2026年广西壮族自治区崇左市宁明县初中学业水平第一次模拟考试数学科

**基本信息** 2026年崇左市宁明县初中数学一模卷，以深圳铁岗水库水位、企业产业升级等现实情境为载体，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查抽象能力、运算能力及模型意识，适配中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|实数、几何图形、概率、函数|第8题排队找零结合排列组合，考查逻辑推理| |填空题|4/12|代数式、新定义运算、圆、旋转最值|第15题3个小圆面积平分，体现空间观念| |解答题|7/72|方程应用、几何证明、函数最值、新定义|第22题玻璃罐费用最省培养模型意识，第23题伴随抛物线发展创新意识|

2026年崇左市宁明县初中学业水平模拟考试 数学科 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效。 3．不能使用计算器。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 1、 选择题（共12小题，每题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1．深圳铁岗水库的正常水位为28.7米，水文站将超过正常水位0.5米记作米，那么低于正常水位0.3米应记作（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．已知单项式与是同类项，则关于x的方程的解为（    ） A． B． C． D． 3．已知是二元一次方程的一个解，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 4．一个口袋里有除颜色外其他都相同的个红球和个白球，先从袋子里取出个白球，再放入个一样的红球并摇匀，摸出一个球是红球的可能性大小是，则，可能的组合种类数为(   ) A．5种 B．6种 C．7种 D．8种 5．将含角的直角三角板按如图方式摆放，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，是的两条切线，切点分别为，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，若点恰好落在中点，则线段的长为（   ） A．4 B． C．3 D． 8．有10个人去排队买电影票，已知电影票5元钱一张，这10个人中有5人拿了5元纸币，5人拿了10元纸币，且售票员开始手中没有钱，问能使得售票员能顺利找开钱的不同方法数是（    ）（每个人看成相同的，如果第一个拿了10元纸币，那么就找不开钱了）（    ） A．12 B．28 C．36 D．42 9．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点P在上，轴于点C，交于点轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（    ）． A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，的圆心A的坐标为，的半径为1，点P为直线上的动点，过点P作的切线，切点为Q，求切线长的最小值（   ） A． B．2 C． D．4 11．如图，抛物线与轴交于两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最小值是（   ） A．2 B． C． D．3 12．如图，已知等边边长为，点D、E分别为边、上的两动点，且，连接、交于点H，过点B、A分别作、的垂线，垂足分别为G、F，连接，则的长是（   ） A． B． C． D．1 2、 填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13．若，则_____________． 14．若规定符号的意义是：，则当时，的值为______． 15．如图，在平面直角坐标系中，有3个半径为1的小圆拼在一起，y轴过右边两个小圆的圆心，且这两个圆有唯一一个公共点P．若过点P有一条直线平分这3个小圆的总面积，则该直线的函数解析式为______． 16．如图， 在中，，，， 分别为上的动点，为的中点，将绕点旋转，点刚好落在边上，则的最小值为______． 3、 解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）。 17．（8分）计算： (1)； (2)解方程组：． （3）．化简求值：，其中． 18．（10分）某企业要进行产业升级，决定投入资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代． (1)为促进企业的产业升级，本地政府也出台了相应的补贴政策：企业更新1条甲类生产线的设备可获得3.5万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．更新完这30条生产线的设备，该企业可获得75万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ (2)已知更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用225万元购买更新甲类生产线的设备数量和用200万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得75万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 19．（10分）【知识回顾】 如图1，在证明三角形的中位线定理时，采用了剪拼的方式，将三角形转化为平行四边形，通过证明得到“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”． 【方法迁移】 定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图2，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？ 小明思考之后给出了如下的证明思路：如图2，连接并延长，交的延长线于点…… (1)请写出梯形的中位线和两底间的关系，并说明理由． 【理解内化】 (2)如图3，若梯形的面积为，高为，则梯形的中位线的长为__________． 20．（10分）如图，在中，点是边上一点，连接，过点作，交的延长线于点．连接，交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 21．（10分）如图，是的直径，，是上的两点，过点作的切线交的延长线于点． (1)若，求的度数． (2)若，，求半径的长． 22．（12分）某蛋糕店为储存蜂蜜选购玻璃罐，现有如下信息： 信息1  蛋糕店有36kg蜂蜜需储存，要求买来的玻璃罐刚好全部装满； 信息2  超市有甲，乙两种型号的玻璃罐，其容量和单价如下表： 型号 甲 乙 单个容量（千克） 2 3 单价（元） 13 18 超市促销方案：购买甲型号玻璃罐超过10个时，超过10个的部分打八折（注意：乙型号玻璃罐不打折）．设购买甲型号玻璃罐个，购买乙型号玻璃罐个，所需总费用为元． (1)当时，的值为________； (2)求关于的函数关系式； (3)求购买玻璃罐所需的最少费用，并写出购买方案． 23．（12分）新定义 【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线上，则称是的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即的顶点在上． 【理解与运用】 (1)若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______； 【思考与探究】 (2)设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求的值； ②如图，在①的条件下，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，为抛物线上任意一点，当 时，求点的坐标． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年崇左市宁明县初中学业水平模拟考试 数学科（参考答案） 题号 2 4 分 6 P 9 10 答案 8 C D C D B」 B B A 题号 11 12 答案 A 13.15 14.12 解：由题意可得， m m-3 =m(m-2）-(m-3)(1-2m)=m2-2m-m-2m2-3+6m)=3m2-9m+3, 1-2mm-2 :m2-3m-3=0, .m2-3m=3, m m-3 1-2mm-2 =3m2-9m+3=3m2-3m+3=3×3+3=12. 1542 解：由图可知，右边两个圆关于点P中心对称， :过点P的任一直线平分右边两个圆的面积之和； :若过点P有一条直线平分这3个小圆的总面积，则该直线经过左边圆的圆心， 由题意知，点P的坐标为0,2)，左边圆的圆心坐标为-2,1)， 设该直线的函数解析式为y=c+b, [b=2 将(0,2)和(-2,1代入，得： -2k+b=1' [b=2 解 1, k22 :该直线的函数解析式为y= x+2 16.1.2 解：：AB=3,AC=4,BC=5, 1 AB2+AC2=32+42=9+16=25,BC2=52=25, ..AB2+AC2=BC2, :△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°， 设旋转后点A落在BC上的点为A,如图， 4 B 由旋转的性质可知，△AEF与△A'FE关于点M中心对称， .点A与点A关于点M对称， M为线段AA'的中点， w 要使AM最小，则需AA'最小， :点在边BC上， 当AM1BC时，AM的值最小，此时S4c=)ABAC=)BCA, 1 即x3x4=}x5xAA, 2 解得AA”=2-24, 5 M的最小值为2×24=1.2. 17.(1)-5 of (1)解：原式=-6+1 =-5; (2)解： x+y=5① 2x-y=4② 由①+②得3x=9,解得x=3, 将x=3代入①得y=2, x=3 故方程组的解为： y=2 2 (3).-2x-5y,13 解：[(x+4y)2-(2y+x(x-2y)]÷(-4y =(x2+8xy+16y2-x2+4y2）÷(-4y) =(8xy+20y2）÷(-4y) =-2x-5y 当x=1,y=-3时， 原式=-2×1-5×-3)=13； 18.(1)该企业有甲类生产线10条，乙类生产线20条 (2)还需投入1175万元资金更新生产线的设备 (1)解：设该企业有x条甲类生产线，y条乙类生产线 x+y=30 3.5x+2y=75' [x=10 解得 y=20' 答：该企业有甲类生产线10条，乙类生产线20条. (2)解：设更新1条乙类生产线的设备需投入m万元，则更新1条甲类生产线的设备需投 入m+5)万元. 225200 m+5 m 解得m=40, 经检验，m=40是原分式方程的解，且符合题意 10×45+20×40-75=1175, 答：还需投入1175万元资金更新生产线的设备。 19.(①)EF∥AD∥BC;EF=(AD+BC,理由见解析 (2)9cm (I)解：EF∥AD I BC,EF=AD+BC). 证明：连接AF并延长，交BC的延长线于点G, :AD∥BC, 3 LDAF=∠CGF,∠D=∠GCF, :EF就是梯形ABCD的中位线， :DF=CF,AE=EB .△ADF≌△GCF(AAS .AD=CG,AF=GF, .AE=EB, :EF是△ABG的中位线， FF=BG=cG+BC)=4D+BC,EF∥8G.即EF∥8C, .:AD∥BC EF∥AD∥BC. (2)解：梯形ABCD的面积为63cm,高为7cm, D+C7=60 .AD+BC =18cm 侧梯形的中位线EF=AD+BC=9如 20.(1)证明见解析 (cP- (1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AB =DC,AD BC,ABI DC,ADI BC, .ZABE ZDCF :AE‖DF, .四边形ADFE是平行四边形. B E .AD=EF, :BC=EF, .BC=BE EC,EF=EC+CF, .BE =CF. 4 在AABE和△DCF中， AB=DC ∠ABE=∠DCF, BE=CF △ABE≌△DCF(SAS), (2)解：：四边形ABCD是平行四边形， :AD=BC=3,DC=AB=4, BE =2EC,.BE =CF=2. AD‖CF, .△FCP∽△ADP, CP CF 2 ·DP=AD3 CP 2 CD-CP-3' cp-nc- 5 21.(1)25° (2)3 (1)解：：AE=AE,LADE=25°， LABE=∠ADE=25°. (2)解：如图，连接OA, E C..ZAOC =22B. D AB=AC, ∠C=LB, :ZAOC =2ZC. :AC与00相切于点A, L0AC=90°， ∠C=30°， 0C=20A. 5 :0A=0E, CE=0A=0E=3, :00半径的长为3. 22.(1)y=8 x+216,x=0,3,6,9 (2)w= -1.6x+242,x=12,15,18 (3)购买甲种玻璃罐18个，乙种玻璃罐0个时所需费用少，为213.2元 (1)解：由题意可知，2x+3y=36,当x=6时，y=8; (2)解：由(1)可知，y=12-2x,x为3的倍数， 3 当0≤x≤10时， w=13x+18y=13x+1812-2x=x+216, 3 当10<x≤18时， w=13x10+13xx-10j×80%+18y=130+104xx-10j+182-号-16x+242. x+216,(x=0,3,6,9 综上， W= -1.6x+242,x=12,15,18 （3)解：当x=0,3,6,9时，k=1>0,w随x的增大而增大， .当x=0时，wm=216; 当x=12,15,18时，k=-1.6<0,w随x的增大而减小， .当x=18时，wm=213.2。 综上，购买甲种玻璃罐18个，乙种玻璃罐0个时所需费用少，为213.2元. 23.(1)3,±1 (2)①d=6,e=3;②P(4,11或P(8,-13 （)解：二次函数y=青x-+m和y=x-川+兮的图象都是抛物线)式的件 随抛物线， 点(3，m)和 在抛物线y=5x上， 3 m=×3,3 11 =n2, 3 .m=3,n=土1， 6 故答案为：3,1； (2)解：①：y=x2-2x+6k+3=(x-k)2-k2+6k+3, 抛物线C,的顶点坐标为k,-k2+6k+3, :函数y=-x2+dx+e的图象为抛物线C,且C,始终是CG的伴随抛物线， .-k2+6k+3=-k2+dk+e, 整理得，6k+3=dk+e, .d=6,e=3; ②由①得，函数y=-x2+6x+3的图象为抛物线CG, 令y=0,即-x2+6x+3=0, 解得x=3-25或x=3+2√5， A3-25,0,B3+2V5,0, 把x=0代入y=-x2+6x+3,得y=3, .C(0,3, 当y=3时，-x2+6x+3=3, 解得x=0或x=6, :CD∥x轴， .D6,3, 设Pp,-p2+6p+3, 如图，过点P作PH⊥CD于点H, 则PH=p2+6p+3-3=-p2+6p=p2-6p,CH=pl, tan/PCD =2, p≠0， :HD-P6=p-6=2 CH PP .p-6=-2或p-6=2, 解得p=4或p=8, P(4,11或P(8,-13).