精品解析：重庆市石柱县第一初级中学2024-2025学年八年级下学期半期考试数学试题

石柱第一初级中学2025年春2026届期中检测数学试题 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式，掌握二次根式的定义（①被开方数不含能开方的因数；②分母不含根号）是解题的关键．根据二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A：，故不是最简二次根式，不符合题意； B：，故不是最简二次根式，不符合题意； C：，故不是最简二次根式，不符合题意； D：，符合最简二次根式的条件，故是最简二次根式，符合题意； 故选：D 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，算术平方根，立方根．根据二次根式的乘法、算术平方根，立方根的性质计算即可求解． 【详解】解：A、没有意义，本选项不符合题意； B、，本选项符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：B． 3. 重庆天气犹如“过山车”，一年四季“随机播放”，前一天还是艳阳高照炎炎夏日，后一天就风大雨大一秒入冬，如图是重庆2022年5月一周的气温图，以下叙述错误的是（　　） A. 该周星期五气温最高 B. 该周星期五到星期日气温持续降低 C. 该周星期二的气温与星期四的气温一样高 D. 该周气温最低为 【答案】D 【解析】 【分析】根据折线图分别判断即可． 【详解】解：A、根据折线图，该周星期五气温最高，故不符合题意； B、根据折线图，该周星期五到星期日气温持续降低，故不符合题意； C、该周星期二的气温与星期四的气温一样高，故不符合题意； D、该周气温最低为，故符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了折线统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了判断命题真假，菱形，正方形和矩形的判定定理，等腰梯形的对角线也相等，但等腰梯形不是矩形，据此可判断A；筝形对角线垂直但其不是菱形，据此可判断B；对角线相等的四边形是矩形，不一定是菱形，据此可判断C；对角线互相垂直的矩形是正方形，据此可判断D． 【详解】解；A． 对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等，但并非矩形，原命题是假命题，不符合题意． B． 对角线垂直的四边形不一定是菱形，例如筝形对角线垂直但邻边不等，原命题是假命题，不符合题意． C． 对角线相等的平行四边形是矩形，而非菱形（菱形的对角线垂直且平分），原命题是假命题，不符合题意． D． 矩形本身对角线相等，若再满足对角线垂直，则符合正方形对角线相等且垂直的特性，原命题是真命题，符合题意． 故选：D． 5. 估计的值应在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式估值，二次根式化简等．根据题意先将二次根式化简为最简二次根式，再进行计算，最后进行估值即可． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴在整数 和 之间， ∴的数值在5和6之间， 故选：D． 6. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理．先求出圆的半径，结合点A在表示1的数的左侧，即得出点A处所表示的数． 【详解】解：根据勾股定理可得圆的半径为， ∴点A处所表示的数为． 故选：B． 7. 如图，在平行四边形 中，，的平分线，交的延长线于点F，交 于E， 则 的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，角平分线的定义，先由平行四边形的性质得到，再根据角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵的平分线，交的延长线于点E，交 于F， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与 平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点A出发，翻过木块到达点C处，需要走的最短路程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在最短路径中的应用，将长方体侧面展开得蚂蚁的爬行的最短路径为 的长，用勾股定理即可求解；能找出最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，将长方体侧面展开得， 蚂蚁的爬行的最短路径为 的长， （）， ， 蚂蚁的爬行的最短路径为， 故选：C． 9. 如图，在正方形 中，点 ， 分别在 ， 上，连接 ， ， ，．若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形逆时针旋转后，再证明三角形全等，最后根据性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】将绕点 逆时针旋转至， ∵四边形 是正方形， ∴，， 由旋转性质可知：，，， ∴， ∴点三点共线， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是能正确作出旋转，再证明三角形全等，熟练利用性质求出角度． 10. 已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式；②不存在任何一个 ，使得满足条件的整式有且只有6个； ③满足条件的整式共有12个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的相关概念及分类讨论思想，熟练掌握根据条件对 取值分类讨论并计算满足条件的整式个数是解题的关键．根据已知条件（为自然数，为正整数 ），对 的可能取值进行分类讨论，分别计算不同 值下满足条件的整式的个数，再据此判断三个说法的正误． 【详解】解：当时， ，为正整数，，此时整式为单项式（，整式只有常数项 ），则，，有 个单项式． 当时，，为正整数，，即（，为自然数 ）． 时，，整式为； 时，，整式为； 时，，整式为； 时，，整式为；共 个整式． 当时，，为正整数，，即（，为自然数 ）． 时，： ，，整式为； ，，整式为； ，，整式为； 时，： ，，整式为； ，，整式为； 时，，，整式为； 共 个整式． 当时： ，为正整数，，即（，为自然数 ）． 时，： ，，，整式为； ，，，整式为； ，，，整式为； 时，，，，整式为； 共 个整式． 当时： ，为正整数，，即（，为自然数 ）． 则，，整式为，共 个整式． 对于说法①，满足条件的单项式有时的 （ 个 ）、时的（ 个 ）、时的（ 个 ）、时的（ 个 ）、时的（ 个 ），共 个单项式，说法①正确． 对于说法②，当时，满足条件的整式有 个，所以“不存在任何一个 ，使得满足条件的整式有且只有 个”说法②错误． 对于说法③，满足条件的整式个数为，说法③错误． 综上，只有说法①正确， 故选：． 二．填空题（每小题4分，共32分） 11. 函数中，自变量 的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定．根据二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为 列出不等式组，解不等式组得到答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， 故答案为：且． 12. 已知函数中，当时的函数值为1，试求 的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据函数值与自变量的关系是一一对应的，代入函数值，可得自变量的值． 【详解】解： 函数中，当时的函数值为1， ， ， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了求函数值或自变量的值，熟练掌握函数值与自变量的关系是一一对应的，是解题的关键． 13. 如图，在 中，， ，点D、E分别是边的中点，点F是线段上一点，连接，若，则的长为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线性质是解题的关键．先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到 的长，然后利用三角形的中位线求出长，再利用解题即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵点D是 的中点， ∴， ∵点D、E分别是边的中点， ∴是 的中位线， ∴， ∴， 故答案为：1． 14. 如图，在菱形中，，点 为 上一点， 为 上一点，连接， ，，若，，则的度数为______． 【答案】 ##55度 【解析】 【分析】由菱形的性质可得，，证明，得出，由三角形外角的定义及性质可得，由等边对等角结合三角形内角和定理可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 15. 甲、乙两名同学沿同一直线跑道从 地出发前往 地，甲到达 地后停止计时．已知乙先出发2分钟后甲才出发，甲的速度为每分钟米．若两人之间的距离 （米）与甲出发的时间 （分钟）的关系如图所示，则 的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，从函数图象获取信息，根据题意先求出乙的速度为每分钟米，即可求出 的值． 【详解】解：设乙的速度为每分钟 米． 则， 解得， 即乙的速度为每分钟米． 故答案为： 16. 若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为________． 【答案】13 【解析】 【分析】先求出一元一次不等式组中两个不等式的解集，从而可得，再解分式方程可得且，从而可得且，然后将所有满足条件的整数 的值相加即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于 的不等式组的解集为， ， 解得， 方程可化为， 解得， 关于 的分式方程的解为正数， 且， 解得且， 且， 则所有满足条件的整数 的值之和为， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组、分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键． 17. 如图，在矩形中，，，P是边 上一个动点，过点P作，垂足为G，连接，取中点E，连接 ，则线段 的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线的性质，矩形的性质，含 角的直角三角形的性质．延长，使得，连接 ，，求出，得点在定直线上，利用中位线得，则当 最小时，有最小值，而当时， 最小，计算即可． 【详解】解：延长，使得，连接 ，，如图， ∵，， ∴， ∴ 平分， ∵， ∴， ∴， ∴点在定直线上， ∵ 是的中点， ∴， ∴当 最小时，有最小值， 当时， 最小， 此时， ∴的最小值为， 故答案为：． 18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为___________；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是___________． 【答案】 ①. ②. 8165 【解析】 【分析】根据递减数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵ 是递减数， ∴， ∴， ∴这个数为； 故答案为： ∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除， ∴， ∵， ∴， ∵，能被 整除， ∴能被9整除， ∵各数位上的数字互不相等且均不为0， ∴， ∵最大的递减数， ∴， ∴，即：， ∴ 最大取 ，此时， ∴这个最大的递减数为8165． 故答案为：8165． 【点睛】本题考查一元一次方程和二元一次方程的应用．理解并掌握递减数的定义，是解题的关键． 三．解答题（19题8分，20－26每小题10分，共78分） 19. 计算题 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用绝对值、立方根、负整数指数幂进行计算即可； （2）先化简二次根式，利用乘法进行计算，再进行加法运算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 20. 在学习了等腰三角形的相关知识之后，某学习小组进行了更加深入的探究．他们发现，作等腰三角形底边中线的垂直平分线，该垂直平分线与两腰交点、顶角的顶点、底边中点所围成的封闭图形是菱形、他们解决问题的思路是通过证全等的方法得出结论．请你根据该小组的思路完成以下作图与填空： （1）如图，在 中， ， 是 边上的中线．用尺规作 的垂直平分线，垂足为点 ，交 于点 ，交 于点 ，连接、 ．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）间所作图形中，求证：四边形是菱形． 证明：∵垂直平分 ∴，， ∴ ∵ ， 为 的中线 ∴ ① 在 和中 ∴ ∴ ③ ∴ ∴四边形为菱形． 学习小组进一步思考发现，等腰直角三角形底边中线的垂直平分线与两腰交点、顶角的顶点、底边中点所围成的封闭图形是： ④ ． 【答案】（1）见解析 （2），，，正方形 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的作图和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，掌握垂直平分线的性质是解答的关键． （1）根据尺规作图—作线段垂直平分线的作法解答即可； （2）利用垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的三线合一得到，然后根据证明，即可得到四条边都相等，证明结论即可． 【小问1详解】 解：尺规作图如图所示： 【小问2详解】 证明：∵垂直平分 ， ∴，，， ∴， ∵ ， 为 的中线， ∴， 在 和中， ， ∴， ∴， ∴, ∴四边形为菱形． ∵四边形为菱形，， ∴四边形为正方形． 学习小组进一步思考发现，等腰直角三角形底边中线的垂直平分线与两腰交点、顶角的顶点、底边中点所围成的封闭图形是：正方形． 故答案为：，，，正方形． 21. 如图，点E、F在的对角线 上，且．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的性质得出，再证明，进而可得出答案． 【详解】证明： 四边形 为平行四边形． ， ， 又， ， ． 22. 如图，菱形的对角线 、 相交于点 ，，， 与 交于点 ． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）矩形，理由见解析 （2）96 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质可证明，然后再证明四边形为平行四边形，从而可证明四边形是矩形； （2）根据菱形的性质和勾股定理求出，再利用三角形的面积公式解答即可． 【小问1详解】 解：四边形是矩形． 证明：， 四边形是平行四边形． 又 菱形对角线交于点 ，即． 四边形是矩形． 【小问2详解】 菱形， ， ， ， ， 的面积， 菱形的面积的面积． 【点睛】本题主要考查的是菱形的性质判定、矩形的性质和判定，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 23. 为了满足市民的需求，我市在一条小河 两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；①；②．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方 千米处，点D在点C的正西方 千米处，点D在点A的北偏东 方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西 方向．（参考数据： （1）求AD的长度．（结果精确到1千米） （2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？ 【答案】（1）AD的长度约为 千米 （2）小明应该选择路线①， 由题意可得：，， ∴路线①的路程为：（千米）， ∵，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 由题意可得， ∴， ∴，， 所以路线②的路程为：千米， ∴路线①的路程路线②的路程， 故小明应该选择路线①． 【解析】 【分析】（1）过点 作于点 ，根据题意可得四边形是矩形，进而得出，然后解直角三角形即可； （2）分别求出线路①和线路②的总路程，比较即可． 【小问1详解】 解：过点 作于点 ， 由题意可得：四边形是矩形， ∴千米， ∵点D在点A的北偏东 方向， ∴， ∴千米， 答：AD的长度约为 千米； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的相关定义，掌握特殊角三角函数值是解本题的关键． 24. 如图1，在中，∠C＝90°，，， 动点P从点B出发，沿折线B→C→A运动，到达点A后停止．设点P的运动路程为x，的面积为y． （1）直接写出y 关于x的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围； （2）在图2中画出函数的图象，并结合函数图象，写出该函数的一条性质； （3）根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围．（结果保留1位小数，误差小于） 【答案】（1） （2）图象见解析，当时，y随x的增大而增大（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）分两种情况分别求出函数解析式即可解答； （2）根据（1）中函数关系式，画出函数图象即可，根据图象进行解答即可； （3）根据函数解析式分别求出当时x的值，结合图象即可求解． 【小问1详解】 解：当时，点P在 上，； 当时，点P在 上，， 综上，； 【小问2详解】 解：y与x的函数图象如图所示， 当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； 【小问3详解】 解：令，； 令，． ∴当时，． 25. 对凸四边形我们进行约定：若四边形对角线既不垂直也不相等，叫做“线无垂等”四边形；若四边形对角线垂直但不相等，叫做“线垂不等”四边形；若四边形对角线相等但不垂直，叫做“线等不垂”四边形；若四边形对角线既相等又垂直，叫做“线垂且等”四边形． （1）判断下列说法是否正确（正确的请在题后括号内打“”，错误的打“”）． 所有的平行四边形都是“线无垂等”四边形；（ ） 邻边相等的矩形是“线垂且等”四边形；（ ） 依次连接“线垂不等”四边形各边中点，构成的四边形是“线等不垂”四边形．（ ） （2）如图 ，在 中，，于点 ，分别为的中点． 四边形为“___________”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）； 若和的面积分别为和，求四边形的面积． 【答案】（1），， （2）①线等不垂；②48 【解析】 【分析】（ ）根据题中定义即可判断； （ ）如图 ，连接 ， ，交于点 ，由中位线定理得，，根据直角三角形斜边上的中线性质，，，由，则有，从而即可判断； 根据三角形中线的定义和面积和差即可求解； 【小问1详解】 解：所有的平行四边形都是“线无垂等”四边形，此说法错误； 邻边相等的矩形是“线垂且等”四边形，此说法正确； 依次连接“线垂不等”四边形各边中点，构成的四边形是“线等不垂”四边形，此说法正确； 故答案为：，，； 【小问2详解】 如图 ，连接 ， ，交于点 ， ∵分别为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵ 分别为 的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为“线等不垂”四边形， 故答案为：线等不垂； ∵，， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、中位线定理，直角三角形斜边上的中线性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 26. 已知 是等边三角形． （1）如图1，若 ，点 在线段 上，且，连接 ，求 的长； （2）如图2，点 是 延长线上一点，，交 的外角平分线于点 ，求证：； （3）如图3，若 ，动点从点 出发，沿射线 方向移动，以 为边在右侧作等边三角形，取 中点 ，连接，请直接写出的最小值及此时 的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3）的最小值为，此时 的长为1 【解析】 【分析】（1）过点 作于点 ，由题意易得，然后根据含度直角三角形的性质及勾股定理可进行求解； （2）在线段上截取一点 ，使得，连接 ，由题意易得是等边三角形，则有，，然后可证，进而问题可求证； （3）连接，由题意易证，则有，然后可得点在 的外角的角平分线上运动，进而根据垂线段最短可得的最小值，及此时 的长． 【小问1详解】 解：过点 作于点 ，如图所示： ∵ 是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵ ， ∴， ∴在中，由勾股定理得：． 【小问2详解】 证明：在线段上截取一点 ，使得，连接 ，如图所示： ∵ 是等边三角形， ∴ ， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：连接，如图所示： ∵ ，是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点在 的外角的角平分线上运动， 由垂线段最短可知当时，最短， ∵点 是 的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定、垂线段最短及勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石柱第一初级中学2025年春2026届期中检测数学试题 一．选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 重庆天气犹如“过山车”，一年四季“随机播放”，前一天还是艳阳高照炎炎夏日，后一天就风大雨大一秒入冬，如图是重庆2022年5月一周的气温图，以下叙述错误的是（　　） A. 该周星期五气温最高 B. 该周星期五到星期日气温持续降低 C. 该周星期二的气温与星期四的气温一样高 D. 该周气温最低为 4. 下列命题是真命题的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 5. 估计的值应在（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 6. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平行四边形 中，，的平分线，交的延长线于点F，交 于E， 则 的长为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 8. 如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与 平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点A出发，翻过木块到达点C处，需要走的最短路程为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，在正方形 中，点 ， 分别在 ， 上，连接 ， ， ，．若，则一定等于（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的整式中有5个单项式；②不存在任何一个 ，使得满足条件的整式有且只有6个； ③满足条件的整式共有12个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二．填空题（每小题4分，共32分） 11. 函数中，自变量 的取值范围是________． 12. 已知函数中，当时的函数值为1，试求 的值为______． 13. 如图，在 中，， ，点D、E分别是边的中点，点F是线段 上一点，连接，若，则的长为_______． 14. 如图，在菱形中，，点 为 上一点， 为 上一点，连接， ，，若，，则的度数为______． 15. 甲、乙两名同学沿同一直线跑道从 地出发前往 地，甲到达 地后停止计时．已知乙先出发2分钟后甲才出发，甲的速度为每分钟米．若两人之间的距离 （米）与甲出发的时间 （分钟）的关系如图所示，则 的值为________． 16. 若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为________． 17. 如图，在矩形中，，，P是边 上一个动点，过点P作，垂足为G，连接，取中点E，连接 ，则线段 的最小值为________． 18. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为___________；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是___________． 三．解答题（19题8分，20－26每小题10分，共78分） 19. 计算题 （1） （2） 20. 在学习了等腰三角形的相关知识之后，某学习小组进行了更加深入的探究．他们发现，作等腰三角形底边中线的垂直平分线，该垂直平分线与两腰交点、顶角的顶点、底边中点所围成的封闭图形是菱形、他们解决问题的思路是通过证全等的方法得出结论．请你根据该小组的思路完成以下作图与填空： （1）如图，在 中， ， 是 边上的中线．用尺规作 的垂直平分线，垂足为点 ，交 于点 ，交 于点 ，连接 、 ．（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）间所作图形中，求证：四边形是菱形． 证明：∵垂直平分 ∴，， ∴ ∵ ， 为 的中线 ∴ ① 在 和中 ∴ ∴ ③ ∴ ∴四边形为菱形． 学习小组进一步思考发现，等腰直角三角形底边中线的垂直平分线与两腰交点、顶角的顶点、底边中点所围成的封闭图形是： ④ ． 21. 如图，点E、F在 的对角线上，且．求证：． 22. 如图，菱形的对角线 、 相交于点 ，，， 与 交于点 ． （1）试判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，，求菱形的面积． 23. 为了满足市民的需求，我市在一条小河 两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图；①；②．经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方 千米处，点D在点C的正西方 千米处，点D在点A的北偏东 方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西 方向．（参考数据： （1）求AD的长度．（结果精确到1千米） （2）由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？ 24. 如图1，在中，∠C＝90°，，， 动点P从点B出发，沿折线B→C→A运动，到达点A后停止．设点P的运动路程为x，的面积为y． （1）直接写出y 关于x的函数关系式，并注明自变量x 的取值范围； （2）在图2中画出函数的图象，并结合函数图象，写出该函数的一条性质； （3）根据图象直接写出当时，自变量x的取值范围．（结果保留1位小数，误差小于 ） 25. 对凸四边形我们进行约定：若四边形对角线既不垂直也不相等，叫做“线无垂等”四边形；若四边形对角线垂直但不相等，叫做“线垂不等”四边形；若四边形对角线相等但不垂直，叫做“线等不垂”四边形；若四边形对角线既相等又垂直，叫做“线垂且等”四边形． （1）判断下列说法是否正确（正确的请在题后括号内打“”，错误的打“”）． 所有的平行四边形都是“线无垂等”四边形；（ ） 邻边相等的矩形是“线垂且等”四边形；（ ） 依次连接“线垂不等”四边形各边中点，构成的四边形是“线等不垂”四边形．（ ） （2）如图 ，在 中，，于点 ，分别为的中点． 四边形为“___________”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）； 若和的面积分别为和，求四边形的面积． 26. 已知 是等边三角形． （1）如图1，若 ，点 在线段 上，且，连接 ，求 的长； （2）如图2，点 是 延长线上一点，，交 的外角平分线于点 ，求证：； （3）如图3，若 ，动点从点 出发，沿射线 方向移动，以 为边在右侧作等边三角形，取 中点 ，连接，请直接写出的最小值及此时 的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $