精品解析：陕西省西安市雁塔区西安高新第三中学2024—2025学年八年级下学期期中测试数学试题

西安高新第三中学2024-2025学年第二学期期中考试八年级 数学试卷 考试时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列式子中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，为了促进黄埔区的旅游发展，某村要在三条公路围成的一块三角形平地（记作△上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应建在△的（ ） A. 三条中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条高线的交点处 D. 以上都不对 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠DAC的度数为（　　） A. 90° B. 80° C. 70° D. 60° 6. 解不等式，下列在数轴上表示的解集正确的是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，小明荡秋千，位置从A点运动到了点，若，则秋千旋转的角度为（　　） A. B. C. D. 8. 若关于y的不等式组有解，则满足条件的整数m的最大值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 9. 阅读材料：数学课上，杨老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作这样变形：，因为，所以，当时，，因此的最小值是1．类似的，代数式的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 10. 如图，在等腰中，，，以点B为旋转中心，将BC逆时针旋转得到线段，连接、．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，共18．0分） 11. 在平面直角坐标系中，将点A（－1，1）向右平移________个单位得到点B（4，1）． 12. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_______． 13. 如图，已知CD垂直平分AB，AC＝4cm，BD＝3cm，则四边形ADBC的周长为__________． 14. 函数与的图像如图所示，根据图像可知不等式的解集是______． 15. 如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A点、B点．点M在坐标轴上，并且使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形，则这样的点M有______个． 16. 如图，是等腰的角平分线，，，为线段（端点除外）上的动点，连接，作，且，连接，当的周长最小时，则的值是______． 三、解答题（本大题共10小题，共72．0分） 17. 因式分解： （1）； （2）． 18. 计算： （1）； （2）． 19. 解不等式和不等式组． （1）； （2）． 20. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立直角坐标系，小正方形的顶点为格点，与的顶点都在格点上． （1）作，使与关于原点成中心对称． （2）已知与关于点成中心对称，请在图中画出点的位置，并写出该点的坐标． 21. 如图，在中，，是边上的中线，延长至点，延长至点，使，连接、．求证：平分． 22. 定义运算：当时，；当时，；如：； （1） ______，当时， ______； （2）若，求x的取值范围； （3）如图，已知直线与相交于点，若，直接写出x的取值范围是_______． 23. 若关于x、y的二元一次方程组中，x的值为负数，y的值为正数，求m的取值范围. 24. 如图，在中，，，，垂足为，且，，，的两边分别交，于点，，． （1）求证：是等边三角形． （2）求的长． 25. 某商店需要购进甲、乙两种商品共件，其进价和售价如下表： 甲 乙 进价(元/件) 售价(元/件) （1）若商店计划销售完这批商品后能获利元；问甲、乙两种商品应分别购进多少件? （2）若商店计划投入资金少于元，且销售完这批商品后获利多于元，请问有哪几种购货方案?并直接写出其中获利最大的购货方案． 26. 感知：如图①，和都是等腰直角三角形，，点在线段上，点在线段上，我们很容易得到，不需证明． 探究：如图②，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由． 应用：如图③，当绕点逆时针旋转，使得点落在的延长线上，连接． ①的度数为____________度； ②线段、、之间的数量关系是_____________； ③若，，则线段的长为_____________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安高新第三中学2024-2025学年第二学期期中考试八年级 数学试卷 考试时间：120分钟 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 下列式子中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，解题的关键是理解分式的概念，即分母中含有字母的式子是分式． 根据分式的定义，对每个选项进行分析判断． 【详解】A、的分母是常数3，不含有字母，所以它是整式，不是分式； B、的分母是字母，符合分式的定义，所以它是分式； C、的分母是常数3，不含有字母，它是整式，不是分式； D、是一个常数，分母是3，不含有字母，它是整式，不是分式． 故选：B． 2. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 【分析】A. ，左边为乘积形式，右边为多项式，属于整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意； B. ，左边为，正确分解应为，而选项B的分解结果为，与原式不等，故本选项不符合题意； C. ，右边为与的和，未形成整式的积，不属于因式分解，故本选项不符合题意； D. ，左边为完全平方式，正确分解为两个的乘积，符合因式分解的定义，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 如图，为了促进黄埔区的旅游发展，某村要在三条公路围成的一块三角形平地（记作△上修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应建在△的（ ） A. 三条中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条高线的交点处 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，由此即可得到答案，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应建在△的三条角平分线的交点处， 故选：． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，灵活运用不等式的性质成为解题的关键． 根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A． 若，则，故该选项错误，不符合题意； B． 当时，，，故该选项错误，不符合题意； C． 若，当时，，故该选项错误，不符合题意； D． 若，则，故该选项正确，符合题意． 故选D． 5. 如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠DAC的度数为（　　） A. 90° B. 80° C. 70° D. 60° 【答案】A 【解析】 【分析】由AB=AC，∠BAC=120°，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，利用三角形内角和定理得到∠B=（180°﹣120°）=30°，然后根据线段垂直平分线的性质得到DB=DA，则∠BAD=∠B=30°，再根据∠DAC=∠BAC﹣∠BAD进行计算． 【详解】解：∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C， ∴∠B=（180°﹣120°）=30°， ∵AB的垂直平分线交BC于点D， ∴DB=DA， ∴∠BAD=∠B=30°， ∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=120°﹣30°=90°． 故选A． 考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质． 6. 解不等式，下列在数轴上表示的解集正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按去分母、去括号、移项、合并同类项，未知数系数化为的步骤求出解集，再把解集在数轴上表示出来，注意包含端点值用实心圆点，不包含端点值用空心圆点，即可求解． 【详解】解： ， 解集在数轴上表示为 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法及解集在数轴上的表示方法，掌握解法及表示方法是解题的关键． 7. 如图，小明荡秋千，位置从A点运动到了点，若，则秋千旋转的角度为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转角的定义、旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行解答． 【详解】∵，小刚的位置从A点运动到了点， ∴， ∴，， ∴， ∴秋千旋转的角度为 故选C． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 8. 若关于y的不等式组有解，则满足条件的整数m的最大值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式组得，，根据不等式组有解可得，即，即可求解． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵关于y的不等式组有解， ∴，即， ∴满足条件的整数m的最大值为7， 故选：B． 9. 阅读材料：数学课上，杨老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作这样变形：，因为，所以，当时，，因此的最小值是1．类似的，代数式的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握非负数的性质是解题的关键．先把代数式进行配方，再根据非负数的性质求解． 【详解】解：, 因为, 所以, 当时，, 因此的最小值是， 故选：B. 10. 如图，在等腰中，，，以点B为旋转中心，将BC逆时针旋转得到线段，连接、．若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于点，由，，，可得，，由旋转可得：，，推出是等边三角形，，，进而得到，，推出，可得，设，则，，在中，由勾股定理列方程求出，即可求解． 【详解】解：过点作于点， ，，， ，，即， ， 由旋转可得：，， 是等边三角形，，， ，， ， ， ， 设，则，， ， ， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含度角的直角三角形性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，共18．0分） 11. 在平面直角坐标系中，将点A（－1，1）向右平移________个单位得到点B（4，1）． 【答案】5 【解析】 【分析】根据点坐标的平移变换规律即可得． 【详解】点坐标的平移变换规律：将点向右（或向左）平移k个单位长度，得到点的坐标为（或）；将点向上（或向下）平移k个单位长度，得到点的坐标为（或） 则 即点向右平移5个单位长度得到点 故答案为：5． 【点睛】本题考查了点坐标的平移变换规律，掌握理解点坐标的平移变换规律是解题关键． 12. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，已知CD垂直平分AB，AC＝4cm，BD＝3cm，则四边形ADBC的周长为__________． 【答案】14cm 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到CB=CA=4cm，DA=DB=3cm，然后根据周长的定义计算即可． 【详解】解：∵CD垂直平分AB， ∴CB=CA，DB=DA， 而AC=4cm，BD=3cm， ∴CB=4cm，AD=3cm， ∴四边形ADBC的周长=AB+AD+BC+BD=4+3+4+3=14（cm）． 故答案为：14cm． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．也考查了四边形周长的定义． 14. 函数与的图像如图所示，根据图像可知不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图像可得：不等式的解集为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图像的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 15. 如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A点、B点．点M在坐标轴上，并且使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形，则这样的点M有______个． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，等腰三角形的判定．数形结合是解题的关键． 根据等腰三角形的判定，数形结合求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，即；当时，，即， ∴，即与原点重合， 以点为圆心，以的长为半径画圆，两圆与坐标轴的交点即为点，如图， ∴共有7个满足要求的点， 故答案为：7． 16. 如图，是等腰的角平分线，，，为线段（端点除外）上的动点，连接，作，且，连接，当的周长最小时，则的值是______． 【答案】． 【解析】 【分析】首先过点作、，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得，从而可得，连接，证，得，所以可得点在射线上运动，作点关于射线的对称点，当点、、三点共线时的周长最小，此时可得． 【详解】解：如下图所示，过点作、，连接， 平分， ，， ， 和分别看成以、为底边，则对应边上的高相同， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ∴点在射线上运动， 如图，作作点关于射线的对称点，连接，，则，， ∴的周长 由题意得为定值， ∴如下图所示，当点、、三点共线时，最小，即的周长最小， ∵， ∴同的理由可得， ∵，， ． 【点睛】本题考查等腰三角形性质，角平分线的性质、三角形全等的判定与性质及两点之间线段最短，解决本题的关键是根据对称性得到当点、、三点共线时的周长最小． 三、解答题（本大题共10小题，共72．0分） 17. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，正确掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）先提取公因数2，再利用平方差公式分解因式； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先把除法转化为乘法，再根据分式的乘法法则计算即可； （2）先把除法转化为乘法，再根据分式的乘法法则计算即可． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 【点睛】此题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 19. 解不等式和不等式组． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式以及一元一次不等式组的解法． （1）按解一元一次不等式的步骤解不等式即可． （2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【小问1详解】 解： ， ， ， ． 【小问2详解】 解： 解①式得：， 解②式得：， 则不等式组的解集为：． 20. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中建立直角坐标系，小正方形的顶点为格点，与的顶点都在格点上． （1）作，使与关于原点成中心对称． （2）已知与关于点成中心对称，请在图中画出点的位置，并写出该点的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2）如图，点即为所求，点 【解析】 【分析】（1）先确定起始点的坐标，再利用原点对称特点确定变化后的坐标，即可求解， （2）连接、，交点即为点，根据中点公式计算，即可求解， 本题考查了，中心对称，确定中心点，中点公式，解题的关键是：熟练掌握中心对称的性质． 【小问1详解】 解：如图可得：，，，原点对称得：，，，即为所求， 【小问2详解】 解：∵与关于点成中心对称，且，， 所以对称中心的坐标为，即：， 故答案为：． 21. 如图，在中，，是边上的中线，延长至点，延长至点，使，连接、．求证：平分． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是熟悉等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质得出，，平分，再利用全等三角形的判定和性质证明即可． 【详解】证明：∵在中，，是边上的中线， ∴，，平分，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 即平分． 22. 定义运算：当时，；当时，；如：； （1） ______，当时， ______； （2）若，求x的取值范围； （3）如图，已知直线与相交于点，若，直接写出x的取值范围是_______． 【答案】（1），x （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与不等式以及新定义的理解： （1）直接根据新定义，即可求解； （2）直接根据新定义，可得，解出即可； （3）直接根据新定义，可得，再结合函数图象，即可求解． 【小问1详解】 解：，当时，； 故答案为：，x； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， 由图象得：此时x的取值范围是， 故答案为：． 23. 若关于x、y的二元一次方程组中，x的值为负数，y的值为正数，求m的取值范围. 【答案】－4＜m＜. 【解析】 【分析】先解方程组，用含m的代数式表示x、y，再根据x的值为负数，y的值为正数，得到关于m的不等式组，求解即可． 【详解】， ①+②得2x=4m-2， 解得x=2m-1， ②-①得2y=2m+8， 解得y=m+4， ∵x的值为负数，y的值为正数， ∴， ∴-4＜m＜. 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握各自的解法是解题的关键. 24. 如图，在中，，，，垂足为，且，，，的两边分别交，于点，，． （1）求证：是等边三角形． （2）求的长． 【答案】（1）见详解 （2）3 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键． （1）由等腰三角形的性质和已知条件得出，再由，即可得出结论； （2）由是等边三角形，得出，，证出，由证明，得出，结合已知和即可． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴是等边三角形． 【小问2详解】 证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴． ∴， ∴． 在与中， ， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴． 25. 某商店需要购进甲、乙两种商品共件，其进价和售价如下表： 甲 乙 进价(元/件) 售价(元/件) （1）若商店计划销售完这批商品后能获利元；问甲、乙两种商品应分别购进多少件? （2）若商店计划投入资金少于元，且销售完这批商品后获利多于元，请问有哪几种购货方案?并直接写出其中获利最大的购货方案． 【答案】（1）甲种商品应购进件，乙种商品应购进件； （2）方案一：甲种商品购进件，乙种商品购进件；方案二：甲种商品购进件，乙种商品购进件；甲种商品购进件，乙种商品购进件获利最大． 【解析】 【分析】（）设甲种商品应购进件，乙种商品应购进件，根据题意，列出二元一次方程组即可求解； （）设甲种商品购进件，则乙种商品购进件，根据题意，列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解； 本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解题的关键． 【小问1详解】 解：设甲种商品应购进件，乙种商品应购进件， 由题意得，， 解得， 答：甲种商品应购进件，乙种商品应购进件； 【小问2详解】 解：设甲种商品购进件，则乙种商品购进件， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴或， 当时，； 当时，； ∴有两种购货方案： 方案一：甲种商品购进件，乙种商品购进件； 方案二：甲种商品购进件，乙种商品购进件； 方案一的获利：元； 方案二的获利：元； ∵， ∴甲种商品购进件，乙种商品购进件获利最大． 26. 感知：如图①，和都是等腰直角三角形，，点在线段上，点在线段上，我们很容易得到，不需证明． 探究：如图②，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由． 应用：如图③，当绕点逆时针旋转，使得点落在的延长线上，连接． ①的度数为____________度； ②线段、、之间的数量关系是_____________； ③若，，则线段的长为_____________． 【答案】探究：成立，理由见解析 应用：①45；②；③ 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 探究：利用证明，即可得到结论； 应用：①证明，得到； ②得到，即可得到结论； ③证明，求出，即可得到答案． 【详解】解：探究：成立，证明如下： 和都是等腰直角三角形， ， 将绕点逆时针旋转，连接和， ， 在与中， ， ， ； 应用：①和都是等腰直角三角形， ， 在与中， ， ， ， 故答案为：； ②， ， ， 故答案为：； ③， ， ， ， 在中， ， ， ， ． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $