精品解析：贵州省黔东南苗族侗族自治州台江县第一中学2024-2025学年八年级下学期5月期中考试数学试题

2024-2025学年度台江一中第二学期八年级期中考试数学试卷 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是　　 A. 3， 4，5 B. 2，3，4 C. 4，6，7 D. 5，11，12 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可． 【详解】A、∵32+42=52， ∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确； B、∵22+32≠42， ∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误； C、∵42+62≠72， ∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误； D、∵52+112≠122， ∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误； 故选：A． 【点睛】考查勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形． 2. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件： （1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、，不是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、2不能再开方，是最简二次根式； D、，不是最简二次根式． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减法和乘法运算，根据二次根式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 4. 正方形具有而菱形不一定有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角相等 D. 邻边相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形和菱形的性质即可解决问题． 【详解】解：正方形具有而菱形不一定有的性质是：对角线相等． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，解决本题的关键是掌握正方形和菱形的性质． 5. 下列命题中： ①对角线垂直且相等的四边形是正方形； ②对角线互相垂直平分的四边形为菱形； ③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ④若顺次连接四边形各边中点得到的是矩形，则该四边形的对角线相等． 是真命题的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】考查了命题与定理的知识，利用菱形、正方形的判定方法、平行四边形的判定的知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故错误，是假命题，不符合题意； ②对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，是真命题，符合题意； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故错误，是假命题，不符合题意； ④顺次连接四边形各边中点得到的是矩形，则该四边形的对角线相互垂直，不一定相等，故错误，是假命题，不符合题意； 故选：A． 6. 如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别为2、5、1、2．则最大的正方形的面积是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查勾股定理的利用，正确理解图中几个正方形与直角三角形的关系是解题的关键.根据直角三角形勾股定理解答得到E的面积是A、B、C、D四个面积的和，由此得到答案. 【详解】解：如图， 由图知：正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积， 正方形G的面积=正方形C的面积+正方形D的面积， 正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积， ∴正方形E的面积=正方形A的面积+正方形B的面积+正方形C的面积+正方形D的面积， 故选：B. 7. 与最简二次根式能合并，则m的值为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式、二次根式的化简．先将化简为最简二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得． 【详解】解：， ∵即与最简二次根式能合并， ∴， 解得， 故选：C． 8. 如图，在菱形中，对角线交于点，是的中点，若，则菱形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线的性质，由菱形的性质可得，，进而得到为的中位线，即可得到，由此即可求出菱形的周长，掌握菱形和三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴菱形的周长为， 故选：． 9. 如图，在中，于点，，是的中线，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质，证明，得出，由勾股定理可得，再由直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：B． 10. 如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，是(    ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是折叠图形的性质以及勾股定理的应用首先根据折叠图形和平行线的性质得出，然后设，则，根据勾股定理求出的值，最后根据即可求解． 【详解】解：根据折叠得：， 四边形是矩形， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即， 故选：B． 11. 实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，根据数轴可判断出的符号，据此计算算术平方根和合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ， 故选：A． 12. 如图，点P是正方形的对角线上一点，于点于点F，连接，给出下列四个结论： ①；②；③；④，其中正确的是（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定与性质等知识，过作于点，根据正方形对角线的性质及题中的已知条件，证明后即可证明在此基础上，通过等量代换可证明③，在中，，求得结论④正确，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过作于点，如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， ∴，故③符合题意； 如上图，延长交于点， ∴， ∵， ∴，即，故②符合题意； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中， 故④符合题意； 故选：D． 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 使代数式有意义的的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出一元一次不等式求解，即可得到的取值范围． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数为非负数，可得， 解得． 14. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 【答案】5或 【解析】 【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论． 【详解】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时， 第三边的长为：； ②长为3、4的边都是直角边时， 第三边的长为：； ∴第三边的长为：或5， 故答案为：或5． 15. n为正整数，且是整数，那么n的最小值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的定义，掌握二次根式的性质，二次根式的定义是解题的关键． 先根据二次根式的性质化简为：，由题意可知，必须是整数，即必须是一个完全平方数，当时，，4是完全平方数，进而得出答案． 【详解】解：为正整数，且是整数， 必须是整数，即必须是一个完全平方数， 当时，，4是完全平方数， 此时， 是整数， 的最小值是． 故答案为：． 16. 在中，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】勾股定理逆定理得到，进而推出四边形是矩形，连接，则，斜中半定理，得到，进而得到最小时，最小，进而得到时，最小，等积法求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵M为中点， ∴， ∵于E，于F， ∴四边形是矩形， 连接，则， ∴， ∴当最小时，最小， ∵垂线段最短， ∴当时，最小， 此时，即：， ∴， ∴的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题考查勾股定理逆定理，斜边上的中线，矩形的判定和性质，垂线段最短．解题的关键是得到时，的值最小． 三、解答题：本大题9小题，共98分． 17. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对于二次根式的加减法，需要先将各项二次根式化为最简二次根式，再判断是否有同类二次根式，最后合并同类二次根式． （2）观察式子结构，发现其符合平方差公式的形式，可直接利用平方差公式进行简便计算． （3）此式包含二次根式的除法、乘法和减法运算．按照运算顺序，先进行除法和乘法运算，在进行这两类运算时，需先将二次根式化为最简形式，再根据二次根式的乘除法法则进行计算，最后进行减法运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，涉及最简二次根式的化简、平方差公式的运用、二次根式的乘除法和加减法运算．熟练掌握二次根式的运算法则、最简二次根式的化简方法以及平方差公式的应用是解题的关键． 18. 已知， （1）求x和y值 （2）求 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的求值，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． （）由二次根式有意义的条件得，即得，进而得到， （2）再代入代数式计算即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：由（1）可得，， ∴． 19. 如图，每个格子都是边长为的小正方形，，四边形的四个顶点都在格点上． （1）求四边形的周长； （2）连接，试判断的形状，并求四边形的面积． 【答案】（1）； （2）是直角三角形，． 【解析】 【分析】（）利用网格和勾股定理求出四边形的各边长即可求解； （）利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，进而由即可求出四边形的面积； 本题考查了勾股定理及其逆定理，正确计算是解题的关键． 【小问1详解】 解：，，，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 20. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）xy 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式的求值以及平方差公式的应用．熟练掌握平方差公式以及代数式的求值方法是解题的关键． （1）利用平方差公式，将转化为，然后代入和的值进行计算即可． （2）直接代入和的值进行计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴ 21. 在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为的正方形区域修改为面积为的长方形区域，且长、宽之比为． （1）求原来正方形区域的边长； （2）求修改后长方形的周长； （3）铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】（1） （2） （3）够用 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，利用开平方解方程，实数的估算，熟练根据题意列出等式并利用开平方求解长方形边长是解题的关键． （1）根据正方形的面积公式即可得出答案； （2）设长方形的长为，宽为，由其面积为，所以，利用开平方求解即可； （3）比较正方形的周长与长方形周长的大小关系即可． 【小问1详解】 解：由题意得原来正方形区域的边长为， 【小问2详解】 解：由（1）得这根铁丝长为， 由修改后的长方形的长、宽之比为， 设长方形的长为，宽为， 由其面积为， 所以， 即， 解得（负值舍）， 长方形的周长为， 【小问3详解】 解：， ∴， ∴铁丝够用． 22. 先化简，再求值，，其中 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值和二次根式的化简，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 当时，原式=． 23. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向的B处有一台风中心，该台风中心现在正以的速度沿北偏东方向移动，若在距离台风中心范围内都要受到影响，（结果保留根号） （1）该城市是否会受到这次台风的影响？说明理由． （2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 【答案】（1） 解：该城市会受到这次台风的影响． 理由是：如图，过作于． 在直角中， ， ， ， ∴该城市会受到这次台风的影响； （2）小时 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，使问题解决． （1）求是否会受到台风的影响，其实就是求到的距离是否大于台风影响范围的半径，如果大于，则不受影响，反之则受影响．如果过作于就是所求的线段．在直角三角形中，求出再比较即可． （2）受台风影响时，台风中心移动的距离，应该是为圆心，台风影响范围的半径为半径，所得圆截得的上的线段的长即得长，可通过在直角三角形和中，根据勾股定理求得即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图以为圆心，为半径作交于、． 