第1章 数列（单元测试·基础卷）数学湘教版2019高二选择性必修第一册

画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第一章数列·基础通关 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 5 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9 10 11 BC ACD ACD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 .4 13.2 14.5 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15.(本小题满分13分)》 【解】(1)因为5.=2m2-10n+1, 23,又n∈N 2分 所以n=2或n=3时，S取最小值时，最小值为-11： …5分 (2)因为S.=2n2-10n+1, 所以S,=2-10+1=-7, …7分 当n22时，S.1=2(n-1)-10(n-1)+1, 所以41=-7， 1/4 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当n22时， an=Sn-S.-1=2n2-10n+1-2(n-1)+10(n-1-1=4n-12, …2分 所以a。= 「-7，n=1 …小3分 4n-12,n22 16.(本小题满分15分) 【解】(1)设正项等比数列b}的公比为9，则q>0,又6+6=6，b=1, 所以92+q-6=0, …2分 即9-2)川g+3)=0,解得9=2， 4分 所以bn=bg=2 …5分 (2)当n22时，an=S。-S-1=2-(n-1)2=2n-1 ………8分 当n=1时，a,=S=1,也符合上式， …*……9分 所以a,=2n-1(neN) …10分 (3)设{a.+bn}的前n项和为T,且a。+b,=2n-1+2"-, …2分 所以工=2x-+二+2-1 5分 2 2-1 17.(本小题满分15分》 【解】(1)设等差数列{a}的公差为d, 由a2+S3=41+d+3a1+3d=12,即a1+d=3,①… 2分 由a,=a,+4d=9,②， 3分 联立①②，解得a,=1,d=2, …4分 则{a,}的通项公式为a。=1+(n-)×2=2n-1: …6分 (2)设6，=1 1,1 a,a(2n-02n+022n-2n+, …8分 则Tn=b+b+…+b. 0-G… 214 画学科网·上好课 www,ZX×k,C0m 上好每一堂课 =0-,1)= 1 15分 2 2n+12n+1 18.(本小题满分17分)》 【解】(1)由愚意得a,=(1-4%)a.-1+(1-a.-)×16%=0.96am-1+0.16-0.16a 4 4 =0.8an-1+0.16= 0+25 …4分 _4a+4(nEN.n22). 所以a,=5a+25 5分 (2)由1)得a,=0+25 4 4 引 又4=所以4 …7分 所以口司}是以-为首项，等为公比的等比数列， …8分 …9分 …10分 2 两边取常用对数得(n-1)lg<g …1分 2 5 所以n-1>,4 g2-lg51g2-(1-lg2) 18 5 21g2-lg52lg2-(1-lg2】 21lg2-12×0.3010-1_0.398 ≈4.1， 们4分 31g2-13×0.3010-10.097 n>5.1 ∴.至少经过6年，绿洲面积可超过60%： 小…5分 19.(本小题满分17分) 【解】(1)设等比数列{4}公比为9， 则g==1=8,故g=2, 422 …2分 3/4 画学科网，上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则4号号1，故a,2 ………小分 (2)b=a1=22=4,b2=a1=23=8, …6分 则数列b.}的通项公式为b,=4+(n-(8-4)=4n,…… …8分 Sn=ah+a,b+…+anbn=4.2°+8,2+…+4m2 *…11分 则2S,=42+822+…+4n…2", ……2分 故S,-2S。=-S,=4+42+422+…+42-1-4n2 41-2-4n2=2-4-m22=-n-刂-23-4 …小6分 1-2 故S,=(n-1月2+2+4 …17分 4/4………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第一章 数列·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知数列，则该数列的第36项为（    ） A． B．36 C． D．6 2．已知正项等比数列，满足，，则（   ） A． B． C．1 D．2 3．已知等差数列的前项和为，若，则（   ） A．30 B．40 C．60 D．120 4．设等差数列的前项和，若，，则（    ） A．18 B．27 C．45 D．63 5．若是等比数列，且，则数列的前8项和为（    ） A．689 B．716 C．729 D．1597 6．《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 7．若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇数列”，且，则（    ） A． B． C． D． 8．已知等比数列的前n项和为，公比为q，且，，，成等差数列，则公比（   ） A．或1 B．2或 C．1 D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．（多选）下面四个结论正确的是（    ） A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 B．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 C．数列的图像是一系列孤立的点 D．数列的项数是无限的 10．设等差数列的公差为为其前项和，若，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．与是的最大值 D．使成立的的最大值为18 11．已知数列满足，则（   ） A． B．数列是单调递增数列 C．数列不是等差数列 D．数列不是等比数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列对任意正整数，均满足，则 ． 13．已知是等差数列，若分别是函数的两个零点，则 . 14．数列满足， 且，的前项和为，则满足不等式的的最大值是 . 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知数列的前项和为 (1)当取最小值时，求的值； (2)求出的通项公式. 16．（本小题满分15分）已知数列的前项和为，且，数列为正项等比数列，且，. (1)求的通项公式； (2)求的通项公式； (3)求的前项和. 17．（本小题满分15分）设等差数列的前n项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 18．（本小题满分17分）我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今年起第n年绿洲面积为万平方千米． (1)求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系； (2)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？（） 19．（本小题满分17分）等比数列中，已知. (1)求数列的通项公式； (2)若分别为等差数列的第1项和第2项，试求数列的通项公式及数列的前n项和. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第一章 数列·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知数列，则该数列的第36项为（    ） A． B．36 C． D．6 2．已知正项等比数列，满足，，则（   ） A． B． C．1 D．2 3．已知等差数列的前项和为，若，则（   ） A．30 B．40 C．60 D．120 4．设等差数列的前项和，若，，则（    ） A．18 B．27 C．45 D．63 5．若是等比数列，且，则数列的前8项和为（    ） A．689 B．716 C．729 D．1597 6．《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 7．若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇数列”，且，则（    ） A． B． C． D． 8．已知等比数列的前n项和为，公比为q，且，，，成等差数列，则公比（   ） A．或1 B．2或 C．1 D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．（多选）下面四个结论正确的是（    ） A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 B．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 C．数列的图像是一系列孤立的点 D．数列的项数是无限的 10．设等差数列的公差为为其前项和，若，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．与是的最大值 D．使成立的的最大值为18 11．已知数列满足，则（   ） A． B．数列是单调递增数列 C．数列不是等差数列 D．数列不是等比数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列对任意正整数，均满足，则 ． 13．已知是等差数列，若分别是函数的两个零点，则 . 14．数列满足， 且，的前项和为，则满足不等式的的最大值是 . 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知数列的前项和为 (1)当取最小值时，求的值； (2)求出的通项公式. 16．（本小题满分15分）已知数列的前项和为，且，数列为正项等比数列，且，. (1)求的通项公式； (2)求的通项公式； (3)求的前项和. 17．（本小题满分15分）设等差数列的前n项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 18．（本小题满分17分）我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今年起第n年绿洲面积为万平方千米． (1)求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系； (2)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？（） 19．（本小题满分17分）等比数列中，已知. (1)求数列的通项公式； (2)若分别为等差数列的第1项和第2项，试求数列的通项公式及数列的前n项和. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二数学单元检测卷 第一章 数列·基础通关 建议用时：100分钟，满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知数列，则该数列的第36项为（    ） A． B．36 C． D．6 【答案】C 【解析】因为数列，即， 所以归纳可得该数列的通项公式为，所以.故选：C 2．已知正项等比数列，满足，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【解析】设正项等比数列的公比为，则，而，解得， 所以，故选：B 3．已知等差数列的前项和为，若，则（   ） A．30 B．40 C．60 D．120 【答案】C 【解析】因为为等差数列，故，故选C. 4．设等差数列的前项和，若，，则（    ） A．18 B．27 C．45 D．63 【答案】C 【解析】由题意得成等差数列，即成等差数列， 即，解得，故选：C 5．若是等比数列，且，则数列的前8项和为（    ） A．689 B．716 C．729 D．1597 【答案】C 【解析】设等比数列的公比为，则，所以， 则，故数列的前8项和为.故选：C. 6．《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】C 【解析】由题意，设每排的座位数构成等差数列，其中，公差， 再设播放厅最多可以建的座位的排数为，可得，即， 解得或（舍去），即播放厅最多可以建的座位的排数为.故选：C. 7．若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇数列”，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为正项数列为“对奇数列”，所以， 则，即数列是公比为2的等比数列，又因为， 所以，故选：C. 8．已知等比数列的前n项和为，公比为q，且，，，成等差数列，则公比（   ） A．或1 B．2或 C．1 D． 【答案】D 【解析】已知成等差数列，有.那么. 因为，所以；又因为，所以得到. 由，移项可得. 因为数列是等比数列，根据等比数列的定义，公比. 由，可得. 故该等比数列的公比为.故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．（多选）下面四个结论正确的是（    ） A．数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是相同的数列 B．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 C．数列的图像是一系列孤立的点 D．数列的项数是无限的 【答案】BC 【解析】对于A，数列1，2，3，4和数列1，3，4，2是不同的数列，故错误； 对于B，由数列的定义可知正确； 对于C，由数列的，可知正确； 对于D，根据数列的项可以分为有穷数列和无穷数列，故错误. 故选:BC. 10．设等差数列的公差为为其前项和，若，则下列选项正确的是（   ） A． B． C．与是的最大值 D．使成立的的最大值为18 【答案】ACD 【解析】A、由，得，A项正确； B、，B项错误； C、由A项知，数列是递减的等差数列，前9项都为正，第10项为0，从第11项起为负，因此与是的最大值，C项正确； D、因为，所以，， 可得，， ，所以成立的的最大值为18，D项正确． 故选：ACD． 11．已知数列满足，则（   ） A． B．数列是单调递增数列 C．数列不是等差数列 D．数列不是等比数列 【答案】ACD 【解析】当时，，A正确； 当时，由， 得， 两式相减得，， 化简得， 因为不满足此式，所以， 由于，所以数列不是单调递增数列，B错误； CD正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列对任意正整数，均满足，则 ． 【答案】 【解析】由数列对任意正整数，均满足， 当时，可得；当时，可得， 所以. 13．已知是等差数列，若分别是函数的两个零点，则 . 【答案】2 【解析】由题意得是的两个根， 由韦达定理得， 因为是等差数列，所以. 14．数列满足， 且，的前项和为，则满足不等式的的最大值是 . 【答案】5 【解析】，，且， 是以为首项, 为公比的等比数列.   ,  . , ，即， , , 的最大值是. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知数列的前项和为 (1)当取最小值时，求的值； (2)求出的通项公式. 【解】（1）因为， 所以，又， ………………………………………………………………2分 所以或时，取最小值时，最小值为； ……………………………………………5分 （2）因为， 所以， ………………………………………………………………7分 当时，， 所以， ……………………………………………………………9分 当时，， ……………………………………………12分 所以. ………………………………………………………………13分 16．（本小题满分15分）已知数列的前项和为，且，数列为正项等比数列，且，. (1)求的通项公式； (2)求的通项公式； (3)求的前项和. 【解】（1）设正项等比数列的公比为，则，又，， 所以， ………………………………………………………………2分 即，解得， ………………………………………………………………4分 所以. ………………………………………………………………5分 （2）当时，. ………………………………………………8分 当时，，也符合上式， ………………………………………………………………9分 所以. ………………………………………………………………10分 （3）设的前项和为，且， ……………………………………………12分 所以. ……………………………………………………………15分 17．（本小题满分15分）设等差数列的前n项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【解】（1）设等差数列的公差为， 由，即，① ……………………………………………………………2分 由，②， ………………………………………………………………3分 联立①②，解得， ………………………………………………………………4分 则的通项公式为； ………………………………………………………………6分 （2）设， …………………………………………………8分 则 ……………………………………………………………11分 . ………………………………………………………………15分 18．（本小题满分17分）我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中70%是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲，同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今年起第n年绿洲面积为万平方千米． (1)求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系； (2)至少经过几年，绿洲面积可超过60%？（） 【解】（1）由题意得 ， ………………………………………………………………4分 所以． ………………………………………………………………5分 （2）由（1）得， ． 又，所以， ………………………………………………………………7分 所以是以为首项，为公比的等比数列， ……………………………………………………8分 ， 即． ………………………………………………………………9分 令，即， ………………………………………………………………10分 两边取常用对数得， ………………………………………………………………11分 所以 ， ………………………………………………………………14分 ， 至少经过6年，绿洲面积可超过60%． ………………………………………………………………15分 19．（本小题满分17分）等比数列中，已知. (1)求数列的通项公式； (2)若分别为等差数列的第1项和第2项，试求数列的通项公式及数列的前n项和. 【解】（1）设等比数列公比为， 则，故， ………………………………………………………………2分 则，故； ………………………………………………………………4分 （2），， ………………………………………………………………6分 则数列的通项公式为，…………………………………………………………8分 ………………………………………………………11分 则， ………………………………………………………………12分 故 ， …………………………………………………16分 故. ……………………………………………………………17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$