精品解析：云南省昭通一中教研联盟2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试题（A卷）

昭通一中教研联盟2024~2025学年下学期高二年级期末质量检测 数学（A卷） 命题单位：昭通市第一中学高一数学备课组 命题教师：王超 审题教师：王沙沙 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出，再利用补集定义求解. 【详解】由题意得，， 所以. 故选：. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘法化简复数，结合共轭复数的定义可得出复数. 【详解】因为，故， 故选：C. 3. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由已知及抛物线定义可得，，从而得到，利用长度关系可得，故求解可得. 【详解】 记坐标原点为，过点作，垂足为． 由已知及抛物线定义可得，，， ∴△为等边三角形，， 又∵，∴，则． ∴，解得. 故选：B． 4. 已知是第一象限角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式解方程可得，再由同角三角函数的基本关系可得结果. 【详解】是第一象限角，， ，， 解得（舍去）或， 故, . 故选：B. 5. 已知等差数列的公差为，前项和为，若，且，则（ ） A. 6 B. 7 C. 2 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和公式求出公差与首项的关系，再根据列出关于的方程，进而求解的值. 【详解】为等差数列 ，代入 得： ，， 故选：A. 6. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可得，，，据此可得答案. 【详解】由题可得，，当时，不等式显然成立. 当时，由题可得函数图象恒在x轴下方， 则.综上可得. 故选：B 7. 设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，直线交C于另一点B，的内切圆与相切于点P，若，则椭圆C的离心率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设是内切圆与的切点，根据已知及椭圆的定义、对称性，圆的切线长性质，得到，整理即可解出. 【详解】由题意，如图所示，是内切圆与的切点， 因为左、右焦点分别为，，上顶点为A，（椭圆参数关系）， 由，结合对称性、圆的切线性质，令， 且，所以， 所以，可得，故， 故选：C 8. 函数、分别是定义在上的奇函数、偶函数，且，若关于的方程在区间内有解，则实数的最小值为（ ） A. B. 4 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数奇偶性，构造方程可解得，，原方程有解可转化为在内有解，利用换元把方程化为求的最小值即可. 【详解】，是定义在上的奇、偶函数，，， 又，即， 得：，， 代入得，，， 令，，， 当且仅当，即时等号成立 故选：A.. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，在正方体中，棱长为1，点为棱上的点，为棱上的点.下列说法正确的是（ ） A. 正方体外接球的半径为 B. 三棱锥的体积为 C. 点到的距离为 D. 若为的中点，则过，，三点的正方体的截面的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据外接球半径计算判断A，再应用三棱锥体积公式计算判断B，应用点到直线距离判断C，应用截面面积计算判断D. 【详解】A：因为外接球直径为，所以，故错误； B：，故正确； C：且，，故正确； D：平面平面，所以截面交平面为，设截面交平面为，所以， 因为若为的中点，所以为中点，连接，，则梯形的面积即为所求， 由题意得，，，，所以梯形的高为， ，故D正确， 故选：BCD. 10. 某校统计100名男生体重，这些男生的体重数据（单位：）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. 频率分布直方图中的值为0.07 B. 这100名男生中体重低于的人数为40 C. 这100名男生体重的第85百分位数为65 D. 这100名男生体重的众数小于平均数 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用频率分布直方图的面积之和为1，频数，百分位数，众数，平均数相关知识可以进行求解. 【详解】频率分布直方图的面积之和为1，，解得，故A正确； ，故B正确； 因为，， 所以故第85百分位数为，故C错误； 众数为52.5，平均数，故D正确. 故选：ABD. 11. 定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心.已知三次函数的极大值点和极小值点分别为，且有，则下列说法中正确的是（ ） A. ， B. 方程有三个根 C. 若关于的方程在区间上有两解，则 D. 若函数在区间上有最大值，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用函数对称性以及“拐点”定义构造方程组可判断A错误，利用导数判断得出函数单调性画出其图象可判断B正确，结合函数与方程思想以及函数极值可知C正确，由最值概念限定出区间取值范围，即可求得，可得D错误. 【详解】由题意得，， ，关于对称，即拐点为， 对于A，易知，即，解得；故A错误； 得 对于B，易知， 令，可得，令，可得或， 即在上单调递减，在，上单调递减， 其图象如图所示， 由图得与函数的图象有三个交点，即方程有三个根，可知B正确； 对于C，易知，，， 若关于的方程在区间上有两解，即与函数的图象在有两个交点， 则，故C正确； 对于D，易知，若函数在区间上有最大值，则区间内必须包含极大值点0，且区间上限不超过3，， 即可得，，故D错误， 故选：BC. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，满足，，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据模长定义及向量的数量积运算即可求解. 【详解】由，可得， 即，得， 所以. 故答案为：. 13. 设随机变量，若，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性运算求解即可. 详解】由题意，，所以，解得. 故答案为：. 14. 设函数，其中，则导数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】求导后利用辅助角公式结合正弦函数的值域可得. 【详解】由题意得，，， ，，，即. 故答案为：. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数的图象相邻两个零点之间的距离为. （1）求的值及的解集； （2）在中，为的一个内角，若满足，，且，求的周长. 【答案】（1），解集为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设有，即可得解析式，再由正弦函数的性质求解方程即可； （2）根据已知可得，应用余弦定理、三角形面积公式得，即可得周长 【小问1详解】 设函数的最小正周期为， 由题设，则， 令或，， 所以或，， 所以的解集为. 【小问2详解】 由题设，即，， 所以，，又三角形内角，故， 由余弦定理得，，即， 所以， 由，得，所以， 所以周长为. 16. 已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程. （2）直线与双曲线交于点M，N，其中点M在第二象限. ①求； ②已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，设直线，的斜率分别为，，求. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据离心率和双曲线所过点的坐标可求方程； （2）①利用弦长公式可求答案；②结合韦达定理求出，再利用斜率公式可求答案. 【小问1详解】 因为点在双曲线上，所以. 离心率为，，解得，. 故双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 ①设，. 联立得， 则，. 故. ②. 由题意得点M，N都在双曲线C的左支上，且点M在第二象限，所以， 则. 故. 17. 教育部印发的《进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中提出，中小学校要保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间，每天统一安排30分钟的大课间体育活动.一学校某体育项目测试有20%的人满分，而该校有10%的学生每天运动时间超过两个小时，这些人体育项目测试满分率为50%. （1）从该校随机抽取三人，三人中体育项目测试相互独立，求三人中满分人数的分布列和期望； （2）现从每天运动时间不超过两个小时的学生中任意调查一名学生，求他体育项目测试满分的概率； 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）根据二项分布的概率公式求解概率，即可得分布列，进而求解期望即可， （2）由条件概率的计算公式求解即可. 【小问1详解】 该校随机抽取三人，每个人满分概率为20%，设抽取的三人中满分人数为， 则， 则， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 所以数学期望. 【小问2详解】 用表示事件“抽到每天运动时间超过两个小时的学生”， 则， 用表示事件“抽到体育项目测试满分的学生”， 则，且， 又， 所以， 故， 所以. 18. 空间直角坐标系中，任意直线由直线上一点及直线的一个方向向量唯一确定，其标准式方程可表示为.若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，整理成一般式方程为.若直线与平面相交，则可以通过联立直线和平面的方程求出交点坐标.若两个平面相交，则交线的方向向量可由两个平面的法向量确定.已知直线的方向式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为 （1）求直线与平面所成角的余弦值； （2）求与所成角的正弦值； （3）已知三棱柱的顶点，平面的方程为，直线的方程为，平面的方程为.求点坐标及直线与直线所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）由直线的方向式方程得出直线的方向向量，再由平面的一般式方程得出平面的法向量，最后由线面角的余弦公式即可求得； （2）由平面的一般式方程得出平面的法向量，再由平面的一般式方程得出平面的法向量，最后由面面角的余弦公式即可求得； （3）联立方程得出点，进而得出，再由直线是平面与平面的交线得出直线的一个方向向量，最后由线线角的余弦公式即可求得. 【小问1详解】 设直线与平面所成角为， 因为直线的方向式方程为，平面的一般式方程为， 所以直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为. 所以. 所以. 【小问2详解】 设平面和所成角为， 因为平面的一般式方程为， 平面的一般式方程为， 所以平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 所以， 所以. 【小问3详解】 联立解得即. 又，所以. 由平面的方程知，其法向量为. 直线是平面与平面的交线， 所以设直线的一个方向向量为，平面的法向量为. ，，得 取直线的一个方向向量为. 则， 即直线与直线所成角的余弦值为. 19. 布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer).简单地讲就是:对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点. （1）求函数的不动点; （2）若函数有两个不动点，且，若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据不动点定义求解即可； （2）根据题意问题转化为方程有两个不等的实数根，令，利用导数判断单调性极值，可得，且的值随着的值减小而增大，列式求出时的值，得解. 【小问1详解】 设的不动点为，则，解得， 所以函数的不动点为. 【小问2详解】 函数有两个不动点，即方程，即有两个不等的实数根， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， ，且时，，时，， 作出大致图象如下： 所以，且的值随着的值减小而增大， 当时，有，两式相减得， 解得，即，代入，解得， 所以此时， 所以满足题意的实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昭通一中教研联盟2024~2025学年下学期高二年级期末质量检测 数学（A卷） 命题单位：昭通市第一中学高一数学备课组 命题教师：王超 审题教师：王沙沙 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过作的垂线，垂足为，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. 已知是第一象限角，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知等差数列公差为，前项和为，若，且，则（ ） A 6 B. 7 C. 2 D. 5 6. 若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，直线交C于另一点B，的内切圆与相切于点P，若，则椭圆C的离心率为（ ）． A. B. C. D. 8. 函数、分别是定义在上的奇函数、偶函数，且，若关于的方程在区间内有解，则实数的最小值为（ ） A. B. 4 C. 8 D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 如图，在正方体中，棱长为1，点为棱上的点，为棱上的点.下列说法正确的是（ ） A. 正方体外接球的半径为 B. 三棱锥的体积为 C. 点到距离为 D. 若为的中点，则过，，三点的正方体的截面的面积为 10. 某校统计100名男生体重，这些男生的体重数据（单位：）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（ ） A. 频率分布直方图中的值为0.07 B. 这100名男生中体重低于的人数为40 C. 这100名男生体重的第85百分位数为65 D. 这100名男生体重的众数小于平均数 11. 定义：设为三次函数，是的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为三次函数图象的“拐点”.经过探究发现：任意三次函数图象的“拐点”是其对称中心.已知三次函数的极大值点和极小值点分别为，且有，则下列说法中正确的是（ ） A. ， B. 方程有三个根 C. 若关于的方程在区间上有两解，则 D. 若函数在区间上有最大值，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，满足，，且，则________. 13. 设随机变量，若，则________. 14. 设函数，其中，则导数的取值范围是________. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知函数的图象相邻两个零点之间的距离为. （1）求的值及的解集； （2）在中，为的一个内角，若满足，，且，求的周长. 16. 已知双曲线：离心率为，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程. （2）直线与双曲线交于点M，N，其中点M在第二象限. ①求； ②已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，设直线，的斜率分别为，，求. 17. 教育部印发的《进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中提出，中小学校要保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间，每天统一安排30分钟的大课间体育活动.一学校某体育项目测试有20%的人满分，而该校有10%的学生每天运动时间超过两个小时，这些人体育项目测试满分率为50%. （1）从该校随机抽取三人，三人中体育项目测试相互独立，求三人中满分人数的分布列和期望； （2）现从每天运动时间不超过两个小时的学生中任意调查一名学生，求他体育项目测试满分的概率； 18. 空间直角坐标系中，任意直线由直线上一点及直线的一个方向向量唯一确定，其标准式方程可表示为.若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，整理成一般式方程为.若直线与平面相交，则可以通过联立直线和平面的方程求出交点坐标.若两个平面相交，则交线的方向向量可由两个平面的法向量确定.已知直线的方向式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为，平面的一般式方程为 （1）求直线与平面所成角的余弦值； （2）求与所成角的正弦值； （3）已知三棱柱的顶点，平面的方程为，直线的方程为，平面的方程为.求点坐标及直线与直线所成角的余弦值. 19. 布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer).简单地讲就是:对于满足一定条件的连续函数，存在实数，使得，我们就称该函数为“不动点”函数，实数为该函数的不动点. （1）求函数的不动点; （2）若函数有两个不动点，且，若，求实数取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $