精品解析：重庆市忠县花桥镇初级中学校2024-2025学年九年级下学期期中考试数学试题

九年级中期数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一种用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟悉掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：的相反数为， 故选：A． 2. 下列几何体中，主视图是圆形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是三视图中主视图的定义，即从几何体的正面观察到的图形叫做主视图． 【详解】解∶A.正方体的主视图是正方形，故本选项不符合题意; B.圆锥的主视图是三角形，故本选项不符合题意； C.球体的主视图是圆形,故本选项符合题意； D.圆柱的主视图是矩形,故本选项不符合题意. 故选:C. 3. 下列式子从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分解因式的定义，依次判断，即可求解， 本题考查了因式分解定义，解题的关键是：熟练掌握因式分解的定义． 【详解】解：、是因式分解，符合题意， 、，不符合题意， 、，等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合题意， 、，是整式的乘法，不符合题意， 故选：． 4. 下列各组二次根式中，是同类二次根式的为（　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，二次根式的化简，正确理解同类二次根式的概念是解题的关键．判断同类二次根式需将各选项化简为最简二次根式后，检查被开方数是否相同，根据同类二次根式的概念逐个判断即可． 【详解】A： 已是最简形式， 是整数，不是二次根式，故该选项不符合题意； B： 和 的最简形式分别为 和 ，被开方数不同，故该选项不符合题意； C：，，两者化简后均为的倍数，被开方数均为3，是同类二次根式，故该选项符合题意； D：，，被开方数分别为和，不同，故该选项不符合题意； 故选：C． 5. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若的面积2，且，则的面积为（ ） A. 6 B. 18 C. 32 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质：面积的比等于位似比的平方，直接利用位似图形的性质结合相似三角形的性质得出答案． 【详解】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，位似比为， ∴， ∴， ∵的面积2， ∴的面积为18， 故选：B． 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 直角三角形的两个角互余 B. 若，则 C. 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 D. 两边和一角对应相等的两个三角形全等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查真假命题判断，根据直角三角形的定义，绝对值的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定，逐项判断即可． 【详解】解：直角三角形的两个锐角互余，故A选项是假命题； 若，则或，故B选项是假命题； 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等，故C选项是真命题； 两边和夹角对应相等的两个三角形全等，故D选项是假命题； 故选C． 7. 七年级一班共有学生42名，一节美术课上老师组织同学们做圆柱形茶叶筒（一个桶身两个桶底组成一套），每名学生能做桶身20个或桶底30个，为使做的桶身和桶底正好配套．设安排x名学生做桶身，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，关键在于列等式是找数量一致， 根据一个桶身两个桶底组成一套列方程即可． 【详解】解：由题意得安排x名学生做桶身， 则名学生做桶底． 可列方程∶ ． 故选：B． 8. 如图，是半圆的直径，点，在半圆上，，，相交于点，若，则，，围成的图形的阴影面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、直角三角形的性质、扇形面积计算．连接，设交于F点，由，求出，利用直角三角形的性质求出，再由勾股定理求出，，根据即可求解． 【详解】解：连接，设交于F点，如图， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中 ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴，， ∴，，围成的图形的阴影面积为． 故选：C． 9. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．点E为小正方形的顶点，延长交于点F，分别交，于点G，H，过点D作的垂线交延长线于点K，连结．若为等腰三角形，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点K作，交的延长线于点P，与交于点O，根据正方形的性质和等腰三角形的性质证明，，利用勾股定理求得，，，，证明，可得，，即，，从而求得，证明和，求得，，从而求得，证明四边形是矩形，可得，再利用勾股定理求得，即可求出结果． 【详解】解：过点K作，交的延长线于点P，与交于点O， 由题意可知：四边形和四边形是正方形， ，，， ， 是等腰三角形， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 解得：， ，， ， 又， ， ， ∵四边形， ，， ， ， ，， ， ，， ，， ，， ，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ， 由题意可得：， ， ，， ， ， ，解得， ，， ， ， ∴四边形是矩形， ，， 由题意可知：， ， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的判定与性质，利用相似三角形的性质并构造直角三角形求出、是解题的关键． 10. 已知关于的多项式：，其中为正整数，各项系数各不相同且均不为0．当时，，交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“兄弟多项式”，给出下列说法： ①多项式共有6个不同的“兄弟多项式”； ②若多项式，则的所有系数之和为； ③若多项式，则． 其中正确的个数为（　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查已知字母的值求代数式的值，解题关键在于对进行赋值，即对其取，得到不同的多项式进行加减运算进而求得结果．①根据组合数计算交换次数；②代入求系数和；③利用和的值联立求解奇次项系数和即可. 【详解】解：①多项式有三项系数，互相交换共有种不同结果， 所以共有6个不同的“兄弟多项式”，故①正确，符合题意； ②若多项式，且，则取时，， 即的所有系数之和为， 当为偶数时，系数之和为1，当为奇数时，系数之和为，故②正确，符合题意； ③若多项式，， 取时，， 取时，， 两式相减得， 解得，故③错误，不符合题意； 综上，正确的个数为2， 故选：C 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 4的算术平方根是____________. 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了算术平方根的求法，理解算术平方根的定义是解答关键． 根据算术平方根的定义，一个非负数的平方等于4，则该数是4的算术平方根． 【详解】解：因为， 所以， 即4的算术平方根是2. 故答案为：2． 12. 一个多边形的内角和为，从这个多边形的一个顶点出发的对角线有___________条． 【答案】6 【解析】 【分析】首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算出对角线的条数即可． 【详解】解：设此多边形边数为， 由题意得:， 解得：， 从这个多边形的一个顶点出发所画的对角线条数: 故答案为: 6． 【点睛】此题主要考查了多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解题的关键是掌握多边形的内角和公式． 13. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和4个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到白色棋子的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了简单概率的计算，熟练掌握概率公式是解题的关键；根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和4个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，一共有6种等可能性，4个白色棋子，有4种等可能性， ∴摸到白色棋子的概率是， 故答案为：． 14. 若关于的一元一次不等式组至少有2个整数解，且的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为正数，确定的取值范围且，进而得到且，根据为正整数，确定出的取值，相乘即可得到答案． 【详解】解：， 解①得：， ， ， 解②得：， ， 关于的一元一次不等式组至少有两个整数解， ， 解得， ， ， ， ， 关于的分式方程的解为正整数， 且， 解得且， 且， 由∵为正整数， ∴或 则所有满足条件的整数的值之积是， 故答案为：． 15. 如图，内接于，连接并延长交于点，过点作于点．连接交于点，延长交于点，连接．