专题01 空间向量及其运算的四大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版2019高二选择性必修第一册

专题01 空间向量及其运算 题型一：空间向量的有关概念及线性运算 题型二：共线向量定理的应用 题型三：空间向量的数量积 题型四：利用空间向量的数量积证垂直 题型一：空间向量的有关概念及线性运算 1．下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 2．已知正方体的中心为O，则下列各结论中正确的是（　　） A．与是一对相反向量 B．与是一对相反向量 C．与是一对相反向量 D．与是一对相反向量 3．下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 4．在三棱锥中，，，，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 5．已知正方体，设向量，则（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ） ①； ② ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 8．如图， 在四面体OABC中， M为棱BC的中点， 点N，P分别满足 则 （   ）    A． B． C． D． 9．平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 10．已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 题型二：共线向量定理的应用 11．已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 12．在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 13．下列说法正确的是（    ） A．若，是两个空间向量，，则不一定共面 B． C．若P在线段AB上，则 D．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为 14．如图所示，在四棱柱中，，，，，则向量可表示为（    ） A． B． C． D． 15．在正四面体中，点O是的中心，若，则（    ） A． B． C． D． 16．已知长方体，，，是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（    ） A．3 B． C． D．2 17．如图，在中，点 分别是棱 的中点，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 18．下列命题中正确的是（    ） A．空间任意两个向量共面 B．向量、、共面即它们所在直线共面 C．若，，则与所在直线平行 D．若，则存在唯一的实数，使 19．向量与非零向量平行的充要条件是（    ） A． B． C．存在实数k，使 D．存在实数k，使 20．如图，已知是平面外两点，. (1)求证：平面； (2)若，求该几何体的体积. 题型三：空间向量的数量积 21．设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 22．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（    ） A．2 B． C． D． 23．记棱长为2的正方体的内切球为球是球O的一条直径，P为该正方体表面上的动点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 24．已知棱长为的正四面体中，是的中点，是上一点，则（    ） A． B． C． D． 25．在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 26．在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 27．如图，在三棱锥中，，，，为中点. (1)求证：平面，并求直线和平面所成角的正切值； (2)设点是的重心，用向量、、表示，并求点到点的距离. 28．如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，. (1)求的值； (2)求与所成的角的余弦值. 29．如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 30．如图所示，平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求的长度． 题型四：利用空间向量的数量积证垂直 31．在正方体中，是上底面的中心，则与的位置关系是(　　) A．重合 B．垂直 C．平行 D．无法确定 32．如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 33．如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值 (3)判断与是否垂直． 34．如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的大小； (3)判断与是否垂直． 35．如图，在棱长为1的正方体中，G、H分别是侧面和的中心．设，，． (1)用向量、、表示、； (2)求； (3)判断与是否垂直． 36．在长方体中，，，点在上，在上且为中点. （1）求、两点间的距离； （2）判断直线与直线是否垂直，并说明理由. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 空间向量及其运算 题型一：空间向量的有关概念及线性运算 题型二：共线向量定理的应用 题型三：空间向量的数量积 题型四：利用空间向量的数量积证垂直 题型一：空间向量的有关概念及线性运算 1．下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．与实数类似，对于两个向量，，有，，三种大小关系 C．向量的模是一个正实数 D．若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合 【答案】D 【分析】根据相等向量的概念判断A；根据空间向量的概念判断B；根据空间向量模的定义判断C；根据共线向量的定义判断D. 【详解】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确； 对于B，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此B不正确； 对于C，向量的模是一个非负实数，因此C不正确； 对于D，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，D正确. 故选：D. 2．已知正方体的中心为O，则下列各结论中正确的是（　　） A．与是一对相反向量 B．与是一对相反向量 C．与是一对相反向量 D．与是一对相反向量 【答案】C 【分析】根据空间向量的加减运算法则和相反向量的概念判断即可 【详解】 所以，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C 3．下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，即可判断各项的正误. 【详解】对于A中，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B中，只能说明的长度相等而方向不确定，故B错误； 对于C中，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故错误； 对于D中，相等向量其方向必相同，故D正确． 故选：D. 4．在三棱锥中，，，，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的线性运算，分析即得解. 【详解】 由题意，. 故选：D. 5．已知正方体，设向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程组，即可求解. 【详解】由于， 所以，，. 故选：B 6．如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ） ①； ② ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据空间向量的加法法则判断． 【详解】由正方体，空间向量的加法法则可得． ；； ；． 故选：D． 7．如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算可得结果. 【详解】 如图，连接，连接并延长交于点，则为中点，且， ∴. ∵为的中点，∴， ∴． 故选：A. 8．如图， 在四面体OABC中， M为棱BC的中点， 点N，P分别满足 则 （   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求得正确答案. 【详解】 . 故选：B 9．平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】将都用基底表示出来，得到，即可得到. 【详解】 ， 所以， 故选：C.    10．已知三棱柱如图所示，其中，若点为棱的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】根据空间向量的线性运算法则，可得： ． 故选：D 题型二：共线向量定理的应用 11．已知A，B，C三点共线，O为空间任一点，则①；②存在三个不为0的实数，m，n，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．0，0 【答案】B 【分析】根据三点共线的推理即可求得，. 【详解】，B，C三点共线，，，解得， 又由，得， 由A，B，C三点共线知，，则. 故选：B 12．在四面体中，E为的中点，G为平面的重心．若与平面交于点F，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据共线定理及空间向量线性运算可得结果. 【详解】如图：连接交于H，则H为中点，连接, 因为平面，平面，设，则， 又平面，所以平面，故K为与平面的交点， 又因为与平面交于点F，所以F与K重合， 又E为的中点，G为平面的重心， 因为点A，F，G三点共线，则 又因为点E，F，H三点共线，则， , 所以，解得，即，故. 故选：C. 13．下列说法正确的是（    ） A．若，是两个空间向量，，则不一定共面 B． C．若P在线段AB上，则 D．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为 【答案】C 【分析】根据空间向量的概念、性质和运算法则，对各选项进行判断，即可得到结果 【详解】根据向量的特点，若，是两个空间向量，则，一定共面，故选项A错误； ，故选项B错误； 若P在线段AB上，则，根据共线定理可知存在实数，使得故选项C正确； 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为，故选项D错误； 故选：C. 14．如图所示，在四棱柱中，，，，，则向量可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，利用空间向量的线性运算和基本定理得出，再根据向量共线定理即可得出结果. 【详解】解：在四棱柱中，，，， 得 ， 即=. 故选：B. 15．在正四面体中，点O是的中心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】因为四面体是正四面体，则每个面都是正三角形， 所以 . 又由，所以. 故选：B.    16．已知长方体，，，是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据给定条件，可得点在矩形及内部，结合平面，利用面面平行的知识找出点的轨迹，然后根据长方体的结构特征与解三角形的知识算出答案. 【详解】在长方体中，由，，，得点在矩形及内部， 又平面，故点在过且平行于平面的平面内， 连接交于点，取中点，连接，在上取点，使得，连接，，， 由是长方体，可知对角面为矩形，且， 因为，， 所以且，四边形为平行四边形，可得， 因为平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 因为是平面内的相交直线， 故平面平面，即平面是过且平行于平面的平面， 所以点的轨迹是四边形截面与平面的交线，即线段. 因为矩形中，，，可知， 所以，可得中，， 所以，即动点的轨迹所形成的轨迹长度为3. 故选：A 17．如图，在中，点 分别是棱 的中点，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由中点的向量公式与向量的减法运算即可得到答案. 【详解】如图所示，连接，因为分别是棱的中点，所以. 故选：C. 18．下列命题中正确的是（    ） A．空间任意两个向量共面 B．向量、、共面即它们所在直线共面 C．若，，则与所在直线平行 D．若，则存在唯一的实数，使 【答案】A 【分析】根据共面向量，共线向量的定义判断． 【详解】空间任意两个向量都能平移到同一平面内，因此它们共面，A正确； 空间三个向量指能平移到同一平面内，而不是指表示它们的直线在同一平面内，B错； 若，，但当时，与不一定平行，因此它们所在直线也不一定平行，即使两个向量平行，它们所在的直线也可能是同一直线，不一定平行，C错； 若，当时，不存在唯一的实数，使，D错． 故选：A． 19．向量与非零向量平行的充要条件是（    ） A． B． C．存在实数k，使 D．存在实数k，使 【答案】D 【分析】利用反例或共线向量定理可得正确的选项. 【详解】如果，则， 不成立，故A错误， 如果，则，故平行，但不成立， 因为无意义，故B错误. 对于C，不成立，因为是向量，而是实数，故C错误. 对于D，由向量共线定理可得： 向量与非零向量平行等价于存在实数k，使， 故D成立， 故选：D. 20．如图，已知是平面外两点，. (1)求证：平面； (2)若，求该几何体的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知可得，由线面平行的判定可得∥平面，∥平面，再由面面平行的判定可得平面∥平面，然后由面面平行的性质可得结论， （2）取的中点分别为，连接，则由已知条件可得四边形和四边形都是平行四边形，从而可得四边形是平行四边形，则可得该几何体为三棱台，然后结合已知数据可求出棱台的体积 【详解】（1）证明：， ， ∵平面，平面， ∴∥平面，∥平面， ∴平面∥平面， ∵平面， ∥平面. （2）取的中点分别为，连接，如图. ， ， ∴四边形和四边形都是平行四边形， ， 则四边形是平行四边形， ， 结合（1）证知，该几何体为三棱台， ∵，， ∴平面， ， 故该几何体的体积为. 题型三：空间向量的数量积 21．设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到，，结合向量的数量积的定义与运算，即可求得的值，得到答案. 【详解】如图所示，因为分别为的中点，可得，， 又因为四面体为正四面体，且棱长为， 可得. 故选：D. 22．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由投影向量的计算公式即可求解. 【详解】空间向量在向量方向上的投影向量为， 因为为单位向量，，， 所以， 所以， 故选：B 23．记棱长为2的正方体的内切球为球是球O的一条直径，P为该正方体表面上的动点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据空间向量的加法运算和数量积的运算律求解. 【详解】由题意可得，球O的半径为1． ．当P为正方体顶点时等号成立， 故选：B 24．已知棱长为的正四面体中，是的中点，是上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数量积的定义以及运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】依题意，有，，设， 则 ． 故选:B． 25．在平行六面体中，，．取棱的中点M，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，结合图形由向量的加法和数量积的运算律以及数量积的定义计算可得. 【详解】取的中点，连接， 由图形可得， 所以 ， 所以. 故选：B 26．在直棱柱中，，且，N是棱上的一点，且满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C．3 D． 【答案】B 【分析】设，，，将向量分别用表示，代入，利用向量数量积的运算律化简，求得，借助于二次函数的性质即可求得的最小值. 【详解】    设，，， 则，， 由， 因，，则， 代入整理得，，显然，故， 因，故当时，取得最大值， 此时取得最小值为36，故的最小值为为6. 故选：B. 27．如图，在三棱锥中，，，，为中点. (1)求证：平面，并求直线和平面所成角的正切值； (2)设点是的重心，用向量、、表示，并求点到点的距离. 【答案】(1)证明见解析， (2)， 【分析】（1）先根据线面垂直的判定定理证明线面垂直，进而得到面面垂直，再依据线面角的定义找出线面角，最后通过相关线段长度计算线面角的正切值. （2）根据重心性质得到关于、、的表达式，再对其平方，结合已知的角度和垂直关系计算数量积，进而求出的模长. 【详解】（1）因为，，而，平面， 平面，而平面，故平面平面， 又，为的中点，故，而平面，平面平面，故平面. 由（1）可得平面，故为与平面所成的角， 因为，为的中点，故，而，故， 而平面，平面，故，故. （2） 因为为的重心，连接并延长交与，连接，则， 故，故， 故， 而，，又平面，平面，故， 故，故. 28．如图，在平行六面体中，，，，点为的中点，. (1)求的值； (2)求与所成的角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为基底表示出可求出的值，即可求得结果； （2）根据向量数量积的运算律求得的长，再由向量夹角的计算公式可得结果. 【详解】（1）因为点为的中点 所以 所以 所以，所以 （2）因为 ； 所以； 因为； 又。 所以； 所以直线与所成的角的余弦值为. 29．如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算法，结合，即可求解； （2）由，得到，结合向量的数量积的运算公式，准确计算，即可求解. 【详解】（1）解：因为，由向量的线性运算法则， 可得： . （2）解：由， 所以 . 30．如图所示，平行六面体中，，，，． (1)求； (2)求的长度． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由向量的线性运算可得，由向量的数量积的运算律可得； （2）由两边平方后可得. 【详解】（1）在平行六面体中，． 因为，，，，， 所以，， ， 则 ． （2）因为， 所以 ， 则． 题型四：利用空间向量的数量积证垂直 31．在正方体中，是上底面的中心，则与的位置关系是(　　) A．重合 B．垂直 C．平行 D．无法确定 【答案】B 【分析】用向量作空间向量的一组基底分别表示和，由数量积为0可得垂直. 【详解】由题意，用向量作空间向量的一组基底 则 设正方体的棱长为1，于是： 故，即与垂直 故选：B 32．如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)判断与是否垂直． 【答案】(1) (2)垂直 【分析】（1）根据数量积的定义直接计算即可； （2）计算与的数量积，根据结果可得答案. 【详解】（1）正方体中，， 故. （2）由题意， ， ， 故与垂直. 33．如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值 (3)判断与是否垂直． 【答案】(1) (2) (3)垂直 【分析】（1）利用数量积的公式可得； （2）先用表示，利用数量积运算律可得、进而利用公式可得与的夹角的余弦值. （3）利用数量积运算律得，进而可得与是否垂直． 【详解】（1）正方体中，， 故. （2）由题意知，， ， ， 故， 故 . （3）由题意， ， ， 故与垂直. 34．如图，正方体的棱长是，和相交于点． (1)求； (2)求与的夹角的大小； (3)判断与是否垂直． 【答案】(1) (2) (3)垂直 【分析】（1）根据数量积的定义直接计算，可得答案; （2）求得向量的模，求出，根据向量的夹角公式求得答案; （3）计算与的数量积，根据结果，可得答案. 【详解】（1）正方体中， , 故; （2）由题意知, , , ， 故， 故 ， 故与的夹角的大小为 ； （3）由题意， , , 故与垂直. 35．如图，在棱长为1的正方体中，G、H分别是侧面和的中心．设，，． (1)用向量、、表示、； (2)求； (3)判断与是否垂直． 【答案】(1)， (2) (3)垂直 【分析】根据向量的线性运算法则和向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解. 【详解】（1）解：根据空间向量的运算法则，可得， . （2）解：根据空间向量的运算法则和数量积的运算公式，可得， 则. （3）解：根据空间向量的运算法则，可得； 则， 所以与垂直． 36．在长方体中，，，点在上，在上且为中点. （1）求、两点间的距离； （2）判断直线与直线是否垂直，并说明理由. 【答案】（1）；（2）直线与直线不垂直，理由见解析. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出、两点的坐标，利用两点之间的距离公式即可求出； （2）写出，的坐标，利用数量积判断. 【详解】解：（1）建立如图所示空间直角坐标系， ，，，，，， 因为，所以， 得 ， 又为中点，所以， 所以； （2）， ， 所以， ， 所以直线与直线不垂直. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$