2026届高考数学一轮复习-平面向量的综合应用考点练习

平面向量的综合应用 基础巩固 一、单选题 1．若O为△ABC内一点，||＝||＝||，则O是△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 2．已知点A(－2，0)，B(3，0)，动点P(x，y)满足·＝x2－6，则点P的轨迹是(　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 3．已知向量a＝(1，sin θ)，b＝(1，cos θ)，则|a－b|的最大值为(　　) A．1 B． C． D．2 4．(2025·山东济宁期中)向量a＝(1，2)，b＝(－1，1)，则a在b上的投影向量是(　　) A．－ B．－ C． D． 5．(2025·黑龙江大庆实验中学质检)△ABC中，设＝c，＝a，＝b，若c·(b－c－a)>0，则△ABC的形状是(　　) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 6．(2025·陕西适应性检测)已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝4，且(a－2b)⊥a，则|a－b|＝(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 7. (2024·福建厦门大学附中期中)如图，在△ABC中，＝，E为线段AD上的动点，且＝x＋y，则＋的最小值为(　　) A．8 B．12 C．16 D．32 8．(2024·山西朔州怀仁期中)P是△ABC所在平面上一点满足|－|－|＋－2|＝0，△ABC的形状是(　　) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 9. (2025·重庆质检)在平行四边形ABCD中，点E是对角线BD上任意一点(点E与B，D不重合)，且||2＝||2＋·，||＝·＝2，则四边形ABCD的面积为(　　) A． B．2 C．2 D．2 二、多选题 10．(2024·江西八校协作体月考改编)已知向量a＝(，1)，b＝(cos θ，sin θ)，则下列说法正确的是(　　) A．存在θ∈，使得a⊥b B．存在θ∈，使得a∥b C．对于任意θ∈，a，b∈(1，2] D．对于任意θ∈，|a－b|∈[1，) 11．(2024·甘肃酒泉四校期中联考)下列说法中错误的有(　　) A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．已知向量e1＝(3，－2)，e2＝，则{e1，e2}不能作为平面向量的一个基底 C．已知a＝(1，2)，b＝(m，1)，若a⊥b，则实数m的值为1 D．O是△ABC所在平面内一点，且满足·＝·＝·＝0，则点O是△ABC的内心 12．(2024·贵州贵阳一中期中)在给出的下列命题中，正确的是(　　) A．设O，A，B，C是同一平面上的四个点，若＝m·＋(1－m)·(m∈R)，则点A，B，C必共线 B．若向量a，b是平面α上的两个向量，则平面α上的任一向量c都可以表示为c＝λa＋μb(μ，λ∈R)，且表示方法是唯一的 C．若A＝45°，a＝2，b＝2，则△ABC只有一解 D．已知平面向量，，满足·＝·，＝λ，则△ABC为等边三角形 三、填空题 13．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值为________. 14．(2024·山东曲阜师大附中综合测试)已知平面向量a，b，c满足|a|＝|a－b|＝3，|a－c|＝2，则b·c的最大值为________. 能力提升 1．(2025·邵阳大联考)在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量m＝，n＝，p＝共线，则△ABC的形状为(　　) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．(2025·辽宁沈阳五校期中)已知向量a＝(sin θ，cos θ)，b＝(，1)，若a·b＝|b|，则tan θ＝(　　) A． B． C． D． 3．(2025·河南濮阳期中)已知在△ABC中，H为△ABC的垂心，O是△ABC所在平面内一点，且＋＝，则以下正确的是(　　) A．点O为△ABC的内心 B．点O为△ABC的外心 C．∠ACB＝90° D．△ABC为等边三角形 4. (2024·湖北恩施高中教育联盟的期末)如图所示，边长为1的正△ABC，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧BC，点P在圆弧上运动，则·的取值范围(　　) A． B． C． D． 5．(2025·辽宁七校协作体期中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知向量m＝(sin A＋sin B，c)，n＝(sin B－sin C，b－a)，满足m∥n. (1)求A； (2)若a＝3，求△ABC周长的取值范围． 拓展应用(选作) (2025·天津红桥区期中)已知菱形ABCD的边长为3，对角线AC与BD相交于点O，|AC|＝2，E为BC边上动点，则·的最小值为________. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 平面向量的综合应用 基础巩固 一、单选题 1．若O为△ABC内一点，||＝||＝||，则O是△ABC的(　　) A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心 [答案]　B [解析]　由向量模的定义知O到△ABC的三顶点距离相等，故O是△ABC的外心，故选B． 2．已知点A(－2，0)，B(3，0)，动点P(x，y)满足·＝x2－6，则点P的轨迹是(　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 [答案]　D [解析]　因为＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，所以·＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2－6，所以y2＝x，即点P的轨迹是抛物线．故选D． 3．已知向量a＝(1，sin θ)，b＝(1，cos θ)，则|a－b|的最大值为(　　) A．1 B． C． D．2 [答案]　B [解析]　∵a＝(1，sin θ)，b＝(1，cos θ)， ∴a－b＝(0，sin θ－cos θ)． ∴|a－b|＝＝. ∴|a－b|最大值为.故选B． 4．(2025·山东济宁期中)向量a＝(1，2)，b＝(－1，1)，则a在b上的投影向量是(　　) A．－ B．－ C． D． [答案]　C [解析]　由题意可知，a在b上的投影向量为： ＝(－1，1)＝，故选C． 5．(2025·黑龙江大庆实验中学质检)△ABC中，设＝c，＝a，＝b，若c·(b－c－a)>0，则△ABC的形状是(　　) A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 [答案]　A [解析]　∵c·(c＋a－b)<0，∴·(＋－)＝·2<0，∴角A为钝角，故选A． 6．(2025·陕西适应性检测)已知平面向量a，b满足|a|＝2，|b|＝4，且(a－2b)⊥a，则|a－b|＝(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 [答案]　B [解析]　因为(a－2b)⊥a，故a2－2a·b＝0，故a·b＝2，故(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝20－4＝16，故|a－b|＝4，故选B． 7. (2024·福建厦门大学附中期中)如图，在△ABC中，＝，E为线段AD上的动点，且＝x＋y，则＋的最小值为(　　) A．8 B．12 C．16 D．32 [答案]　D [解析]　由题意知＝x＋3y，又A、E、D共线，∴x＋3y＝1，∴＋＝(x＋3y)＝20＋＋≥20＋2＝32.(当且仅当x＝y＝时取等号)即＋的最小值为32.故选D． 8．(2024·山西朔州怀仁期中)P是△ABC所在平面上一点满足|－|－|＋－2|＝0，△ABC的形状是(　　) A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 [答案]　B [解析]　由|－|－|＋－2|＝0，可得||＝|＋－2|，即||＝|＋|，即|－|＝|＋|，将等式|－|＝|＋|两边平方，化简得·＝0，∴⊥，即AB⊥AC，因此，△ABC是直角三角形，故选B． 9. (2025·重庆质检)在平行四边形ABCD中，点E是对角线BD上任意一点(点E与B，D不重合)，且||2＝||2＋·，||＝·＝2，则四边形ABCD的面积为(　　) A． B．2 C．2 D．2 [答案]　D [解析]　||2＝||2＋·⇒2＝2＋·⇒(－)(＋)＋·＝0⇒·(＋＋)＝·(＋)＝0，又四边形ABCD是▱ABCD，所以＋＝，所以·＝0，所以⊥，所以AB＝AD，所以▱ABCD为菱形．由||＝·＝2，所以cos〈，〉＝＝＝，所以角A＝60°，所以S▱ABCD＝AB×AD×sin A＝2×2×＝2.故选D． 二、多选题 10．(2024·江西八校协作体月考改编)已知向量a＝(，1)，b＝(cos θ，sin θ)，则下列说法正确的是(　　) A．存在θ∈，使得a⊥b B．存在θ∈，使得a∥b C．对于任意θ∈，a，b∈(1，2] D．对于任意θ∈，|a－b|∈[1，) [答案]　BCD [解析]　a·b＝cos θ＋sin θ＝2sin，若a⊥b，则2sin＝0，因为θ∈，此时θ无解，故A错误；若a∥b，则sin θ－cos θ＝0，因为θ∈，所以θ＝，故B正确；a·b＝2sin，因为θ∈，所以θ＋∈，则sin∈，所以a·b＝2sin∈(1，2]，故C正确；|a－b|＝＝，因为θ∈，则θ－∈，所以cos∈，则|a－b|∈[1，)，故D正确．故选BCD． 11．(2024·甘肃酒泉四校期中联考)下列说法中错误的有(　　) A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．已知向量e1＝(3，－2)，e2＝，则{e1，e2}不能作为平面向量的一个基底 C．已知a＝(1，2)，b＝(m，1)，若a⊥b，则实数m的值为1 D．O是△ABC所在平面内一点，且满足·＝·＝·＝0，则点O是△ABC的内心 [答案]　AC [解析]　若b＝0，则不共线的a，c也有a∥0，0∥c，故A选项错误；e1＝3e2，则e1∥e2，则{e1，e2}不能作为平面向量的一个基底，故B选项正确；a＝(1，2)，b＝(m，1)，若a⊥b，则a·b＝m＋2＝0，得m＝－2，故C选项错误；因为·＝·＝·＝0，由·＝0可知，垂直于∠BAC的外角平分线，所以点O在∠BAC的角平分线上，同理点O在∠ABC的角平分线上，点O在∠ACB的角平分线上，所以O是△ABC的内心．故D选项正确．故选AC． 12．(2024·贵州贵阳一中期中)在给出的下列命题中，正确的是(　　) A．设O，A，B，C是同一平面上的四个点，若＝m·＋(1－m)·(m∈R)，则点A，B，C必共线 B．若向量a，b是平面α上的两个向量，则平面α上的任一向量c都可以表示为c＝λa＋μb(μ，λ∈R)，且表示方法是唯一的 C．若A＝45°，a＝2，b＝2，则△ABC只有一解 D．已知平面向量，，满足·＝·，＝λ，则△ABC为等边三角形 [答案]　AC [解析]　若＝m·＋(1－m)·，则－＝m(－)，即＝m，则∥，且有公共点C，故A，B，C共线，故A正确；根据平面向量基本定理可得若a，b共线，则不满足题意，故B错误；由正弦定理＝，即＝，则sin B＝1，又0°<B<135°，所以B＝90°，则C＝45°，故△ABC只有一解，故C正确；∵·＝·，∴·(－)＝0，即·＝0，所以⊥，因为λ为∠BAC的角平分线上的向量，又＝λ，所以OA为∠BAC的角平分线，所以△ABC为等腰三角形，故D错误．故选AC． 三、填空题 13．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值为________. [答案]　 [解析]　由于a，b垂直，不妨设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，则a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x，1－y)，(a－c)·(b－c)＝x2＋y2－x－y＝0，|c|＝表示(x，y)到原点(0，0)的距离，x2＋y2－x－y＝0表示圆心，为半径的圆，因此|c|的最大值为. 14．(2024·山东曲阜师大附中综合测试)已知平面向量a，b，c满足|a|＝|a－b|＝3，|a－c|＝2，则b·c的最大值为________. [答案]　30 [解析]　不妨设＝a＝(3，0)，＝b，＝c，由题意易知B在以A为圆心，以3为半径的圆上；C在以A为圆心，以2为半径的圆上，显然当B、C分别为两圆与x轴的交点N，M时，b·c最大，且为30. 能力提升 1．(2025·邵阳大联考)在△ABC中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量m＝，n＝，p＝共线，则△ABC的形状为(　　) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 [答案]　A [解析]　由题意得acos ＝bcos ，acos ＝ccos ，由正弦定理得sin Acos ＝sin Bcos ⇒sin ＝sin ⇒B＝A，同理可得C＝A，所以△ABC为等边三角形．故选A． 2．(2025·辽宁沈阳五校期中)已知向量a＝(sin θ，cos θ)，b＝(，1)，若a·b＝|b|，则tan θ＝(　　) A． B． C． D． [答案]　B [解析]　由a·b＝|b|⇒sin θ＋cos θ＝＝， 又sin2θ＋cos2θ＝1， 故sin2θ＋(－sin θ)2＝1， 即3sin2θ－2sin θ＋2＝0，解得sin θ＝， 故cos θ＝－sin θ＝－＝， 故tan θ＝＝×＝.故选B． 3．(2025·河南濮阳期中)已知在△ABC中，H为△ABC的垂心，O是△ABC所在平面内一点，且＋＝，则以下正确的是(　　) A．点O为△ABC的内心 B．点O为△ABC的外心 C．∠ACB＝90° D．△ABC为等边三角形 [答案]　B [解析]　在△ABC中，由H为△ABC的垂心，得CH⊥AB，由＋＝，得(＋)·(－)＝·(－)＝·＝0，则2＝2，即||＝||，又＝＋＋＝＋＋(＋)＝＋，显然⊥，同理得||＝||，因此点O为△ABC的外心，B正确．故选B． 4. (2024·湖北恩施高中教育联盟的期末)如图所示，边长为1的正△ABC，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧BC，点P在圆弧上运动，则·的取值范围(　　) A． B． C． D． [答案]　A [解析]　过点O作OD∥AB交半圆弧于点D，连接AO，OP，如图， 而△ABC是正三角形，则∠BOD＝， 令，夹角为θ， 当点P在弧BD上时，0≤θ≤， 当点P在弧CD上时，0≤θ≤， 于是－≤cos θ≤1， 显然AO＝，OP＝，∠OAB＝，＝＋， 所以·＝·(＋)＝·＋· ＝||||cos ＋||||cos θ ＝1××＋1××cos θ＝＋cos θ∈.故选A． 5．(2025·辽宁七校协作体期中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知向量m＝(sin A＋sin B，c)，n＝(sin B－sin C，b－a)，满足m∥n. (1)求A； (2)若a＝3，求△ABC周长的取值范围． [解析]　(1)因为m＝(sin A＋sin B，c)， n＝(sin B－sin C，b－a)， 由m∥n得，(sin A＋sin B)(b－a)＝c(sin B－sin C)， 再由正弦定理角化边得(a＋b)(b－a)＝c(b－c)， 整理得到b2＋c2－a2＝bc， 再由余弦定理得cos A＝＝＝， 又因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)由正弦定理及(1)得 ＝＝＝＝2， ∴a＋b＋c＝3＋2sin B＋2sin C ＝3＋2sin B＋2sin＝6sin＋3， 又0<B<，得<B＋<， 所以<sin≤1，得到6<6sin＋3≤9， 因此，△ABC周长的取值范围是(6，9]． 拓展应用(选作) (2025·天津红桥区期中)已知菱形ABCD的边长为3，对角线AC与BD相交于点O，|AC|＝2，E为BC边上动点，则·的最小值为________. [答案]　 [解析]　依题意，以直线AC、BD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图， |OB|＝＝， A(－，0)，B(0，)，C(，0)，D(0，－)， 直线BC的方程为＋＝1， 设E(t，－t＋)，0≤t≤， 则＝(－－t，t－)，＝(－t，t－2)， 因此·＝t2＋t＋2t2－6t＋12＝3t2－5t＋12＝32＋≥， 当且仅当t＝时取等号，所以·的最小值为. 学科网（北京）股份有限公司 $$