第一章 空间向量与立体几何（高效培优单元测试·强化卷）数学人教A版2019高二选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，，如、、三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，则实数为（   ） A． B． C． D． 2．已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（   ） A． B． C．l与α相交但不垂直 D．或 3．已知向量，，，若、、共面，则等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，在四面体ABCD中，与为等边三角形，且，E，F分别为棱AD，AB的中点，则异面直线BE，CF所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．若平面过点且该平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 6．在四面体中，，，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D．- 7．在平行六面体中，且，，若，则棱的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 8．如图，正方体的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，已知正方体的棱长为2，P是正方形（包括边界）底面内的一动点，则下列结论正确的有（    ）    A．三棱锥的体积为定值 B．存在点P，使得 C．若，则P点在正方形内的运动轨迹长度为 D．若点P为的中点，点Q为的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体所得截面的面积为 10．在直三棱柱中，，点在棱上，且，是棱上的动点，则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使得 B．与所成角的正弦值为 C．三棱锥的体积为一个定值 D．三棱锥的外接球表面积为 11．如图，在正三棱柱 中， 点为的中点，点 在棱上，则下列说法正确的是（    ） A． B．当点为的中点时，点为上底面内的动点(包括边界)，若平面，则点的轨迹长度为 C．当点为靠近的四等分点时，与夹角的余弦值为 D．当点为的中点时，将线段绕旋转 90°到，则在旋转过程中(包含与)与平面所成角的正弦值的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，在正四面体中，点、、、、、分别是所在棱的中点，空间中的点满足且，当取到最小值时，记此时的点为，则当、且时，数量积的不同取值的个数是 ． 13．如图，在正四棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ；二面角的正弦值为 ． 14．如图.已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点Q为上一点，且，则过点A，B，Q的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为 .    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图所示的四棱锥中，平面，． (1)证明：平面平面； (2)，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为． （i）证明：在平面上； （ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值． 16．如图，在三棱锥中，，，，. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 17．如图，多面体是三棱台和四棱锥的组合体，底面四边形为菱形，，，为的中点，平面平面，．    (1)证明：平面 (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求三棱台的体积． 18．如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值. 19．如图，在三棱柱中，，，． (1)证明：平面； (2)若，二面角的大小为60°，求直线与平面所成角的正弦值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 空间向量与立体几何（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，，如、、三个向量不能构成空间直角坐标系上的一组基底，则实数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知、、三个向量共面，则存在实数、，使得，根据空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可解出的值. 【详解】由题意可知，、、三个向量共面，则存在实数、，使得， 即，所以，解得. 故选：A. 2．已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（   ） A． B． C．l与α相交但不垂直 D．或 【答案】A 【分析】由和的位置关系即可判断. 【详解】，， 所以， 所以， 故选：A 3．已知向量，，，若、、共面，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由共面向量的基本定理可知，存在、，使得，由空间向量的坐标运算可得出关于、、的方程组，即可解出的值. 【详解】因为向量，，，且、、共面， 由题意可知，存在、，使得， 即，所以，故. 故选：D. 4．如图，在四面体ABCD中，与为等边三角形，且，E，F分别为棱AD，AB的中点，则异面直线BE，CF所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作平面于点，证点为斜边的中点，且，建立空间直角坐标系，设，求出相关点和向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】如图，作平面于点， 因，则为的外心， 又，故点为斜边的中点，且． 故可以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系如图． 设，则，则， ， 则有， 因E，F分别为棱AD，AB的中点，故，， 则，， 设直线所成的角为， 则， 故选：A.． 5．若平面过点且该平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间中点到平面距离公式求解. 【详解】， 点到平面的距离， 故选：A. 6．在四面体中，，，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D．- 【答案】B 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出，根据异面直线夹角公式即可得到答案. 【详解】取BD的中点O，连接AO，OC，由，，得， 且，在△AOC中，，故， 又，平面，所以平面， 以OB，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以， 设异面直线AB与CD所成角为，则， 即异面直线AB与CD所成角的余弦值为. 故选：B. 7．在平行六面体中，且，，若，则棱的最大值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】设，利用空间向量基本定理有，得，转化为代数问题，利用基本不等式有，令，即得，转化为关于的一元二次不等式即可求解. 【详解】设，则有， 由，，所以，， 所以 ， 即， 由，当且仅当时，等号成立， 所以， 即，令， 即，关于的一元二次不等式要有解， 所以，解得，即， 所以的最大值为，当时，， 即，所以，即时，等号成立， 故选：D. 8．如图，正方体的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】通过建立空间直角坐标系，设P坐标，根据可得出轨迹方程，再根据轨迹方程即可求解. 【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设， ，， ，， ∵，∴， ∴点P在侧面的边界及其内部运动的轨迹如图线段： 正方体中，平面， ∴，又， 由图可知当点P在E处取得最大值， 所以面积的最大值. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．如图，已知正方体的棱长为2，P是正方形（包括边界）底面内的一动点，则下列结论正确的有（    ）    A．三棱锥的体积为定值 B．存在点P，使得 C．若，则P点在正方形内的运动轨迹长度为 D．若点P为的中点，点Q为的中点，过P，Q作平面平面，则平面截正方体所得截面的面积为 【答案】ACD 【分析】利用等体积法判断A；建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积判断B；确定轨迹并求出长度判断C；作出符合要求的正方体的截面并求出面积判断D. 【详解】对于A，在正方体中，平面平面， 则点P到平面距离为定值，的面积为定值，为定值，A正确； 对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，则，    设，，， 不垂直，因此不存在点P，使，B错误； 对于C，连接，平面，平面，则，而， 又平面，则平面，又平面，则. 同理得，又平面，则平面， 由，得平面，又平面，因此点轨迹为平面 与底面交线，即为线段，又，C正确；    对于D，取中点为，连接，平面， 由平行于，平面，得，又，则平面， 又取中点为，则，有四点共面，则平面平面. 平面即为平面，设平面分别与交于， 由平面平面，平面，平面， 则，又都是中点，则是中点，同理是中点， 于是平面截正方体所得截面为正六边形，又正方体棱长为2，则， 所以截面面积为，D正确.      故选：ACD 10．在直三棱柱中，，点在棱上，且，是棱上的动点，则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使得 B．与所成角的正弦值为 C．三棱锥的体积为一个定值 D．三棱锥的外接球表面积为 【答案】ABD 【分析】对于选项A，要证明线线垂直，需证明线面垂直，即证明平面即可；对于选项B，首先建立空间直角坐标系，然后将向量的坐标表示出来，利用向量夹角的余弦值公式求出夹角的余弦值，进而得到正弦值；对于选项C，根据三棱锥的体积公式进行判断即可；对于选项D，首先求出底面外接圆的半径，然后根据勾股定理可求出三棱锥外接球的半径，进而可求出球的表面积. 【详解】对于A，当为的中点时，有． 证明：在直三棱柱中，平面平面，，， 又平面， 平面，，所以A正确；    对于B，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，    则，，， 设与所成角为，则， ，所以B正确； 对于C，，其中为点到的距离，是一个定值，但随着点的运动而改变，所以C错误；      对于D，因为为等腰直角三角形，所以三棱锥的底面外接圆半径，，所以三棱锥的外接球半径为， 所以，所以D正确. 故选：ABD． 11．如图，在正三棱柱 中， 点为的中点，点 在棱上，则下列说法正确的是（    ） A． B．当点为的中点时，点为上底面内的动点(包括边界)，若平面，则点的轨迹长度为 C．当点为靠近的四等分点时，与夹角的余弦值为 D．当点为的中点时，将线段绕旋转 90°到，则在旋转过程中(包含与)与平面所成角的正弦值的取值范围为 【答案】ABD 【分析】对于选项A，利用线面垂直的性质可得到线线垂直；对于选项B，首先通过证明面面平行确定点的轨迹，进而可求得轨迹的长度；对于选项C，首先建立空间直角坐标系，然后将向量的坐标表示出来，利用向量夹角的余弦值公式即可求出结果；对于选项D，首先求出平面的法向量，然后利用旋转角将的坐标及向量的坐标表示出来，用向量夹角的余弦值公式求出表达式，然后根据旋转角的范围求出结果即可. 【详解】对于选项A： 因为三棱柱为正三棱柱，点为的中点， 所以，因为， 所以平面，又平面， 所以.所以A正确. 对于选项B： 取的中点，连接. 在中，为中位线，所以，又平面，平面，则平面. 在中，为中位线，所以又平面，平面，则平面. 又，平面，所以平面平面. 又为上底面的动点，则的轨迹为. 又，所以.B正确. 取的中点，连接， 则以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，. 所以，. 所以， 所以与夹角的余弦值为.所以C错误. 对于选项D： 因为，，. . 设平面的法向量为，则 ，则，令，则. 因为点为的中点，则. 在绕旋转过程中，设旋转角为，则. 所以，所以. 所以与平面所成角的正弦值为. 因为，所以，所以，所以D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．如图，在正四面体中，点、、、、、分别是所在棱的中点，空间中的点满足且，当取到最小值时，记此时的点为，则当、且时，数量积的不同取值的个数是 ． 【答案】5 【分析】由已知可得点在平面上，且平面，再利用数量积的几何意义可求出的不同取值的个数. 【详解】因为点满足且，所以点在平面上， 因为，所以为平面的中心，此时平面， 由数量积的几何意义可知在的投影有5种情况：0，，， 所以数量积的不同取值的个数是5. 故答案为：5 13．如图，在正四棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 ；二面角的正弦值为 ． 【答案】 /0.8 【分析】建立空间直角坐标系，求得结合向量的夹角公式，即可求出直线与所成角的余弦值；分别求得平面和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】如图，以点为原点，分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则． 所以. 异面直线与所成角的余弦值为. 设面一个法向量为， 由，得，令， 则，设面一个法向量为， ∴， 所以二面角的正弦值为. 故答案为：；. 14．如图.已知正三棱台的上、下底面边长分别为2和6，侧棱长为4，点Q为上一点，且，则过点A，B，Q的平面截该棱台内最大的球所得的截面面积为 .    【答案】/ 【分析】取的中点为，的中点为，连接，在平面中，过作平分线，交于，则到底面及三个侧面的距离相等，求出结合体高可求该棱台内最大的球的球的半径，故可求对应的表面积. 【详解】取的中点为，的中点为，连接， 且上底面中心在线段上， 且，同理， 而垂直于上下底面，且在上底面中，在下底面中， 故，故， 在平面中，过作平分线，交于， 则到底面及三个侧面的距离相等. 又，故， 故（负解舍去），故， 由正三棱台的对称性可知棱台内最大的球要么与上下底面相切， 要么与底面及3个侧面相切，而， 故棱台内最大的球与底面及3个侧面相切，且球的半径为，    故所得的截面面积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．如图所示的四棱锥中，平面，． (1)证明：平面平面； (2)，，，，在同一个球面上，设该球面的球心为． （i）证明：在平面上； （ⅱ）求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析； （ii）. 【分析】（1）通过证明，，得出平面，即可证明面面垂直； （2）（i）法一：建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，假设在同一球面上，在平面中，得出点坐标，进而得出点在空间中的坐标，计算出，即可证明结论； 法二：作出的边和的垂直平分线，找到三角形的外心，求出，求出出外心到，，，的距离相等，得出外心即为，，，所在球的球心，即可证明结论； （ii）法一：写出直线和的方向向量，即可求出余弦值. 法二：求出的长，过点作的平行线，交的延长线为，连接，，利用勾股定理求出的长，进而得出的长，在中由余弦定理求出，即可求出直线与直线所成角的余弦值. 【详解】（1）由题意证明如下， 在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面， ∴，， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. （2）（i）由题意及（1）证明如下， 法一： 在四棱锥中，，，，∥， ，， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上， 则， 在平面中， ∴， ∴线段中点坐标， 直线的斜率：， 直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：， 即， 当时，，解得：， ∴ 在立体几何中，， ∵ 解得：， ∴点在平面上. 法二： ∵，，，在同一个球面上， ∴球心到四个点的距离相等 在中，到三角形三点距离相等的点是该三角形的外心， 作出和的垂直平分线，如下图所示， 由几何知识得， ，， ， ∴， ∴点是的外心， 在Rt中，，， 由勾股定理得， ∴， ∴点即为点，，，所在球的球心， 此时点在线段上，平面， ∴点在平面上. （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， ， 设直线与直线所成角为， ∴. 法2： 由几何知识得，， ，∥， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 过点作的平行线，交的延长线为，连接，， 则，直线与直线所成角即为中或其补角. ∵平面，平面，， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 在Rt中，，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 即： 解得： ∴直线与直线所成角的余弦值为：. 16．如图，在三棱锥中，，，，. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）在三角形里用余弦定理求边长，由勾股定理逆定理得，再证得平面，进而得面面垂直. （2）先建空间直角坐标系，确定相关点坐标，得到向量坐标，通过法向量与平面内向量垂直列方程组求平面法向量，已知平面法向量，最后用公式求两平面夹角余弦值. 【详解】（1）证明：中，，，则有； 在中，，， 由余弦定理，，解得， 中，由余弦定理：， .     又，，所以平面，     又平面，所以平面平面. （2）解：建系如图，以点为原点，为轴，为轴建立坐标系， 在等腰三角形中，，则， ，，， ，.     设是平面的一个法向量， 令，则.     平面的一个法向量，     设平面与平面夹角为， 则， 平面与平面夹角的余弦值为. 17．如图，多面体是三棱台和四棱锥的组合体，底面四边形为菱形，，，为的中点，平面平面，．    (1)证明：平面 (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求三棱台的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明. （2）利用两个平面夹角的向量求法求出，再利用棱台的体积公式即可求得结果. 【详解】（1）    证明：连接，因为，平面，平面， 所以平面， 因为，，，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 因为，，平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面； （2）因为平面平面， 平面平面，，平面， 所以平面， 取的中点，连接，，因为四边形为菱形，， 所以为等边三角形，所以， 又，所以， 所以，，两两垂直， 则以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    设，， 则，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则即， 取，得， 故平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则即， 取，得， 故平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则 ，解得或舍，即， 因为的面积为， 的面积为， 所以三棱台的体积 ． 18．如图，在四棱锥中，是边长为4的等边三角形，底面为直角梯形，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）取的中点，证明，再利用线面平行的判定定理即可； （2）取的中点为，以为原点建系，求出平面的法向量，再根据向量夹角与线面角的关系即可求出. 【详解】（1）取的中点，连接，， ∵为的中点，∴且， 又，，则且， ∴四边形是平行四边形，∴， ∵平面，平面， ∴平面. （2）取的中点为，连接，因，则， 因平面平面，平面平面，平面， 则平面，又面，则， 又，，，则，故，，两两垂直， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由是边长为4的等边三角形，得， ∴，，，，， ∴，，， 设平面的法向量为，则， 令，得，，即平面的一个法向量为； ∴， ∴直线与平面所成角的正弦值为． 19．如图，在三棱柱中，，，． (1)证明：平面； (2)若，二面角的大小为60°，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理逆定理得到，结合即可证明出线面垂直； （2）先由线面垂直得到线线垂直，得到二面角的平面角为，求出各边长，得到为等边三角形，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的向量公式求出答案. 【详解】（1），，有，， 又，，平面， 平面； （2）平面，平面， 且， 二面角的平面角为，而， ，为等边三角形， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，所在平面为平面， 建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， 由，，，， 设平面的一个法向量， ， 解得，令，则，故， 设与平面所成角为， . ∴直线与平面所成角的正弦值为. 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$