第1章 集合与逻辑（单元测试·基础卷）数学沪教版2020高一必修第一册

2025-2026学年高一上册数学单元检测卷 第一章 集合与逻辑·基础通关（参考答案） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）。 1、 2、充要 3、 / 4、 5、 或 6、2（答案不唯一，满足且均可） 7、1 8、 9、 10、32 11、 12、①②③ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案. 13 14 15 16 A C A A 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）集合，，（2分） 不等式，即，解得，（4分） 集合， 所以，（5分） .（6分） （2），则，（10分） 所以.（14分） 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）当时，，（1分） 而，（2分） 所以.（6分） （2）由，得，（7分） 当时，满足，则，解得，（10分） 当时，，解得，（13分） 所以实数的取值范围是或.（14分） 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 【答案】(1)①；②{或}； (2). 【详解】（1）当时，，（1分） ，（2分） 而{或}，（4分） 则{或}；（6分） （2）由“”是“”的必要条件，知，（8分） ，（11分） 解得.（13分） 实数的取值范围.（14分） 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 【答案】(1)或 (2)或． (3)且． 【详解】（1）当时，原方程变为，此时，符合题意；（1分） 当时，原方程为一元二次方程，（2分） 故当，即时，原方程的解为，符合题意．（3分） 综上，当或时，集合中只有一个元素．（4分） （2）集合中至多有一个元素，即集合中只有一个元素或没有元素．（5分） 当集合中只有一个元素时，由（1）可知，或．（7分） 当中没有元素时，，且，即．（9分） 综上，当集合中至多有一个元素时，实数的取值范围是或．（10分） （3）由题意得，且，（14分） 所以且，（17分） 故实数的取值范围是且．（18分） 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 【答案】(1)12； (2)672； (3). 【详解】（1）集合的非空子集有，（1分） 根据题意，集合的交替和分别为，（2分） 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为，（3分） 所以，集合的所有非空子集的交替和的总和为.（4分） （2）集合的所有非空子集中，考虑数字1在子集中出现的情况，（5分） 相当于从剩下的5个元素中选取若干个元素与1组成子集，那么1出现的次数为次.（7分） 同理，每个元素出现的次数为次，（9分） 所以，集合所有非空子集的元素和的总和为.（10分） （3）集合，其非空子集有个，（11分） 将这些非空子集分为3类：第一类，含元素3的单元素集，有1个，其“交替和”为3；（12分） 第二类，含元素3的多元素集合（至少两个元素），有个；（13分） 第三类，不含元素3的非空集合，有个，（14分） 将第二类中的集合与第三类中的集合（集合中的元素去掉元素3构成的新集合）配对， 则集合与集合的“交替和”的和始终为3，（15分） 如取，则，集合与集合的“交替和”的和为，（16分） 这样的配对共有组，因此集合的所有非空子集的“交替和”的总和为.（18分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第一章 集合与逻辑·基础通关 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．集合，集合，则 ． 2．设，则“”是“”的 条件. 3．已知全集，集合，则 ． 4．用列举法表示集合 . 5．不等式的解集是 . 6．“”是“”的必要不充分条件，若，则m取值可以是 ． 7．设集合，若，则 . 8．已知集合，集合，若，则 . 9．已知p：或，q：，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 . 10．某校有26个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，其中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这3个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，则需要预购买 张车票． 11．定义集合运算:且．若集合，则集合的子集个数为 ． 12．非空集合具有下列性质：（1）若，则；（2）若,则,下列判断一定成立的是 .（填题编号） ①；②；③,则；④若，则． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 14．已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 15．设， 则“”是 的（    ）条件. A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 16．当一个非空数集G满足：如果，那么且时，我们称G就是一个数域．有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域．其中正确的说法是（   ）． A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知集合． (1)求集合； (2)求． 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知集合，， (1)若，求，，； (2)若，求实数的取值范围． 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知集合. (1)当时，求①，②； (2)若集合为非空集合，且“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如的“交替和”是的“交替和”是5. (1)求集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，求集合所有非空子集的元素和的总和； (3)已知集合，其中求集合所有非空子集的交替和的总和. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第一章 集合与逻辑·基础通关 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．集合，集合，则 ． 【答案】 【分析】应用集合的并运算求集合. 【详解】由题设，. 故答案为： 2．设，则“”是“”的 条件. 【答案】充要 【分析】判断“”和“”之间的推出关系，即可得答案. 【详解】当时，可得，当时，也可得出， 故“”是“”的充要条件， 故答案为：充要 3．已知全集，集合，则 ． 【答案】/ 【分析】根据补集的含义即可得到答案. 【详解】根据补集的含义知. 故答案为：. 4．用列举法表示集合 . 【答案】 【分析】由题意可得或，解之即可求解. 【详解】因为， 所以或，解得或0或2或3， 即. 故答案为： 5．不等式的解集是 . 【答案】或 【分析】解不等式即可求解. 【详解】由，得或， 所以不等式的解集是或. 故答案为：或. 6．“”是“”的必要不充分条件，若，则m取值可以是 ． 【答案】2（答案不唯一，满足且均可） 【分析】根据充分条件和必要条件的判断方法，得出，再利用，即可求出结果. 【详解】因为“”是“”的必要不充分条件，则， 又，所以且，故可取， 故答案为：2（答案不唯一，满足且均可）. 7．设集合，若，则 . 【答案】1 【分析】利用交集的结果求解并验证即得. 【详解】由，则，解得， 当时，，即，根据集合元素的互异性知，此时不符合， 当时，，此时，符合题意， 故答案为：. 8．已知集合，集合，若，则 . 【答案】 【分析】根据列方程求出的值，结合元素的互异性进行取舍，得到最终结果. 【详解】根据，可知 ①若，解得， 当时，违背了元素的互异性，故舍去. 同理，当时，也舍去. ②若，解得或1（舍）， 当时，，， 满足，故符合题意. 故答案为：. 9．已知p：或，q：，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【分析】设集合或，，根据题意转化为是的真子集，列出不等式，即可求解. 【详解】设集合或，， 因为p是q的必要不充分条件，所以是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 10．某校有26个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，其中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这3个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，则需要预购买 张车票． 【答案】32 【分析】根据要写条件，利用韦恩图即可求出总人数. 【详解】依题意，得如图所示的韦恩图， 参加数理化竞赛的学生有人，所以需预购32张车票.    故答案为：32 11．定义集合运算:且．若集合，则集合的子集个数为 ． 【答案】 【分析】根据新集合定义结合子集个数公式可求出相应个数. 【详解】由题设中新集合的定义可得： ，，故， 故其子集个数为， 故答案为：. 12．非空集合具有下列性质：（1）若，则；（2）若,则,下列判断一定成立的是 .（填题编号） ①；②；③,则；④若，则． 【答案】①②③ 【分析】利用本题已知中集合和元素的性质逐个分析即可. 【详解】对于①，若，则，因此，而对于时，无意义，不满足，故①正确； 对于②，若，则依次类推，对任意，所以，故②正确； 对于③，若，则，由②的解析过程可知，,，∴，故③正确； 对于④，由②解析过程可知，，取，则，故④错误； 故答案为：①②③ 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用并集的定义可求得集合． 【详解】因为，， 则． 故选：A． 14．已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据子集的含义可得集合A为空集或非空集合，进而对参数a分类讨论即可求解. 【详解】，， 故当时，易求； 当时，由得，或, 所以所有的取值构成的集合为， 故选：C. 15．设， 则“”是 的（    ）条件. A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】首先求得的充要条件，然后即可判断. 【详解】由题意或， 而若，则有，所以肯定有或， 取，即满足或，但是不满足， 所以“”是的充分而不必要条件. 故选：A. 16．当一个非空数集G满足：如果，那么且时，我们称G就是一个数域．有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域．其中正确的说法是（   ）． A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 【答案】A 【分析】根据数域的定义代入数值分析即可得解. 【详解】当，且时，， 所以0是任何数域的元素，故①正确； 当，且时，由数域的定义知， 所以，故②正确； 当时，，故③错误； 如果，那么，且当时，，所以有理数集是一个数域，故④正确． 故选：A. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知集合． (1)求集合； (2)求． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据交集和并集的概念，即可求解； （2）根据补集和交集的概念，即可求解. 【详解】（1）集合，， 不等式，即，解得，集合， 所以，. （2），则， 所以. 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知集合，， (1)若，求，，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）把代入，利用交集、并集、补集的定义求解即得. （2）利用交集的结果，结合集合的包含关系列式求解即得. 【详解】（1）当时，，而， 所以. （2）由，得， 当时，满足，则，解得， 当时，，解得， 所以实数的取值范围是或. 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知集合. (1)当时，求①，②； (2)若集合为非空集合，且“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)①；②{或}； (2). 