则． ∴台风影响该市持续的路程为：． ∴台风影响该市的持续时间小时， ∴台风影响该城市的持续时间有小时． 24. 如图，在矩形中，延长到D，使，延长到E，使，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的面积． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ，即， 又，， 四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， ∵（已证，，，即对角线互相垂直 ）， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据矩形性质得，再结合已知，，利用对角线互相平分且垂直的四边形是菱形来证明． （2）由菱形性质和得出是等边三角形，再通过等边三角形和矩形的线段关系求出对角线长度，最后用菱形面积公式（对角线乘积的一半）计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ， ， ∴， ∴, ∴， ∴菱形的面积． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定（对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ）和性质（四条边相等、对角线互相垂直且平分 ），以及矩形、等边三角形、平行四边形的相关性质是解题的关键． 25. （1）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且．请直接写出、的数量关系 ； （2）如图2，在正方形中，E是上一点，G是上一点，如果，请你利用（1）的结论证明：． （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在四边形中，，，E是上一点，且，，，求四边形的面积． 【答案】（1）； （2）如图2， 延长至F，使．连接，由（1）知， ∴， ∴，即， 又∵，则， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）108 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，可直接证明，从而得出； （2）延长至F，使．连接，根据（1）知，即可证明，根据，得，利用全等三角形的判定方法得出，即，即可得出答案； （3）过作，交延长线于D，则四边形 为正方形，设，根据（1）（2）可知，，在中，利用勾股定理即可求解，再结合计算即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略． （3）如图3，过作，交延长线于D， 在直角梯形中，∵， ∴， 又，， ∴四边形 为正方形， ∴， ∵，设， ∴， ∴，， 根据（1）（2）可知，， 在中，∵， 即， 解这个方程，得：， ∴， 所以梯形的面积为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度台江一中第二学期八年级期中考试数学试卷 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列长度的三条线段能组成直角三角形的是　　 A. 3， 4，5 B. 2，3，4 C. 4，6，7 D. 5，11，12 2. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 正方形具有而菱形不一定有的性质是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角相等 D. 邻边相等 5. 下列命题中： ①对角线垂直且相等的四边形是正方形； ②对角线互相垂直平分的四边形为菱形； ③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； ④若顺次连接四边形各边中点得到的是矩形，则该四边形的对角线相等． 是真命题的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别为2、5、1、2．则最大的正方形的面积是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 7. 与最简二次根式能合并，则m的值为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 如图，在菱形中，对角线交于点，是的中点，若，则菱形的周长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，于点，，是的中线，若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 10. 如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，是(    ) A. B. C. D. 11. 实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（ ） A. B. C. D. 0 12. 如图，点P是正方形的对角线上一点，于点于点F，连接，给出下列四个结论： ①；②；③；④，其中正确的是（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 使代数式有意义的的取值范围是______． 14. 已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________． 15. n为正整数，且是整数，那么n的最小值是______． 16. 在中，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为_________． 三、解答题：本大题9小题，共98分． 17. 计算： （1） （2） （3） 18. 已知， （1）求x和y值 （2）求 19. 如图，每个格子都是边长为的小正方形，，四边形的四个顶点都在格点上． （1）求四边形的周长； （2）连接，试判断的形状，并求四边形的面积． 20. 已知，，求下列各式的值： （1）； （2）xy 21. 在综合实践课上，某同学想把一个用铁丝围成的面积为的正方形区域修改为面积为的长方形区域，且长、宽之比为． （1）求原来正方形区域的边长； （2）求修改后长方形的周长； （3）铁丝够用吗？请通过计算说明你的判断． 22. 先化简，再求值，，其中 23. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向的B处有一台风中心，该台风中心现在正以的速度沿北偏东方向移动，若在距离台风中心范围内都要受到影响，（结果保留根号） （1）该城市是否会受到这次台风的影响？说明理由． （2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 24. 如图，在矩形中，延长到D，使，延长到E，使，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的面积． 25. （1）如图1，在正方形中，E是上一点，F是延长线上一点，且．请直接写出、的数量关系 ； （2）如图2，在正方形中，E是上一点，G是上一点，如果，请你利用（1）的结论证明：． （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在四边形中，，，E是上一点，且，，，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $