精品解析：重庆市石柱县第一初级中学2024-2025学年八年级下学期半期考试数学试题

石柱第一初级中学2025年春2026届期中检测数学试题 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，掌握二次根式的定义（①被开方数不含能开方的因数；②分母不含根号）是解题的关键．根据二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A：，故不是最简二次根式，不符合题意； B：，故不是最简二次根式，不符合题意； C：，故不是最简二次根式，不符合题意； D：，符合最简二次根式的条件，故是最简二次根式，符合题意； 故选：D 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，算术平方根，立方根．根据二次根式的乘法、算术平方根，立方根的性质计算即可求解． 【详解】解：A、没有意义，本选项不符合题意； B、，本选项符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：B． 3. 重庆天气犹如“过山车”，一年四季“随机播放”，前一天还是艳阳高照炎炎夏日，后一天就风大雨大一秒入冬，如图是重庆2022年5月一周的气温图，以下叙述错误的是（　　） A. 该周星期五气温最高 B. 该周星期五到星期日气温持续降低 C. 该周星期二的气温与星期四的气温一样高 D. 该周气温最低为 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线图分别判断即可． 【详解】解：A、根据折线图，该周星期五气温最高，故不符合题意； B、根据折线图，该周星期五到星期日气温持续降低，故不符合题意； C、该周星期二的气温与星期四的气温一样高，故不符合题意； D、该周气温最低为，故符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了折线统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，菱形，正方形和矩形的判定定理，等腰梯形的对角线也相等，但等腰梯形不是矩形，据此可判断A；筝形对角线垂直但其不是菱形，据此可判断B；对角线相等的四边形是矩形，不一定是菱形，据此可判断C；对角线互相垂直的矩形是正方形，据此可判断D． 【详解】解；A． 对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等，但并非矩形，原命题是假命题，不符合题意． B． 对角线垂直的四边形不一定是菱形，例如筝形对角线垂直但邻边不等，原命题是假命题，不符合题意． C． 对角线相等的平行四边形是矩形，而非菱形（菱形的对角线垂直且平分），原命题是假命题，不符合题意． D． 矩形本身对角线相等，若再满足对角线垂直，则符合正方形对角线相等且垂直的特性，原命题是真命题，符合题意． 故选：D． 5. 估计的值应在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式估值，二次根式化简等．根据题意先将二次根式化简为最简二次根式，再进行计算，最后进行估值即可． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴在整数和之间， ∴的数值在5和6之间， 故选：D． 6. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理．先求出圆的半径，结合点A在表示1的数的左侧，即得出点A处所表示的数． 【详解】解：根据勾股定理可得圆的半径为， ∴点A处所表示的数为． 故选：B． 7. 如图，在平行四边形 中，，的平分线，交的延长线于点F，交于E， 则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，角平分线的定义，先由平行四边形的性质得到，再根据角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵的平分线，交的延长线于点E，交于F， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点A出发，翻过木块到达点C处，需要走的最短路程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在最短路径中的应用，将长方体侧面展开得蚂蚁的爬行的最短路径为的长，用勾股定理即可求解；能找出最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，将长方体侧面展开得， 蚂蚁的爬行的最短路径为的长， （）， ， 蚂蚁的爬行的最短路径为， 故选：C． 9. 如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形逆时针旋转后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】将绕点逆时针旋转至， ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转性质可知：，，， ∴， ∴点三点共线， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是能正确作出旋转，再证明三角形全等，熟练利用性质求出角度． 10. 已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式；②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有6个； ③满足条件的整式共有12个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的相关概念及分类讨论思想，熟练掌握根据条件对取值分类讨论并计算满足条件的整式个数是解题的关键．根据已知条件（为自然数，为正整数 ），对的可能取值进行分类讨论，分别计算不同值下满足条件的整式的个数，再据此判断三个说法的正误． 【详解】解：当时， ，为正整数，，此时整式为单项式（，整式只有常数项 ），则，，有个单项式． 当时，，为正整数，，即（，为自然数 ）． 时，，整式为； 时，，整式为； 时，，整式为； 时，，整式为；共个整式． 当时，，为正整数，，即（，为自然数 ）． 时，： ，，整式为； ，，整式为； ，，整式为； 时，： ，，整式为； ，，整式为； 时，，，整式为； 共个整式． 当时： ，为正整数，，即（，为自然数 ）． 时，： ，，，整式为； ，，，整式为； ，，，整式为； 时，，，，整式为； 共个整式． 当时： ，为正整数，，即（，为自然数 ）． 则，，整式为，共个整式． 对于说法①，满足条件的单项式有时的（个 ）、时的（个 ）、时的（个 ）、时的（个 ）、时的（个 ），共个单项式，说法①正确． 对于说法②，当时，满足条件的整式有个，所以“不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有个”说法②错误． 对于说法③，满足条件的整式个数为，说法③错误． 综上，只有说法①正确， 故选：． 二．填空题（每小题4分，共32分） 11. 函数中，自变量的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定．