专题02 空间向量基本定理及其坐标表示四大常考题型（高效培优专项训练）数学人教A版2019高二选择性必修第一册

专题02 空间向量基本定理及其坐标表示 题型一：基底的判断 题型二：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 题型三：空间向量平行坐标表示 题型四：空间向量夹角坐标表示 题型一：基底的判断 1．下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．任意两个空间向量不一定共面 B．模相等的两个向量是相等向量 C．平行于同一个平面的向量叫做共面向量 D．空间中任意三个向量都可以构成空间的一个基底 【答案】C 【分析】根据相等向量，共面向量，基底概念，逐个判断即可. 【详解】任意两个空间向量一定共面，A错误. 方向相同且模相等的两个向量是相等向量，B错误． 平行于同一个平面的向量叫做共面向量，C正确. 空间中任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底，D错误. 故选：C. 2．如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行六面体的结构特征，结合空间共面向量定理爱空间向量基本定理逐项判断. 【详解】由，，、、组成空间向量的一个基，得向量、、不共面， 对于A，在平行六面体中，，则与、共面，A不是； 对于C，，与、共面，C不是； 对于D，，与、共面，D不是； 对于B，由，得，不共面， 假设与、共面，则存在，使得， 而，则， 整理得，从而，此方程组无解， 假设不成立，因此与、不共面，可以是. 故选：B 3．已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组基底是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据空间向量的基本定理结合共面向量的定义逐项分析判断. 【详解】因为向量，，是不共面的三个向量， 对于A：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故A错误； 对于B：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故B错误； 对于C：因为，所以，，共面， 所以，，不能构成空间的一组基底，故C错误； 对于D ：假定向量，，共面， 则存在不全为的实数，，使得，整理得， 而向量，，不共面，则有，显然不成立，所以向量，，不共面， 即向量，，能构成空间的一个基底，故D正确； 故选：D 4．已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】由空间向量的基底的定义建立方程，可得答案. 【详解】对于A，设，无解， 所以，，不共面，能构成空间的一组基底，故A正确； 对于B，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故B错误； 对于C，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：A. 5．若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据基底的定义，结合空间向量的共面条件，可得答案. 【详解】因为，所以，，共面； 因为，所以，，共面； 因为，所以，，共面； 因为不存在x，y，使得，所以，，不共面，所以可以作为基底． 故选：D. 6．若是空间的一组基，且向量，则可以与构成空间的另一组基的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐一判断选项中的向量是否与共面即可，如果不共面就符合题意. 【详解】由题意知，不共面，对于选项A，，故共面，排除A； 对于选项B，，故共面，排除B； 对于选项D，由选项A得，，故共面，排除D． 对于C，，向量，而不与共面，故C正确. 故选：C. 7．已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【分析】根据空间向量基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A选项，因为，则、、共面， 所以，、、不能构成空间的一组基底； 对于B选项，因为，则、、共面， 所以，、、不能作为空间的一组基底； 对于C选项，因为，则、、共面， 所以，、、不能作为空间的一组基底； 对于D选项，假设、、共面， 则存在、使得， 由于为空间的一组基底，则，该方程组无解， 故假设不成立，即、、不共面， 所以，、、可以作为空间的一组基底. 故选：D. 8．若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 【答案】 【分析】根据题意，可知存在，使得，结合空间向量基本定理运算求解. 【详解】由不能构成空间的一个基底，则存在，使得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 9．已知，，，若不能构成空间的一个基底，则 . 【答案】1 【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果. 【详解】若不能构成空间的一个基底， 则共面，存在，使得， 即，解得. 故答案为：1. 10．基底 空间中 的三个向量组成空间向量的一组 ，记为.此时都称为 . 【答案】 不共面 基底 基向量 【分析】略 【详解】略 故答案为：不共面；基底；基向量. 题型二：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 11．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据空间向量法线性运算法则计算可得. 【详解】连接，因为是的中点，所以， 因为三棱柱是底面为直角三角形的直棱柱， 所以四边形为长方形，又因为是的中点， 所以， 则， 又，又，，不共面，所以，所以． 故选：D． 12．已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为的中点，点满足，点满足，若、、、四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由共面向量的基本定理得出，利用空间向量的减法可得出，设，利用空间向量的线性运算得出，进而可得出关于、、的方程组，解出的值，即可得出的值. 【详解】如下图所示： 因为、、、四点共面，且、不共线， 则存在、，使得， 即， 所以， 因为四边形为平行四边形，所以，即， 所以， 设，则， 因为、、不共面，所以，解得，所以， 又因为，故， 故选：C. 13．如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量基本定理，用表示，由，，，四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，列方程求其解可得结论. 【详解】由题意可知， 因为，，，四点共面， 所以存在实数，使， 所以， 所以 ， 所以 ，所以． 故选：B. 14．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】结合图形，利用向量的线性运算，即可求解. 【详解】 在四棱锥P-ABCD中，有， 再由点E为棱PC的中点，，所以， ， 由底面ABCD是平行四边形，得， 所以， 又因为，所以，即， 故选：A. 15．平行六面体中，，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量线性运算法则利用表示，结合空间向量基本定理求可得结论. 【详解】由平行六面体可得， 又，所以， 则． 故选：B． 16．已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的投影向量公式计算即可. 【详解】因为是空间的一个单位正交基底， 所以，， 则， ， 所以空间向量在方向上的投影向量为， 故选：D 17．六氟化硫，化学式为，常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是两个棱长均相等的正四棱锥将底面重合的几何体）.如图所示，在正八面体中，是的重心，记，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量的线性运算求解即可. 【详解】易知，设中点为， 则， 所以， 故选：D. 18．如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，底面底面，且是正方形的中心，若，则（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】设，用基底表示出，再由数量积的运算律化简可求出，即可得出答案. 【详解】因为底面是边长为1的正方形，底面底面ABCD， 所以，，，设， 因为， ， ，解得：， 故. 故选：A. 19．已知在三棱柱中，，记，. (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用空间向量的基本定理及线性运算可得，可得从而证得； （2）由向量的线性运算可得，，再根据异面直线与所成角的余弦值的公式求解即可. 【详解】（1）由已知该几何体是三棱柱， 所以四边形为平行四边形， 又， 所以， 故，即. 所以四边形为矩形. （2）由已知， 又， ； 同理， ， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 20．如图所示，平行六面体中，E，F分别在和上，，. (1)求证：A，，，四点共面； (2)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据空间向量基本定理即可证明： （2）把作为一组基底，结合向量的线性运算即可求解. 【详解】（1）证明： ， ，，，四点共面. （2） ， ，，， . 题型三：空间向量平行坐标表示 21．若，在直线上，则直线的方向向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线与向量共线，求出判断即可 【详解】在直线上，， ， 向量是直线的方向向量． 故选：A 22．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，且，是棱的中点，设平面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量基本定理，选择作为基底分别表示和向量，再根据向量共线的条件求出参数即可. 【详解】选择作为基底，； ，由已知点在平面内，即与，共面，可得， 又由是的中点，可得，代换可得： ； 与共线，即，可得：，即 ，解得. 故选：C 23．若向量，且，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量平行的坐标运算得出，进而由模长公式求解. 【详解】因为向量，且， 所以，所以，所以． 故选：D 24．已知，，，是空间直角坐标系中的四点，是空间中任意一点，则下列说法错误的是（   ） A．若与关于平面对称，则 B．若，则，，，共面 C．若，则，，，共面 D．若，，三点共线，则 【答案】C 【分析】利用对称求解判断A；利用共面向量定理及推论判断BC；利用向量共线求解判断D. 【详解】对于A，由与关于平面对称，得，，A正确； 对于B，由及共面向量定理得共面，B正确； 对于C，，则点不共面，C错误； 对于D，，由点共线，得， 则，解得，，D正确. 故选：C 25．在空间直角坐标系中，已知．若，分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求点在坐标平面上的正投影，进而可求，，即可比较大小. 【详解】由题意可知：点在坐标平面上的正投影分别为， 因为，则，可知三点共线， 可得，，， 所以. 故选：B. 26．已知是边长为2的正方形，点，在平面的同侧，平面，平面，且，点为的中点，点是线段上的动点，则线段的长度不可能为（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据题设条件建系，写出相关点的坐标，设,则由，可求得，利用空间两点之间距离公式和二次函数的最值求出线段长度的范围即可. 【详解】如图所示，以为原点，以,,所在直线分别为轴，轴，轴正方向， 建立空间直角坐标系，则、、、、、 .设，由点是上的动点，知，即 ，∴ ，故， ∴ 所以. 故选：A 27．向量，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的关系列式求解，的值，再运用向量的数乘及加法的坐标表示公式，结合向量的模公式计算得出结果. 【详解】由，，则，解得， ，， ， . 故选：C. 28．已知空间中三点、、，设，. (1)若向量与互相垂直，求的值； (2)若，且与共线，求向量. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出向量、的坐标，进而求出向量的坐标，由题意可得出，结合空间向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，解之即可； （2）设，其中，求出的值，利用向量模的性质求出的值，即可得出向量的坐标. 【详解】（1）由题意可得，， 所以，， 因为向量与互相垂直，则，解得. （2）由题意可得，则， 因为与共线，设，其中，则，解得， 当时，；当时，. 综上所述，或. 29．知向量， (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）先求出，，根据向量共线得到方程，求出； （2）由题意得到，且与不同向共线，从而得到不等式，求出答案. 【详解】（1）因为，， 所以，， 因为，所以，解得：； （2）因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线， 由（1）知，，， 故， 解得且，即的取值范围为且. 30．若，. (1)若，求实数k的值. (2)若，求实数k的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用向量的坐标运算和向量共线的充要条件求出k的值； （2）直接利用向量的坐标运算和向量垂直的充要条件求出k的值． 【详解】（1）∵，， ∴ ， ∵， ∴，解得. （2）∵， ∴， 即， 解得. 题型四：空间向量夹角坐标表示 31．已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，由为钝角，可得，得到不等式，解不等式，可得出答案. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， ，，， 故， ， 则 ， 因为， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：C 32．已知空间向量，，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量夹角的余弦公式计算即可. 【详解】因为，， 所以，，， 所以与的夹角的余弦值是， 故选：B 33．若向量，且与的夹角余弦为，则等于（    ） A．2 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】由空间向量夹角余弦值的坐标运算，结合的坐标得到关于的表达式，即可求出的值. 【详解】因为向量，且与的夹角余弦为， 所以， 解得， 故选：D. 34．空间三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C．7 D． 【答案】D 【分析】利用空间向量的数量积求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得平行四边形的面积. 【详解】因为，，， 所以，， 所以， ，， 所以， 因为，所以， 所以，以，为邻边的平行四边形的面积为. 故选：D 35．设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】我们先根据已知条件求出的值，再利用向量夹角公式求出. 【详解】已知向量是单位向量，则，即， 因为向量与的夹角为，根据向量夹角公式可得： ，即， 联立方程，将代入可得： ，解得， 当时，；当时，， 因为向量是单位向量，则，即， 又因为向量与的夹角为，根据向量夹角公式可得： ，即， 联立方程，将代入可得： ，解得， 当时，；当时，， 根据向量夹角公式，， 当时，；当时，， 所以. 故选：B. 36．棱长为2的正方体中，其内部和表面上存在一点满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，设，设中点为，中点为，由得，确定点的轨迹，由数量积的定义计算向量夹角的余弦值，结合参数范围得余弦值范围，从而角的范围． 【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则有、、， 设，、、，设中点为，中点为，由得，则， 即， 又，同理可得， 即，即， 即，故有， 且，，， ， 故， 由可得， 故，故. 故选：B. 37．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出向量、的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】因为，，则，， 所以，. 故选：B. 38．已知向量，，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得出，可求出的值，求出的坐标，利用空间向量的模长公式可求得的值； （2）利用空间向量数量积的坐标运算可得出向量与夹角的余弦值. 【详解】（1）因为向量，，且，则，解得， 所以，，则， 故. （2）， 所以，. 因此，向量与夹角的余弦值为. 39．已知向量，，其中，，． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值． 【答案】(1)； (2)0 【分析】（1）由数量积和模的坐标表示计算； （2）由向量夹角的坐标表示求解． 【详解】（1）由题意，则， 所以，； （2）， ． 40．设，向量，且. (1)求； (2)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）首先利用向量的共线和向量的垂直求出向量的坐标，进一步求出向量的模； （2）利用向量的线性运算和向量的夹角运算求出结果. 【详解】（1）向量，且， 故，解得. 由于， 所以，解得. 故， 所以， 故. （2）由于，故， 故. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 空间向量基本定理及其坐标表示 题型一：基底的判断 题型二：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 题型三：空间向量平行坐标表示 题型四：空间向量夹角坐标表示 题型一：基底的判断 1．下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．任意两个空间向量不一定共面 B．模相等的两个向量是相等向量 C．平行于同一个平面的向量叫做共面向量 D．空间中任意三个向量都可以构成空间的一个基底 2．如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 3．已知向量，，是空间不共面的三个向量，则下列选项中能构成空间向量一组基底是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．若构成空间的一个基底，则下列向量可作为基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．若是空间的一组基，且向量，则可以与构成空间的另一组基的向量是（   ） A． B． C． D． 7．已知为空间的一组基底，则下列向量也能构成空间的一组基底的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 8．若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 9．已知，，，若不能构成空间的一个基底，则 . 10．基底 空间中 的三个向量组成空间向量的一组 ，记为.此时都称为 . 题型二：用空间向量基本定理解决相关的几何问题 11．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱．如图，在堑堵，中，M是的中点，是的中点，若，则（   ） A．1 B．2 C． D． 12．已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为的中点，点满足，点满足，若、、、四点共面，则（   ） A． B． C． D． 13．如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 14．四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 15．平行六面体中，，则（   ） A．1 B． C． D． 16．已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 17．六氟化硫，化学式为，常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是两个棱长均相等的正四棱锥将底面重合的几何体）.如图所示，在正八面体中，是的重心，记，，，则等于（    ） A． B． C． D． 18．如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，底面底面，且是正方形的中心，若，则（    ） A．2 B． C．5 D． 19．已知在三棱柱中，，记，. (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求异面直线与所成角的余弦值. 20．如图所示，平行六面体中，E，F分别在和上，，. (1)求证：A，，，四点共面； (2)若，求的值. 题型三：空间向量平行坐标表示 21．若，在直线上，则直线的方向向量是（   ） A． B． C． D． 22．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，且，是棱的中点，设平面，则的值为（    ） A． B． C． D． 23．若向量，且，则（    ） A．4 B． C． D． 24．已知，，，是空间直角坐标系中的四点，是空间中任意一点，则下列说法错误的是（   ） A．若与关于平面对称，则 B．若，则，，，共面 C．若，则，，，共面 D．若，，三点共线，则 25．在空间直角坐标系中，已知．若，分别是三棱锥在坐标平面上的正投影图形的面积，则（    ） A． B． C． D． 26．已知是边长为2的正方形，点，在平面的同侧，平面，平面，且，点为的中点，点是线段上的动点，则线段的长度不可能为（ ） A．1 B． C．2 D． 27．向量，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 28．已知空间中三点、、，设，. (1)若向量与互相垂直，求的值； (2)若，且与共线，求向量. 29．知向量， (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 30．若，. (1)若，求实数k的值. (2)若，求实数k的值. 题型四：空间向量夹角坐标表示 31．已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 32．已知空间向量，，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 33．若向量，且与的夹角余弦为，则等于（    ） A．2 B． C．或 D． 34．空间三点，，，则以，为邻边的平行四边形的面积为（    ） A． B． C．7 D． 35．设空间两个单位向量，与向量的夹角都等于，则（    ） A． B． C． D． 36．棱长为2的正方体中，其内部和表面上存在一点满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 37．已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 38．已知向量，，且． (1)求的值； (2)求向量与夹角的余弦值． 39．已知向量，，其中，，． (1)求； (2)求与的夹角的余弦值． 40．设，向量，且. (1)求； (2)求向量与夹角的余弦值. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$