第一章 集合与常用逻辑用语（高效培优单元测试·强化卷）数学人教B版2019高一必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语（高效培优单元测试·强化卷） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的并集运算定义即可. 【详解】由集合的并集运算得． 故选：D 2．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由命题的否定求解即可. 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：B. 3．已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系列式求解，再代入检验即可. 【详解】因为集合，且， 则或，所以或； 当时，不合题意舍； 当时，符合题意； 故选：B. 4．已知集合，若，则（    ） A．2 B．0 C．0或2 D．1或2 【答案】C 【分析】根据包含关系，讨论、并结合集合的性质求参数值. 【详解】当，则，此时，满足； 当，则，此时，满足； 所以或. 故选：C 5．已知集合，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】由求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以或， 故选：. 6．已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分集合是否为空集讨论即可，当时，由集合间的包含关系求出； 【详解】由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，前两个等号不能同时取得，解得， 综上m的取值范围是， 故选：A. 7．已知为的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得到集合的关系，作出集合的图，由图对各个选项进行判断. 【详解】因为，所以，如图： 对于选项A，由题意知是的真子集，故，故A不正确； 对于选项B，由是的真子集且都不是空集知，，，故B正确； 对于选项C，由是的真子集知，，故C不正确． 对于选项D，由是的真子集，故，故D不正确． 故选：B 8．设是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：（1）属于属于；（2）中任意多个元素的并集属于；（3）中任意多个元素的交集属于；则称是集合上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合： ①； ② ③； ④ 其中是集合上的拓扑的集合的序号是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】利用定义结合集合间的基本关系与运算计算即可. 【详解】① 故①不是集合X上的拓扑的集合； ③， 故③不是集合X上的拓扑的集合； 对于选项②④ 满足：（1）X属于，属于； （2）中任意多个元素的并集属于；（3）中任意多个元素的交集属于， 综上得，是集合X上的拓扑的集合的序号是②④ 故选：C 【点睛】思路点睛：新定义问题关键在于理解题意，将问题转化为集合间的基本关系即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若的充分不必要条件是，则实数m的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】ABC 【分析】根据充分不必要条件，可得集合的包含关系，建立不等式，可得答案. 【详解】由题意可得，则，解得， 易知. 故选：ABC. 10．已知集合恰有两个子集，则的值可能为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】AC 【分析】集合恰有两个子集，则集合有1个元素，问题转化为方程组有一个的实数解即可. 【详解】由，可得由题可知中只有一个元素. 当时，解得，此时，符合题意； 当时，即，则或是方程的解. 当是方程的解时，解得，此时，符合题意； 当是方程的解时，无解.故或4. 故选：AC. 11．已知“”为假命题，则实数的值可以是（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】AB 【分析】由题意可得为真命题，分和两种情况讨论即可得解. 【详解】由题意，命题的否定为为真命题， 当时，恒成立， 当时，，解得， 综上所述，. 故选：AB. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．集合的真子集的个数是 . 【答案】 【分析】根据题意确定集合中元素的个数，即可得到真子集的个数. 【详解】由题意得，为的正因数， 故， 所以此集合的真子集个数为. 故答案为：. 13．某高校举行校运会中，某专业一个班共有40名同学参加，有20人参加田径比赛，24人参加了球类比赛，15人参加趣味球比赛，同时参加田径和球类比赛的有8人，同时参加田径和和趣味球比赛的有5人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味球比赛一项的有 人. 【答案】 【分析】根据韦恩图计算可得到答案. 【详解】如图所示，设只参加趣味球比赛的为人， 可得，解得， 故答案为：    14．设为非空实数集满足：对任意给定的（、可以相同），都有，则称为封闭集．关于封闭集有下列结论： ①集合为封闭集；   ②集合为封闭集； ③若集合为封闭集，则为封闭集； ④若集合为封闭集，则一定有； ⑤若集合为封闭集，则为封闭集． 其中正确结论的序号是 ． 【答案】②④⑤ 【分析】本题主要涉及封闭集的定义概念，通过对每个结论逐一根据封闭集的定义进行判断来求解. 【详解】对于集合，取，，则，不满足封闭集的定义，所以①错误. 对于集合，设，，. ，因为，所以. ，因为，所以. ，因为，所以.满足封闭集的定义，所以②正确. 令，，都是封闭集. 中，取（），（），，不满足封闭集的定义，所以③错误. 因为对任意，有，所以若集合为封闭集，则一定有，所以④正确. 因为，为封闭集，设，则且. 因为是封闭集，所以，，. 因为是封闭集，所以，，. 所以，，，满足封闭集的定义，所以⑤正确. 故答案为：②④⑤. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知全集，， (1)求， (2)求 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求出集合、，再求，； （2）求出、，再求． 【详解】（1），， 所以 . 因为，所以； （2）因为，， 所以． 16．（1）已知，求实数的值； （2）已知，求实数，的值. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（1）利用，再分，，三种情况讨论，利用集合的性质，即可求解； （2）利用集合相等的条件，建立方程组，即可求解. 【详解】（1）若时，解得，此时，，不满足集合的互异性，所以， 若时，解得或，当时，，，所以满足题意， 当时，，，不满足集合的互异性，所以， 若，解得（舍）或（舍）， 综上，实数的值为. （2）因为，则或， 由，解得，由，解得， 经检验，和均符合题意， 综上，或. 17．在①②“”是“”的充分条件，③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并求解，已知. (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出，利用交集概念求出答案； （2）选①②，得到，进而得到不等式，求出；选③，需满足或，求出答案. 【详解】（1）当时，， 又因为， 所以； （2）若选①，，则， 显然，要满足，则，解得， 故的取值范围是； 若选②，“”是“”的充分条件，则， 显然，要满足，则，解得， 故的取值范围是； 若选③，，显然， 需满足或，解得或， 故的取值范围是或 18．已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于即可； （2）先证明若，，则，即可得到，从而得证； （3）依题意可得，从而求出，再说明即可. 【详解】（1）因为，所以； 因为，所以； 因为没有倒数，所以； 因为，所以； 综上可得，. （2）先证明：若，，则； 设，，为整数， 所以， 由于，都是整数，所以， 当，时，，，所以，所以； （3）因为， 所以， 所以，都是整数， 所以为整数， 所以， 假如，则，则应为的倍数， 设为整数，若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 所以，即. 19．已知集合，，记，. (1)求集合S，T； (2)对于只含有四个正整数，，，的集合P，若的最小值是k，则称集合P是“k阶积差四元集”. （ⅰ）若，求“1阶积差四元集”C，且满足； （ⅱ）若，是否存在“2阶积差四元集”M，N，使得？若存在，求出所有集合M，N；若不存在，说明理由. 【答案】(1)，. (2)存在，，或，，，，或，. 【分析】（1）根据交集及并集得出集合； （2）（ⅰ）先由得出，再分类讨论求解；（ⅱ）先由，得出和一定是同奇数或同偶数，最后分类讨论得出集合. 【详解】（1）因为，解得，又，所以， 所以，. （2）（ⅰ）因为， 若，则，不满足题意； 若，则，满足题意； 若，则，不满足题意； 若，则，不满足题意； 若，则，不满足题意； 综上，. （ⅱ）假设存在“2阶积差四元集”M，N， 因为，其必要条件是存在，所以和一定是同奇数或同偶数，则 ①若，，则M，N均不合题意； ②若，，其中m，n，p，q是奇数， 则，即. 当时，得（舍），或（舍）； 当时，得，或（舍），此时，， 且M，N均符合； 当时，得，或（舍），此时，，N不合题意； 当时，得，或（舍），此时，，N不合题意； ③若，，其中m，n，p，q是奇数，则，即，此时m，n无解； ④若，，其中m，n，p，q是奇数，则，即 当时，得（舍），或（舍）； 当时，得，或（舍），此时，，且M，N均符合； 当时，得，或（舍），此时，，N不合题意； 当时，得（舍），或（舍）； 所以此时，或，， 同理，或，，也满足题意. 综上，存在，，或， ，，或，. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合与常用逻辑用语（高效培优单元测试·强化卷） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，且，则等于（    ） A．－3或－1 B．-3 C．1 D．3 4．已知集合，若，则（    ） A．2 B．0 C．0或2 D．1或2 5．已知集合，，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知为的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 8．设是一个集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足：（1）属于属于；（2）中任意多个元素的并集属于；（3）中任意多个元素的交集属于；则称是集合上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合： ①； ② ③； ④ 其中是集合上的拓扑的集合的序号是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若的充分不必要条件是，则实数m的值可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 10．已知集合恰有两个子集，则的值可能为（   ） A． B． C．4 D． 11．已知“”为假命题，则实数的值可以是（    ） A．0 B． C． D．1 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．集合的真子集的个数是 . 13．某高校举行校运会中，某专业一个班共有40名同学参加，有20人参加田径比赛，24人参加了球类比赛，15人参加趣味球比赛，同时参加田径和球类比赛的有8人，同时参加田径和和趣味球比赛的有5人，有2人同时参加三项比赛，只参加趣味球比赛一项的有 人. 14．设为非空实数集满足：对任意给定的（、可以相同），都有，则称为封闭集．关于封闭集有下列结论： ①集合为封闭集；   ②集合为封闭集； ③若集合为封闭集，则为封闭集； ④若集合为封闭集，则一定有； ⑤若集合为封闭集，则为封闭集． 其中正确结论的序号是 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．已知全集，， (1)求， (2)求 16．（1）已知，求实数的值； （2）已知，求实数，的值. 17．在①②“”是“”的充分条件，③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并求解，已知. (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围. 18．已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 19．已知集合，，记，. (1)求集合S，T； (2)对于只含有四个正整数，，，的集合P，若的最小值是k，则称集合P是“k阶积差四元集”. （ⅰ）若，求“1阶积差四元集”C，且满足； （ⅱ）若，是否存在“2阶积差四元集”M，N，使得？若存在，求出所有集合M，N；若不存在，说明理由. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$