根据二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为列出不等式组，解不等式组得到答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， 故答案为：且． 12. 已知函数中，当时的函数值为1，试求的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据函数值与自变量的关系是一一对应的，代入函数值，可得自变量的值． 【详解】解：函数中，当时的函数值为1， ， ， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了求函数值或自变量的值，熟练掌握函数值与自变量的关系是一一对应的，是解题的关键． 13. 如图，在中，，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上一点，连接，若，则的长为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线性质是解题的关键．先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到的长，然后利用三角形的中位线求出长，再利用解题即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵点D、E分别是边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故答案为：1． 14. 如图，在菱形中，，点为上一点，为上一点，连接，，，若，，则的度数为______． 【答案】##55度 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，，证明，得出，由三角形外角的定义及性质可得，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 15. 甲、乙两名同学沿同一直线跑道从地出发前往地，甲到达地后停止计时．已知乙先出发2分钟后甲才出发，甲的速度为每分钟米．若两人之间的距离（米）与甲出发的时间（分钟）的关系如图所示，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，从函数图象获取信息，根据题意先求出乙的速度为每分钟米，即可求出的值． 【详解】解：设乙的速度为每分钟米． 则， 解得， 即乙的速度为每分钟米． 故答案为： 16. 若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为________． 【答案】13 【解析】 【分析】先求出一元一次不等式组中两个不等式的解集，从而可得，再解分式方程可得且，从而可得且，然后将所有满足条件的整数的值相加即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的不等式组的解集为， ， 解得， 方程可化为， 解得， 关于的分式方程的解为正数， 且， 解得且， 且， 则所有满足条件的整数的值之和为， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键． 17. 如图，在矩形中，，，P是边上一个动点，过点P作，垂足为G，连接，取中点E，连接，则线段的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线的性质，矩形的性质，含角的直角三角形的性质．延长，使得，连接，，求出，得点在定直线上，利用中位线得，则当最小时，有最小值，而当时，最小，计算即可． 【详解】解：延长，使得，连接，，如图， ∵，， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∴点在定直线上， ∵是的中点， ∴， ∴当最小时，有最小值， 当时，最小， 此时， ∴的最小值为， 故答案为：． 18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为___________；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是___________． 【答案】 ①. ②. 8165 【解析】 【分析】根据递减数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵ 是递减数， ∴， ∴， ∴这个数为； 故答案为： ∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除， ∴， ∵， ∴， ∵，能被整除， ∴能被9整除， ∵各数位上的数字互不相等且均不为0， ∴， ∵最大的递减数， ∴， ∴，即：， ∴最大取，此时， ∴这个最大的递减数为8165． 故答案为：8165． 【点睛】本题考查一元一次方程和二元一次方程的应用．理解并掌握递减数的定义，是解题的关键． 三．解答题（19题8分，20－26每小题10分，共78分） 19. 计算题 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用绝对值、立方根、负整数指数幂进行计算即可； （2）先化简二次根式，利用乘法进行计算，再进行加法运算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 20. 在学习了等腰三角形的相关知识之后，某学习小组进行了更加深入的探究．他们发现，作等腰三角形底边中线的垂直平分线，该垂直平分线与两腰交点、顶角的顶点、底边中点所围成的封闭图形是菱形、他们解决问题的思路是通过证全等的方法得出结论．请你根据该小组的思路完成以下作图与填空： （1）如图，在中，，是边上的中线．用尺规作的垂直平分线，垂足为点，交于点，交于点，连接、．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）间所作图形中，求证：四边形是菱形． 证明：∵垂直平分 ∴，， ∴ ∵，为的中线 ∴ ① 在和中 ∴ ∴ ③ ∴ ∴四边形为菱形． 学习小组进一步思考发现，等腰直角三角形底边中线的垂直平分线与两腰交点、顶角的顶点、底边中点所围成的封闭图形是： ④ ． 【答案】（1） 尺规作图如图所示： （2），，，正方形 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的作图和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，掌握垂直平分线的性质是解答的关键． （1）根据尺规作图—作线段垂直平分线的作法解答即可； （2）利用垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的三线合一得到，然后根据证明，即可得到四条边都相等，证明结论即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：∵垂直平分， ∴，，， ∴， ∵，为的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴, ∴四边形为菱形． ∵四边形为菱形，， ∴四边形为正方形． 学习小组进一步思考发现，等腰直角三角形底边中线的垂直平分线与两腰交点、顶角的顶点、底边中点所围成的封闭图形是：正方形． 故答案为：，，，正方形． 21. 如图，点E、F在的对角线上，且．求证：． 【答案】 证明：四边形为平行四边形． ， ， 又， ， ． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的性质得出，再证明，进而可得出答案． 【详解】略 22. 如图，菱形的对角线、相交于点，，，与交于点． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1） 解：四边形是矩形． 证明：， 四边形是平行四边形． 又菱形对角线交于点 ，即． 四边形是矩形． （2）96 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质可证明，然后再证明四边形为平行四边形，从而可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质和勾股定理求出，再利用三角形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 菱形， ， ， ， ， 的面积， 菱形的面积的面积． 【点睛】本题主要考查的是菱形的性质判定、矩形的性质和判定，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 23. 为了满足市民的需求，我市在一条小河两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；①；②．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方千米处，点D在点C的正西方千米处，点D在点A的北偏东方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西方向．（参考数据： （1）求AD的长度．（结果精确到1千米） （2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？ 【答案】（1）AD的长度约为千米 （2）小明应该选择路线①， 由题意可得：，， ∴路线①的路程为：（千米）， ∵，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 由题意可得， ∴， ∴，， 所以路线②的路程为：千米， ∴路线①的路程路线②的路程， 故小明应该选择路线①． 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据题意可得四边形是矩形，进而得出，然后解直角三角形即可； （2）分别求出线路①和线路②的总路程，比较即可． 【小问1详解】 解：过点作于点， 由题意可得：四边形是矩形， ∴千米， ∵点D在点A的北偏东方向， ∴， ∴千米， 答：AD的长度约为千米； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的相关定义，掌握特殊角三角函数值是解本题的关键． 24. 如图1，在中，∠C＝90°，，， 动点P从点B出发，沿折线B→C→A运动，到达点A后停止．设点P的运动路程为x，的面积为y． （1）直接写出y 关于x的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围； （2）在图2中画出函数的图象，并结合函数图象，写出该函数的一条性质； （3）根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围．（结果保留1位小数，误差小于） 【答案】（1） （2）当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） y与x的函数图象如图所示， （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）分两种情况分别求出函数解析式即可解答； （2）根据（1）中函数关系式，画出函数图象即可，根据图象进行解答即可； （3）根据函数解析式分别求出当时x的值，结合图象即可求解． 【小问1详解】 解：当时，点P在上，； 当时，点P在上，， 综上，； 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：令，； 令，． ∴当时，． 25. 对凸四边形我们进行约定：若四边形对角线既不垂直也不相等，叫做“线无垂等”四边形；若四边形对角线垂直但不相等，叫做“线垂不等”四边形；若四边形对角线相等但不垂直，叫做“线等不垂”四边形；若四边形对角线既相等又垂直，叫做“线垂且等”四边形． （1）判断下列说法是否正确（正确的请在题后括号内打“”，错误的打“”）． 所有的平行四边形都是“线无垂等”四边形；（ ） 邻边相等的矩形是“线垂且等”四边形；（ ） 依次连接“线垂不等”四边形各边中点，构成的四边形是“线等不垂”四边形．（ ） （2）如图，在中，，于点，分别为的中点． 四边形为“___________”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）； 若和的面积分别为和，求四边形的面积． 【答案】（1），， （2）①线等不垂；②48 【解析】 【分析】（）根据题中定义即可判断； （）如图，连接，，交于点，由中位线定理得，，根据直角三角形斜边上的中线性质，，，由，则有，从而即可判断； 根据三角形中线的定义和面积和差即可求解； 【小问1详解】 解：所有的平行四边形都是“线无垂等”四边形，此说法错误； 邻边相等的矩形是“线垂且等”四边形，此说法正确； 依次连接“线垂不等”四边形各边中点，构成的四边形是“线等不垂”四边形，此说法正确； 故答案为：，，； 【小问2详解】 如图，连接，，交于点， ∵分别为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为“线等不垂”四边形， 故答案为：线等不垂； ∵，， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、中位线定理，直角三角形斜边上的中线性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 26. 已知是等边三角形． （1）如图1，若，点在线段上，且，连接，求的长； （2）如图2，点是延长线上一点，，交的外角平分线于点，求证：； （3）如图3，若，动点从点出发，沿射线方向移动，以为边在右侧作等边三角形，取中点，连接，请直接写出的最小值及此时的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3）的最小值为，此时的长为1 【解析】 【分析】（1）过点作于点，由题意易得，然后根据含度直角三角形的性质及勾股定理可进行求解； （2）在线段上截取一点，使得，连接，由题意易得是等边三角形，则有，，然后可证，进而问题可求证； （3）连接，由题意易证，则有，然后可得点在的外角的角平分线上运动，进而根据垂线段最短可得的最小值，及此时的长． 【小问1详解】 解：过点作于点，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得：． 【小问2详解】 证明：在线段上截取一点，使得，连接，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：连接，如图所示： ∵，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点在的外角的角平分线上运动， 由垂线段最短可知当时，最短， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、垂线段最短及勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石柱第一初级中学2025年春2026届期中检测数学试题 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 重庆天气犹如“过山车”，一年四季“随机播放”，前一天还是艳阳高照炎炎夏日，后一天就风大雨大一秒入冬，如图是重庆2022年5月一周的气温图，以下叙述错误的是（　　） A. 该周星期五气温最高 B. 该周星期五到星期日气温持续降低 C. 该周星期二的气温与星期四的气温一样高 D. 该周气温最低为 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 5. 估计的值应在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 6. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形 中，，的平分线，交的延长线于点F，交于E， 则的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点A出发，翻过木块到达点C处，需要走的最短路程为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点，分别在，上，连接，，，．若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式；②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有6个； ③满足条件的整式共有12个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二．填空题（每小题4分，共32分） 11. 函数中，自变量的取值范围是________． 12. 已知函数中，当时的函数值为1，试求的值为______． 13. 如图，在中，，，点D、E分别是边的中点，点F是线段上一点，连接，若，则的长为_______． 14. 如图，在菱形中，，点为上一点，为上一点，连接，，，若，，则的度数为______． 15. 甲、乙两名同学沿同一直线跑道从地出发前往地，甲到达地后停止计时．已知乙先出发2分钟后甲才出发，甲的速度为每分钟米．若两人之间的距离（米）与甲出发的时间（分钟）的关系如图所示，则的值为________． 16. 若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为________． 17. 如图，在矩形中，，，P是边上一个动点，过点P作，垂足为G，连接，取中点E，连接，则线段的最小值为________． 18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为___________；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是___________． 三．解答题（19题8分，20－26每小题10分，共78分） 19. 计算题 （1） （2） 20. 在学习了等腰三角形的相关知识之后，某学习小组进行了更加深入的探究．他们发现，作等腰三角形底边中线的垂直平分线，该垂直平分线与两腰交点、顶角的顶点、底边中点所围成的封闭图形是菱形、他们解决问题的思路是通过证全等的方法得出结论．请你根据该小组的思路完成以下作图与填空： （1）如图，在中，，是边上的中线．用尺规作的垂直平分线，垂足为点，交于点，交于点，连接、．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）间所作图形中，求证：四边形是菱形． 证明：∵垂直平分 ∴，， ∴ ∵，为的中线 ∴ ① 在和中 ∴ ∴ ③ ∴ ∴四边形为菱形． 学习小组进一步思考发现，等腰直角三角形底边中线的垂直平分线与两腰交点、顶角的顶点、底边中点所围成的封闭图形是： ④ ． 21. 如图，点E、F在的对角线上，且．求证：． 22. 如图，菱形的对角线、相交于点，，，与交于点． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求菱形的面积． 23. 为了满足市民的需求，我市在一条小河两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；①；②．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方千米处，点D在点C的正西方千米处，点D在点A的北偏东方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西方向．（参考数据： （1）求AD的长度．（结果精确到1千米） （2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？ 24. 如图1，在中，∠C＝90°，，， 动点P从点B出发，沿折线B→C→A运动，到达点A后停止．设点P的运动路程为x，的面积为y． （1）直接写出y 关于x的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围； （2）在图2中画出函数的图象，并结合函数图象，写出该函数的一条性质； （3）根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围．（结果保留1位小数，误差小于） 25. 对凸四边形我们进行约定：若四边形对角线既不垂直也不相等，叫做“线无垂等”四边形；若四边形对角线垂直但不相等，叫做“线垂不等”四边形；若四边形对角线相等但不垂直，叫做“线等不垂”四边形；若四边形对角线既相等又垂直，叫做“线垂且等”四边形． （1）判断下列说法是否正确（正确的请在题后括号内打“”，错误的打“”）． 所有的平行四边形都是“线无垂等”四边形；（ ） 邻边相等的矩形是“线垂且等”四边形；（ ） 依次连接“线垂不等”四边形各边中点，构成的四边形是“线等不垂”四边形．（ ） （2）如图，在中，，于点，分别为的中点． 四边形为“___________”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）； 若和的面积分别为和，求四边形的面积． 26. 已知是等边三角形． （1）如图1，若，点在线段上，且，连接，求的长； （2）如图2，点是延长线上一点，，交的外角平分线于点，求证：； （3）如图3，若，动点从点出发，沿射线方向移动，以为边在右侧作等边三角形，取中点，连接，请直接写出的最小值及此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $