精品解析：天津市南开区2024-2025学年高二下学期期末阶段性质量监测数学试题

2024—2025学年度第二学期阶段性质量监测 高二年级数学学科 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间100分钟． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 由5对数据绘制散点图，其样本点呈直线趋势，且线性回归方程为，则（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C. 正态分布的图象越瘦高，越大 D. 两个随机变量线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 8. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 各项系数和为2186 B. 第4项与第5项的系数相等 C. 的项的系数为21 D. 二项式系数最大为35 9. 现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，每个房间最多住2人，且男女不能混住．则不同的安排方法有（ ）种 A. 1960 B. 2160 C. 2520 D. 2880 10. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分． 11. 在二项式展开式中的系数为______． 12. 已知A、B是一个随机试验中的两个事件，且，，则_______ 13. 计算：_______． 14. 若函数的图象经过定点，则函数的单调增区间为__________. 15. 用表示，中的较大者，若方程有四个不同的实根，，，，则的取值范围是_______． 三、解答题：（本大题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知，若. （1）求实数m的值； （2）求； （3）求的值. 17. A，B，C三所学校分别有6%，5%，4%的学生有“强基计划”报名资格，这三个学校的人数比为，现从这三个地区中任选一人． （1）求这个人有“强基计划”报名资格的概率； （2）如果此人有“强基计划”报名资格，求此人选自A学校概率． 18. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）求函数在上的单调区间和最小值. 19. 某学校举办数学建模知识竞赛，每位参赛者要答3道题，第一题分值为40分，第二、三题分值均为30分，若答对，则获得题目对应分值，若答错，则得0分，参赛者累计得分不低于70分即可获奖．已知甲答对第一、二、三题的概率均为，乙答对第一、二、三题的概率分别为，，，且甲、乙每次答对与否互不影响． （1）求甲累计得分的分布列和期望； （2）在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率． 20. 已知函数，． （1）讨论单调性； （2）若有两个零点，求实数的取值范围； （3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第二学期阶段性质量监测 高二年级数学学科 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间100分钟． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出补集，进而求出交集. 【详解】由题意可得或，则. 故选：A 2. 已知，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义即可判断. 【详解】取，，则可知由“”无法推出“”． ，，两边平方化简得； 则，“”是“”的必要不充分条件； 故选：B 3. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据初等函数的求导公式和导数四则运算公式直接求导即可. 【详解】，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确． 故选：D． 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先得，然后再根据幂指数的运算可得即可. 【详解】因为， 因为，所以， 所以. 故选：A. 5. 由5对数据绘制散点图，其样本点呈直线趋势，且线性回归方程为，则（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】利用线性回归方程过样本中心即可求解． 【详解】由题意可得，， 又经过点,，所以，解得． 故选：C． 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断出为奇函数，排除BD；再根据当趋向于时，趋向于0，C错误，A正确. 【详解】恒成立，故的定义域为R， ， 故为奇函数，BD错误； 当趋向于时，的增长速度远大于的速度， 故趋向于0，C错误，A正确. 故选：A 7. 下列说法正确的是（ ） A. 线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 B. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 C. 正态分布图象越瘦高，越大 D. 两个随机变量线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 【答案】B 【解析】 【分析】值越大，模型的拟合效果越好可判断A；残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，判断B；正态分布的图象越瘦高，越小可判断C；两个随机变量的线性相关性越强， 则相关系数的绝对值越接近于1，可判断D. 【详解】对于A：值越大，模型的拟合效果越好，故A错误； 对于B，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故B正确． 对于C，正态分布的图象越瘦高，越小，故C错误； 对于D， 两个随机变量的线性相关性越强， 则相关系数的绝对值越接近于1 ，故D错误. 故选：B． 8. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ） A. 各项系数和为2186 B. 第4项与第5项的系数相等 C. 的项的系数为21 D. 二项式系数最大为35 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，赋值即可判断；对于BC，由二项式定理即可验算；对于D，由二项式系数的增减性即可判断. 【详解】对于A中，令，可得，即展开式各项系数和，所以A错误； 对于B中，二项式展开式的通项为， 可得展开式的第4项的系数为，第5项的系数为， 所以展开式的第4项和第5项的系数不相等，所以B错误； 对于C中，由二项式展开式的通项为， 可得的项的系数为，所以C错误； 对于D中，由展开式的二项式系数的性质，可得展开式的第4和5项的二项式系数最大， 二项式系数的最大值为，所以D正确. 故选：D. 9. 现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，每个房间最多住2人，且男女不能混住．则不同的安排方法有（ ）种 A. 1960 B. 2160 C. 2520 D. 2880 【答案】C 【解析】 【分析】就3名女生需要的房间数分类讨论后可得正确的选项. 【详解】3名女生需要住2个房间或3个房间． 若3名女生住2个房间，则不同的方法种数为， 若3名女生住3个房间，则不同的方法种数为， 则不同的安排方法有种． 故选:． 10. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 6 B. 8 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得到，则，再利用基本不等式求解. 【详解】因为 所以 所以 ， 当且仅当，即取等号 所以的最小值为8 故选：B 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分． 11. 在二项式的展开式中的系数为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合二项式定理展开式的通项公式得到的值，然后求解的系数即可. 【详解】展开式的通项公式为 令，解得，则的系数为 故答案为： 12. 已知A、B是一个随机试验中的两个事件，且，，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】由题意得，再结合即可求解. 【详解】已知A、B是一个随机试验中的两个事件，且，， 解得，所以. 故答案为：. 13. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】由指数、对数运算法则计算即可. 【详解】 . 故答案为：. 14. 若函数的图象经过定点，则函数的单调增区间为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用指数函数过定点可得，再根据对数函数以及二次函数性质，利用复合函数“同增异减”的性质即可求得结果. 【详解】由指数函数图象性质可知，令，可得, 因此函数的图象经过定点； 即；所以， 显然，解得或； 即函数的定义域为； 利用二次函数单调性可得函数在上单调递减，在上单调递增； 又在定义域内单调递减， 利用复合函数单调性可得的单调增区间为. 故答案为： 15. 用表示，中的较大者，若方程有四个不同的实根，，，，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】画出函数的图像，根据图像和已知条件确定实数的取值范围，由为的两根，得到，求得,利用函数单调性研究的取值范围，进而得到答案. 【详解】 如图所示，由,解得,得,直线于轴交点, 因为表示，中的较大者，图像如图所示实线表示. 方程有四个不同的实根，，，， ∵,,，∴, ∵为的两根，. 又∵. ∴, ∵是单调增函数，且值域是, ∴, ∴的取值范围是, 故答案为：. 三、解答题：（本大题共5个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知，若. （1）求实数m的值； （2）求； （3）求的值. 【答案】（1）1 （2）56 （3）2 【解析】 【分析】（1）利用赋值法即可求解， （2）利用二项式展开式的通项特征即可求解， （3）令，即可利用赋值法求解. 【小问1详解】 因为， 令，可得，解得； 【小问2详解】 由（1）可知：，为一次项系数， 由于， 故一次项为，所以， 【小问3详解】 由（1）可知：，且， 令，可得， 则， 所以. 17. A，B，C三所学校分别有6%，5%，4%的学生有“强基计划”报名资格，这三个学校的人数比为，现从这三个地区中任选一人． （1）求这个人有“强基计划”报名资格的概率； （2）如果此人有“强基计划”报名资格，求此人选自A学校的概率． 【答案】（1）0.05 （2）0.36 【解析】 【分析】（1）首先求得，，，，，，然后结合全概率公式即可求解. （2）由条件概率公式即可求解. 【小问1详解】 记事件D：选取的这个人有“强基计划”报名资格，记事件E：此人来自A学校，记事件F：此人来自B学校，记事件G：此人来自C学校， 则，且E，F，G彼此互斥， 由题意可得，，， ，，， 由全概率公式可得 ． 【小问2详解】 由条件概率公式可得. 18. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）求函数在上的单调区间和最小值. 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据点斜式求解直线方程， （2）分类讨论即可根据导函数的正负，即可求解单调性得解. 【小问1详解】 当时，，则， 故，， 故切线方程为，即， 【小问2详解】 且， 当时，，的单调增区间为，； 当时， 当时，，当时，， 所以的单调减区间为，单调增区间为，； 当时，，所以的单调减区间为， 19. 某学校举办数学建模知识竞赛，每位参赛者要答3道题，第一题分值为40分，第二、三题分值均为30分，若答对，则获得题目对应分值，若答错，则得0分，参赛者累计得分不低于70分即可获奖．已知甲答对第一、二、三题的概率均为，乙答对第一、二、三题的概率分别为，，，且甲、乙每次答对与否互不影响． （1）求甲的累计得分的分布列和期望； （2）在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率． 【答案】（1）分布列见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知：甲、乙每次答对与否互不影响，利用独立事件的概率公式求出相应概率，从而得到的分布列及期望； （2）根据题目发现该问考查条件概率，利用条件概率公式进行求解，或者利用条件概率的本质特征，样本空间缩小，进行求解. 【小问1详解】 由题意知：甲累计得分的可能取值有：， 所以， ， ， ， ， ， 的分布列为： 0 30 40 60 70 100 . 【小问2详解】 法一：根据题意得：得分不低于70分即可获奖， 由（1）知：甲获奖的概率为， 乙获奖的概率为：， 乙只得70分的概率为：， 所以甲、乙两人同时获奖的概率为：， 甲、乙均获奖且甲累计得分比乙高的概率为：， 所以，在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率为：. 法二：已知得分不低于70分才可获奖，即甲、乙的得分应为70或100，共计4种情况，其中，甲比乙高的情况，只有甲获得100分，乙获得70分时一种情况，故概率为：. 20. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求实数的取值范围； （3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，分和讨论判断正负，得解； （2）根据题意，问题转化为有两解，令，利用导数判断函数的单调性极值情况得解； （3）根据题意，问题转化为，对恒成立．当时，上式显然成立；当时，上式转化为，令利用导数求出最值得解. 【小问1详解】 ， ， 当时，，所以在上单调递增． 当时，令，则． 若，即时，恒成立，所以在上单调递增． 若，即时，方程的根为， 当时，或，在和上单调递增； 当时，，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增， 在上单调递减． 【小问2详解】 令，则． 令，则． 所以当时，，在上单调递减． 当时，，在上单调递增． 又当时，，且；当时，， 所以当时，先减后增，且在处有最小值， 此时直线与有两个交点， 所以实数取值范围为． 【小问3详解】 因为，即， 即，对恒成立． 当时，上式显然成立； 当时，上式转化为， 令，， ，所以函数在上单调递增， ，， 综上所述，实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：第三问解题的关键是转化为在上恒成立，构造函数并利用导数研究单调性求最值，进而确定参数范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$