4.3 角的平分线 课件 2025-2026学年青岛版八年级数学上册

4.3 角的平分线 第四章 图形的轴对称 学习目标 课时讲解 1 课时流程 2 作一个角的平分线 角平分线的性质 角平分线的判定 逐点 导讲练 课堂小结 作业提升 知1－讲 感悟新知 知识点 作一个角的平分线 1 1. 角的对称性：角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴。 感悟新知 知1－讲 特别解读 1. “大于 CD的长为半径画弧”是因为若以小于 CD的长为半径，则画出的两弧不能相交。 2. “画射线OP”不能叙述为“连接OP”，因为角平分线是射线而不是线段。 3.用尺规作一个角的平分线，实质上是运用 “SSS”构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等，找出平分一个角的射线。 感悟新知 2. 角平分线的作法  已知： ∠ AOB（如图 4.3-1）。 求作： ∠ AOB 的平分线。 作 法： (1)以 点 O 为 圆 心，以 适 当 的 长 为半径作弧，分别交这个角的两边于 C， D 两点； 知1－讲 “作一个角的平分线”也是基本作图 感悟新知 (2)分别以点 C， D 为圆心，以大于 CD的长为半径作弧，两条弧交于点 P； (3)作射线 OP。 OP 即为所求作的角平分线。 证明：如图 4.3-1，连接 PC， PD，根据前两步的作法可得OC=OD， PC=PD。 在△ OCP 和△ ODP 中， 所以△ OCP ≌ △ ODP（SSS）。 所以∠ AOP= ∠ BOP。所以 OP 平分∠ AOB。 知1－讲 知1－练 感悟新知 如 图 4.3-2，已 知 ∠ AOB，求 作： ∠ AOM = ∠ AOB。 例1 知1－练 感悟新知 解： 作法： (1)以点 O 为圆心，以适当长为半径作弧，交OA 于点 E，交 OB 于点 F； (2)分别以点 E， F 为圆心， 以大于 EF 的长为半径作弧， 两弧在∠ AOB 的内部交于点 C； (3)画射线 OC； (4)同理，作∠ AOC 的平分线 OM. ∠ AOM 即为所求作的角（如图 4.3-2）。 解题秘方：利用尺规作图作两次角平分线，可将已知角四等分。 知1－练 感悟新知 1-1.已知： ∠ AOB，如图所示，求作： ∠ AOB的邻补角的平分线（保留 作 图 痕 迹，不 写 作法）。 解：如图，射线OP即为所求．(答案不唯一) 感悟新知 知2－讲 知识点 角平分线的性质 2 1. 性质定理： 角平分线上的点到角两边的距离相等 。 角平分线的性质的两个必要条件 (1)点在角平分线上； (2) 这 个 点 到 角 两 边 的 距 离 即 点 到 角 两 边 的 垂 线 段 的长度。两者缺一不可。 感悟新知 知2－讲 2. 几何语言： 如图 4.3-3， 因为 OP 平分∠ AOB， PE ⊥ OA 于点 E， PF ⊥ OB 于点 F， 所以 PE=PF。 只要符合基本模型，直 接得出结论,不需要证全等 知2－讲 感悟新知 特别提醒 1.角平分线的性质是由两个条件(角平分 线，垂 线)得 到一个结论(线段相等)。 2.利用角平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直 于 角 两 边 的 线段”， 如图4.3-4①所示，而不是“垂直于角平分线的线段”，如图4.3-4②所示。 感悟新知 知2－练 [期 中· 青 岛 李 沧 区]如 图 4.3-5， OD 平 分 ∠ EOF，在OE， OF 上 分 别 取 点 A， B，使 OA=OB， P 为 OD 上 一 点，PM ⊥ BD， PN ⊥ AD，垂足分别为 M， N。求证： PM=PN。 例2 知2－练 感悟新知 解题秘方：在图中找出能利用角平分线性质的模型，利用角平分线的性质可证明线段相等。 证明： 因为 OD 平分∠ EOF，所以∠ BOD= ∠ AOD。 在△ BOD 和△ AOD 中， 所以△ BOD ≌ △ AOD（SAS）。 所以∠ BDO= ∠ ADO。所以 DO 平分∠ BDA。 又因为 P 为 DO 上一点，且 PM ⊥ DB， PN ⊥ DA， 所以 PM=PN。 知2－练 感悟新知 2-1. [期中·济宁任城区] 如 图，已 知 ∠ AOB=90°， OM是∠ AOB的平分线，三角尺的直角顶 点 P 在 射 线 OM 上滑动，两直角边分别与OA， OB交于点C， D。求证： PC=PD。 证明：如图，过点P分别作PE⊥OB于点E， PF⊥OA于点F，则∠CFP＝∠DEP＝90°。 因为OM是∠AOB的平分线，所以PE＝PF。 因为∠AOB＝90°，∠CPD＝90°， 所以∠PCF＋∠PDO＝360°－∠AOB－∠CPD＝180°。 又因为∠PDE＋∠PDO＝180°， 知2－练 感悟新知 知2－练 感悟新知 感悟新知 知2－练 如图4.3-6，在△ ABC中，∠ C=90°， AD平分∠ CAB， BD=2CD，点 D 到 AB 的距离为 5.6 cm，求 BC 的长。 例3 知2－练 感悟新知 解题秘方：依 据 角 平 分 线 的 性 质 定 理得 出 CD 的 长，进 而 得 出 BD 的 长，依 据BC=CD+BD 即可得出结论。 解： 如 图 4.3-6，过 点 D 作 DE ⊥ AB 于点 E。 因 为 ∠ C=90 ° ， AD 平 分 ∠ CAB， 点 D 到 AB 的 距 离 为5.6 cm， 所以 CD=DE=5.6 cm。 又因为 BD=2CD，所以 BD=2× 5.6=11.2（cm）。 所以 BC=CD+BD=5.6+11.2=16.8（cm）。 知2－练 感悟新知 3-1. [ 期 中·福 州 ] 如图，在△ ABC 中， ∠ C=90° ， BP 平分∠ ABC，AC=10， 且 CP ∶ AP=2∶ 3，则点 P 到 AB 的距离为 ________。 4 感悟新知 知2－练 如 图 4.3-7，在 △ ABC 中， AD 是∠ BAC 的 平 分 线， DE ⊥ AB 于 点 E， DF ⊥AC 于 点 F，△ ABC 的 面 积 是 225 cm2，AB=28 cm， AC=17 cm，求 DE 的长。 例4 知2－练 感悟新知 解题秘方：紧扣总面积等于各部分面积的和求解。 解： 因为 AD 是∠ BAC 的平分线， DE ⊥ AB， DF ⊥ AC，所以 DE=DF。 因为△ ABC 的面积是 225 cm 2， AB=28 cm， AC=17 cm，所以 × 28· DE+ × 17· DF=225， 解得 DE=DF=10 cm。 知2－练 感悟新知 4-1. [ 模拟·青岛 ] 如图，在△ ABC 中， ∠ BAD=∠ CAD， AB=2AC=4，若△ ABC 的面积为 6，则 点 D 到 AB 的 距 离为_________ 。 2 感悟新知 知2－练 如 图 4.3-8， 在 △ ABC 中，∠ C=90°， AC=BC， AD 平分∠ CAB，交 BC于点 D， DE ⊥ AB，垂足为 E。若 AB=8 cm，求△ DEB 的周长。 例5 知2－练 感悟新知 思路导引： 知2－练 感悟新知 解： 在△ ABC 中， ∠ C=90° ，所以 DC ⊥ AC。 又因为 DE ⊥ AB， AD 平分∠ CAB，所以 DC=DE。 在 Rt △ ACD 和 Rt △ AED 中， 所以 Rt △ ACD ≌ Rt △ AED（HL）。所以 AC=AE。 因为 AC=BC，所以 AE=BC。 所 以 △ DEB 的 周 长 为 DE+DB+EB=DC+DB+EB=BC+EB=AE+EB=AB=8 cm。 知2－练 感悟新知 技巧点拨： 已知三角形的周长求某条线段的长时，若没有其他条件可得线段长度，则考虑进行转化，将三角形三边的长转化为一条线段的长。 知2－练 感悟新知 5-1.如图，已知△ ABC中， ∠ C=90 ° ， AD 平分∠ BAC 交BC 于点 D，DE ⊥ AB 点于 E，点 F在 AC 上，且 BD=FD。求证： AE-BE=AF。 知2－练 感悟新知 知3－讲 感悟新知 知识点 角平分线的判定 3 1. 判 定 定 理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 感悟新知 2. 几何语言： 如图 4.3-9， 因 为 点 P 为 ∠ AOB 内 一 点， PD ⊥ OA， PE ⊥ OB，垂足分别为 D， E，且 PD=PE， 所以点 P 在∠ AOB 的平分线 OC 上。 应用角平分线的判定所具备的条件 (1)位置关系：点在角的内部； (2)数量关系：该点到角两边的距离相等。 定理的作用： 判断点是否在角平分线上。 知3－讲 感悟新知 知3－讲 特别提醒 1.使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部。 2.角平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等）得到一个结论(角平分线)。 3.角平分线的判定方法是证明两个角相等的重要依据，它比利用三角形全等证明两角相等更方便快捷。 感悟新知 3. 角平分线的判定定理与性质定理的关系 (1) 如 图 4.3-9，都 与 距 离 有 关，即 条 件 PD ⊥ OA， PE ⊥OB 都具备； (2) 点在角的平分线上（角的内部的）点到角两边的距离相等。 知3－讲 性质 OC平分∠AOB 性质 感悟新知 知3－讲 拓宽视野 三角形的三条角平分线相交于一点，这个点叫作三角形的内心，它到三角形三边的距离相等。 知3－练 感悟新知 如图 4.3-10， BF ⊥ AC 于点 F， CE ⊥ AB 于点 E， BF和 CE 交于点 D， BE=CF。求证： AD 平分∠ BAC。 例6 知3－练 感悟新知 证明： 因为 BF ⊥ AC， CE ⊥ AB， 所以∠ DEB= ∠ DFC=90° 。 在△ BDE 和△ CDF 中， 所以△ BDE ≌ △ CDF（AAS）。所以 DE=DF。 又因为 DF ⊥ AC， DE ⊥ AB，所以 AD 平分∠ BAC。 解题秘方：利用角平分线的判定定理判定角平分线时，关键是证明角的内部的点到角两边的距离相等。 知3－练 感悟新知 6-1. [ 月 考· 台 州 ] 如图， ∠ AOB=60 ° ，P 是 射 线 OC 上 的 一点， PD ⊥ OA 于点 D，PE ⊥ OB 于点 E， M，N 分 别 是 OA 与 OB上 的 点， DM=EN，∠ MPN=120° 。求证：OC是∠ AOB 的平分线。 证明：因为PD⊥OA，PE⊥OB， 所以∠PDM＝∠PEO＝∠PEN＝90°。 因为∠DOE＋∠PDO＋∠DPE＋∠PEO＝360°， ∠AOB＝60°，所以∠DPE＝120°。 因为∠DPM＋∠MPE＝120°，∠MPE＋∠NPE＝120°，所以∠MPD＝∠NPE。 知3－练 感悟新知 知3－练 感悟新知 知3－练 感悟新知 如图 4.3-11， BP， CP 分别是△ ABC 的外角平分线， PM ⊥ AB 于点 M， PN ⊥ AC 于点 N。 求证： AP 平分∠ MAN。 例7 知3－练 感悟新知 思路导引： 知3－练 感悟新知 证明： 如图 4.3-11，作 PD ⊥ BC 于点 D。 因为 BP 是∠ MBC 的平分线， PM ⊥ AB， PD ⊥ BC， 所以 PM=PD。 同理可得 PN=PD，所以 PM=PN。 又因为 PM ⊥ AB， PN ⊥ AC， 所以 AP 平分∠ MAN。 知3－练 感悟新知 7-1.如 图， △ ABC 的角平分线 BE， CF 相交于点 P。求证：点 P 在∠ A 的平分线上。 证明：如图，过点P作PD⊥AB，PM⊥BC，PN⊥AC，垂足分别为D，M，N。 因为BE平分∠ABC，点P在BE上， 所以PD＝PM。 同理可得PM＝PN，所以PD＝PN。 所以点P在∠A的平分线上。 知3－练 感悟新知 角的平分线 性质 判定 角平分线 作已知角 的平分线 尺规 作图 课堂小结 所以∠PCF＝∠PDE。 在△CFP和△DEP中， 所以△CFP≌△DEP(AAS)。 所以PC＝PD。 证明：因为AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°， 所以DC＝DE。在Rt△ACD和Rt△AED中， 所以Rt△ACD≌Rt△AED(HL)。所以AC＝AE。 在Rt△FCD和Rt△BED中，所以Rt△FCD≌Rt △BED(HL)。所以CF＝BE。所以AE－BE＝AC－CF＝AF。 在△PDM和△PEN中， 所以△PDM≌△PEN(AAS)。所以DP＝EP。 又因为PD⊥OA，PE⊥OB，所以OC是∠AOB的平分线。 $$