【分析】（1）利用交集、补集、并集的概念运算即可； （2）根据必要条件的概念转化集合间的基本关系，计算参数即可. 【详解】（1）当时，， ， 而{或}，则{或}； （2）由“”是“”的必要条件，知， ，解得. 实数的取值范围. 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)或． (3)且． 【分析】（1）由，两种情况讨论即可； （2）由（1），再结合中没有元素讨论即可； （3）由求解即可. 【详解】（1）当时，原方程变为，此时，符合题意； 当时，原方程为一元二次方程， 故当，即时，原方程的解为，符合题意． 综上，当或时，集合中只有一个元素． （2）集合中至多有一个元素，即集合中只有一个元素或没有元素． 当集合中只有一个元素时，由（1）可知，或． 当中没有元素时，，且，即． 综上，当集合中至多有一个元素时，实数的取值范围是或． （3）由题意得，且， 所以且， 故实数的取值范围是且． 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如的“交替和”是的“交替和”是5. (1)求集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，求集合所有非空子集的元素和的总和； (3)已知集合，其中求集合所有非空子集的交替和的总和. 【答案】(1)12； (2)672； (3). 【分析】（1）先求出集合的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和； （2）根据题意计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和； （3）将集合的所有非空子集分类，并将含有3的多元素子集与不含有3的非空子集配对求出每对集合的“交替和”的和，再加上单元素集的“交替和”即可. 【详解】（1）集合的非空子集有， 根据题意，集合的交替和分别为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以，集合的所有非空子集的交替和的总和为. （2）集合的所有非空子集中，考虑数字1在子集中出现的情况， 相当于从剩下的5个元素中选取若干个元素与1组成子集，那么1出现的次数为次. 同理，每个元素出现的次数为次， 所以，集合所有非空子集的元素和的总和为. （3）集合，其非空子集有个， 将这些非空子集分为3类：第一类，含元素3的单元素集，有1个，其“交替和”为3； 第二类，含元素3的多元素集合（至少两个元素），有个； 第三类，不含元素3的非空集合，有个， 将第二类中的集合与第三类中的集合（集合中的元素去掉元素3构成的新集合）配对， 则集合与集合的“交替和”的和始终为3， 如取，则，集合与集合的“交替和”的和为， 这样的配对共有组，因此集合的所有非空子集的“交替和”的总和为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高一数学单元检测卷 第一章 集合与逻辑·基础通关 （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．集合，集合，则 ． 2．设，则“”是“”的 条件. 3．已知全集，集合，则 ． 4．用列举法表示集合 . 5．不等式的解集是 . 6．“”是“”的必要不充分条件，若，则m取值可以是 ． 7．设集合，若，则 . 8．已知集合，集合，若，则 . 9．已知p：或，q：，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 . 10．某校有26个学生参加了数学小组，17个学生参加了物理小组，10个学生参加了化学小组，其中同时参加数学、物理小组的有12人，同时参加数学、化学小组的有6人，同时参加物理、化学小组的有5人，同时参加3个小组的有2人，现在这3个小组的学生都要乘车去市里参加数理化竞赛，则需要预购买 张车票． 11．定义集合运算:且．若集合，则集合的子集个数为 ． 12．非空集合具有下列性质：（1）若，则；（2）若,则,下列判断一定成立的是 .（填题编号） ①；②；③,则；④若，则． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 14．已知集合，若，则所有的取值构成的集合为（ ） A． B． C． D． 15．设， 则“”是 的（    ）条件. A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 16．当一个非空数集G满足：如果，那么且时，我们称G就是一个数域．有以下关于数域的说法：①0是任何数域的元素；②若数域G有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集是一个数域．其中正确的说法是（   ）． A．①②④ B．②③④ C．①④ D．①② 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知集合． (1)求集合； (2)求． 18、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知集合，， (1)若，求，，； (2)若，求实数的取值范围． 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知集合. (1)当时，求①，②； (2)若集合为非空集合，且“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 20、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分． 已知集合． (1)若集合中只有一个元素，求实数的值； (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围； (3)若集合中有两个元素，求实数的取值范围． 21、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分． 对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如的“交替和”是的“交替和”是5. (1)求集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，求集合所有非空子集的元素和的总和； (3)已知集合，其中求集合所有非空子集的交替和的总和. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$