若，则______，_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】过点O作于H，连接，根据圆周角定理，证明，推出，即可得出，进而求得的长；过点O作于N，于T连接，先证明，求出，再证明，求出，证明四边形为矩形，推出，设，勾股定理求出的值，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：过点O作于H，连接，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 过点O作于N，于T连接，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴ ∴， 设，则：， ∴， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 即 解得或(舍去)， ∴， ∴， 在中，． 故答案为：；． 【点睛】此题考查了圆的综合题、垂径定理、圆周角定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建方程解决问题． 16. 若一个四位自然数M的各数位上的数字互不相同且均不为0，且千位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这样的四位数为“平衡数”．将M的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，并规定，若为“平衡数”且，则_______，若s和t都是“平衡数”，其中，（且m，n，x，y均为整数），规定： ，若为整数，则k的最大值是_____________． 【答案】 ①. 9 ②. 【解析】 【分析】根据“平衡数”的定义，列式得到可求出a、b的值；再根据“平衡数”定义， 确定和的值，再由为整数分情况讨论求值即可． 本题主要考查了新定义，列代数式，整式的加减运算，理解新定义的运算：“平衡数”定义是解题的关键． 【详解】解： ． 则 ∵a、b为自然数， 则 ， ， ∴， x、y不可以是1和5， m和n不可以是2和3， 为整数， 当时，最大是17， (舍去)， m，n无解， 当时，最大值是17， (舍去)， (舍去)， ∴k的最大值是 故答案为：，． 三、解答题：本大题8个小题，第17题共16分，每小题8分，其余每小题10分，共86分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中是一元二次方程的根． 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】本题考查整式的加减以及分式的化简求值，一元二次方程的解的定义；解题关键是明确分式化简求值的方法． （1）根据整式的加减进行计算即可求解； （2）先算括号里面的，再算除法，最后求出一元二次方程的根，代入进行计算求值． 【详解】（1）解：， （2）， ， ， ， ， ， ， ， 原式． 18. 2023年以来，大渡口区把垃圾分类纳入积分，建立文明账户，以积分转习惯．区政府为了解3月份甲、乙两个社区垃圾分类换积分的情况，从甲、乙两个社区各抽取10人（单位：分），并进行整理和分析（积分用x表示，共分为四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 甲社区10人的积分： 94，56，71，83，68，85，90， 83，91，47， 乙社区10人的积分在C组中的分数为： 84，83，81，84， 两组数据的平均数、中位数、众数如表所示 社区 平均数 中位数 众数 甲 76.8 83 b 乙 76.8 a 84 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）根据以上数据，你认为 社区在此次垃圾分类换积分活动中表现更好．请说明理由（一条理由即可）； （3）若3月份甲社区有620人参与活动，乙社区有480人参与活动，请估计该月甲、乙两个社区积分在C组的一共有多少人？ 【答案】（1）， 83，30 （2）乙，理由见解析 （3）378 【解析】 【分析】本题考查中位数，众数，以及利用样本估计总体数量．熟练掌握中位数和众数的确定方法，是解题的关键． （1）找到甲社区中出现次数最多的数据，即可得到的值，根据乙社区的扇形统计图，确定两组的人数，找到乙组中第5和第6个数据，求出两个数据的平均值即可得到的值，利用组人数除以10，求出的值； （2）从中位数和众数的角度，进行分析即可； （3）分别利用总数乘以甲乙两个社区组人数所占的百分比，将积相加即可得解． 【小问1详解】 解：∵乙社区A组有人，B组有人，D组有人， ∴乙社区10人的积分中位数是第5个和第6个积分的平均数，即， ∴ 即, 甲社区10人的积分中83出现次数最多，共出现2次，故， 故答案为：，，30； 【小问2详解】 甲乙两个社区积分的平均数相同，但是乙社区的众数和中位数均比甲社区的众数和中位数高； 故答案为：乙； 【小问3详解】 甲社区积分在C组的人数所占的比例为：， 乙社区积分在C组的人数所占的比例为：， 人； 答：估计该月甲、乙两个社区积分在C组的一共有人． 19. 在学习了平行四边形与菱形的相关知识后，小西进行了更深入的研究，他发现，作平行四边形的一条对角线的垂直平分线与平行四边形的对边相交，这两个交点与这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空． （1）如图，在平行四边形中，用尺规作对角线的垂直平分线，分别交于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知，平行四边形，点分别是上的点，且垂直平分，求证：四边形是菱形． 证明：在平行四边形中，， ① ， 垂直平分， ② ，， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ③ ， 四边形是菱形． 进一步思考：如果四边形是矩形，作矩形的一条对角线的垂直平分线与矩形的对边相交，则 ④ ． 【答案】（1）作图见解析 （2），，，两个交点与这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形 【解析】 【分析】（）根据题意作图即可； （）由平行四边形的性质可得，即得，进而由线段垂直平分线的性质可证，得到，即得四边形是平行四边形，再根据可得四边形是菱形，同理可得四边形是矩形时，两个交点与这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形． 【小问1详解】 解：如图所示，直线、线段和即为所求； 【小问2详解】 证明：在平行四边形中，， ， 垂直平分， ，， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 进一步思考：如果四边形是矩形，作矩形的一条对角线的垂直平分线与矩形的对边相交，则两个交点与这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形． 理由：同理上可得，四边形是菱形． 故答案为：，，，两个交点与这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，掌握平行四边形的判定和性质、菱形的判定是解题的关键． 20. 某商场有A，B两款电器，已知每台A款电器售价是每台B款电器售价的倍，顾客用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台． （1）求A，B两款电器每台的售价； （2）经统计，每台A款电器的利润为100元时每月可以卖出100台，为了尽可能减少库存，该商场决定采取适当降价措施．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，则平均每月可多售出20台，该商场想要每月销售A款电器的利润为10800元，则每台A款电器应降价多少元？ 【答案】（1）A，B两款电器每台的售价分别为300元，240元 （2）每台A款电器应降价40元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程和一元二次方程是解题的关键． （1）设每台B款电器的售价为x元，则每台A款电器的售价为元，根据“顾客用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台”列出分式方程，解方程即可； （2）设每台A款电器应降价m元，根据每月销售A款电器的利润达到10800元，列出一元二次方程，解之取满足题意的值即可． 【小问1详解】 解：设每台B款电器的售价为x元，则每台A款电器的售价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元）， 答：A，B两款电器每台的售价分别为300元，240元； 【小问2详解】 解：设每台A款电器应降价m元， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 为了尽可能减少库存， 取． 答：每台A款电器应降价40元． 21. 如图，在矩形中，，是的中点，点沿着折线（从点开始运动到点结束）运动，当点的运动路程为时，记． （1）直接写出与的函数关系式，并写出的取值范围； （2）在直角坐标系内画出的图象，并写出此函数的一条性质； （3）当时，结合函数图象直接写出的取值． 【答案】（1） （2）画图见解析，性质：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； （3）或 【解析】 【分析】（）由矩形的性质可得，，，即得，再分情况分别画出图形解答即可求解； （）根据（）所得函数解析式求出线段端点的坐标，进而由两点法画出函数图象即可； （）根据函数图象即可求解； 本题考查了一次函数的几何应用，画一次函数图象，根据题意正确求出函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵矩形， ∴，，， ∵是的中点， ∴， 当时，如图， ∵， ∴ ∴； 当时，如图， ∵， ∴； 综上，； 【小问2详解】 解：在中，当时，；当时，； 在中，当时，； 画函数图象如下： 由图象可得，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； 【小问3详解】 解：由函数图象可得，当时，或． 22. 某送货司机在各站点间上门送货的平面路线如图所示：．已知点B在点A的北偏东方向处，点C在点B的正东方处，点D在点C的南偏东方向，点D在点A的正东方．(参考数据：，，) （1）求线段CD的长度；(结果精确到0.01km) （2）已知送货司机在送货过程中全程保持10m/s的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A点运送到D点，则送货司机按既定路线进行运送能否按时送达？(送货司机在各站点停留的时间忽略不计) 【答案】（1） （2）能 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，正确构造直角三角形从而利用解直角三角形的相关知识求解是解题的关键． （1）分别过点B、C作于E，于F，得到四边形是矩形，，利用，求出，即，从而利用求出； （2）先算出总路程，再除以速度得到送货时间，与16分钟比较即可得解． 【小问1详解】 分别过点B、C作于E，于F， 依题意可知：，，，，， ∴， ∴四边形是矩形，， ∵，， ∴ 又∵， ∴ 【小问2详解】 16分钟秒， ∵，，， ∴， ∴从A点运送到D点的时间为：， ∴送货司机按既定路线进行运送能按时送达． 23. 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，点D是该抛物线的顶点，点P(m，n)是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、BP，当∠PBA＝2∠CBD时，求m的值； （3）如图2，∠BAC的角平分线交y轴于点M，过M点的直线l与射线AB，AC分别于E，F，已知当直线l绕点M旋转时，＋为定值，请直接写出该定值． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）－；（3） 【解析】 【分析】（1）由题意设OA=a，根据OB=OC=3OA可得A（-a，0）B（3a，0）、C（0，3a），对称轴为x==a得到b=-2a，把点A、B的坐标代入二次函数解析式即可； （2）根据题意作BC的中垂线GH，则CD∥GH，H为BD中点并连接CH，过C作CN⊥BD于点N，进而利用三角函数tan∠PBA＝，建立方程求解即可； （3）根据题意过点M作MG∥x轴，交AC于点G，过点F作FT∥OA，交射线AM于点T，过点C作CQ∥OA，交射线AM于点Q，根据相似三角形性质求出，进而即可进行分析解答. 【详解】：（1）设OA＝a（a＞0）， ∵OB＝OC＝3OA， ∴OB＝OC＝3a， ∴A（﹣a，0），B（3a，0），C （0，﹣3a）， ∴该抛物线的对称轴为x＝＝a， ∴b＝﹣2a①， 将A（﹣a，0），C （0，﹣3a），代入得， ， ①②③联立解得：， ∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）如图，D（1，－4），∠BCD＝90°， 作BC的中垂线GH，则CD∥GH，H为BD中点 连接CH，过C作CN⊥BD于点N． CH＝BH＝BD＝，CN＝ ＝， ∠CHN＝2∠CBD＝∠PBA， ∴NH＝， ∴tan∠CHN＝， ∴tan∠PBA＝， ∴＝，解得m1＝3，m2＝－． ∴m的值为－． （3）过点M作MG∥x轴，交AC于点G，过点F作FT∥OA，交射线AM于点T，过点C作CQ∥OA，交射线AM于点Q， ∵MG∥FT∥CQ∥OA， ∴△CMG∽△COA，△ACQ∽△AGM， ∴， ∴， ∴ ∵CQ∥OA， ∴∠Q=∠QAO， ∵∠CAM=∠OAM， ∴∠CAM=∠Q， ∴AC=CQ， ∴， 由（1）得OA=1，OC=3，∠AOM=90°， ∴， ∴， ∴， ∴＋为定值，该定值为. 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． 24. 在中，记，将BC绕点B逆时针旋转得到线段BD，连接AD，取AD的中点E． （1）如图1，过点D作于点F，连接EF．若，，，求AC的长； （2）如图2，若，连接BE，猜想AB、AC、BE的数量关系，并说明理由： （3）在（2）问的条件下，若，将沿着AB翻折得到，连接，当最大时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1），先根据“AAS”证明△ABC≌△FDB，可得AB=DF，BF=AC，再根据，设BF=x，则DF=3x，AF=2x，根据直角三角形的性质求出AD，再根据勾股定理得出答案即可； （2）将线段AB绕点B逆时针旋转至BP，连接DP．延长DP至点Q使得，连接BQ．根据全等三角形的判定和性质得出，，由题意得出是等边三角形，再根据中位线的判定和性质结合图形即可得出结论； （3）延长BA到点C’，使得，延长BE’与C’C的延长线交于点F，取BC的中点M，先求出点E’的运动轨迹，点的轨迹是圆，记圆心为O，连接BO、MO，过点O作OP⊥BM，利用垂径定理得出半径，当点D、、O三点共线时，为线段OD与圆O的交点时，最大，过点D作DH⊥CB，交CB的延长线于点H，DE’与BC交于点T，过点E’作E’Q⊥BC，结合图形，利用相似三角形的判定和性质，解直角三角形进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵BC旋转90°到BD， ∴BC=BD，∠BAC=∠CBD=90°， ∴∠DBA+∠ABC=90°，∠ABC+∠C=90°， ∴∠DBA=∠C， ∴△ABC≌△FDB（AAS）， ∴AB=DF，BF=AC， ∵， 设BF=x，则DF=3x，AF=2x， ∵点E为AD中点，EF=2， ∴AD=2EF=， ∴，即， 解得：x=4（负值已经舍去）， ∴AC=BF=4； 【小问2详解】 猜想：，理由如下： 将线段AB绕点B逆时针旋转至BP，连接DP．延长DP至点Q使得，连接BQ． 根据题意可得：∠ABP=∠CBD=120°， ∴∠ABP-∠DBA=∠CBD-∠DBA， 即∠DBP=∠ABC， ∵旋转， ∴AB=BP，BC=BD， ∴ ∴ ∴， ∵BP=PQ， ∴是等边三角形 ∴， 又∵ ∴，点B为AQ中点， ∵点E为AD中点， BE是的中位线 ∴ 又∵ ∴． 【小问3详解】 延长BA到点C’，使得，延长BE’与C’C的延长线交于点F，取BC的中点M， 由（2）可证： ∵翻折， ∴， ∵， ∴是等边三角形 ∴， ∵， ∴ ∴是BF的中点 又∵M是BC的中点 ∴是的中位线 ∴ ∴ 又∵ ∴点的轨迹是圆，记圆心为O，连接BO、MO，过点O作OP⊥BM， ∴，∠BOP=∠MOP=60°，BP=PM=， ∴OM=OB=， ∴半径 ∴当点D、、O三点共线时，为线段OD与圆O的交点时，最大 过点D作DH⊥CB，交CB的延长线于点H，DE’与BC交于点T，过点E’作E’Q⊥BC，如图所示： ∵∠CBD=120°，BC=BD=， ∴∠DBH=60°， ∴DH=DB∙6，， ∵， ∴， ∵DH⊥CB，OP⊥BC， ∴DH∥OP， ∴△DHT∽△OTP， ∴， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵DH⊥CB，E’Q⊥BC， ∴DH∥E’Q， ∴， ∴， 即， ∴， ∴ ． 【点睛】题目主要考查圆与三角形的综合问题，包括全等三角形、相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，隐圆模型等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级中期数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一种用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 2025的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 下列几何体中，主视图是圆形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各组二次根式中，是同类二次根式的为（　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 5. 如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若的面积2，且，则的面积为（ ） A. 6 B. 18 C. 32 D. 64 6. 下列命题是真命题的是（ ） A. 直角三角形的两个角互余 B. 若，则 C. 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 D. 两边和一角对应相等的两个三角形全等 7. 七年级一班共有学生42名，一节美术课上老师组织同学们做圆柱形茶叶筒（一个桶身两个桶底组成一套），每名学生能做桶身20个或桶底30个，为使做的桶身和桶底正好配套．设安排x名学生做桶身，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是半圆的直径，点，在半圆上，，，相交于点，若，则，，围成的图形的阴影面积为（ ） A. B. C. D. 9. 由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．点E为小正方形的顶点，延长交于点F，分别交，于点G，H，过点D作的垂线交延长线于点K，连结．若为等腰三角形，，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的多项式：，其中为正整数，各项系数各不相同且均不为0．当时，，交换任意两项的系数，得到的新多项式我们称为原多项式的“兄弟多项式”，给出下列说法： ①多项式共有6个不同的“兄弟多项式”； ②若多项式，则的所有系数之和为； ③若多项式，则． 其中正确的个数为（　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 4的算术平方根是____________. 12. 一个多边形的内角和为，从这个多边形的一个顶点出发的对角线有___________条． 13. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和4个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到白色棋子的概率是________． 14. 若关于的一元一次不等式组至少有2个整数解，且的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之积是______． 15. 如图，内接于，连接并延长交于点，过点作于点．连接交于点，延长交于点，连接．若，则______，_______． 16. 若一个四位自然数M各数位上的数字互不相同且均不为0，且千位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这样的四位数为“平衡数”．将M的千位上的数字与十位上的数字对调，百位上的数字与个位上的数字对调，组成一个新的四位数记为，并规定，若为“平衡数”且，则_______，若s和t都是“平衡数”，其中，（且m，n，x，y均为整数），规定： ，若为整数，则k的最大值是_____________． 三、解答题：本大题8个小题，第17题共16分，每小题8分，其余每小题10分，共86分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中是一元二次方程的根． 18. 2023年以来，大渡口区把垃圾分类纳入积分，建立文明账户，以积分转习惯．区政府为了解3月份甲、乙两个社区垃圾分类换积分的情况，从甲、乙两个社区各抽取10人（单位：分），并进行整理和分析（积分用x表示，共分为四组：A：，B：，C：，D：），下面给出了部分信息： 甲社区10人的积分： 94，56，71，83，68，85，90， 83，91，47， 乙社区10人的积分在C组中的分数为： 84，83，81，84， 两组数据的平均数、中位数、众数如表所示 社区 平均数 中位数 众数 甲 76.8 83 b 乙 76.8 a 84 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； （2）根据以上数据，你认为 社区在此次垃圾分类换积分活动中表现更好．请说明理由（一条理由即可）； （3）若3月份甲社区有620人参与活动，乙社区有480人参与活动，请估计该月甲、乙两个社区积分在C组的一共有多少人？ 19. 在学习了平行四边形与菱形相关知识后，小西进行了更深入的研究，他发现，作平行四边形的一条对角线的垂直平分线与平行四边形的对边相交，这两个交点与这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图和填空． （1）如图，在平行四边形中，用尺规作对角线的垂直平分线，分别交于点，连接．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知，平行四边形，点分别是上的点，且垂直平分，求证：四边形是菱形． 证明：平行四边形中，， ① ， 垂直平分， ② ，， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ③ ， 四边形是菱形． 进一步思考：如果四边形是矩形，作矩形的一条对角线的垂直平分线与矩形的对边相交，则 ④ ． 20. 某商场有A，B两款电器，已知每台A款电器的售价是每台B款电器售价的倍，顾客用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1台． （1）求A，B两款电器每台的售价； （2）经统计，每台A款电器的利润为100元时每月可以卖出100台，为了尽可能减少库存，该商场决定采取适当降价措施．调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，则平均每月可多售出20台，该商场想要每月销售A款电器的利润为10800元，则每台A款电器应降价多少元？ 21. 如图，在矩形中，，是的中点，点沿着折线（从点开始运动到点结束）运动，当点的运动路程为时，记． （1）直接写出与的函数关系式，并写出的取值范围； （2）在直角坐标系内画出的图象，并写出此函数的一条性质； （3）当时，结合函数图象直接写出的取值． 22. 某送货司机在各站点间上门送货的平面路线如图所示：．已知点B在点A的北偏东方向处，点C在点B的正东方处，点D在点C的南偏东方向，点D在点A的正东方．(参考数据：，，) （1）求线段CD的长度；(结果精确到0.01km) （2）已知送货司机在送货过程中全程保持10m/s速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A点运送到D点，则送货司机按既定路线进行运送能否按时送达？(送货司机在各站点停留的时间忽略不计) 23. 如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴分别交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，点D是该抛物线的顶点，点P(m，n)是第二象限内抛物线上的一个点，分别连接BD、BC、BP，当∠PBA＝2∠CBD时，求m的值； （3）如图2，∠BAC的角平分线交y轴于点M，过M点的直线l与射线AB，AC分别于E，F，已知当直线l绕点M旋转时，＋为定值，请直接写出该定值． 24. 在中，记，将BC绕点B逆时针旋转得到线段BD，连接AD，取AD中点E． （1）如图1，过点D作于点F，连接EF．若，，，求AC的长； （2）如图2，若，连接BE，猜想AB、AC、BE的数量关系，并说明理由： （3）在（2）问的条件下，若，将沿着AB翻折得到，连接，当最大时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $