精品解析：江西省赣州市2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题

赣州市2024～2025学年度第二学期期末考试 高一数学试卷 2025年6月 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟. 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. -2 2. 已知向量，，若，则（ ） A. -2 B. 4 C. 1 D. -1 3. 如图，是水平放置的的直观图，，则原的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 8 4. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下面命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，均为锐角，且，，则（ ） A. B. C. D. 7. 勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”是我国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，某同学绘制的赵爽弦图，在正方形和中，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影数量为 8. 若实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知复平面内表示复数：的点为，则下列结论中正确的为（ ） A. 若，则 B. 若在直线上，则 C. 若为纯虚数，则 D. 若在第四象限，则 10. 已知正方体的棱长为定值，E，F分别为棱，的中点，H是线段上的动点，则下列结论正确的有（ ） A. 平面 B. 四面体的体积为定值 C. 平面 D. 直线，，三线共点 11. 在中，a，b，c为内角A，B，C的对边，，，点P满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的面积最大值为 D. 线段的长度最大值 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______． 13. 如图，某数学建模探究小组为测量赣州市和谐钟塔的塔高，在与塔底B同一水平面上选取C，D两点，分别测得，，，，则塔高_______.（用，，，表示） 14. 一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面ABC水平放置时，水面高为，当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，. （1）求和的值； （2）求与的夹角的余弦值. 16. 已知函数，若的一个零点为0，且图象上相邻两条对称轴的距离为. （1）求的解析式，并写出的单调递减区间； （2）把的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域. 17. 如图1，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到图2所示的四棱锥，，记二面角的平面角为. 图1 图2 （1）证明：平面； （2）当时，求证：平面； （3）当时，求点到平面的距离. 18. 如图，在平面四边形中，，，，. （1）若，，求的大小； （2）若，求四边形面积的最大值. 19. 在数学中，三角函数的孪生兄弟是双曲函数，其中双曲余弦函数为，双曲正弦函数为. （1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论： （2）求函数的最小值； （3）求证：对，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赣州市2024～2025学年度第二学期期末考试 高一数学试卷 2025年6月 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时长120分钟. 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的虚部为（ ） A. -1 B. 1 C. 2 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】由复数乘法、虚部的概念即可求解. 【详解】的虚部为1. 故选：B. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. -2 B. 4 C. 1 D. -1 【答案】D 【解析】 【分析】由数量积为0列方程求解即可. 【详解】已知向量，，若，则，解得. 故选：D. 3. 如图，是水平放置的的直观图，，则原的面积为（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据直观图得到平面图，求出相关线段的长度，从而求出面积. 【详解】由直观图可得如下平面图形， 则，，， 则原的面积为. 故选：A. 4. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下面命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行，面面平行和面面垂直的判定定理，判断选项的正误. 【详解】若，则或，故A不正确； 若，则或与相交，故B不正确； 若，则或与相交，故C不正确； 若，则由面面垂直的判定定理可知，故D正确. 故选：D. 5. 若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影公式计算即可得出结果． 【详解】根据题意， 则在方向上的投影向量为. 故选：A 6. 已知，均为锐角，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用两角差的余弦公式计算求解得出，进而应用同角三角函数关系计算求解正切. 【详解】因为，均为锐角，，， 所以，所以，， 所以， 所以 则 故选：A. 7. 勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”是我国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，某同学绘制的赵爽弦图，在正方形和中，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影数量为 【答案】C 【解析】 【分析】建立适当的平面直角坐标系，利用向量的坐标运算逐一判断各个选项即可求解. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系， 由题意， 对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为， 所以， 所以，故C正确； 对于D，因为，，所以在上的投影数量为，而，故D错误. 故选：C. 8. 若实数，满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，再结合函数的导数得出函数的单调性得出选项即可. 【详解】实数，满足，所以， 设，则， 实数关于原点对称，，所以为偶函数， 所以， 单调递增， 所以. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 9. 已知复平面内表示复数：的点为，则下列结论中正确的为（ ） A. 若，则 B. 若在直线上，则 C. 若为纯虚数，则 D. 若在第四象限，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据复数的基本概念直接判断选项即可. 【详解】对于A，若，则，得，故A错误； 对于B，因为在直线上，所以，则，故B错误； 对于C，若为纯虚数，则，即，此时虚部不为0，故C正确； 对于D，若在第四象限，则，解得，故D正确. 故选：CD 10. 已知正方体的棱长为定值，E，F分别为棱，的中点，H是线段上的动点，则下列结论正确的有（ ） A. 平面 B. 四面体的体积为定值 C. 平面 D. 直线，，三线共点 【答案】BD 【解析】 【分析】当点H与重合时，可得与平面不平行，判断A；通过证明平面，可得四面体的体积为定值，判断B；先证，假设，可得矛盾，可判断C；延长交延长线与点，延长交延长线与点，可证重合，判断D. 【详解】A选项：H是线段上的动点，当点H与重合时， 因为平面，所以与平面不平行，A错误； B选项：因为则 平面，平面，所以平面， H是线段上的动点，所以H到平面的距离为定值， 又，所以四面体的体积为定值，B正确； C选项：当点H与重合时，由平面，平面， 所以，又，平面，平面， 所以平面，平面，则， 若，则平面，而显然与平面不垂直， 所以与不垂直，所以与平面不垂直，C错误； D选项：延长交延长线与点，延长交延长线与点， 因为，且， 所以，同理， 所以重合，所以直线，，三线共点，D正确. 11. 在中，a，b，c为内角A，B，C的对边，，，点P满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的面积最大值为 D. 线段的长度最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由题意得，结合余弦定理即可判断；对于B，由向量的线性运算即可判断；对于C，由余弦定理、三角形面积公式以及基本不等式即可判断；对于D，所求为三角形外接圆的直径. 【详解】对于A，由及正弦定理得， 化简可得，即， 由余弦定理可得，因为，故，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，的面积为, 由余弦定理有，等号成立当且仅当， 所以的面积最大值为，故C正确； 对于D，三角形外接圆的直径是，线段的长度最大值为三角形外接圆的直径，即，故D正确. 故选：ACD. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式求解, 【详解】，，. 故答案为：. 13. 如图，某数学建模探究小组为测量赣州市和谐钟塔的塔高，在与塔底B同一水平面上选取C，D两点，分别测得，，，，则塔高_______.（用，，，表示） 【答案】 【解析】 【分析】在三角形中，由正弦定理求出，在直角三角形中，由可求出结果. 【详解】在三角形中，由正弦定理得， 又，所以， 在直角三角形中，. 故答案为：. 14. 一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面ABC水平放置时，水面高为，当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据体积求出可得，设正方形外接圆圆心为，取，设矩形外接圆圆心为，求出，设外接球的球心为，外接球半径R，利用勾股定理可得答案. 【详解】，如图， 当侧面水平放置时，水平面与分别相交于 点，则平面平面， ， ， ，即， 由到的距离为，得到的距离为， 设正方形外接圆圆心为，半径为，则， 设矩形外接圆圆心为，半径为，则； 设几何体的外接球的球心为，外接球半径R， 球心的位置可能有2种情况，如图， 则，或， 由得无解；由得， 故外接球表面积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，. （1）求和的值； （2）求与的夹角的余弦值. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）由向量模长坐标运算得，再利用向量数量积定义及向量数量积运算律求解即可； （2）由向量夹角余弦值计算公式计算求解即可. 【小问1详解】 由，得， 所以， ； 【小问2详解】 由， 所以与的夹角的余弦值为. 16. 已知函数，若的一个零点为0，且图象上相邻两条对称轴的距离为. （1）求的解析式，并写出的单调递减区间； （2）把的图象向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图象，求在区间上的值域. 【答案】（1）；单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件求出、，即可求出函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）首先根据三角函数的变换规则求出的解析式，由的取值范围，求出的取值范围，结合正弦函数的性质求得值域. 【小问1详解】 因为函数的一个零点为0，所以，即，得， 因为，所以. 因为函数图象上相邻两条对称轴的距离为，所以. 因为，，所以， 所以函数的解析式为， 由，，解得，， 所以的单调递减区间为. 【小问2详解】 把的图象向右平移个单位得到 ， 再将向上平移个单位得到， 所以， 因为，所以. 当时，即时，， 当时，即时，， 所以函数在的值域为. 17. 如图1，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到图2所示的四棱锥，，记二面角的平面角为. 图1 图2 （1）证明：平面； （2）当时，求证：平面； （3）当时，求点到平面的距离. 【答案】（1）证明：连接交于点，连接， 由题意知,，易知，则有. 因为，所以， 根据相似性得， 又平面，平面，所以平面. （2）证明：如图，因为翻折前，所以翻折后，， 由二面角的定义可知，二面角的平面角， 当时，，即， 又因为，且，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 在中，易知，，， 满足：，由勾股定理可知，， 因为，且，平面， 所以平面. （3） 【解析】 【分析】（1）在平面EBM中构造辅助线OM，利用相似证明，即可证明线面平行； （2）首先确定二面角的平面角，由推出，进而利用线面垂直证明，然后由勾股定理推出，即可证明线面垂直. （3）作辅助线与，证明平面ABCE（MG即为四棱锥的高），求出对应线段长度，利用等体积法求点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过点D作于点H， ，，， 作于，连接， 因为，，,CE、ED平面CDE， 所以平面CDE，又MG平面CDE，所以MG， 因为MG，，、AE、EC平面ABCE， 所以平面ABCE， 因为，所以， 所以，，，， 所以，，， 所以为等腰三角形，且边上的高， 所以， 令到平面的距离为，且， 因为，所以， 所以. 18. 如图，在平面四边形中，，，，. （1）若，，求的大小； （2）若，求四边形面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先在用余弦定理求长度，再根据等腰三角形性质求，进而得，然后在用正弦定理求，结合几何情况确定大小. （2）把四边形面积拆成与面积之和，根据范围求面积最大值. 【小问1详解】 由已知，，得， 所以，得. 在中，因为，，所以， 又，由正弦定理得， 得， 因为，所以，所以， 所以. 【小问2详解】 由已知得，所以， 在中 所以， 又因为，得， 所以四边形面积 所以， 因为，所以， 当时，即时，. 19. 在数学中，三角函数的孪生兄弟是双曲函数，其中双曲余弦函数为，双曲正弦函数为. （1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论： （2）求函数的最小值； （3）求证：对，. 【答案】（1）奇函数，证明：因的定义域为， 由可得函数为奇函数. （2） （3）证明：① 当时，，. 对于，因，则为偶函数； 设，则， 因为，所以，，， 所以，即在上单调递增. 所以当时，. 对于，类似的方法可得：为奇函数，在上单调递增， 所以当时，. 所以； ② 当时，. 由可得， 所以， 即. 综上可得：对，. 【解析】 【分析】（1）根据奇偶性定义直接判断； （2），设，则，利用单调性求最值； （3）当时，，，利用和的奇偶性和单调性证明，当时，，设，即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 设，则，当且仅当时取“=”， 则在上单调递增， 所以. 所以函数的最小值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $