1.1从自然数到有理数导学案 2025--2026学年浙教版七年级数学上册

1.1 从自然数到有理数导学案 一、学习目标 1. 理解自然数、分数、小数、正数、负数、有理数的意义。 1. 掌握有理数的分类方法，能准确区分各类数。 1. 学会用正数和负数表示具有相反意义的量。 二、学习重难点 （一）学习重点 1. 自然数、分数、小数、正数、负数、有理数的概念理解。 1. 有理数的分类及用正、负数表示相反意义的量。 （二）学习难点 1. 负数概念的理解及实际应用。 1. 有理数分类的准确性，避免概念混淆。 三、知识点自主预习填空 1. 自然数是指用以计量事物的件数或表示事物次序的数，即用数码 0，1，2，3，4…… 所表示的数 。最小的自然数是_____。 1. 分数是把单位 “1” 平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数 。如把 1 米长的绳子平均分成 5 段，每段长_____米。 1. 小数是分数的另一种表现形式，有限小数和无限循环小数都能化为_____。 1. 大于 0 的数叫做_____，在正数前面加上负号 “-” 的数叫做_____，_____既不是正数也不是负数。 1. 有理数是_____和_____的统称，有理数可分为_____、0 和_____。 四、知识点讲解 （一）自然数，分数，小数的意义 1. 自然数 0. 定义：用以计量事物的件数或表示事物次序的数，由 0 开始，依次为 0，1，2，3，4……。 0. 应用： 2. 计数：表示物体的个数，例如班级里有 45 名学生，45 就是用于计数的自然数。 2. 测量：在测量结果中体现，如小明的身高是 160 厘米，160 是自然数。 2. 标号：像门牌号 201 室、车牌号浙 A12345 等，其中的数字是用于标号的自然数。 2. 排序：比如运动会比赛名次，第一名、第二名等，名次用自然数表示排序。 0. 常考易错点：容易混淆标号和排序。标号只是一个特定的编号，不体现大小顺序，一般不参与运算；排序是按照一定规则排列的顺序，有先后之分 。 0. 经典例题 1：下列自然数的应用属于标号的是（ ） A. 图书馆有 2000 册图书 B. 这次考试小明排第 3 名 C. 某小区的 8 号楼 D. 这袋大米重 10 千克 解析：A 选项 2000 册图书是计数；B 选项第 3 名是排序；C 选项 8 号楼是标号；D 选项 10 千克是测量结果。所以答案选 C。 0. 变式题 1：下列属于自然数排序应用的是（ ） A. 公交车的 12 路车 B. 小李的电话号码是 87654321 C. 班级座位表上的第 5 排 D. 运动会上小王获得第 2 名 答案：D 1. 分数 0. 定义：把单位 “1” 平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数。 0. 与除法的关系：分数可以看作两个整数相除，分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号，如。 0. 常考易错点：在理解分数概念时，要强调 “平均分”；同时，分数的分母不能为 0。 0. 经典例题 2：把 3 千克糖果平均分给 5 个小朋友，每个小朋友分得这些糖果的（ ），每个小朋友分得（ ）千克。 解析：把糖果看作单位 “1”，平均分给 5 个小朋友，每个小朋友分得这些糖果的；3 千克平均分给 5 个小朋友，每个小朋友分得千克。 0. 变式题 2：把一根绳子平均剪成 8 段，每段是这根绳子的（ ），5 段是这根绳子的（ ）。 答案： 14. 小数 0. 定义：小数是分数的另一种表现形式，有限小数和无限循环小数都可以化为分数 。 0. 分类： 12. 有限小数：小数部分的位数是有限的，如 0.25、3.14 等。 12. 无限循环小数：小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，如等。 0. 常考易错点：无限不循环小数（如\pi）不能化为分数，不属于有理数的范畴，在学习中要注意区分。 0. 经典例题 3：将 0.75 化为分数。 解析：0.75 =。 0. 变式题 3：将化为小数。 答案：0.625 （二）正数和负数 1. 概念 0. 正数：大于 0 的数叫做正数，如 +5、12、3.2 等（“+” 号通常可省略不写）。 0. 负数：在正数前面加上负号 “-” 的数叫做负数，如 -3、-0.5、等。 0. 0 的特殊性：0 既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线。 1. 表示具有相反意义的量 0. 在实际生活中，为了方便区分具有相反意义的量，我们把一种意义的量规定为正，用正数表示；另一种与之意义相反的量规定为负，用负数表示 。 0. 例如：温度方面，零上 5℃记为 +5℃，零下 2℃记为 -2℃；收支方面，收入 200 元记为 +200 元，支出 80 元记为 -80 元；方向方面，向东走 10 米记为 +10 米，向西走 6 米记为 -6 米。 1. 常考易错点：判断一个数是正数还是负数，不能仅看是否带有 “+”“-” 号，例如 -（-2）= 2 是正数，+（-3）= -3 是负数；同时，0 不是正数也不是负数，这是学生容易忽略的点。 1. 经典例题 4：如果规定向东为正，那么 -8 米表示（ ） A. 向东走 8 米 B. 向西走 8 米 C. 向北走 8 米 D. 向南走 8 米 解析：因为规定向东为正，所以负数表示相反方向，即 -8 米表示向西走 8 米，答案选 B。 1. 变式题 4：若水位上升 3 米记作 +3 米，则水位下降 2 米记作_____米。 答案：-2 （三）有理数的概念与分类 1. 有理数的概念：整数和分数统称有理数。任何一个有理数都可以写成（a，b 是整数，b≠0）的形式，整数可以看作分母为 1 的分数。 1. 有理数的分类 0. 按定义分类： 有理数 0. 按性质符号分类： 1. 常考易错点： 0. 对有理数分类时，要特别注意 0 的特殊性，0 是整数，也是有理数，既不属于正有理数，也不属于负有理数。 0. 无限不循环小数不是有理数，如\pi，在分类时不要将其错误归为有理数。 1. 经典例题 5：把下列各数填入相应的集合中： -3，0，5，-0.25，， -2\frac{1}{2}，1.5 0. 正整数集合：{ } 0. 负分数集合：{ } 0. 有理数集合：{ } 解析：正整数集合：；负分数集合：。 1. 变式题 5：下列说法正确的是（ ） A. 有理数分为正有理数和负有理数 B. 整数和分数统称有理数 C. 0 是最小的有理数 D. 无限小数都是有理数 答案：B 五、效果检测 1. 所有的自然数都是整数。（ ） 1. 一个数不是正数就是负数。（ ） 1. 分数都能化为有限小数。（ ） 1. 0 是最小的正整数。（ ） 1. 有理数包括整数和分数。（ ） 六、归纳总结 1. 自然数可用于计数、测量、标号、排序；分数是把单位 “1” 平均分得到的数，与除法紧密相关；小数是分数的另一种形式，有限小数和无限循环小数可化为分数。 1. 正数大于 0，负数小于 0，0 是正、负数的分界线，正数和负数可表示具有相反意义的量。 1. 有理数是整数和分数的统称，可按定义或性质符号进行分类，分类时要注意 0 的特殊性以及有理数与无限不循环小数的区别。 7、 课后作业 一、单选题 1．下列各数，2.5，0，，，，中，负数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．《九章算术》是我国古代著名的数学著作，在世界数学史上首次正式引入负数．若收入元记作元，则支出元记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若收入10元记作元，则支出5元可记作（    ） A．元 B．5元 C．元 D．10元 4．在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作个，那么该队失3个球记作（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如收入100元记为元，那么支出60元记为（   ） A．元 B．60元 C．元 D．40元 6．冰箱保鲜室的温度零上记作，则冷藏室的温度零下记作（    ） A． B． C． D． 7．在，，0，，，（每两个4之间依次多1个0），中，有理数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 8．在,2024,,四个数中有理数的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．下列说法正确的是（    ） A．是负分数 B．是负数，但不是整数 C．0是正数 D．是分数但不是正数 10．下列四个数中，是负整数的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．0既不是 ，也不是 ． 12．有理数0除了表示“没有”，还可以表示其他意义，可以是 ． 13．在，3，，0，，，中，负数有 个． 三、解答题 14．把下列各数填在相应的括号里． ，，，，，，，，， 整数集合：{                  …} 负分数集合：{                  …} 非负有理数集合：{                  …} 15．把下列各数的序号填在相应的集合里：     ①，②0.2，③ ，④0，⑤ ， ⑥，⑦，⑧． 整数集合：{ __________________ }； 负分数集合：{ __________________ }； 正有理数集合：{ __________________ }． 八、答案 （一）自主预习填空答案 1. 0 1. 1. 分数 1. 正数；负数；0 1. 整数；分数；正有理数；负有理数 （二）效果检测答案及解析 1. √。因为整数包括正整数、0 和负整数，自然数是 0 和正整数，所以所有自然数都是整数。 1. ×。还有 0，0 既不是正数也不是负数。 1. ×。分数化为小数可能是有限小数，也可能是无限循环小数，如是无限循环小数。 1. ×。0 既不是正数也不是负数，最小的正整数是 1。 1. √。这是有理数的定义，有理数就是由整数和分数组成的。 （3） 课后作业答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A B A A C C A C 1．B 【分析】本题考查负数的概念，根据小于0的数为负数进行判断即可． 【详解】解：，2.5，0，，，，中，负数有，，共3个； 故选：B． 2．B 【分析】本题考查了相反意义的量，熟练掌握正负数的意义是解答本题的关键．在一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示．根据题意，收入与支出为相反意义的量，若收入记为正，则支出应记为负． 【详解】解：∵收入元记作元， ∴支出元记作元． 故选：B． 3．A 【分析】本题考查正负数表示相反意义的量，收入与支出为相反意义的量，收入用正数表示，则支出用负数表示，数值为实际金额． 根据正负数表示相反意义的量即可求解． 【详解】解：若收入10元记作元，则支出5元可记作元， 故选：A． 4．B 【分析】本题考查正数和负数的意义，正数和负数是一组具有相反意义的量，已知进球数记为正，则失球数应记为负，据此求解即可． 【详解】解：如果某班足球队进4个球记作个，那么该队失3个球记作个， 故选：B． 5．A 【分析】本题考查正负数的实际应用，明确正负数表示相反意义的量是关键．根据题意，收入记为正，则支出应记为负，直接对应数值即可． 【详解】解：∵若收入100元记为元，则支出60元应记为与其相反的符号，即元， 故选：A． 6．A 【分析】本题考查正负数的实际应用，理解具有相反意义的量是关键，根据零上和零下具有相反意义选择即可． 【详解】根据题意，零上温度用正数表示，零下温度用负数表示． 已知零上记作，则零下应记作． 故选：A． 7．C 【分析】本题主要考查了有理数的定义，有理数是分数和整数的统称，据此可得答案． 【详解】解；在，，0，，，（每两个4之间依次多1个0），中，有理数有，，0，，，共5个， 故选：C． 8．C 【分析】本题看考查了有理数的定义，根据整数和分式统称为有理数进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：依题意，,2024,这三个数都是有理数， 故选：C 9．A 【分析】本题主要考查了正负数的定义，分式的定义，0的意义，大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数，0既不是正数，也不是负数，据此结合分数的定义可得答案． 【详解】解：A、是负分数，原说法正确，故此选项符合题意； B、是负数，也是整数，原说法错误，故此选项不符合题意； C、0不是正数，原说法错误，故此选项不符合题意； D、是分数，也是正数，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 10．C 【分析】本题主要考查了有理数的分类，即有理数可分为整数和分数，整数分为正整数、负整数和零，分数分为正分数和负分数，熟练掌握有理数的分类方式是解题关键． 根据有理数的分类逐项判断即可． 【详解】解：A、不是整数，故此选项不符合题意； B、是整数，但不是负整数，故此选项不符合题意； C、是负整数，故此选项符合题意； D、是正整数，故此选项不符合题意． 故选：C． 11． 正数 负数 【分析】本题主要考查了0的意义，0既不是正数，也不是负数，据此可得答案． 【详解】解；0既不是正数，也不是负数， 故答案为：正数，负数． 12．数轴上的原点（答案不唯一） 【分析】本题主要考查“0”的意义，熟练掌握“0”的意义是解题的关键；因此此题可根据题意直接进行求解． 【详解】解：有理数0除了表示“没有”，还可以表示其他意义，可以是表示数轴上的原点； 故答案为数轴上的原点（答案不唯一）． 13．3 【分析】此题考查了有理数的分类，根据负数是小于0的数进行解答即可． 【详解】解：在，3，，0，，，中，负数有，，，共3个，其余都不是负数， 故答案为：3 14．见解析 【分析】本题主要考查了有理数分类，熟练掌握有理数的相关概念和分类，是解答本题的关键．根据整数、分数、正数、负数以及非负有理数的定义解答即可． 【详解】解：，，0，，，，6，，3.14，． 整数集合：{ ，0，}； 负分数集合：{ ，，}； 非负有理数集合：{ ，0，，6，}． 15．①④⑧；③⑤⑦；②⑧ 【分析】本题考查了实数的分类，按照实数的分类填写，实数分为有理数和无理数，无理数是无限不循环小数，有理数分为整数和分数，整数分为正整数，0和负整数，分数分为正分数和负分数，掌握有理数的概念和实数的分类方法是解题的关键． 【详解】解：①，②0.2，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧中， 整数集合①，④0，⑧； 负分数集合③，⑤，⑦； 正有理数集合②0.2，⑧， 故答案为：①④⑧；③⑤⑦；②⑧． 学科网（北京）股份有限公司 $$