解：∵在矩形中，对角线，交于点O， ∴，， ∵， ∴． 故选：A． 5. 若，则的值是（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了算术平方根的非负性和完全平方公式因式分解，正确得出的值是解题关键．直接利用非负数的性质得出的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， 解得：， ∴． 故选：A． 6. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，结合图象，则不等式的解集是（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的的取值范围便是不等式的解集． 【详解】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数（为常数且）的图象上方时，的取值范围是：或， ∴不等式的解集是或. 故选C． 【点睛】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键． 7. 如图，在中，，平分交于点，点在上，且为的中点，若，，则的长为(　　) A. 13 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 根据等腰三角形的三线合一得到，根据三角形中位线定理求出，计算即可． 【详解】解：，平分， ， 为的中点， 是的中位线， ， ， ， ， 故选：A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和矩形在第一象限，平行于轴，且，，点的坐标为．将矩形向下平移，当点的对应点落在反比例函数的图象上时，点的对应点的坐标为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 根据矩形的性质及反比例函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：矩形在第一象限，平行于轴，且，，点的坐标为，． ，， 在反比例函数中，当时，， 当点的对应点落在反比例函数的图象上时点的坐标为，即点向下平移了个单位长度， 点的对应点的坐标为． 故选：D． 二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案填写在答题纸上．） 9. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：二次根式中被开方数，所以． 故答案为：． 10. 在平行四边形中，，则_____． 【答案】##55度 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，由平行四边形的对角相等得到，而，即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 11. 若与最简二次根式可以合并，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式、最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 先将进行化简，再根据同类二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解：依题意，， ∵与最简二次根式可以合并， ∴， ∴． 故答案为：4． 12. 若矩形的对称中心是直角坐标系的原点，且点A的坐标为，则点C的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，中心对称以及坐标与图形的性质，熟知关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．因为矩形是中心对称图形，若对角线的交点为原点时，则A点与C点关于原点对称，从而根据A点坐标可求C点坐标． 【详解】解：∵矩形是中心对称图形， ∴当其对角线的交点为原点时，则A点与C点关于原点对称， ∵点A的坐标为， ∴． 故答案为：． 13. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为______度． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，根据两直线平行，内错角相等可得，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形两底角相等求，再根据、都是旋转角解答． 【详解】解：， ， 绕点旋转得到， ， ， ， ∴旋转角的度数， 故答案为：50． 14. 如图，在的两边上分别截取，，使；分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；连接，，，．若，四边形的面积为．则的长_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、菱形的判定与性质、勾股定理，设与相交于点D，由作图过程可知，，可得四边形是菱形，则，，，可得，则可得，，利用勾股定理可得． 【详解】解：设与相交于点D， 由作图过程可知，， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 已知反比例函数与一次函数的图象交于点，，若时，请写出一个符合题意的一次函数的关系式_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题关键．联立方程组整理得，根据根与系数的关系确定的符号，最后确定一次函数解析式． 【详解】解：联立方程组整理得， 根据根与系数的关系可知：，， ∵， ∴，即异号， ∵， 将代入反比例函数得： ∴一次函数的关系式应该满足，，不妨令可得：． 故答案为：（答案不唯一）． 16. 如图，矩形中，，，E是边上一点，且，将沿直线对折，得到．连接，则的面积为______． 【答案】19.2 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，过点F作交于点M，交于点N，则，，四边形为矩形，得出，再由折叠的性质得，，，设，，则，，然后由勾股定理联立成方程组，求出，最后由三角形面积公式即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， 如图，过点F作交于点M，交于点N， 则，， ∴四边形为矩形， ∴， 由折叠的性质得：，，， 设，，则，， 在中，由勾股定理得：， 即①， 在中，由勾股定理得：， 即②， 联立①②解得：（非正数值已舍去）， ∴， ∴， 故答案为：19.2． 三、解答题：（本大题共10小题，共72分．请将解答过程填写在答题纸上．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）2 （2）4 【解析】 【分析】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可； （2）先算乘除法、化简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ＝22 ＝2； 【小问2详解】 解： 3 ＝23 ＝4． 18. 化简求值：，其中 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行计算即可． 【详解】解： ， 把代入得：原式． 【点睛】本题主要考查了分式化简求值，二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则准确计算． 19. 已知点E、F分别是平行四边形的边、的中点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题关键．由平行四边形的性质，推出，进而证明四边形为平行四边形，即可得证． 【详解】证明：∵四边形为平行四边形， ∴，． 又点E、F分别是平行四边形的边、的中点， ∴． ∴四边形为平行四边形． ∴． 20. 行文明之举，向高空抛物说“不”．为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度v（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，），已知小亮家所住楼层的高度是． （1）假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）； （2）小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的说法正确吗？判断并说明理由． 【答案】（1）该楼层落地时的速度为 （2） 不正确，理由如下： ∵小明住的高度是小亮家的2倍， ∴， 将的值代入公式中得： v小明， ∴2， 即小明家坠落的物品落地时的速度是小亮家坠落的物品速度的倍，而不是2倍， 因此，小明的说法不正确． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算及自由落体运动中速度与高度关系公式的应用以及，解题关键是准确代入公式中各物理量的值，并熟练运用二次根式运算法则进行计算与化简． （1）根据小亮家楼层高度代入高空抛物下落速度公式，通过二次根式运算得出结果； （2）先根据小明家高度是小亮家2倍，算出小明家高度，再代入速度公式，然后与小亮家物品落地速度相比，即可得出结论． 【小问1详解】 解：把，， 代入得： ， ∴该楼层落地时的速度为； 【小问2详解】 略 21. 如图所示，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与轴交于点，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）求的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】本题考查已知函数值求自变量值，待定系数法求反比例函数解析式，函数面积结合问题等． （1）根据题意先求出，再将点的坐标代入中即可求出； （2）令时，求出点的坐标，再根据对称性求出点的坐标，继而求出本题答案． 【小问1详解】 解：在一次函数的图象上， ，解得， 点的坐标为， ， ∴反比例函数的对应的函数关系为； 【小问2详解】 解：当时，，解得， 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， ，根据对称性： 点的坐标为， 22. 如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又 ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）20 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出平行的边和相等的边，判定出四边形是平行四边形，再根据矩形的定义即可判定； （2）利用平行的性质和角平分线的性质得出，然后根据勾股定理求出，即可求出矩形的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ， ， ， ， ， ∴矩形的面积． 23. 泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y(℃)与时间x(min)近似于反比例函数关系(如图)．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃． (1)分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围： (2)从水壶中的水烧开(100℃)降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？ 【答案】(1)y＝100(8＜x≤9)；y＝(9＜x≤45)；(2)等待2分钟． 【解析】 【分析】（1）将D点的坐标代入反比例函数的一般形式，利用待定系数法确定反比例函数的解析式；再求得点C和点B的坐标，继而用待定系数法确定一次函数的解析式；（2）将y＝90代入反比例函数的解析式，从而求得答案． 【详解】(1)停止加热时，设， 由题意得：50＝ ， 解得：k＝900， ∴y＝， 当y＝100时，解得：x＝9， ∴C点坐标为(9，100)， ∴B点坐标为(8，100)， 当加热烧水时，设y＝ax+20， 由题意得：100＝8a+20， 解得：a＝10， ∴当加热烧水，函数关系式为y＝10x+20(0≤x≤8)； 当停止加热，得y与x的函数关系式 为y＝100(8＜x≤9)；y＝(9＜x≤45)； (2)把y＝90代入y＝，得x＝10， 因此从烧水开到泡茶需要等待10﹣8＝2分钟． 【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数的模型，解题时注意根据图象确定对应函数的取值范围． 24. 请用无刻度直尺作图： （1）如图1，中，点E在边上，请在边上作出点F，使得四边形为平行四边形； （2）如图2，中，点M在边上，点N在对角线上，请分别在边上，对角线上作点P、点Q，使得四边形为平行四边形． 【答案】（1） 解：（1）如图1，点F即为所求． （2） 如图2，点P，Q即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的关键． （1）结合平行四边形的判定与性质，连接相交于点O，连接并延长交于点F，则点F即为所求． （2）结合平行四边形的判定与性质，连接交于点O，连接并延长交于点P，连接并延长交于点E，连接并延长交于点F，连接交于点Q，则点P，Q即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 我们已经学习过反比例函数的图象和性质，请你类比它的学习过程，运用所学知识对函数的图象和性质进行探索，并解决下列问题： （1）该函数的图象大致是 ． A． B． C． D． （2）结合函数图象，关于此函数，下列说法正确的是 ．（填写序号） ①在各个象限内，y随着x增大而减小； ②图象为轴对称图形； ③函数值始终大于0； ④函数图象是中心对称图形． （3）结合函数图象，写出不等式的解集为 ． （4）若点A、B分别在函数的图象上，A、B的横坐标分别为a、b，其中，且，当是以为底边的等腰三角形时，试探究的大小是否变化？如果不变，请求出它的值；如果变化，请说明理由． 【答案】（1）D （2）②③ （3）或 （4）大小没有变化，它的值为 【解析】 【分析】本题考查函数的意义，反比例函数的图象和性质，勾股定理的逆定理，特别注意利用图象得出性质，再利用性质解决问题． （1）依据，当时，y随着x的增大而减小；当时，y随着x的增大而增大，即可得到函数图象在第一、二象限； （2）根据图象判断即可； （3）先求出的解，再根据函数的增减性确定自变量x的取值范围； （4）由题意，求得，利用等腰三角形的性质即可求得，进一步利用勾股定理的逆定理证得是直角三角形，即． 【小问1详解】 解：∵在函数中，， ∴， 当时，y随着x的增大而减小；当时，y随着x的增大而增大， ∴函数图象在第一、二象限； 故选：D； 【小问2详解】 解：由函数的图象可知此图象具有以下性质： 函数的图象在一、二象限，当时，y随着x的增大而减小；当时，y随着x的增大而增大， 函数的图象关于y对称； 故说法正确的是②③， 故答案为：②③； 【小问3详解】 解：当时，令，即，解得：， 根据函数的图象和性质得，不等式的解集为：或， 故答案为：或； 【小问4详解】 解：∵点A、B分别在函数的图象上，A、B的横坐标分别为a、b， ∴， ∴，， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， 故当是以为底边的等腰三角形时，的大小没有变化，它的值为． 26. 【问题研究】如图1，两条相等的线段交于点O，，连接，求证：． 小明的做法：过点C作，且，连接，可证四边形为平行四边形，为等边三角形，从而把线段的数量关系转化为的数量关系； 小春的做法：过点B作，且，连接，可证四边形为平行四边形，为等边三角形，从而把线段的数量关系转化为的数量关系； 【总结归纳】两位同学都抓住线段之间确定的数量关系（），确定的位置关系（夹角为），通过构造平行四边形，实现角或线段的等量代换，使这些确定的数量关系和位置关系，由分散变为集中，从而使问题得到解决． （1）请你选择一位同学的做法，写出完整的解答过程； 【类比练习】 （2）如图2，在中，，D，E分别是边上的点，且于点H，若，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，等边中，点D在边的延长线上，点E在边上，且，连接交于点P，若，则的值为 ． 【答案】 （1）证明：小明的做法：如图1，过点C作，且，连接， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 小春的做法：如图2，过点B作，且，连接， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）；（3） 【解析】 【分析】本题是四边形的综合问题，主要考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，等边三角形的性质和判定等知识点．熟练掌握平行四边形的性质，正确作辅助线并运用类比的思想是解题的关键． （1）小明的做法：如图1，作辅助线，可证四边形为平行四边形，为等边三角形，即可解答； 小春的做法：如图2，作辅助线，可证四边形为平行四边形，为等边三角形，即可解答； （2）如图2，过点A作，且，连接，过点F作，交的延长线于点G，则，可得四边形是平行四边形，证明是等腰直角三角形，可得，最后由勾股定理即可解答； （3）设，则，如图4，连接并延长交于点M，连接，过点D作，且，连接，延长交于点H，过点A作于N，证明四边形是平行四边形，，证明，由勾股定理即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：如图3，过点A作，且，连接，过点F作，交的延长线于点G，则， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴（负值舍）， ∴； （3）解：设，则， ∵是等边三角形， ∴， 如图4，连接并延长交于点M，连接，过点D作，且，连接，延长交于点H，过点A作于N， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴都是等边三角形， 同理得是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年江苏省淮安市清江浦区开明集团八年级（下）期中数学试卷 一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案涂到答题纸上．） 1. 未来的生活中，AI将扮演非常重要的角色．下列是中国著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象在每一象限内y随x的增大而减小，那么m的值可以是（ ） A. B. 0 C. 5 D. 6 4. 如图，在矩形中，对角线，交于点，若，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 6 5. 若，则的值是（　　） A. B. 0 C. 1 D. 2 6. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，结合图象，则不等式的解集是（　　） A. B. C. 或 D. 或 7. 如图，在中，，平分交于点，点在上，且为的中点，若，，则的长为(　　) A. 13 B. 10 C. 8 D. 6 8. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象和矩形在第一象限，平行于轴，且，，点的坐标为．将矩形向下平移，当点的对应点落在反比例函数的图象上时，点的对应点的坐标为(　　) A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．请将答案填写在答题纸上．） 9. 若式子有意义，则实数的取值范围是____________． 10. 在平行四边形中，，则_____． 11. 若与最简二次根式可以合并，则______． 12. 若矩形的对称中心是直角坐标系的原点，且点A的坐标为，则点C的坐标为_____． 13. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为______度． 14. 如图，在的两边上分别截取，，使；分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；连接，，，．若，四边形的面积为．则的长_____． 15. 已知反比例函数与一次函数的图象交于点，，若时，请写出一个符合题意的一次函数的关系式_____． 16. 如图，矩形中，，，E是边上一点，且，将沿直线对折，得到．连接，则的面积为______． 三、解答题：（本大题共10小题，共72分．请将解答过程填写在答题纸上．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 化简求值：，其中 19. 已知点E、F分别是平行四边形的边、的中点．求证：． 20. 行文明之举，向高空抛物说“不”．为进一步研究高空抛物的危害，小亮请教了物理老师，得知高空抛物下落的速度v（单位：）和高度h（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响，），已知小亮家所住楼层的高度是． （1）假如一个物品从小亮家坠落，求该物品落地时的速度（结果保留根号）； （2）小明说他家所住楼层的高度是小亮家的2倍，所以两个相同的物品分别从他家和小亮家坠落，从他家坠落的物品落地时的速度将是从小亮家坠落的物品速度的2倍，请问小明的说法正确吗？判断并说明理由． 21. 如图所示，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与轴交于点，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）求的面积． 22. 如图，在平行四边形中，过点D作于点E，，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，，，求四边形的面积． 23. 泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y(℃)与时间x(min)近似于反比例函数关系(如图)．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃． (1)分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围： (2)从水壶中的水烧开(100℃)降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？ 24. 请用无刻度直尺作图： （1）如图1，中，点E在边上，请在边上作出点F，使得四边形为平行四边形； （2）如图2，中，点M在边上，点N在对角线上，请分别在边上，对角线上作点P、点Q，使得四边形为平行四边形． 25. 我们已经学习过反比例函数的图象和性质，请你类比它的学习过程，运用所学知识对函数的图象和性质进行探索，并解决下列问题： （1）该函数的图象大致是 ． A． B． C． D． （2）结合函数图象，关于此函数，下列说法正确的是 ．（填写序号） ①在各个象限内，y随着x增大而减小； ②图象为轴对称图形； ③函数值始终大于0； ④函数图象是中心对称图形． （3）结合函数图象，写出不等式的解集为 ． （4）若点A、B分别在函数的图象上，A、B的横坐标分别为a、b，其中，且，当是以为底边的等腰三角形时，试探究的大小是否变化？如果不变，请求出它的值；如果变化，请说明理由． 26. 【问题研究】如图1，两条相等的线段交于点O，，连接，求证：． 小明的做法：过点C作，且，连接，可证四边形为平行四边形，为等边三角形，从而把线段的数量关系转化为的数量关系； 小春的做法：过点B作，且，连接，可证四边形为平行四边形，为等边三角形，从而把线段的数量关系转化为的数量关系； 【总结归纳】两位同学都抓住线段之间确定的数量关系（），确定的位置关系（夹角为），通过构造平行四边形，实现角或线段的等量代换，使这些确定的数量关系和位置关系，由分散变为集中，从而使问题得到解决． （1）请你选择一位同学的做法，写出完整的解答过程； 【类比练习】 （2）如图2，在中，，D，E分别是边上的点，且于点H，若，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，等边中，点D在边的延长线上，点E在边上，且，连接交于点P，若，则的值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $