第三章 函数的概念与性质 章末检测-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（人教A版2019必修第一册）

第三章 函数的概念与性质 章末检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．“函数在上为增函数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据一次函数的单调性及充分必要条件的定义判断即可. 【详解】函数在上为增函数， 等价于，即， 所以“函数在上为增函数”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 2．设函数是奇函数.若函数，则（    ） A．28 B．33 C．38 D．43 【答案】A 【分析】首先利用函数的奇偶性列出等式，然后根据的值求出的值. 【详解】由函数是奇函数可知， 因此可得； 又，因此； 两式相加可得； 又，因此. 故选：A. 3．已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，结合可求得的值，可得出函数的解析式，代值计算可得出的值. 【详解】设，则，所以，故， 因此. 故选：A. 4．已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【分析】令，采用换元法求函数的解析式. 【详解】令，则， ， 所以. 故选：D. 5．已知直线，过函数图象的对称中心，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先利用函数图象平移与奇函数的性质求得的对称中心，从而得到，再对式子变形，利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】函数，，其图象的对称中心为点， 代入直线方程得． 则， 当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为9． 故选：D 6．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分离常数法，结合函数单调性求值域. 【详解】由题意，，当时，函数单调递增， 当时，函数取得最小值，最小值为；当时，函数取得最大值，最大值为， 函数的值域为. 故选：A. 7．设函数是定义在R上的奇函数，当时，.若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，可得是R上的增函数，利用函数的奇偶性和单调性得到，令，利用基本不等式求出的最小值，得解. 【详解】因为，， 所以在上单调递增，且恒成立，又是定义在R上的奇函数， 所以是R上的增函数， 不等式，对任意的恒成立， 即， ，又， ，令， ， ， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用函数的奇偶性和单调性得到，利用基本不等式求出最值. 8．若定义在上的函数满足，是奇函数，，设函数，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】先由题设推出函数的周期性和图象的对称性，再利用这些性质推出，根据和，利用周期性即可求得结果. 【详解】因对于，，则， 故函数为周期函数，4是函数的一个周期， 又是上的奇函数，则，故的图象关于点对称， 于是，， 在，取，得， 因， 则 ， . 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值，赋变量，转化抽象关系式，判断和利用函数的周期性和对称性解题. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知是一次函数，，且，函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用待定系数法设解方程组可得，再由换元法代入计算可得，可得出结论. 【详解】依题意可设， 由可得， 因此可得，解得或； 又因为，所以，即，即A正确，B错误； 又可得， 令，所以，因此， 所以，可得C正确，D错误. 故选：AC 10．已知函数和的定义域均为，若是奇函数，是偶函数，且，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由题意得，又得，进而得，通过赋值即可求解. 【详解】由题意有，，又， 所以， 所以，又得， 令得，故A正确，B错误； 由，令有，故C正确； ，令得， 又，令得， 所以，故D正确. 故选：ACD. 11．对于任意的，表示不超过的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（    ） A．函数，的图象关于原点对称 B．设，，则有 C．函数，的值域为 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，取值验证判断A；利用，计算可判断B；由取整函数的定义得，进而判断C；解一元二次不等式，然后取整函数的定义求出解集判断D. 【详解】对于A：当时，，当时，， 即点，都在函数的图象上，它们关于原点不对称， 则函数的图象关于原点不对称，故A错误； 对于B，因为， 所以，故B正确； 对于C：由取整函数的定义知，，则， 因此函数，的值域为，故C正确； 对于D：由，得，解得， 而，则，因此，不等式的解集为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知．若为偶函数，则 ． 【答案】 【分析】利用偶函数的定义求出参数值. 【详解】函数的定义域为R，由为偶函数，得， 即，而不恒为0， 所以. 故答案为：0. 13．已知函数，若当时，，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，按和两种情况求出不等式的解集的并集即可求解. 【详解】当时，由，得，解得，因此； 当时，由，得，解得，因此， 因此等价于，依题意，， 所以的最大值为. 故答案为： 14．已知函数是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】先利用函数的奇偶性列出方程组，求得，再由题设条件推得，设，可知其在区间上为减函数，最后根据含参数的二次函数在给定区间上的单调性即可求得参数范围. 【详解】因是奇函数，是偶函数，则有， 对于①，用替换，整理得②， 联立①和②，解得：， 由时，等价于， 则，记，则， 即在区间上为减函数， 显然，的对称轴为直线. ①当时，，显然不符合题意； ②当时，需使，解得. 综上可得，实数a的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于求得函数的解析式后，根据题设不等式，等价转化后，需构造函数，利用其单调性数形结合即可求得参数范围. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知函数 (1)证明：函数在区间上是增函数； (2)当，求函数的值域. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用函数的单调性的定义证明即得； （2）利用已证的函数单调性，即可求得函数在给定区间上的值域. 【详解】（1）任取，且， 由， 因，故，，故， 即函数在区间上是增函数； （2）由（1）已证：函数在区间上是增函数，故在上也是增函数， 则，即，故函数的值域为. 16．（15分）已知函数. (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由. 【答案】(1)3 (2)奇函数，理由见解析 【分析】(1)代入求解即可. (2)先分析定义域,再求解再分析与的关系判定即可. 【详解】（1）由解析式知； （2）函数为奇函数，理由如下： 定义域为， 且， 所以为奇函数. 17．（15分）已知函数． (1)判断的奇偶性，并用定义进行证明； (2)若，试讨论在上的单调性． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）分和，不同时为0两种情况讨论可得结论； （2）由已知得，分和两种情况讨论，当时，利用单调性的定义可得函数在上单调递增. 【详解】（1）当时，既是奇函数也是偶函数； 当，不同时为0时，是奇函数，证明如下： 函数的定义域为，对于，都有， 且， 故为奇函数． 综上：当时，既是奇函数也是偶函数；当，不同时为0时，是奇函数. （2）当时，． 当时，在上无单调性； 当时，任取，，且， 则， ，，且， ，，． 若，则，即， 在上单调递增； 若，则，即， 在上单调递减． 18．（17分）“春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动： 优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元； 优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元． 例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额元，其中表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额元． (1)小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由； (2)已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？ 【答案】(1)一次支付好，理由见解析 (2)购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件 【分析】（1）计算两种支付方式的支付额，比较可得答案； （2）先确定在优惠条件下最多可以购买的件数，然后依据优惠方案2进行分类讨论，比较每种情况下的平均价格，可得答案. 【详解】（1）分两次支付：支付额为 元; 一次支付：支付额为元, 因为，所以一次支付好； （2）设购买件，平均价格为y元/件．由于预算不超过500元，但算上优惠，最多购买19件， 当时，不能享受每满400元再减40元的优惠 当时，，， 当时，，； 当时，，． 所以当时，购买偶数件时，平均价格最低，为27.5元/件． 当时，能享受每满400元再减40元的优惠 当时，， 当，时，; 当时，， y随着n的增大而增大，所以当，时，． 综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件． 19．（17分）三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数的图象恰如其形.牛顿最早研究了函数的图象，所以也称的图象为牛顿三叉戟曲线. (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)已知两个不相等的正数m，n满足：，求证：； (3)是否存在实数a，b，使得在上的值域是？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)单调递增，证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，， 【分析】（1）根据函数单调性的定义证明； （2）由可得，再由基本不等式得证； （3）根据已知结合函数的单调性求解. 【详解】（1）在单调递增，证明如下： 设，且，则 ， ，，， ，， 在单调递增. （2）得：， 化简得：， 又，， 而，， ， . （3）不妨设存在满足题意的实数，b， ，或 当时，由（1）同理可证：在单调递减， 在上的最小值为， 故，，在上单调递增， ，是在的两根. 由，得 即：，， 又，，， 当时，由（1），当时，，故在单调递减， ，即：，即：， ，，矛盾， 综上所述，存在满足题意的正实数：，. 【点睛】关键点点睛：假设存在满足题意实数a，b，由定义域中无0，分类讨论， 再由定义法判断函数的单调性，利用单调性建立方程求解是解题的关键. 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 函数的概念与性质 章末检测 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．“函数在上为增函数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设函数是奇函数.若函数，则（    ） A．28 B．33 C．38 D．43 3．已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 4．已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 5．已知直线，过函数图象的对称中心，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 6．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 7．设函数是定义在R上的奇函数，当时，.若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若定义在上的函数满足，是奇函数，，设函数，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知是一次函数，，且，函数满足，则（    ） A． B． C． D． 10．已知函数和的定义域均为，若是奇函数，是偶函数，且，则下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 11．对于任意的，表示不超过的最大整数，例如：，．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（    ） A．函数，的图象关于原点对称 B．设，，则有 C．函数，的值域为 D．不等式的解集为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知．若为偶函数，则 ． 13．已知函数，若当时，，则的最大值是 ． 14．已知函数是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知函数 (1)证明：函数在区间上是增函数； (2)当，求函数的值域. 16．（15分）已知函数. (1)求的值； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由. 17．（15分）已知函数． (1)判断的奇偶性，并用定义进行证明； (2)若，试讨论在上的单调性． 18．（17分）“春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动： 优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元； 优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元． 例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额元，其中表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额元． (1)小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由； (2)已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？ 19．（17分）三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数的图象恰如其形.牛顿最早研究了函数的图象，所以也称的图象为牛顿三叉戟曲线. (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)已知两个不相等的正数m，n满足：，求证：； (3)是否存在实数a，b，使得在上的值域是？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$